미분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 3.1절 · 1번우리말 풀이

다음 문제에서는 $Q=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 를 써서 각 함수 $y=f(x)$ 의 $x_1$ 과 $x_2$ 사이 할선의 기울기를 구하세요.

$f(x)=4x+7;\ x_1=2,\ x_2=5$

영어 원문 보기

For the following exercises, use $Q=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ to find the slope of the secant line between the values ${x}_{1}$ and ${x}_{2}$ for each function $y=f(x).$

$f(x)=4x+7;{x}_{1}=2,{x}_{2}=5$

답 쓰고 채점

풀이 보기

할선의 기울기는 두 점 사이의 평균변화율, 즉 $\dfrac{y\text{의 변화량}}{x\text{의 변화량}}$ 이에요.

1
두 점의 $y$ 값을 구해요. $f(2)=4\cdot2+7=15$ , $f(5)=4\cdot5+7=27$ 이에요.
2
기울기 공식에 넣어요.

$\frac{f(5)-f(2)}{5-2}=\frac{27-15}{3}=\frac{12}{3}=4$
3
확인해요. 일차함수의 그래프는 직선이라 어느 두 점을 잡아도 기울기가 같아요. 계수 $4$ 와 같은 값이 나온 것이 맞아요.

답

$4$

자주 하는 실수

분자와 분모를 빼는 순서를 서로 다르게 해서 부호가 틀려요.

원본 교재 풀이(영어)

$4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 5번

# 평균변화율과 미분계수계산기본

2.OpenStax 1권 · 3.1절 · 5번우리말 풀이

다음 문제에서 $Q=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 를 이용해, 각 함수 $y=f(x)$ 에서 $x_1$ 과 $x_2$ 사이의 할선의 기울기를 구하세요.

$f(x)=\frac{4}{3x-1};\ x_1=1,\ x_2=3$

영어 원문 보기

For the following exercises, use $Q=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ to find the slope of the secant line between the values ${x}_{1}$ and ${x}_{2}$ for each function $y=f(x).$

$f(x)=\frac{4}{3x-1};{x}_{1}=1,{x}_{2}=3$

답 쓰고 채점

풀이 보기

두 점을 지나는 할선의 기울기는 두 점의 $y$ 좌표 차를 $x$ 좌표 차로 나눈 평균변화율이에요.

1
두 점의 함숫값을 구해요. $f(1)=\dfrac{4}{3-1}=2$ , $f(3)=\dfrac{4}{9-1}=\dfrac{1}{2}$ 예요. 따라서 두 점은 $(1,2)$ , $\left(3,\tfrac12\right)$ 이에요.
2
기울기 공식에 넣어요. $Q=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{\frac12-2}{2}=\frac{-\frac32}{2}=-\frac34$

답

$-\dfrac{3}{4}$

자주 하는 실수

분모 $3x-1$ 에 $x$ 를 넣을 때 $3\cdot 3-1=8$ 을 $3\cdot 3-1=6$ 처럼 계산 실수하는 경우가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{3}{4}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 37번

# 평균변화율과 미분계수계산기본

3.OpenStax 1권 · 3.2절 · 36번우리말 풀이

다음 문제에서 계산기로 $f(x)$ 의 그래프를 그리세요. 도함수 $f'(x)$ 를 구한 뒤 계산기로 $f'(x)$ 의 그래프도 그리세요.

[계산기 사용] $f(x)=x^3+1$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph $f(x).$ Determine the function ${f}^{'}(x),$ then use a calculator to graph ${f}^{'}(x).$

[T] $f(x)={x}^{3}+1$

풀이 보기

$x^n$ 의 도함수는 $nx^{n-1}$ 이고, 상수의 도함수는 0이에요.

1
도함수를 구해요. $x^3$ 은 $3x^2$ 으로 미분되고, 상수 $1$ 은 미분하면 $0$ 이에요. 따라서 $f'(x)=3x^2+0=3x^2$
2
$f$ 의 그래프를 생각해요. $y=x^3+1$ 은 $y=x^3$ 의 그래프를 위로 1만큼 평행이동한 곡선이에요. 위로 옮겨도 기울기는 변하지 않으므로 $f'$ 가 $x^3$ 의 도함수와 같은 것과 맞아요.
3
$f'$ 의 그래프를 생각해요. $y=3x^2$ 은 꼭짓점이 원점인 아래로 볼록한 포물선이에요. $y=x^2$ 보다 3배 가파르게 올라가요. 또 $f'(0)=0$ 이어서 $f$ 는 $x=0$ 에서 접선이 수평이고(그림에서 평평하게 눌린 부분), $f'\ge 0$ 이므로 $f$ 는 늘 증가해요. 주어진 그림에서도 점선(포물선)이 $f'$ 이고 실선이 $f$ 예요.

