빌드라인 스쿨

공통수학2 · 함수와 그래프 · 14강

유리함수

유리식의 계산, 유리함수의 그래프와 점근선

4:54 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 5.6절 연습문제 17 · 연습문제 19 (Jay Abramson 외, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/algebra-and-trigonometry-2e). 문제를 우리말로 옮겼으며, 이 영상도 같은 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

유리식은 분수처럼 계산합니다 — 분모를 인수분해해 통분하고 약분합니다. 예: 1x−1−1x+1=2x2−1\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{2}{x^2-1}

y=kx−p+qy=\frac{k}{x-p}+q (k≠0)(k\neq0)의 그래프는 y=kxy=\frac{k}{x}의 그래프를 xx축 방향으로 pp, yy축 방향으로 qq만큼 평행이동한 것이고, 점근선은 x=px=p, y=qy=q입니다.

y=ax+bcx+dy=\frac{ax+b}{cx+d} (c≠0, ad−bc≠0)(c\neq0,\ ad-bc\neq0)는 y=kx−p+qy=\frac{k}{x-p}+q 꼴로 바꿉니다. 예: y=2x+1x−1=3x−1+2y=\frac{2x+1}{x-1}=\frac{3}{x-1}+2 → 점근선 x=1x=1, y=2y=2

연습문제

원문 · OpenStax Algebra and Trigonometry · OpenStax Elementary Algebra · OpenStax Intermediate Algebra · OpenStax Precalculus (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax Algebra and Trigonometry · 5.6절 · 17번우리말 풀이

함수 f(x)=x+5x2−25f(x)=\dfrac{x+5}{x^{2}-25} 의 정의역, 수직점근선, 수평점근선을 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, find the domain, vertical asymptotes, and horizontal asymptotes of the functions.

f(x)=x+5x2−25f(x)=\frac{x+5}{{x}^{2}-25}

풀이 보기

분모가 00 이 되는 값은 정의역에서 빼요. 분자와 분모에 공통인수가 있으면 약분해서 구멍과 수직점근선을 구별해요.

  1. 1

    정의역을 구해요. 분모 x2−25=(x−5)(x+5)=0x^2-25=(x-5)(x+5)=0 에서 x=5, −5x=5,\ -5 이므로 정의역은 x≠5, −5x\ne 5,\ -5 인 모든 실수예요.

  2. 2

    약분해서 모양을 봐요. f(x)=x+5(x−5)(x+5)=1x−5f(x)=\dfrac{x+5}{(x-5)(x+5)}=\dfrac{1}{x-5} (단, x≠−5x\ne -5) 예요.

  3. 3

    수직점근선을 찾아요. 약분하고도 분모에 남은 x−5x-5 때문에 x=5x=5 가 수직점근선이에요. x=−5x=-5 는 약분되어 사라지므로 점근선이 아니라 그래프에 구멍이 생기는 곳이에요.

  4. 4

    수평점근선을 찾아요. 분자의 차수(11)가 분모의 차수(22)보다 작으니 x→±∞x\to\pm\infty 일 때 f(x)→0f(x)\to 0 이라서 y=0y=0 이에요.

답

정의역: x≠5, −5x\ne 5,\,-5인 모든 실수 / 수직점근선: x=5x=5 / 수평점근선: y=0y=0

자주 하는 실수

분모가 00 인 x=−5x=-5 도 수직점근선이라고 쓰는 실수가 많아요. 분자에도 x+5x+5 가 있어 약분되는 값은 구멍이에요.

원본 교재 풀이(영어)

V.A. at x=5;x=5; H.A. at y=0;y=0; Domain is all reals x≠5,−5x\ne 5,-5

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Elementary Algebra · 8.1절 · 9번우리말 번역

유리식의 값 구하기

다음 문제에서 주어진 값에 대하여 유리식의 값을 구하세요.

y2+5y+6y2−1\frac{{y}^{2}+5y+6}{{y}^{2}-1}

ⓐ y=0y=0 ⓑ y=2y=2 ⓒ y=−2y=-2

답 쓰고 채점
ⓐ
ⓑ
ⓒ
다 풀었으면 정답 확인

ⓐ −6-6 ⓑ 203\frac{20}{3} ⓒ 00

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# 유리함수개념 확인도전
2.OpenStax Elementary Algebra · 8.6절 · 11번우리말 번역

유리방정식 풀기

다음 문제에서 방정식을 푸세요.

1+9p=−20p21+\frac{9}{p}=\frac{-20}{{p}^{2}}

영어 원문 보기

Solve Rational Equations

In the following exercises, solve.

1+9p=−20p21+\frac{9}{p}=\frac{-20}{{p}^{2}}

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

−5,−4-5,-4

원본 교재 풀이(영어)

−5,−4-5,-4

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Elementary Algebra · 8.6절 · 59번우리말 번역

집 페인트칠하기 알랭은 집 한 채를 칠하는 데 4일이 걸립니다. 스피로가 같은 집을 칠하면 7일이 걸립니다. 방정식 14+17=1t\frac{1}{4}+\frac{1}{7}=\frac{1}{t} 을 t 에 대해 풀어, 두 사람이 함께 일할 때 집을 칠하는 데 걸리는 날수를 구하세요.

답 쓰고 채점
일
다 풀었으면 정답 확인

26112\frac{6}{11}일

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# 유리함수계산자동 분류
3.OpenStax Intermediate Algebra · 7.4절 · 53번우리말 번역

특정 변수에 대해 유리방정식 풀기

다음 연습문제에서 푸세요.

