빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

벡터함수의 미분과 적분

벡터함수를 미분해 접선벡터를 구하고, 성분별로 적분한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

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유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

31문제 · 1 / 2쪽

1.OpenStax 3권 · 3.2절 · 3번대학 수준우리말 번역

$\text{r}(t)={e}^{-t}\text{i}+\sin (3t)\text{j}+10\sqrt{t}\text{k}$ . 그래프의 개형이 여기에 나와 있습니다. 그래프의 주기적 성질이 달라지는 점에 주목하세요.

이 그림은 3차원 그래프이다. 상자 안에 곡선이 있다. 곡선은 상자의 아래쪽에서 시작하여 가운데 부분을 나선형으로 감싸며 위쪽을 향해 나아간다.

영어 원문 보기

$\text{r}(t)={e}^{-t}\text{i}+\sin (3t)\text{j}+10\sqrt{t}\text{k}.$ A sketch of the graph is shown here. Notice the varying periodic nature of the graph.

This figure is a 3 dimensional graph. It is a curve inside of a box. The curve starts at the bottom of the box and spirals around the middle, with upward orientation.

정답·풀이 보기

$\langle -{e}^{-t},3\cos (3t),\frac{5}{\sqrt{t}}\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\langle -{e}^{-t},3\cos (3t),\frac{5}{\sqrt{t}}\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 1번

# 벡터함수의 미분과 적분그래프·표 해석자동 분류

2.OpenStax 3권 · 3.2절 · 15번대학 수준우리말 번역

$\text{r}(t)=6\text{i}+\cos (3t)\text{j}+3\sin (4t)\text{k},$ $0\le t<2\pi$ . 이 곡선을 두 가지 방향에서 본 모습은 다음과 같다:

이 그림에는 두 개의 그래프가 있다. 첫 번째 그래프는 3차원 상자 안에 있다. 상자 가운데에 있는 그래프는 격자 모양이며, 스스로 교차한다. 두 번째 그래프는 첫 번째와 같은 곡선이지만, 상자의 위치를 달리하여 격자 모양의 곡선을 다른 각도에서 보여 준다.

영어 원문 보기

$\text{r}(t)=6\text{i}+\cos (3t)\text{j}+3\sin (4t)\text{k},$ $0\le t<2\pi$ . Two views of this curve are presented here:

This figure has two graphs. The first graph is inside a 3 dimensional box. It has a lattice-look to the graph in the middle of the box, crossing over itself. The second graph is the same as the first, with a different position of the box for a different perspective of the lattice-looking curve.

정답·풀이 보기

$\frac{1}{\sqrt{9{\sin }^{2}(3t)+144{\cos }^{2}(4t)}}\langle 0,-3\sin (3t),12\cos (4t)\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{\sqrt{9{\sin }^{2}(3t)+144{\cos }^{2}(4t)}}\langle 0,-3\sin (3t),12\cos (4t)\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 17번

# 벡터함수의 미분과 적분그래프·표 해석자동 분류

3.OpenStax 3권 · 3.2절 · 19번대학 수준우리말 번역

$\text{r}(t)=t\text{i}+{t}^{2}\text{j}-{t}^{4}\text{k}$ 이고 $\text{s}(t)=\sin (t)\text{i}+{e}^{t}\text{j}+\cos (t)\text{k}$ 라 하자. 다음은 이 함수의 그래프이다.

다음을 구하세요.

$\frac{d}{dt}[\text{r}({t}^{2})]$

영어 원문 보기

Let $\text{r}(t)=t\text{i}+{t}^{2}\text{j}-{t}^{4}\text{k}$ and $\text{s}(t)=\sin (t)\text{i}+{e}^{t}\text{j}+\cos (t)\text{k}.$ Here is the graph of the function:

Find the following.

