빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

벡터함수의 미분과 적분

벡터함수를 미분해 접선벡터를 구하고, 성분별로 적분한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
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유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

4문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 3권 · 3.2절 · 27번대학 수준우리말 번역

속도 함수를 구하고, v(t)\text{v}(t) 가 항상 r(t)\text{r}(t) 에 수직임을 보이세요.

영어 원문 보기

Find the velocity function and show that v(t)\text{v}(t) is always orthogonal to r(t).\text{r}(t).

정답·풀이 보기

r′(t)=−bωsin⁡(ωt)i+bωcos⁡(ωt)j\text{r}'(t)=-b\omega \sin (\omega t)\text{i}+b\omega \cos (\omega t)\text{j}. 직교임을 보이려면 r′(t)⋅r(t)=0\text{r}'(t)\cdot \text{r}(t)=0 임에 주목한다.

원본 교재 풀이(영어)

r′(t)=−bωsin⁡(ωt)i+bωcos⁡(ωt)j.\text{r}'(t)=-b\omega \sin (\omega t)\text{i}+b\omega \cos (\omega t)\text{j}. To show orthogonality, note that r′(t)⋅r(t)=0.\text{r}'(t)\cdot \text{r}(t)=0.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 37번
# 벡터함수의 미분과 적분증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
2.OpenStax 3권 · 3.2절 · 28번대학 수준우리말 번역

입자의 속력이 각속도에 비례함을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that the speed of the particle is proportional to the angular velocity.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 11번
# 벡터함수의 미분과 적분증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
3.OpenStax 3권 · 3.2절 · 33번대학 수준우리말 번역

벡터함수로 나타낸 곡선을 따라 움직이는 입자의 속력이 상수이면, 속도 함수는 항상 가속도 함수와 수직임을 보이세요.

영어 원문 보기

Show that if the speed of a particle traveling along a curve represented by a vector-valued function is constant, then the velocity function is always perpendicular to the acceleration function.

정답·풀이 보기

∥v(t)∥=kv(t)⋅v(t)=kddt(v(t)⋅v(t))=ddtk=0v(t)⋅v′(t)+v′(t)⋅v(t)=02v(t)⋅v′(t)=0v(t)⋅v′(t)=0.\begin{array}{ccc}\| \text{v}(t)\| & = & k \\ \text{v}(t)\cdot \text{v}(t) & = & k \\ \frac{d}{dt}(\text{v}(t)\cdot \text{v}(t)) & = & \frac{d}{dt}k=0 \\ \text{v}(t)\cdot \text{v}'(t)+\text{v}'(t)\cdot \text{v}(t) & = & 0 \\ 2\text{v}(t)\cdot \text{v}'(t) & = & 0 \\ \text{v}(t)\cdot \text{v}'(t) & = & 0.\end{array}

마지막 식은 속도와 가속도가 수직, 즉 직교함을 뜻한다.

원본 교재 풀이(영어)

∥v(t)∥=kv(t)⋅v(t)=kddt(v(t)⋅v(t))=ddtk=0v(t)⋅v′(t)+v′(t)⋅v(t)=02v(t)⋅v′(t)=0v(t)⋅v′(t)=0.\begin{array}{ccc}\| \text{v}(t)\| & = & k \\ \text{v}(t)\cdot \text{v}(t) & = & k \\ \frac{d}{dt}(\text{v}(t)\cdot \text{v}(t)) & = & \frac{d}{dt}k=0 \\ \text{v}(t)\cdot \text{v}'(t)+\text{v}'(t)\cdot \text{v}(t) & = & 0 \\ 2\text{v}(t)\cdot \text{v}'(t) & = & 0 \\ \text{v}(t)\cdot \text{v}'(t) & = & 0.\end{array}

The last statement implies that the velocity and acceleration are perpendicular or orthogonal.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 43번
# 벡터함수의 미분과 적분증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
4.CLP-3 · 1.6절 · 29번대학 수준우리말 번역

