벡터함수의 미분과 적분

$\text{v}(t)=\langle 1-\sin t,1-\cos t\rangle ,$ $\text{speed}\,=\| \text{v}(t)\| =\sqrt{3-2(\sin t+\cos t)}$

$\sqrt{161}$

$\text{v}(t)=\langle -\sin t,2\cos t,0\rangle$

$\text{a}(t)=\langle -\frac{\sqrt{2}}{2},-\sqrt{2},0\rangle$

$\sqrt{3-2\sqrt{2}}$

거짓이다, 속력은 $|{\text{r}}^{'}(t)|$ 이다

${a}_{T}=\frac{{e}^{2t}}{\sqrt{1+{e}^{2t}}},$ ${a}_{N}=\frac{\sqrt{2{e}^{2t}+1}}{\sqrt{1+{e}^{2t}}}$

$\text{v}(t)=\langle 2t,\frac{1}{t},\pi \cos (\pi t)\rangle$ m/sec, $\text{a}(t)=\langle 2,-\frac{1}{{t}^{2}},-{\pi }^{2}\sin (\pi t)\rangle {\,\text{m/sec}}^{2},$ $\text{speed}=\sqrt{4{t}^{2}+\frac{1}{{t}^{2}}+{{\pi }^{2}\cos }^{2}(\pi t)}$ m/sec이고, $t=1$ 일 때 $\text{r}(1)=\langle 1,0,0\rangle$ m, $\text{v}(1)=\langle 2,1,-\pi \rangle$ m/sec, $\text{a}(1)=\langle 2,-1,0\rangle$ m/sec², $\text{speed}=\sqrt{5+{\pi }^{2}}$ m/sec이다.

다음과 같다.

$$\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = 5 \sqrt{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 5e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +5 e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}$$

따라서

$$|\mathbf{v}(t)| = |\mathbf{r}'(t)| = 5 \big|\sqrt{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big| = 5\sqrt{2+ e^{10t}+ e^{-10t}}$$

$2+ e^{10t}+ e^{-10t} = \big(e^{5t}+e^{-5t}\big)^2$ 이므로 답은 (d)이다.

(a) 정의에 의해,

$$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+ct\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)&= -a \sin t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\cos t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+c\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{v}(t)|&= \sqrt{a^2+c^2}\\ \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)&= -a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}$$

$(x,y)= a(\cos t,\sin t)$ 좌표는 반지름이 $a$ 이고 중심이 $(0,0)$ 인 원을 반시계 방향으로 돈다. $t$ 가 $2\pi$ 증가할 때마다 원을 한 바퀴 돈다. 동시에 $z$ 좌표는 일정한 비율로 증가한다. $(x,y)$ 좌표가 원을 한 바퀴 돌 때마다 $z$ 좌표는 $2 \pi c$ 만큼 증가한다. 경로는 반지름이 $a$ 이고 한 바퀴 돌 때마다 높이가 $2\pi c$ 만큼 올라가는 나선이다.

(b) 정의에 의해,

$$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= a \cos t\sin t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +a\sin^2 t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+a\cos t\,\hat{\mathbf{k}}\\ &= \frac{a}{2} \sin 2t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\frac{1-\cos 2t}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+a\cos t\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)&= a \cos 2t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +a\sin 2t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-a\sin t\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{v}(t)|&= a\sqrt{1+\sin^2t}\\ \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)&= -2a \sin 2t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +2a\cos 2t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-a\cos t\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$$

다음과 같이 놓자.

$$\begin{aligned} x(t)=\tfrac{a}{2} \sin 2t \qquad y(t)=a\tfrac{1-\cos 2t}{2} \qquad z(t)=a\cos t \end{aligned}$$

그러면

$$\begin{aligned} x(t)^2+\big[y(t)-\tfrac{a}{2}\big]^2&=\tfrac{a^2}{4} \sin^2 2t + \tfrac{a^2}{4} \cos^2 2t =\tfrac{a^2}{4} \end{aligned}$$

이므로 $(x,y)$ 좌표는 반지름이 $\frac{a}{2}$ 이고 중심이 $\big(0,\frac{a}{2}\big)$ 인 원을 반시계 방향으로 돈다. 동시에 $z$ 좌표는 절반의 빠르기로 $1$ 과 $-1$ 사이의 구간에서 진동한다. 사실 이 곡선에 대해서는 더 말할 수 있다.