$\frac{d}{dt}[\text{r}({t}^{2})]$

정답·풀이 보기

$\langle 2t,4{t}^{3},-8{t}^{7}\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\langle 2t,4{t}^{3},-8{t}^{7}\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 61번

# 벡터함수의 미분과 적분그래프·표 해석자동 분류

4.OpenStax 3권 · 3.2절 · 20번대학 수준우리말 번역

$\text{r}(t)=t\text{i}+{t}^{2}\text{j}-{t}^{4}\text{k}$ 이고 $\text{s}(t)=\sin (t)\text{i}+{e}^{t}\text{j}+\cos (t)\text{k}$ 라고 하자. 다음은 이 함수의 그래프이다:

다음을 구하세요.

$\frac{d}{dt}[{t}^{2}\cdot \text{s}(t)]$

영어 원문 보기

Let $\text{r}(t)=t\text{i}+{t}^{2}\text{j}-{t}^{4}\text{k}$ and $\text{s}(t)=\sin (t)\text{i}+{e}^{t}\text{j}+\cos (t)\text{k}.$ Here is the graph of the function:

Find the following.

$\frac{d}{dt}[{t}^{2}\cdot \text{s}(t)]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 19번

# 벡터함수의 미분과 적분그래프·표 해석자동 분류

5.OpenStax 3권 · 3.2절 · 21번대학 수준우리말 번역

$\text{r}(t)=t\text{i}+{t}^{2}\text{j}-{t}^{4}\text{k}$ 이고 $\text{s}(t)=\sin (t)\text{i}+{e}^{t}\text{j}+\cos (t)\text{k}$ 라 하자. 다음은 함수의 그래프이다:

다음을 구하세요.

$\frac{d}{dt}[\text{r}(t)\cdot \text{s}(t)]$

영어 원문 보기

Let $\text{r}(t)=t\text{i}+{t}^{2}\text{j}-{t}^{4}\text{k}$ and $\text{s}(t)=\sin (t)\text{i}+{e}^{t}\text{j}+\cos (t)\text{k}.$ Here is the graph of the function:

Find the following.

$\frac{d}{dt}[\text{r}(t)\cdot \text{s}(t)]$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\sin (t)+2t{e}^{t}-4{t}^{3}\cos (t)+t\cos (t)+{t}^{2}{e}^{t}+{t}^{4}\sin (t)$

원본 교재 풀이(영어)

$\sin (t)+2t{e}^{t}-4{t}^{3}\cos (t)+t\cos (t)+{t}^{2}{e}^{t}+{t}^{4}\sin (t)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 59번

# 벡터함수의 미분과 적분그래프·표 해석자동 분류

6.OpenStax 3권 · 3.2절 · 23번대학 수준우리말 번역

$\text{r}(t)=t\text{i}+{t}^{2}\text{j}-{t}^{4}\text{k}$ , $\text{s}(t)=\sin (t)\text{i}+{e}^{t}\text{j}+\cos (t)\text{k}$ 라 하자. 다음은 이 함수의 그래프이다.

다음을 구하세요.

$\text{r}'(t)\cdot \text{r}''(t)\,\text{단,}\,\text{r}(t)=-3{t}^{5}\text{i}+5t\text{j}+2{t}^{2}\text{k}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $\text{r}(t)=t\text{i}+{t}^{2}\text{j}-{t}^{4}\text{k}$ and $\text{s}(t)=\sin (t)\text{i}+{e}^{t}\text{j}+\cos (t)\text{k}.$ Here is the graph of the function:

Find the following.

Find $\text{r}'(t)\cdot \text{r}''(t)\,\text{for}\,\text{r}(t)=-3{t}^{5}\text{i}+5t\text{j}+2{t}^{2}\text{k}.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$900{t}^{7}+16t$

원본 교재 풀이(영어)

$900{t}^{7}+16t$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 33번

# 벡터함수의 미분과 적분그래프·표 해석자동 분류

7.OpenStax 3권 · 3.2절 · 25번대학 수준우리말 번역

어떤 입자의 위치 벡터는 $\text{r}(t)=5\sec (2t)\text{i}-4\tan (t)\text{j}+7{t}^{2}\text{k}$ 이다.

a. 위치 함수의 그래프를 그리고, 이 함수의 점근적 거동이 잘 드러나는 방향에서 본 그래프를 나타내세요. b. t 가 $\pi /4$ 에 한없이 가까워지지만 같지는 않을 때의 속도를 구하세요(존재한다면).

