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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

직선과 평면의 방정식

평면·공간에서 직선과 평면의 방정식, 교점·거리·사이각을 구한다

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2문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 3권 · 2.5절 · 59번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 시각 t∈[0,3]t\in [0,3] 에서 입자의 위치 벡터가 r(t)=⟨sin⁡ t,cos⁡ t,2t⟩\text{r}(t)=\langle \sin \,t,\cos \,t,2t\rangle 라고 하세요. 여기서 r 의 성분은 센티미터 단위로, 시간은 초 단위로 나타냅니다. OP⃗\vec{OP} 를 11 초 후 입자의 위치 벡터라고 하세요.

a. 11 초 후 입자의 속도 벡터 v(1)\text{v}(1) 을 구하세요. b. v(1)\text{v}(1) 에 수직이고 점 PP 를 지나는 평면의 스칼라 방정식을 구하세요. 이 평면을 점 PP 에서 입자의 경로에 대한 법평면이라고 합니다. c. 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 점 PP 에서 입자의 경로, 속도 벡터, 법평면을 함께 시각화하세요.

영어 원문 보기

[T] Consider r(t)=⟨sin⁡ t,cos⁡ t,2t⟩\text{r}(t)=\langle \sin \,t,\cos \,t,2t\rangle the position vector of a particle at time t∈[0,3],t\in [0,3], where the components of r are expressed in centimeters and time is measured in seconds. Let OP⃗\vec{OP} be the position vector of the particle after 11 sec.

a. Determine the velocity vector v(1)\text{v}(1) of the particle after 11 sec. b. Find the scalar equation of the plane that is perpendicular to v(1)\text{v}(1) and passes through point P.P. This plane is called the normal plane to the path of the particle at point P.P. c. Use a CAS to visualize the path of the particle along with the velocity vector and normal plane at point P.P.

정답·풀이 보기

a. v(1)=⟨cos⁡ 1,−sin⁡ 1,2⟩;\text{v}(1)=\langle \cos \,1,-\sin \,1,2\rangle ; b. (cos⁡ 1)(x−sin⁡ 1)−(sin⁡ 1)(y−cos⁡ 1)+2(z−2)=0;(\cos \,1)(x-\sin \,1)-(\sin \,1)(y-\cos \,1)+2(z-2)=0;

c.

이 그림은 3차원 좌표계의 제1팔분공간이다. 평면을 나타내는 평행사변형 모양의 격자가 그려져 있다. y = 1 에서 시작하여 증가하는 곡선이 있다. 이 곡선은 평면과 만난다. 곡선이 평면과 만나는 점에는 “v(1)” 이라고 표시된 벡터가 있다. 이 벡터는 z축에 평행하게 위쪽을 향한다.

원본 교재 풀이(영어)

a. v(1)=⟨cos⁡ 1,−sin⁡ 1,2⟩;\text{v}(1)=\langle \cos \,1,-\sin \,1,2\rangle ; b. (cos⁡ 1)(x−sin⁡ 1)−(sin⁡ 1)(y−cos⁡ 1)+2(z−2)=0;(\cos \,1)(x-\sin \,1)-(\sin \,1)(y-\cos \,1)+2(z-2)=0;

c.

This figure is the first octant of the 3-dimensional coordinate system. It has a parallelogram grid drawn representing a plane. There is a curve from y = 1 increasing. The curve intersects the plane. At the point the curve intersects the plane, there is a vector labeled “v(1).” It is upward parallel to the z-axis.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 29번
# 직선과 평면의 방정식활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
2.CLP-3 · 1.4절 · 19번대학 수준우리말 번역

점 P(5,−10,2)P(5,-10,2) 와 세 꼭짓점이 A(0,1,1)A(0,1,1), B(1,0,1)B(1,0,1), C(1,3,0)C(1,3,0) 인 삼각형을 생각하세요.

(a) 삼각형 ABCABC 의 넓이를 구하세요. (b) 점 PP 에서 이 삼각형을 포함하는 평면까지의 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

Consider a point P(5,−10,2)P(5,-10,2) and the triangle with vertices A(0,1,1)A(0,1,1), B(1,0,1)B(1,0,1) and C(1,3,0)C(1,3,0).

(a) Compute the area of the triangle ABCABC. (b) Find the distance from the point PP to the plane containing the triangle.

답 쓰고 채점
(a)
(b)
정답·풀이 보기

(a) 삼각형의 한 변은 AB→=<1,0,1>−<0,1,1>=<1,−1,0>\overrightarrow{AB}=\left< 1,0,1\right> - \left< 0,1,1\right> = \left< 1,-1,0\right> 이다. 삼각형의 다른 한 변은 AC→=<1,3,0>−<0,1,1>=<1,2,−1>\overrightarrow{AC}=\left< 1,3,0\right> - \left< 0,1,1\right> = \left< 1,2,-1\right> 이다. AB→\overrightarrow{AB} 와 AC→\overrightarrow{AC} 가 이루는 각을 θ\theta 라 하고 AB→\overrightarrow{AB} 를 삼각형의 밑변으로 잡으면, 삼각형의 밑변의 길이는 b=∣AB→∣b=|\overrightarrow{AB}| 이고 높이는 h=∣AC→∣sin⁡θh=|\overrightarrow{AC}|\sin\theta 이므로

area=12bh=12∣AB→∣ ∣AC→∣sin⁡θ=12∣AB→×AC→∣=12∣<1,−1,0>×<1,2,−1>∣\text{area}=\tfrac{1}{2} bh =\tfrac{1}{2} |\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{AC}|\sin\theta =\tfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}| =\tfrac{1}{2}|\left< 1,-1,0\right> \times \left< 1,2,-1\right>|

