공통수학2 · 집합과 명제 · 9강

명제와 조건

Name: 공통수학2 9강 명제와 조건
Uploaded: 2026-10-27T23:47:50.953Z
Duration: 4 min 56 s
Description: 명제의 참·거짓, 진리집합, 역과 대우

명제의 참·거짓, 진리집합, 역과 대우

4:56 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: Ted Sundstrom, Mathematical Reasoning: Writing and Proof, Version 3 (PreTeXt edition by Ian Curtis). Grand Valley State University Libraries. https://scholarworks.gvsu.edu/books/28 — 1.1절 Progress Check 1.5(b) (https://gvsuoer.github.io/sundstrom-textbook/S_1prop.html#prog_condition, 문자 n 을 x 로 바꿈) / 2.2절 연습문제 1(a) (https://gvsuoer.github.io/sundstrom-textbook/S_logequiv.html#exer_sec23-1). 문제를 우리말로 옮겼으며, 원문은 CC BY-NC-SA 3.0 Unported, 이 영상은 같은 조건의 이후 판인 CC BY-NC-SA 4.0 으로 공개합니다.

핵심 정리

참인지 거짓인지 분명하게 판별할 수 있는 문장이나 식을 명제라 합니다. 전체집합의 원소 가운데 조건 $p$ 를 참이 되게 하는 것의 집합을 $p$ 의 진리집합 $P$ 라 합니다.

진리집합이 $P$ , $Q$ 일 때 명제 $p\to q$ 가 참이면 $P\subset Q$ 이고, 거꾸로 $P\subset Q$ 이면 참입니다. 거짓임을 보이려면 반례 하나면 됩니다.

$p\to q$ 의 역은 $q\to p$ , 대우는 $\sim q\to\sim p$ 입니다. 명제와 그 대우는 참·거짓이 항상 같습니다(명제가 참이어도 역은 거짓일 수 있음).

연습문제

원문 · Sundstrom, Mathematical Reasoning: Writing and Proof (CC BY-NC-SA 3.0)

1.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 1.1절영어 원문

“If $n$ is a positive integer, then $(n^2-n+41)$ is a prime number.” (Remember that a prime number is a positive integer greater than 1 whose only positive factors are 1 and itself.) To explore whether or not this statement is true, try using (and recording your results) for $n=1$ , $n=2$ , $n=3$ , $n=4$ , $n=5$ , and $n=10$ . Then record the results for at least four other values of $n$ . Does this conditional statement appear to be true?

정답·풀이 보기 (영어 원문)

The number $\left( n^2 - n + 41 \right)$ will be a prime number for all examples of $n$ that are less than 41. However, when $n = 41$ , we get

$\begin{aligned}n^2 - n + 41 & = 41^2 - 41 + 41 \\ n^2 - n + 41 & = 41^2\end{aligned}$

So in the case where $n = 41$ , the hypothesis is true (41 is a positive integer) and the conclusion is false $\left( {41^2 \text{ is not prime } } \right)$ . Therefore, 41 is a counterexample that shows the conditional statement is false. There are other counterexamples (such as $n = 42$ , $n = 45$ , and $n = 50$ ), but only one counterexample is needed to prove that the statement is false.

한 번 더 — 비슷한 문제Sundstrom, Mathematical Reasoning · 2.1절 · 5a번영어 원문

Construct a truth table for each of the following statements:

$P \to Q$

다 풀었으면 정답 확인

| $P$ | $Q$ | $P \to Q$ | | --- | --- | --- | | T | T | T | | T | F | F | | F | T | T | | F | T | T |

이 문제로 이어서 풀기

# 명제와 조건계산자동 분류

2.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 1.1절 · 6c번영어 원문

Following is a statement of a theorem which can be proven using calculus or precalculus mathematics. For this theorem, $a$ , $b$ , and $c$ are real numbers.

Theorem If $f$ is a quadratic function of the form $f\left( x \right) = ax^2 + bx + c$ and $a \lt 0$ , then the function $f$ has a maximum value when $x = \dfrac{{ - b}}{{2a}}$ .

Using only this theorem, what can be concluded about the functions given by the following formulas?

$k\left( x \right) = 8x^2 - 5x - 7$

정답·풀이 보기 (영어 원문)

No conclusion can be made about this function from this theorem.

한 번 더 — 비슷한 문제Sundstrom, Mathematical Reasoning · 2.2절 · 7a번영어 원문

Use previously proven logical equivalencies to prove each of the following logical equivalencies about conditionals with conjunctions:

$\left[ {\left( {P \wedge Q} \right) \to R} \right] \equiv \left( {P \to R} \right) \vee \left( {Q \to R} \right)$

다 풀었으면 정답 확인

In this case, it may be better to work with the right side first.

$\begin{aligned}\left( {P \to R} \right) \vee \left( {Q \to R} \right) & \equiv \left( \neg P \vee R \right) \vee \left( \neg Q \vee R \right) \\ & \equiv \left( \neg P \vee \neg Q \right) \vee \left( R \vee R \right) \\ & \equiv \left( \neg P \vee \neg Q \right) \vee R \\ & \equiv \neg \left( P \wedge Q \right) \vee R \\ & \equiv \left( P \wedge Q \right) \to R\end{aligned}$

이 문제로 이어서 풀기

# 명제와 조건계산자동 분류

3.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 2.2절 · 1a번영어 원문

Write the converse and contrapositive of each of the following conditional statements.

If $a = 5$ , then $a^2 = 25$ .

정답·풀이 보기 (영어 원문)

Converse: If $a^2 = 25$ , then $a = 5$ . Contrapositive: If $a^2 \ne 25$ , then $a \ne 5$ .

한 번 더 — 비슷한 문제Sundstrom, Mathematical Reasoning · 2.2절 · 1b번영어 원문

Write the converse and contrapositive of each of the following conditional statements.

If it is not raining, then Laura is playing golf.

다 풀었으면 정답 확인

Converse: If Laura is playing golf, then it is not raining. Contrapositive: If Laura is not playing golf, then it is raining.

이 문제로 이어서 풀기

# 명제와 조건계산자동 분류

4.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 2.4절 · 1a번영어 원문

For each of the following, write the statement as an English sentence and then explain why the statement is false.

$\left(\exists x \in \mathbb{Q} \right) \left( x^2 - 3x - 7 = 0 \right)$ .

정답·풀이 보기 (영어 원문)

There exists a rational number $x$ such that $x^2 - 3x - 7 = 0$ . This statement is false since the solutions of the equation are $x = \dfrac{3 \pm \sqrt{37}}{2}$ , which are irrational numbers.

한 번 더 — 비슷한 문제Sundstrom, Mathematical Reasoning · 2.4절영어 원문

An integer $n$ is a multiple of 3 provided that there exists an integer $k$ such that $n = 3k$ .

Use the symbolic form of the definition of a multiple of 3 to complete the following sentence: “An integer $n$ is not a multiple of 3 provided that ….”

다 풀었으면 정답 확인

An integer $n$ is not a multiple of 3 provided that $\left( \forall k \in \mathbb{Z} \right) \left( n \ne 3k \right)$ .

이 문제로 이어서 풀기

# 명제와 조건계산자동 분류

「명제와 조건」 문제 더 풀기 (204문제)

이 강의에서 틀린 곳 알려 주기