영어 원문 보기

The position vector of a particle is $\text{r}(t)=5\sec (2t)\text{i}-4\tan (t)\text{j}+7{t}^{2}\text{k}.$

a. Graph the position function and display a view of the graph that illustrates the asymptotic behavior of the function. b. Find the velocity as t approaches but is not equal to $\pi /4$ (if it exists).

정답·풀이 보기

a. 이 그림은 3차원 곡선의 그래프이다. 곡선에는 점근선이 있으며, 위에서 내려다보면 곡선이 시컨트 함수와 비슷한 모양이다. b. 정의되지 않거나 무한대이다

원본 교재 풀이(영어)

a. This figure is a graph of a curve in 3 dimensions. The curve has asymptotes and from the above view, the curve resembles the secant function. b. Undefined or infinite

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 31번

# 벡터함수의 미분과 적분그래프·표 해석자동 분류

8.OpenStax 3권 · 3.2절 · 29번대학 수준우리말 번역

입자가 반지름이 b 인 원형 경로 위를 함수 $\text{r}(t)=b\cos (\omega t)\text{i}+b\sin (\omega t)\text{j}$ 에 따라 움직인다. 여기서 $\omega$ 는 각속도 $d\theta /dt$ 이다.

$\text{u}(t)={t}^{2}\text{i}-2t\text{j}+\text{k}$ 일 때 $\frac{d}{dt}[\text{u}(t)\,\times \,{u}^{'}(t)]$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

A particle moves on a circular path of radius b according to the function $\text{r}(t)=b\cos (\omega t)\text{i}+b\sin (\omega t)\text{j},$ where $\omega$ is the angular velocity, $d\theta /dt.$

Evaluate $\frac{d}{dt}[\text{u}(t)\,\times \,{u}^{'}(t)]$ given $\text{u}(t)={t}^{2}\text{i}-2t\text{j}+\text{k}.$

정답·풀이 보기

$0\text{i}+2\text{j}+4t\text{k}$

원본 교재 풀이(영어)

$0\text{i}+2\text{j}+4t\text{k}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 39번

# 벡터함수의 미분과 적분그래프·표 해석자동 분류

9.OpenStax 3권 · 3.2절 · 31번대학 수준우리말 번역

입자가 반지름이 b 인 원형 경로 위를 함수 $\text{r}(t)=b\cos (\omega t)\text{i}+b\sin (\omega t)\text{j}$ 에 따라 움직인다. 여기서 $\omega$ 는 각속도 $d\theta /dt$ 이다.

${\int }_{0}^{3}\| t\text{i}+{t}^{2}\text{j}\| dt$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

A particle moves on a circular path of radius b according to the function $\text{r}(t)=b\cos (\omega t)\text{i}+b\sin (\omega t)\text{j},$ where $\omega$ is the angular velocity, $d\theta /dt.$

Evaluate ${\int }_{0}^{3}\| t\text{i}+{t}^{2}\text{j}\| dt.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{1}{3}({10}^{3/2}-1)$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{3}({10}^{3/2}-1)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 41번

# 벡터함수의 미분과 적분그래프·표 해석자동 분류

10.OpenStax 3권 · 3.2절 · 34번대학 수준우리말 번역

한 입자가 함수 $\text{r}(t)=b\cos (\omega t)\text{i}+b\sin (\omega t)\text{j}$ 에 따라 반지름이 b 인 원형 경로를 따라 움직인다. 여기서 $\omega$ 는 각속도 $d\theta /dt$ 이다.