시각 tt (단위: 초 s)에서 입자의 위치가 다음과 같이 주어져 있다.

r(t)=tcos⁡(πt2)ı^+tsin⁡(πt2)ȷ^+t k^\mathbf{r}(t)=t\cos\left(\frac{\pi t}{2}\right)\hat{\boldsymbol{\imath}} +t\sin\left(\frac{\pi t}{2}\right)\hat{\boldsymbol{\jmath}} +t\,\hat{\mathbf{k}}

(a) 입자의 경로가 원뿔 z2=x2+y2z^2=x^2+y^2 위에 있음을 보이세요. (b) 시각 tt 에서의 속도 벡터와 속력을 구하세요. (c) 시각 t=1t=1s 에서 입자가 경로를 벗어나, 경로에 접하는 방향의 직선 LL 을 따라 날아간다고 하자. 직선 LL 의 방정식을 구하세요. (d) 입자가 직선 LL 을 따라 움직이기 시작한 후, 평면 x=−1x=-1 에 부딪히기까지 걸리는 시간을 구하세요.

영어 원문 보기

The position of a particle at time tt (measured in seconds s) is given by

r(t)=tcos⁡(πt2)ı^+tsin⁡(πt2)ȷ^+t k^\mathbf{r}(t)=t\cos\left(\frac{\pi t}{2}\right)\hat{\boldsymbol{\imath}} +t\sin\left(\frac{\pi t}{2}\right)\hat{\boldsymbol{\jmath}} +t\,\hat{\mathbf{k}}

(a) Show that the path of the particle lies on the cone z2=x2+y2z^2=x^2+y^2. (b) Find the velocity vector and the speed at time tt. (c) Suppose that at time t=1t=1s the particle flies off the path on a line LL in the direction tangent to the path. Find the equation of the line LL. (d) How long does it take for the particle to hit the plane x=−1x=-1 after it started moving along the straight line LL?

정답·풀이 보기

(a) x(t)2+y(t)2=t2cos⁡2(πt2)+t2sin⁡2(πt2)=t2그리고z(t)2=t2x(t)^2+y(t)^2=t^2\cos^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +t^2\sin^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)=t^2\qquad\text{그리고}\qquad z(t)^2=t^2

은 서로 같으므로, 입자의 경로는 원뿔 z2=x2+y2z^2=x^2+y^2 위에 있다.

(b) 정의에 의해,

속도=r′(t)=[cos⁡(πt2)−πt2sin⁡(πt2)]ı^+[sin⁡(πt2)+πt2cos⁡(πt2)]ȷ^+k^속력=∣r′(t)∣=[cos⁡(πt2)−πt2sin⁡(πt2)]2+[sin⁡(πt2)+πt2cos⁡(πt2)]2+12=[cos⁡2(πt2)−2πt2cos⁡(πt2)sin⁡(πt2)+(πt2)2sin⁡2(πt2)+sin⁡2(πt2)+2πt2cos⁡(πt2)sin⁡(πt2)+(πt2)2cos⁡2(πt2)+1]1/2=2+π2t24\begin{aligned} \text{속도}&=\mathbf{r}'(t)&&= \big[\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) -\tfrac{\pi t}{2}\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]\hat{\boldsymbol{\imath}} +\big[\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\hat{\mathbf{k}} \\ \text{속력}&=|\mathbf{r}'(t)|&&= \sqrt{\big[\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) -\tfrac{\pi t}{2}\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]^2 +\big[\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]^2 +1^2} \\ & &&= \Big[\cos^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) -2\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) \sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)^2\sin^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) \\ & && +\sin^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +2\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) \sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)^2\cos^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +1\Big]^{1/2}\\ & &&=\sqrt{2+\frac{\pi^2 t^2}{4}} \end{aligned}

(c) t=1t=1 일 때 입자는 r(1)=(0,1,1)\mathbf{r}(1)=(0,1,1) 에 있고 속도는 r′(1)=<−π2,1,1>\mathbf{r}'(1)=\left< -\frac{\pi}{2},1,1\right> 이다. 따라서 t≥1t\ge 1 일 때 입자의 위치는

<x,y,z>=<0,1,1>+(t−1)<−π2,1,1>\left< x,y,z\right> = \left< 0,1,1\right>+(t-1)\left< -\frac{\pi}{2},1,1\right>

이다. 이것은 이 직선의 벡터 매개변수 방정식이기도 하다.