그런데

<1,−1,0>×<1,2,−1>=det⁡[ı^ȷ^k^1−1012−1]=ı^+ȷ^+3k^\left< 1,-1,0\right>\times\left< 1,2,-1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{matrix}\right] =\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+3\hat{\mathbf{k}}

이므로

area=12∣<1,1,3>∣=1211≈1.658\text{area}=\tfrac{1}{2}|\left< 1,1,3\right>|=\tfrac{1}{2}\sqrt{11}\approx 1.658

이다.

(b) 삼각형을 포함하는 평면에 수직인 단위벡터는

n^=AB→×AC→∣AB→×AC→∣=<1,1,3>11\hat{\mathbf{n}}=\frac{\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}} {|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|} =\frac{\left< 1,1,3\right>}{\sqrt{11}}

이다.

PP 에서 삼각형을 포함하는 평면까지의 거리는 AP→=<5,−10,2>−<0,1,1>=<5,−11,1>\overrightarrow{AP}=\left< 5,-10,2\right>-\left< 0,1,1\right> =\left< 5,-11,1\right> 을 n^\hat{\mathbf{n}} 위로 정사영한 벡터의 길이와 같다. AP→\overrightarrow{AP} 와 n^\hat{\mathbf{n}} 이 이루는 각을 θ\theta 라 하면 이 길이는 다음과 같다.

distance=∣AP→∣ ∣cos⁡θ∣=∣AP→⋅n^∣=∣<5,−11,1>⋅<1,1,3>11∣=311≈0.9045\text{distance}= |\overrightarrow{AP}|\,|\cos\theta| =\big|\overrightarrow{AP}\cdot\hat{\mathbf{n}}\big| =\left|\left< 5,-11,1\right>\cdot\frac{\left< 1,1,3\right>}{\sqrt{11}}\right| =\frac{3}{\sqrt{11}}\approx 0.9045

원본 교재 풀이(영어)

(a) One side of the triangle is AB→=<1,0,1>−<0,1,1>=<1,−1,0>\overrightarrow{AB}=\left< 1,0,1\right> - \left< 0,1,1\right> = \left< 1,-1,0\right>. A second side of the triangle is AC→=<1,3,0>−<0,1,1>=<1,2,−1>\overrightarrow{AC}=\left< 1,3,0\right> - \left< 0,1,1\right> = \left< 1,2,-1\right>. If the angle between AB→\overrightarrow{AB} and AC→\overrightarrow{AC} is θ\theta and if we take AB→\overrightarrow{AB} as the base of the triangle, then the triangle has base length b=∣AB→∣b=|\overrightarrow{AB}| and height h=∣AC→∣sin⁡θh=|\overrightarrow{AC}|\sin\theta and hence

area=12bh=12∣AB→∣ ∣AC→∣sin⁡θ=12∣AB→×AC→∣=12∣<1,−1,0>×<1,2,−1>∣\text{area}=\tfrac{1}{2} bh =\tfrac{1}{2} |\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{AC}|\sin\theta =\tfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}| =\tfrac{1}{2}|\left< 1,-1,0\right> \times \left< 1,2,-1\right>|

As

<1,−1,0>×<1,2,−1>=det⁡[ı^ȷ^k^1−1012−1]=ı^+ȷ^+3k^\left< 1,-1,0\right>\times\left< 1,2,-1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{matrix}\right] =\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+3\hat{\mathbf{k}}

we have

area=12∣<1,1,3>∣=1211≈1.658\text{area}=\tfrac{1}{2}|\left< 1,1,3\right>|=\tfrac{1}{2}\sqrt{11}\approx 1.658

(b) A unit vector perpendicular to the plane containing the triangle is

n^=AB→×AC→∣AB→×AC→∣=<1,1,3>11\hat{\mathbf{n}}=\frac{\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}} {|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|} =\frac{\left< 1,1,3\right>}{\sqrt{11}}

The distance from PP to the plane containing the triangle is the length of the projection of AP→=<5,−10,2>−<0,1,1>=<5,−11,1>\overrightarrow{AP}=\left< 5,-10,2\right>-\left< 0,1,1\right> =\left< 5,-11,1\right> on n^\hat{\mathbf{n}}. If θ\theta the angle between AP→\overrightarrow{AP} and n^\hat{\mathbf{n}}, then this is

distance=∣AP→∣ ∣cos⁡θ∣=∣AP→⋅n^∣=∣<5,−11,1>⋅<1,1,3>11∣=311≈0.9045\text{distance}= |\overrightarrow{AP}|\,|\cos\theta| =\big|\overrightarrow{AP}\cdot\hat{\mathbf{n}}\big| =\left|\left< 5,-11,1\right>\cdot\frac{\left< 1,1,3\right>}{\sqrt{11}}\right| =\frac{3}{\sqrt{11}}\approx 0.9045

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.3절 · 4번
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