$\text{r}(t)=t\text{i}+3t\text{j}+{t}^{2}\text{k}$ 이고 $\text{u}(t)=4t\text{i}+{t}^{2}\text{j}+{t}^{3}\text{k}$ 일 때, $\frac{d}{dt}(\text{r}(t)\,\times \,\text{u}(t))$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

A particle moves on a circular path of radius b according to the function $\text{r}(t)=b\cos (\omega t)\text{i}+b\sin (\omega t)\text{j},$ where $\omega$ is the angular velocity, $d\theta /dt.$

Given $\text{r}(t)=t\text{i}+3t\text{j}+{t}^{2}\text{k}$ and $\text{u}(t)=4t\text{i}+{t}^{2}\text{j}+{t}^{3}\text{k},$ find $\frac{d}{dt}(\text{r}(t)\,\times \,\text{u}(t)).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 29번

# 벡터함수의 미분과 적분그래프·표 해석자동 분류

11.OpenStax 3권 · 3.2절 · 36번대학 수준우리말 번역

한 입자가 함수 $\text{r}(t)=b\cos (\omega t)\text{i}+b\sin (\omega t)\text{j}$ 에 따라 반지름이 b 인 원형 경로를 따라 움직인다. 여기서 $\omega$ 는 각속도 $d\theta /dt$ 이다.

함수 $\text{r}(t)=\langle {e}^{t},{e}^{-t},0\rangle$ 에 대하여 속도 벡터를 구하세요.

영어 원문 보기

A particle moves on a circular path of radius b according to the function $\text{r}(t)=b\cos (\omega t)\text{i}+b\sin (\omega t)\text{j},$ where $\omega$ is the angular velocity, $d\theta /dt.$

Find the velocity vector for the function $\text{r}(t)=\langle {e}^{t},{e}^{-t},0\rangle .$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 27번

# 벡터함수의 미분과 적분그래프·표 해석자동 분류

12.OpenStax 3권 · 3.2절 · 38번대학 수준우리말 번역

벡터값 함수 $\text{r}(t)=\langle 6t,6t-{t}^{2}\rangle$ 가 나타내는 곡선을 설명하고 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Describe and sketch the curve represented by the vector-valued function $\text{r}(t)=\langle 6t,6t-{t}^{2}\rangle .$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.2절 · 1번

# 벡터함수의 미분과 적분그래프·표 해석자동 분류

13.OpenStax 3권 · 3.2절 · 40번대학 수준우리말 번역

어떤 입자의 위치 벡터가 $\text{r}(t)=t\text{i}+{t}^{2}\text{j}+{t}^{3}\text{k}$ 이다. 그래프는 다음과 같다.

임의의 시각에서의 속도 벡터를 구하세요.

영어 원문 보기

The position vector for a particle is $\text{r}(t)=t\text{i}+{t}^{2}\text{j}+{t}^{3}\text{k}.$ The graph is shown here:

Find the velocity vector at any time.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 57번

# 벡터함수의 미분과 적분그래프·표 해석자동 분류

14.OpenStax 3권 · 3.2절 · 42번대학 수준우리말 번역

한 입자의 위치 벡터가 $\text{r}(t)=t\text{i}+{t}^{2}\text{j}+{t}^{3}\text{k}$ 이다. 그래프는 다음과 같다.

시각 $t=2$ 초일 때의 가속도를 구하세요.

영어 원문 보기

The position vector for a particle is $\text{r}(t)=t\text{i}+{t}^{2}\text{j}+{t}^{3}\text{k}.$ The graph is shown here:

Find the acceleration at time $t=2$ sec.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 26번

# 벡터함수의 미분과 적분그래프·표 해석자동 분류

15.OpenStax 3권 · 3.2절 · 43번대학 수준우리말 번역

한 입자가 방정식 $\text{r}(t)=\cos (t)\text{i}+\sin (t)\text{j}+t\text{k}$ 인 나선 경로를 따라 움직인다. 그래프는 다음과 같다.

다음을 구하세요.