(d) 입자가 LL 을 따라 날아가는 동안 속력이 일정하게 유지된다고 가정하자. 그러면 시각 tt (t≥1t\ge 1)에서 입자의 xx 좌표는 −π2(t−1)-\frac{\pi}{2}(t-1) 이다. 이 값은 t−1=2πt-1=\frac{2}{\pi} 일 때 −1-1 이 된다. 따라서 입자는 원뿔을 벗어난 지 2π\frac{2}{\pi} 초 후에 x=−1x=-1 에 부딪힌다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since

x(t)2+y(t)2=t2cos⁡2(πt2)+t2sin⁡2(πt2)=t2andz(t)2=t2x(t)^2+y(t)^2=t^2\cos^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +t^2\sin^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)=t^2\qquad\text{and}\qquad z(t)^2=t^2

are the same, the path of the particle lies on the cone z2=x2+y2z^2=x^2+y^2.

(b) By definition,

velocity=r′(t)=[cos⁡(πt2)−πt2sin⁡(πt2)]ı^+[sin⁡(πt2)+πt2cos⁡(πt2)]ȷ^+k^speed=∣r′(t)∣=[cos⁡(πt2)−πt2sin⁡(πt2)]2+[sin⁡(πt2)+πt2cos⁡(πt2)]2+12=[cos⁡2(πt2)−2πt2cos⁡(πt2)sin⁡(πt2)+(πt2)2sin⁡2(πt2)+sin⁡2(πt2)+2πt2cos⁡(πt2)sin⁡(πt2)+(πt2)2cos⁡2(πt2)+1]1/2=2+π2t24\begin{aligned} \text{velocity}&=\mathbf{r}'(t)&&= \big[\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) -\tfrac{\pi t}{2}\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]\hat{\boldsymbol{\imath}} +\big[\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\hat{\mathbf{k}} \\ \text{speed}&=|\mathbf{r}'(t)|&&= \sqrt{\big[\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) -\tfrac{\pi t}{2}\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]^2 +\big[\sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)\big]^2 +1^2} \\ & &&= \Big[\cos^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) -2\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) \sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)^2\sin^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) \\ & && +\sin^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +2\tfrac{\pi t}{2}\cos\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) \sin\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +\big(\tfrac{\pi t}{2}\big)^2\cos^2\big(\tfrac{\pi t}{2}\big) +1\Big]^{1/2}\\ & &&=\sqrt{2+\frac{\pi^2 t^2}{4}} \end{aligned}

(c) At t=1t=1, the particle is at r(1)=(0,1,1)\mathbf{r}(1)=(0,1,1) and has velocity r′(1)=<−π2,1,1>\mathbf{r}'(1)=\left< -\frac{\pi}{2},1,1\right>. So for t≥1t\ge 1, the particle is at

<x,y,z>=<0,1,1>+(t−1)<−π2,1,1>\left< x,y,z\right> = \left< 0,1,1\right>+(t-1)\left< -\frac{\pi}{2},1,1\right>

This is also a vector parametric equation for the line.

(d) Assume that the particle's speed remains constant as it flies along LL. Then the xx-coordinate of the particle at time tt (for t≥1t\ge 1) is −π2(t−1)-\frac{\pi}{2}(t-1). This takes the value −1-1 when t−1=2πt-1=\frac{2}{\pi}. So the particle hits x=−1x=-1, 2π\frac{2}{\pi} seconds after it flew off the cone.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 11번
# 벡터함수의 미분과 적분증명·논술도전자동 분류