$$\begin{aligned} x(t)^2+y(t)^2&=\tfrac{a^2}{4} \sin^2 2t + \tfrac{a^2}{4}\big(1-\cos 2t\big)^2 \\ &=\tfrac{a^2}{4} \sin^2 2t + \tfrac{a^2}{4} - \tfrac{a^2}{2}\cos 2t + \tfrac{a^2}{4} \cos^2 2t \\ &= \tfrac{a^2}{2} - \tfrac{a^2}{2} (1- 2\sin^2 t) \\ &= a^2\sin^2 t \\ x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2 &= a^2\sin^2 t + a^2\cos^2 t =a^2 \end{aligned}$$

따라서 이 곡선은 원기둥 $x^2+\big[y-\tfrac{a}{2}\big]^2=\tfrac{a^2}{4}$ 과 구 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 의 교선 위에 놓여 있다. ($x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2$ 의 값을 구해 볼 생각을 하지 못했더라도 걱정하지 않아도 된다.)

입자의 위치가 주어졌으므로 속도를 구할 수 있다. $$\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=(\cos t, -\sin t , 1)$$ 주어진 공식을 적용하면, $$\mathbf{L}(t)=\mathbf{r} \times \mathbf{v}=(\sin t , \cos t , t) \times (\cos t, -\sin t , 1).$$

• 풀이 1: 먼저 외적을 계산한 다음 미분하면 된다.

$$\begin{aligned} \mathbf{L}(t)& = (\cos t + t\sin t)\hat{\boldsymbol{\imath}} + (t\cos t - \sin t)\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{L}'(t)&=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -t\sin t\, \hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2(\sin^2 t + \cos^2 t)}=\sqrt{t^2}=|t| \end{aligned}$$

• 풀이 2: 곱의 미분법을 이용한다.

$$\begin{aligned} \mathbf{L}'(t)&=\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{v}(t) + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &=\underbrace{\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}'(t)}_{0} + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &= (\sin t ,\cos t,t)\times(-\sin t , -\cos t, 0)\\ &=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-t\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2\cos^2 t + t^2\sin t^2 }=|t| \end{aligned}$$

(a) $z=6u$, $y=\frac{z^2}{12}=3u^2$, $x=\frac{yz}{18}=u^3$ 이므로

$$\begin{aligned} \mathbf{r}(u)&=u^3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3u^2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6u\,\hat{\mathbf{k}}\\ \end{aligned}$$

(b)

$$\begin{aligned} \mathbf{r}'(u)&=3u^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6u\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}''(u)&=6u\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}u}(u)=|\mathbf{r}'(u)| &=\sqrt{9u^4+36u^2+36}=3\big(u^2+2\big)\\ \end{aligned}$$

$$\int_\mathcal{C} \ ds =\int_0^1 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}u}\ \mathrm{d}u =\int_0^1 3\big(u^2+2\big)\ \mathrm{d}u =\big[u^3+6u\big]_0^1 =7$$

(c) 시각 $t$ 에서 입자의 위치를 $\mathbf{R}(t)$ 라 하자. 그러면 $$\mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(u(t)\big)\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$$ 특히 입자가 시각 $t_1$ 에 $(1,3,6)$ 에 있으면 $u(t_1)=1$ 이고 $$6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+12\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}}=\mathbf{R}'(t_1)=\mathbf{r}'(1)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1) =\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1)$$ 이므로 $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1)=2$ 이다.

(d) 곱의 미분법과 합성함수의 미분법에 의해 $$\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(u(t)\big)\Big(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\Big)^2 +\mathbf{r}'\big(u(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}$$ 특히

$$\begin{aligned} 27\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+30\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}} &=\mathbf{R}''(t_1)=\mathbf{r}''(1)\Big(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}(t_1)\Big)^2 +\mathbf{r}'\big(1\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \\ &=\big(6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big)2^2+\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \end{aligned}$$

간단히 하면 $$3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}} =\big(3\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}\big)\frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1) \implies \frac{\mathrm{d^2}u}{\mathrm{d}{t}^2}(t_1)=1$$