빌드라인 스쿨

공통수학2 · 도형의 방정식 · 4강

원의 방정식

중심과 반지름으로 원의 방정식 세우기, 일반형을 표준형으로

4:49 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: OpenStax, Intermediate Algebra 2e, 11.1절 연습문제 25 · 11장 복습 연습문제 12 (Lynn Marecek, Andrea Honeycutt Mathis, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/intermediate-algebra-2e). 문제를 우리말로 옮겼으며, 이 영상도 같은 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

중심이 (a,b)(a,b), 반지름이 rr인 원: (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

일반형 x2+y2+Ax+By+C=0x^2+y^2+Ax+By+C=0은 완전제곱식으로 바꿔 중심과 반지름을 읽습니다. 예: x2+y2−4x+6y−3=0  ⟺  (x−2)2+(y+3)2=16x^2+y^2-4x+6y-3=0 \iff (x-2)^2+(y+3)^2=16 → 중심 (2,−3)(2,-3), 반지름 44

일반형이 원을 나타내려면 A2+B2−4C>0A^2+B^2-4C>0이어야 합니다. 중심이 (a,b)(a,b)인 원이 xx축에 접하면 반지름은 ∣b∣|b|, yy축에 접하면 ∣a∣|a|입니다.

연습문제

원문 · OpenStax Intermediate Algebra (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax Intermediate Algebra · 11.1절 · 25번우리말 풀이

중심이 (3,−2)(3,-2) 이고 점 (3,6)(3,6) 을 지나는 원의 방정식을 표준형으로 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, write the standard form of the equation of the circle with the given center with point on the circle.

Center (3,−2)(3,-2) with point (3,6)(3,6)

풀이 보기

중심이 (h,k)(h,k), 반지름이 rr 인 원은 (x−h)2+(y−k)2=r2(x-h)^2+(y-k)^2=r^2 이에요. 반지름은 중심에서 원 위의 점까지의 거리예요.

  1. 1

    반지름을 구해요. 두 점의 xx 좌표가 같으니 거리는 yy 좌표 차이인 ∣6−(−2)∣=8|6-(-2)|=8 이에요. r=8r=8 이에요.

  2. 2

    표준형에 넣어요. (x−3)2+(y−(−2))2=82(x-3)^2+(y-(-2))^2=8^2 이에요.

  3. 3

    정리해요. (x−3)2+(y+2)2=64(x-3)^2+(y+2)^2=64 예요.

답

(x−3)2+(y+2)2=64(x-3)^2+(y+2)^2=64

자주 하는 실수

우변에 rr 이 아니라 r2r^2 를 써야 하는데 88 이라고 적어요. 중심의 yy 좌표 −2-2 는 y+2y+2 로 부호가 바뀌어요.

원본 교재 풀이(영어)

(x−3)2+(y+2)2=64{(x-3)}^{2}+{(y+2)}^{2}=64

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 11.1절 · 6번우리말 번역

반지름이 2이고 중심이 (−1,3)(-1,3) 인 원의 방정식을 표준형으로 나타내세요.

다 풀었으면 정답 확인
원의 방정식의 표준형을 이용한다. (x−h)2+(y−k)2=r2\quad {(x-h)}^{2}+{(y-k)}^{2}={r}^{2}
값을 대입한다. (x−(−1))2+(y−3)2=22{(x-(-1))}^{2}+{(y-3)}^{2}={2}^{2}
이 그림에는 '중심:'이라는 글자 뒤에 괄호가 있고, 그 안에 두 줄의 글이 쓰여 있다. 위 줄에는 빨간색으로 'h, k'가, 아래 줄에는 검은색으로 '-1, 3'이 쓰여 있어 중심의 좌표를 나타낸다.
간단히 하면 (x+1)2+(y−3)2=4\quad {(x+1)}^{2}+{(y-3)}^{2}=4
이 문제로 이어서 풀기
# 원의 방정식계산기본
2.OpenStax Intermediate Algebra · 11.1절 · 9번우리말 번역

거리 공식 이용하기

다음 문제에서 두 점 사이의 거리를 구하세요. 답을 정확한 값으로 나타낸 다음, 필요하면 반올림하여 소수 첫째 자리까지 나타낸 근삿값을 구하세요.

