공통수학2 · 집합과 명제 · 11강

명제의 증명과 절대부등식

Name: 공통수학2 11강 명제의 증명과 절대부등식
Uploaded: 2026-10-27T23:47:51.120Z
Duration: 4 min 34 s
Description: 대우·귀류법을 이용한 증명, 산술평균과 기하평균

대우·귀류법을 이용한 증명, 산술평균과 기하평균

4:34 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: Ted Sundstrom, Mathematical Reasoning: Writing and Proof, Version 3 (PreTeXt edition by Ian Curtis). Grand Valley State University Libraries. https://scholarworks.gvsu.edu/books/28 — 3.3절 연습문제 6(b) (https://gvsuoer.github.io/sundstrom-textbook/S_contradiction.html#exer_sec33-4, 원본 풀이의 x² = a²/b² 는 x = a²/b² 의 오타로 보고 고쳐 씀) / 3.2절 연습문제 3(a)·(b) (https://gvsuoer.github.io/sundstrom-textbook/S_moremethods.html). 문제를 우리말로 옮겼으며, 원문은 CC BY-NC-SA 3.0 Unported, 이 영상은 같은 조건의 이후 판인 CC BY-NC-SA 4.0 으로 공개합니다.

핵심 정리

대우를 이용한 증명: $p\to q$ 대신 참·거짓이 같은 대우 $\sim q\to\sim p$ 를 증명합니다. 귀류법: 결론을 부정하면 모순이 생긴다는 것을 보입니다(예: $\sqrt{2}$ 는 무리수이다).

산술평균과 기하평균의 관계: $a>0$ , $b>0$ 일 때 $\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$ (등호는 $a=b$ 일 때 성립)

활용: $x>0$ 일 때 $x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2$ 이므로 최솟값은 $2$ ( $x=1$ 일 때)

연습문제

원문 · Sundstrom, Mathematical Reasoning: Writing and Proof (CC BY-NC-SA 3.0)

1.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.1절 · 2d번영어 원문

For each of the following, use a counterexample to prove the statement is false.

For each integer $a$ , if 4 divides $\left( a^2 - 1 \right)$ , then 4 divides $(a - 1)$ .

정답·풀이 보기 (영어 원문)

The integer $a = 3$ is a counterexample since $a^2 - 1 = 8$ and $a - 1 = 2$ . Since 4 divides 8 and 4 does not divide 2, this is an example where the hypothesis of the conditional statement is true and the conclusion is false.

한 번 더 — 비슷한 문제Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.1절영어 원문

Construct a know-show table for the following proposition: For all integers $a$ , $b$ , and $c$ with $a \ne 0$ , if $a$ divides $b$ and $a$ divides $c$ , then $a$ divides $(b + c)$ .

다 풀었으면 정답 확인

Conjecture: For all integers $a$ , $b$ , and $c$ with $a \ne 0$ , if $a$ divides $b$ and $a$ divides $c$ , then $a$ divides $b + c$ .

A Know-show table for a proof of the conjecture in Part (3).

| Step | Know | Reason | | --- | --- | --- | | $P$ | $a \mid b$ and $a \mid c$ | Hypothesis | | $P1$ | $\left( {\exists s \in \mathbb{Z}} \right) \left( {b = a \cdot s} \right)$ $\left( {\exists t \in \mathbb{Z}} \right)\left( {c = a \cdot t} \right)$ | Definition of “divides” | | $P2$ | $b + c = as + at$ | Substituting for $b$ and $c$ | | $P3$ | $b + c = a\left( {s + t} \right)$ | Distributive property | | $Q1$ | $s + t$ is an integer | $\mathbb{Z}$ is closed under addition | | $Q$ | $\left. {a } \right\| \left( {b + c} \right)$ | Definition of “divides” | | Step | Show | Reason |

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# 명제의 증명과 절대부등식증명·논술자동 분류

2.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.2절 · 3a번영어 원문

Complete the following.

Write the contrapositive of the following statement: For all positive real numbers $a$ and $b$ , if $\sqrt {ab} \ne \dfrac{{a + b}}{2}$ , then $a \ne b$ .

정답·풀이 보기 (영어 원문)

The contrapositive is: For all positive real numbers $a$ and $b$ , if $a = b$ , then $\sqrt{ab} = \dfrac{a + b}{2}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.2절영어 원문

In English, write the contrapositive of, “For all real numbers $a$ and $b$ , if $a \ne 0$ and $b \ne 0$ , then $ab \ne 0$ .”

다 풀었으면 정답 확인

For all real numbers $a$ and $b$ , if $ab = 0$ , then $a = 0\text{ or } b = 0$ .

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# 명제의 증명과 절대부등식계산자동 분류

3.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 2b번영어 원문

Are the following statements true or false? Justify each conclusion.

For all integers $a$ and $b$ , if $a$ is even and $b$ is odd, then $6$ does not divide $\left( a^2 + b^2 \right)$ .

정답·풀이 보기 (영어 원문)

This statement is true. Use a proof by contradiction. So assume that there exist integers $a$ and $b$ such that $a$ is even, $b$ is odd, and 6 divides $a^2 + b^2$ . So there exist integers $m$ and $n$ such that

$a = 2m \qquad \text{ and } \qquad a^2 + b^2 = 6n$

. Substitute $a = 2m$ into the second equation and use algebra to rewrite in the form $b^2 = 2(3n - 2m^2)$ . This means that $b^2$ is even and hence, that $b$ is even. This is a contradiction.

한 번 더 — 비슷한 문제Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 2d번영어 원문

Are the following statements true or false? Justify each conclusion.

For all integers $a$ and $b$ , if $a$ is odd and $b$ is odd, then $4$ divides $\left( a^2 + 3b^2 \right)$ .

다 풀었으면 정답 확인

This statement is true. Use a direct proof. Let $a$ and $b$ be integers and assume they are odd. So there exist integers $m$ and $n$ such that

$a = 2m + 1 \qquad \text{ and } \qquad b = 2n + 1$

. We then see that

$\begin{aligned}a^2 + 3b^2 & = 4m^2 + 4m + 1 + 12n^2 + 12n + 3 \\ & = 4\left( m^2 + m + 3n^2 + 3n + 1 \right)\end{aligned}$

. This shows that 4 divides $a^2 + 3b^2$ .

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# 명제의 증명과 절대부등식개념 확인자동 분류

4.Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 6b번영어 원문

Are the following statements true or false? Justify each conclusion.

For each positive real number $x$ , if $x$ is irrational, then $\sqrt x$ is irrational.

정답·풀이 보기 (영어 원문)

This statement is true since the contrapositive is true. The contrapositive is:

For any real number

, if

\sqrt{x}

is rational, then

is rational.

If there exist integers $a$ and $b$ with $b \ne 0$ such that $\sqrt{x} = \dfrac{a}{b}$ , then $x^2 = \dfrac{a^2}{b^2}$ and hence, $x^2$ is rational.

한 번 더 — 비슷한 문제Sundstrom, Mathematical Reasoning · 3.3절 · 3a번영어 원문

Consider the following statement:

For each positive real number

r

, if

r^2 = 18

, then

r

is irrational.

If you were setting up a proof by contradiction for this statement, what would you assume? Carefully write down all conditions that you would assume.

다 풀었으면 정답 확인

We would assume that there exists a positive real number $r$ such that $r^2 = 18$ and $r$ is a rational number.

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# 명제의 증명과 절대부등식개념 확인자동 분류

「명제의 증명과 절대부등식」 문제 더 풀기 (89문제)

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