답

$f'(x)=3x^2$ (그래프: 원점을 꼭짓점으로 하는 아래로 볼록한 포물선)

자주 하는 실수

상수항 $1$ 이 미분 후에도 남는다고 착각하는 실수가 있어요. 상수의 도함수는 0이에요.

원본 교재 풀이(영어)

${f}^{'}(x)=3{x}^{2}$

The function f(x) starts is the graph of the cubic function shifted up by 1. The function f’(x) is the graph of a parabola that is slightly steeper than the normal squared function.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 12번

# 도함수의 뜻그래프·표 해석기본

4.OpenStax 1권 · 3.3절 · 8번우리말 풀이

다음 문제에서 각 함수의 $f'(x)$ 를 구하세요.

$f(x)=x^2\left(\frac{2}{x^2}+\frac{5}{x^3}\right)$

영어 원문 보기

For the following exercises, find ${f}^{'}(x)$ for each function.

$f(x)={x}^{2}\left(\frac{2}{{x}^{2}}+\frac{5}{{x}^{3}}\right)$

풀이 보기

곱의 미분법을 쓰기 전에 식을 먼저 정리하면 훨씬 간단해져요.

1
식부터 정리해요. 곱의 미분법을 바로 써도 되지만, 괄호를 풀면 훨씬 쉬워요. $x^2$ 를 각 항에 곱하면 $f(x)=x^2\cdot\frac{2}{x^2}+x^2\cdot\frac{5}{x^3}=2+\frac{5}{x}\quad(x\neq 0)$
2
미분하기 좋은 꼴로 써요. $\dfrac{5}{x}=5x^{-1}$ 이므로 $f(x)=2+5x^{-1}$ 이에요.
3
항별로 미분해요. 상수 $2$ 의 도함수는 $0$ , $5x^{-1}$ 의 도함수는 $5\cdot(-1)x^{-2}=-5x^{-2}$ 예요. 그러므로 $f'(x)=-\frac{5}{x^2}$

답

$f'(x)=-\dfrac{5}{x^2}$

자주 하는 실수

지수가 음수일 때 $x^{-1}$ 의 도함수를 $-x^{0}$ 으로 잘못 계산해요. 지수에서 1을 빼면 $x^{-2}$ 가 돼요.

원본 교재 풀이(영어)

${f}^{'}(x)=\frac{-5}{{x}^{2}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 38번

# 다항함수의 미분법계산기본

5.OpenStax 1권 · 3.3절 · 16번우리말 풀이

주어진 점에서 함수의 그래프에 접하는 접선 $T(x)$ 의 방정식을 구하세요. 그래프 계산기로 함수와 접선을 그려 보세요.

[계산기 사용] $y=\frac{2}{x}-\frac{3}{{x}^{2}}$ , 점 $(1,-1)$

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line $T(x)$ to the graph of the given function at the indicated point. Use a graphing calculator to graph the function and the tangent line.

[T] $y=\frac{2}{x}-\frac{3}{{x}^{2}}$ at $(1,-1)$

풀이 보기

접선은 (점의 좌표)와 (그 점의 미분계수 = 기울기) 두 가지만 있으면 정해져요.

1
분수식을 음의 거듭제곱으로 바꾸면 미분이 쉬워요.

$y=2x^{-1}-3x^{-2}$
2
$(x^n)'=nx^{n-1}$ 로 미분해요.

$y'=-2x^{-2}+6x^{-3}=-\frac{2}{x^2}+\frac{6}{x^3}$
3
$x=1$ 에서의 기울기는 $y'(1)=-2+6=4$ 예요.
4
점 $(1,-1)$ 을 지나고 기울기가 $4$ 인 직선이에요.

$T(x)=4(x-1)-1=4x-5$

그래프에서도 곡선이 $(1,-1)$ 에서 직선 $T(x)$ 에 닿고, 이 직선이 $y$ 절편 $-5$ 를 지나는 것을 확인할 수 있어요.

답

$T(x)=4x-5$

자주 하는 실수

기울기를 구할 때 함숫값 $y(1)=-1$ 을 기울기로 착각해요. 기울기는 도함수의 값이에요.

원본 교재 풀이(영어)

The graph y is a two crescents with the crescent in the third quadrant sloping gently from (−3, −1) to (−1, −5) and the other crescent sloping more sharply from (0.8, −5) to (3, 0.2). The straight line T(x) is drawn through (0, −5) with slope 4.