임의의 시각에서 입자의 속도

영어 원문 보기

A particle travels along the path of a helix with the equation $\text{r}(t)=\cos (t)\text{i}+\sin (t)\text{j}+t\text{k}.$ See the graph presented here:

Find the following:

Velocity of the particle at any time

정답·풀이 보기

$\text{v}(t)=\langle -\sin t,\cos t,1\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\text{v}(t)=\langle -\sin t,\cos t,1\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 25번

# 벡터함수의 미분과 적분그래프·표 해석자동 분류

16.OpenStax 3권 · 3.2절 · 44번대학 수준우리말 번역

한 입자가 방정식 $\text{r}(t)=\cos (t)\text{i}+\sin (t)\text{j}+t\text{k}$ 인 나선 경로를 따라 움직인다. 그래프는 다음과 같다.

다음을 구하세요.

임의의 시각에서 입자의 속력

영어 원문 보기

A particle travels along the path of a helix with the equation $\text{r}(t)=\cos (t)\text{i}+\sin (t)\text{j}+t\text{k}.$ See the graph presented here:

Find the following:

Speed of the particle at any time

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 25번

# 벡터함수의 미분과 적분그래프·표 해석자동 분류

17.OpenStax 3권 · 3.2절 · 45번대학 수준우리말 번역

한 입자가 방정식 $\text{r}(t)=\cos (t)\text{i}+\sin (t)\text{j}+t\text{k}$ 인 나선 경로를 따라 움직인다. 그래프는 다음과 같다.

다음을 구하세요.

임의의 시각에서 입자의 가속도

영어 원문 보기

A particle travels along the path of a helix with the equation $\text{r}(t)=\cos (t)\text{i}+\sin (t)\text{j}+t\text{k}.$ See the graph presented here:

Find the following:

Acceleration of the particle at any time

정답·풀이 보기

$\text{a}(t)=-\cos t\text{i}-\sin t\text{j}+0\text{j}$

원본 교재 풀이(영어)

$\text{a}(t)=-\cos t\text{i}-\sin t\text{j}+0\text{j}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 51번

# 벡터함수의 미분과 적분그래프·표 해석자동 분류

18.OpenStax 3권 · 3.2절 · 50번대학 수준우리말 번역

벡터값 함수 $\text{r}(t)=\langle \tan t,\sec t,0\rangle$ (그래프는 여기에 나와 있습니다)가 주어졌을 때, 다음을 구하세요.

속도

영어 원문 보기

Given the vector-valued function $\text{r}(t)=\langle \tan t,\sec t,0\rangle$ (graph is shown here), find the following:

Velocity

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3장 복습 · 10번

# 벡터함수의 미분과 적분그래프·표 해석자동 분류

19.OpenStax 3권 · 3.2절 · 51번대학 수준우리말 번역

벡터값 함수 $\text{r}(t)=\langle \tan t,\sec t,0\rangle$ (그래프는 여기에 나와 있습니다)가 주어졌을 때, 다음을 구하세요.

속력

영어 원문 보기

Given the vector-valued function $\text{r}(t)=\langle \tan t,\sec t,0\rangle$ (graph is shown here), find the following:

Speed

정답·풀이 보기

$\| \text{v}(t)\| =\sqrt{{\sec }^{4}t+{\sec }^{2}t{\tan }^{2}t}=\sqrt{{\sec }^{2}t({\sec }^{2}t+{\tan }^{2}t)}$

원본 교재 풀이(영어)

$\| \text{v}(t)\| =\sqrt{{\sec }^{4}t+{\sec }^{2}t{\tan }^{2}t}=\sqrt{{\sec }^{2}t({\sec }^{2}t+{\tan }^{2}t)}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 53번

# 벡터함수의 미분과 적분그래프·표 해석자동 분류

20.OpenStax 3권 · 3.2절 · 52번대학 수준우리말 번역

벡터 함수 $\text{r}(t)=\langle \tan t,\sec t,0\rangle$ (그래프는 여기에 나와 있다)가 주어질 때, 다음을 구하세요.

가속도

영어 원문 보기

Given the vector-valued function $\text{r}(t)=\langle \tan t,\sec t,0\rangle$ (graph is shown here), find the following:

Acceleration

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 7번

# 벡터함수의 미분과 적분그래프·표 해석자동 분류