공통수학2 · 함수와 그래프 · 13강

합성함수와 역함수

Name: 공통수학2 13강 합성함수와 역함수
Uploaded: 2026-10-27T23:47:51.295Z
Duration: 4 min 49 s
Description: 합성함수, 역함수 구하기와 그래프의 대칭

합성함수, 역함수 구하기와 그래프의 대칭

4:49 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: OpenStax, Intermediate Algebra 2e, 10.1절 연습문제 11 · 연습문제 45 (Lynn Marecek, Andrea Honeycutt Mathis, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/intermediate-algebra-2e). 문제를 우리말로 옮겼으며, 이 영상도 같은 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

$f:X\to Y$ , $g:Y\to Z$ 일 때 합성함수 $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ . 일반적으로 $g\circ f\neq f\circ g$ 이고, 결합법칙 $h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ 는 성립합니다.

$f$ 가 일대일대응일 때만 역함수 $f^{-1}$ 가 있고 $y=f(x)\iff x=f^{-1}(y)$ 입니다. $y=f(x)$ 를 $x$ 에 대해 푼 뒤 $x$ 와 $y$ 를 바꿉니다. 예: $y=2x-3$ 의 역함수는 $y=\frac{x+3}{2}$

$(f^{-1}\circ f)(x)=x$ , $(f\circ f^{-1})(y)=y$ . $y=f(x)$ 와 $y=f^{-1}(x)$ 의 그래프는 직선 $y=x$ 에 대하여 대칭입니다.

연습문제

원문 · OpenStax Intermediate Algebra · OpenStax Algebra and Trigonometry · OpenStax Precalculus (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 11번우리말 풀이

두 함수 $f(x)=2x^3$ , $g(x)=3x^2+2$ 에 대하여 ⓐ $(f\circ g)(-1)$ ⓑ $(g\circ f)(1)$ ⓒ $(g\circ g)(1)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, find the values described.

For functions $f(x)=2{x}^{3}$ and $g(x)=3{x}^{2}+2,$ find ⓐ $(f\circ g)(-1)$ ⓑ $(g\circ f)(1)$ ⓒ $(g\circ g)(1)$

답 쓰고 채점

ⓐ

ⓑ

ⓒ

풀이 보기

$(f\circ g)(x)=f(g(x))$ 는 안쪽 함수의 값을 먼저 구한 뒤 바깥 함수에 넣어요.

1
ⓐ $g(-1)=3\cdot1+2=5$ 이고 $f(5)=2\cdot125=250$ 이에요.
2
ⓑ $f(1)=2\cdot1=2$ 이고 $g(2)=3\cdot4+2=14$ 예요.
3
ⓒ $g(1)=3+2=5$ 이고 $g(5)=3\cdot25+2=77$ 이에요.
4
순서를 기억해요. ⓐ와 ⓑ는 같은 두 함수를 쓰지만 순서가 바뀌면 값이 $250$ 과 $14$ 로 달라요.

답

ⓐ $250$ ⓑ $14$ ⓒ $77$

자주 하는 실수

$(f\circ g)(x)$ 를 $g$ 에 먼저 넣지 않고 $f$ 에 먼저 넣는 실수가 많아요. 안쪽(오른쪽)에 있는 함수부터 계산해요.

원본 교재 풀이(영어)

ⓐ 250 ⓑ 14 ⓒ 77

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 1번우리말 번역

함수 $f(x)=4x-5$ 와 $g(x)=2x+3$ 에 대하여 ⓐ $(f\circ g)(x),$ ⓑ $(g\circ f)(x),$ ⓒ $(f\cdot g)(x)$ 를 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

ⓐ


$(f\circ g)(x)$ 의 정의를 이용한다.


분배법칙을 적용한다.
간단히 한다.

ⓑ


$(f\circ g)(x)$ 의 정의를 이용한다.


분배법칙을 적용한다.
간단히 한다.

ⓐ와 ⓑ의 결과가 서로 다름에 주목한다.

$\begin{array}{cccccc}\text{정의를 이용한다:}\,(f\cdot g)(x). & & & & & (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x) \\ \text{대입한다:}\,f(x)=4x-5\,\text{그리고}\,g(x)=2x+3. & & & & & (f\cdot g)(x)=(4x-5)\cdot (2x+3) \\ \text{곱한다.} & & & & & (f\cdot g)(x)=8{x}^{2}+2x-15\end{array}$

이 문제로 이어서 풀기

# 합성함수와 역함수계산보통

2.OpenStax Algebra and Trigonometry · 3.4절 · 77번우리말 풀이

$f(x)=2x^{2}+1,\ g(x)=3x+5$ 일 때, 합성함수 $f(g(x))$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, use the functions $f(x)=2{x}^{2}+1$ and $g(x)=3x+5$ to evaluate or find the composite function as indicated.

$f(g(x))$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$f(g(x))$ 는 $f$ 의 $x$ 자리에 $g(x)$ 전체를 넣는 거예요.

1
안쪽 함수를 대입해요. $f(g(x))=2\,(g(x))^{2}+1=2(3x+5)^{2}+1$
2
제곱을 전개해요. $(3x+5)^{2}=9x^{2}+30x+25$ 예요.
3
2배 하고 1을 더해요. $2(9x^2+30x+25)+1=18x^2+60x+50+1=18x^2+60x+51$

답

$f(g(x))=18x^{2}+60x+51$

자주 하는 실수

$(3x+5)^2$ 를 $9x^2+25$ 로 쓰면 가운데 항 $30x$ 가 빠져요. 또 순서를 바꿔 $g(f(x))$ 를 구하면 $6x^2+8$ 이 되어 완전히 달라요.

원본 교재 풀이(영어)

$18{x}^{2}+60x+51$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 11번

두 함수 $f(x)=2x^3$ , $g(x)=3x^2+2$ 에 대하여 ⓐ $(f\circ g)(-1)$ ⓑ $(g\circ f)(1)$ ⓒ $(g\circ g)(1)$ 의 값을 구하세요.

답 쓰고 채점

ⓐ

ⓑ

ⓒ

다 풀었으면 정답 확인

ⓐ $250$ ⓑ $14$ ⓒ $77$

자세한 풀이 보고 이어서 풀기

# 합성함수와 역함수계산보통

3.OpenStax Algebra and Trigonometry · 3.4절 · 91번우리말 번역

함수 $A(d)$ 는 몸속에 진통제가 $d$ 밀리그램 있는 환자가 느끼는 통증 정도를 0에서 10까지의 척도로 나타냅니다. $t$ 분 후 환자의 몸속에 있는 약물의 양(밀리그램)은 $m(t)$ 로 모델링됩니다. 환자의 통증 정도가 4가 되는 때를 구하려면 다음 중 어느 것을 해야 하나요?

ⓐ $A(m(4))$ 의 값을 구하세요.
ⓑ $m(A(4))$ 의 값을 구하세요.
ⓒ $A(m(t))=4$ 를 푸세요.
ⓓ $m(A(d))=4$ 를 푸세요.

영어 원문 보기

The function $A(d)$ gives the pain level on a scale of 0 to 10 experienced by a patient with $d$ milligrams of a pain-reducing drug in her system. The milligrams of the drug in the patient’s system after $t$ minutes is modeled by $m(t).$ Which of the following would you do in order to determine when the patient will be at a pain level of 4?