$T(x)=4x-5$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 32번

# 접선의 방정식그래프·표 해석기본

6.OpenStax 1권 · 3.4절 · 6번우리말 풀이

위치 함수 $s(t)=t^2-3t-4$ 는 차고에서 후진해 나온 뒤 일직선으로 달리는 자동차 뒤쪽의 위치를 나타내요. $s$ 의 단위는 피트, $t$ 의 단위는 초예요. 여기서 $s(t)=0$ 은 자동차 뒤쪽이 차고 문에 있는 순간이고, $s(0)=-4$ 는 처음 위치가 차고 안쪽 4피트라는 뜻이에요.

a. $s(t)=0$ 일 때 자동차의 속도를 구하세요. b. $s(t)=14$ 일 때 자동차의 속도를 구하세요.

영어 원문 보기

The position function $s(t)={t}^{2}-3t-4$ represents the position of the back of a car backing out of a driveway and then driving in a straight line, where $s$ is in feet and $t$ is in seconds. In this case, $s(t)=0$ represents the time at which the back of the car is at the garage door, so $s(0)=-4$ is the starting position of the car, 4 feet inside the garage.

a. Determine the velocity of the car when $s(t)=0.$ b. Determine the velocity of the car when $s(t)=14.$

풀이 보기

속도는 위치를 시간에 대해 미분한 값이에요. 먼저 그 위치가 되는 시각 $t$ 를 찾고 속도에 넣어요.

1
위치를 미분하면 속도예요. $v(t)=s'(t)=2t-3$ 이에요.
2
(a) $s(t)=0$ 인 시각을 찾아요. $t^2-3t-4=(t-4)(t+1)=0$ 에서 $t=4$ 또는 $t=-1$ 이에요. 시간은 $0$ 이상이어야 하므로 $t=4$ 예요. 속도는 $v(4)=2\cdot4-3=5$ (피트/초)예요.
3
(b) $s(t)=14$ 이면 $t^2-3t-18=0$ 이고, $(t-6)(t+3)=0$ 이므로 $t=6$ (음수인 $t=-3$ 은 버려요). 속도는 $v(6)=2\cdot6-3=9$ (피트/초)예요.

답

(a) $5\text{ 피트/초}$ (b) $9\text{ 피트/초}$

자주 하는 실수

방정식을 풀 때 나온 음수 시각 $t$ 를 버리지 않고 그대로 속도에 넣는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

a. 5 ft/s b. 9 ft/s

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.4절 · 20번

# 속도와 가속도활용기본

7.OpenStax 1권 · 3.4절 · 12번우리말 풀이

어떤 디지털 시계 라디오의 가격 $p$ (달러)와 수요량 $x$ 사이의 관계가 $p=10-0.001x$ 로 주어져요.

a. 수입 함수 $R(x)$ 를 구하세요. b. 한계수입 함수를 구하세요. c. $x=2000$ 과 $x=5000$ 에서의 한계수입을 구하세요.

영어 원문 보기

The price $p$ (in dollars) and the demand $x$ for a certain digital clock radio is given by the price–demand function $p=10-0.001x.$

a. Find the revenue function $R(x).$ b. Find the marginal revenue function. c. Find the marginal revenue at $x=2000$ and $5000.$

풀이 보기

수입은 (가격)×(판매량)이고, 한계수입은 수입 함수를 미분한 값(한 개 더 팔 때 늘어나는 수입)이에요.

1
(a) 수입은 가격에 판매량을 곱한 값이에요. $R(x)=x\cdot p=x(10-0.001x)=10x-0.001x^2$ 이에요.
2
(b) 한계수입은 수입 함수의 도함수예요. $R'(x)=10-0.002x$ 예요.
3
(c) 값을 대입해요. $R'(2000)=10-0.002\cdot2000=6$ , $R'(5000)=10-0.002\cdot5000=0$ 이에요. 즉 2000개를 판매한 시점에서는 한 개 더 팔면 수입이 약 6달러 늘고, 5000개에서는 더 늘지 않아요.

답

(a) $R(x)=10x-0.001x^2$ (b) $R'(x)=10-0.002x$ (c) $x=2000$ 에서 $6$ , $x=5000$ 에서 $0$ (단위: 달러/개)

자주 하는 실수

수입 $R(x)$ 를 구하지 않고 가격 $p$ 를 그대로 미분해 $-0.001$ 이라고 답하는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

a. $R(x)=10x-0.001{x}^{2}$ b. ${R}^{'}(x)=10-0.002x$ c. $6 per item, $0 per item

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 8번

# 다항함수의 미분법활용기본

미분 전체 문제