(−3,−5)(-3,-5) 와 (0,1)(0,1)

영어 원문 보기

Use the Distance Formula

In the following exercises, find the distance between the points. Write the answer in exact form and then find the decimal approximation, rounded to the nearest tenth if needed.

(−3,−5)(-3,-5) and (0,1)(0,1)

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

d=35,d≈6.7d=3\sqrt{5},d\approx 6.7

원본 교재 풀이(영어)

d=35,d≈6.7d=3\sqrt{5},d\approx 6.7

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 11.1절 · 7번우리말 번역

거리 공식 이용하기

다음 문제에서 두 점 사이의 거리를 구하세요. 답을 정확한 값으로 나타낸 다음, 필요하면 반올림하여 소수 첫째 자리까지 나타낸 근삿값을 구하세요.

(1,−4)(1,-4) 와 (6,8)(6,8)

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

13

이 문제로 이어서 풀기
# 원의 방정식계산자동 분류
3.OpenStax Intermediate Algebra · 11.1절 · 23번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 반지름과 중심을 갖는 원의 방정식을 표준형으로 나타내세요.

반지름: 2.52.5, 중심: (1.5,−3.5)(1.5,-3.5)

영어 원문 보기

In the following exercises, write the standard form of the equation of the circle with the given radius and center

Radius: 2.5,2.5, center: (1.5,−3.5)(1.5,-3.5)

정답·풀이 보기

(x−1.5)2+(y+3.5)2=6.25{(x-1.5)}^{2}+{(y+3.5)}^{2}=6.25

원본 교재 풀이(영어)

(x−1.5)2+(y+3.5)2=6.25{(x-1.5)}^{2}+{(y+3.5)}^{2}=6.25

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 11.1절 · 21번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 반지름과 중심을 갖는 원의 방정식을 표준형으로 나타내세요.

반지름: 1, 중심: (3,5)(3,5)

다 풀었으면 정답 확인

(x−3)2+(y−5)2=1{(x-3)}^{2}+{(y-5)}^{2}=1

이 문제로 이어서 풀기
# 원의 방정식계산자동 분류
4.OpenStax Intermediate Algebra · 11.1절 · 39번우리말 번역

원의 그래프 그리기

다음 문제에서 ⓐ 중심과 반지름을 구한 다음 ⓑ 각 원의 그래프를 그리세요.

2x2+2y2=82{x}^{2}+2{y}^{2}=8

영어 원문 보기

Graph a Circle

In the following exercises, ⓐ find the center and radius, then ⓑ graph each circle.

2x2+2y2=82{x}^{2}+2{y}^{2}=8

정답·풀이 보기

ⓐ 원의 중심은 (0,0)(0,0) 이고 반지름은 2이다.

ⓑ

이 그래프는 중심이 (0, 0)이고 반지름이 2인 원을 나타낸다.

원본 교재 풀이(영어)

ⓐ The circle is centered at (0,0)(0,0) with a radius of 2.

ⓑ

This graph shows circle with center at (0, 0) and a radius of 2.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 11.1절 · 29번우리말 번역

원의 그래프 그리기

다음 연습문제에서, ⓐ 중심과 반지름을 구한 다음 ⓑ 각 원의 그래프를 그리세요.

(x+5)2+(y+3)2=1{(x+5)}^{2}+{(y+3)}^{2}=1

다 풀었으면 정답 확인

ⓐ 원의 중심은 (−5,−3)(-5,-3) 이고 반지름은 1이다.

ⓑ

이 그래프는 중심이 (-5, -3)이고 반지름이 1인 원을 보여 준다.

이 문제로 이어서 풀기
# 원의 방정식그래프·표 해석자동 분류

「원의 방정식」 문제 더 풀기 (88문제)

이 강의에서 틀린 곳 알려 주기