3x−5y=14\frac{3}{x}-\frac{5}{y}=\frac{1}{4} 을 yy 에 대해 푸세요.

영어 원문 보기

Solve a Rational Equation for a Specific Variable

In the following exercises, solve.

3x−5y=14\frac{3}{x}-\frac{5}{y}=\frac{1}{4} for y.y.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

y=20x12−xy=\frac{20x}{12-x}

원본 교재 풀이(영어)

y=20x12−xy=\frac{20x}{12-x}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Elementary Algebra · 8.8절 · 3번우리말 번역

해밀턴은 강변 길을 따라 집에서 바다까지 12마일을 자전거로 내리막길로 달린 다음, 집으로 돌아오기 위해 오르막길로 달렸습니다. 오르막길 속력은 내리막길 속력보다 시속 8마일 느렸습니다. 집에 오는 데 걸린 시간은 바다까지 가는 데 걸린 시간보다 2시간 더 길었습니다. 해밀턴의 내리막길 속력을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

이것은 등속 운동 상황이다. 그림을 그려 보면 상황을 파악하는 데 도움이 된다.

위 그림에는 서로 반대 방향을 가리키는 2개의 대각선 평행선이 있다. 위쪽 선은 오른쪽 아래를 향하며, 그 아래에 “12마일”이라고 적혀 있다. 아래쪽 선은 왼쪽 위를 향하며, 그 아래에 “시속 8마일 느림, 2시간 더 걸림”이라고 적혀 있다.

정보를 정리하기 위해 표를 채운다.
구하는 것은 해밀턴의 내리막길 속력이다. r=r= 해밀턴의 내리막길 속력이라 하자.
오르막길 속력은 시속 8마일 느리다. 속력을 표에 적는다. r−8=r-8= 해밀턴의 오르막길 속력
두 방향의 거리는 12마일로 같다. D=r⋅tD=r\cdot t 이므로 t 에 대해 풀면 t=Drt=\frac{D}{r} 이다. 각 행에서 거리를 속력으로 나누어 시간 칸에 식을 적는다. 표는 내리막길과 오르막길 이동의 속력, 시간, 거리를 나타낸다. 내리막길 속력은 'r', 오르막길 속력은 'r-8'이다. 거리는 모두 12이고, 시간은 각각 '12/r'과 '12/(r-8)'이며, 속력 * 시간 = 거리를 따른다.
시간에 대한 문장을 쓴다. 그는 내리막길보다 오르막길에서 2시간 더 걸렸다. 오르막길 시간은 내리막길 시간보다 2 더 크다.
문장을 방정식으로 나타내고 푼다. 12r−8=12r+2r(r−8)(12r−8)=r(r−8)(12r+2)12r=12(r−8)+2r(r−8)12r=12r−96+2r2−16r0=2r2−16r−960=2(r2−8r−48)0=2(r−12)(r+4)r−12=0r+4=0r=12r=−4\begin{array}{ccc}\frac{12}{r-8} & = & \frac{12}{r}+2 \\ r(r-8)\left(\frac{12}{r-8}\right) & = & r(r-8)\left(\frac{12}{r}+2\right) \\ 12r & = & 12(r-8)+2r(r-8) \\ 12r & = & 12r-96+2{r}^{2}-16r \\ 0 & = & 2{r}^{2}-16r-96 \\ 0 & = & 2({r}^{2}-8r-48) \\ 0 & = & 2(r-12)(r+4) \\ r-12 & = & 0\quad r+4=0 \\ r & = & 12\quad r=-4\end{array}
확인한다. 시속 12마일은 자전거로 내리막길을 달리는 속력으로 적당한가? 예.
내리막길 12 mph12 마일12 mph=1 시간\quad 12\,\text{mph}\quad \frac{12\,\text{마일}}{12\,\text{mph}}=1\,\text{시간}
오르막길 12−8=4 mph12 마일4 mph=3 시간\quad 12-8=4\,\text{mph}\quad \frac{12\,\text{마일}}{4\,\text{mph}}=3\,\text{시간}
오르막길 시간은 내리막길 시간보다 2시간 더 길다. 해밀턴의 내리막길 속력은 시속 12마일이다.
이 문제로 이어서 풀기
# 유리함수계산자동 분류
4.OpenStax Precalculus · 3.7절 · 77번우리말 번역

다음 문제에서 제거 가능한 불연속을 찾으세요.

f(x)=x2+x−6x−2f(x)=\frac{{x}^{2}+x-6}{x-2}

영어 원문 보기

For the following exercises, identify the removable discontinuity.

f(x)=x2+x−6x−2f(x)=\frac{{x}^{2}+x-6}{x-2}

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

(2,5)(2,5)

원본 교재 풀이(영어)

(2,5)(2,5)

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Elementary Algebra · 8.1절 · 13번우리말 번역

유리식의 값 구하기

다음 문제에서 주어진 값에 대하여 유리식의 값을 구하세요.

x2+3xy+2y22x3y\frac{{x}^{2}+3xy+2{y}^{2}}{2{x}^{3}y}

  • ⓐ x=1,y=−1x=1,y=-1
  • ⓑ x=2,y=1x=2,y=1
  • ⓒ x=−1,y=−2x=-1,y=-2
답 쓰고 채점
ⓐ
ⓑ
ⓒ
다 풀었으면 정답 확인

ⓐ 00 ⓑ 34\frac{3}{4} ⓒ 154\frac{15}{4}

이 문제로 이어서 풀기
# 유리함수계산자동 분류
OpenStax Precalculus 2e CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

「유리함수」 문제 더 풀기 (1,481문제)

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