미분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 3.1절 · 37번우리말 풀이

[계산기 사용] 다음 위치함수 $y=s(t)$ 로 직선 위를 움직이는 물체가 있어요. 여기서 $t$ 는 초, $s$ 는 미터 단위예요. 다음을 구하세요.

a. $t=2$ 에서 $t=2+h$ 까지의 평균속도를 간단히 나타낸 식 b. $t=2$ 와 $t=2+h$ 사이의 평균속도. 단, (i) $h=0.1$ , (ii) $h=0.01$ , (iii) $h=0.001$ , (iv) $h=0.0001$ c. a의 결과를 이용해 $t=2$ 초에서의 순간속도를 어림하기

$s(t)=2t^3+3$

영어 원문 보기

[T] For the following position functions $y=s(t),$ an object is moving along a straight line, where $t$ is in seconds and $s$ is in meters. Find

a. the simplified expression for the average velocity from $t=2$ to $t=2+h;$ b. the average velocity between $t=2$ and $t=2+h,$ where $\text{(i)}\,h=0.1,$ $\text{(ii)}\,h=0.01,$ $\text{(iii)}\,h=0.001,$ and $\text{(iv)}\,h=0.0001;$ and c. use the answer from a. to estimate the instantaneous velocity at $t=2$ second.

$s(t)=2{t}^{3}+3$

풀이 보기

평균속도는 (위치의 변화량)÷(걸린 시간)이고, 시간 간격 $h$ 를 0에 가깝게 하면 순간속도(미분계수)에 가까워져요.

1
평균속도의 식을 세워요. 평균속도는 위치가 얼마나 변했는지를 걸린 시간으로 나눈 값이에요. $t=2$ 에서 $t=2+h$ 까지 걸린 시간은 $h$ 이므로 $\frac{s(2+h)-s(2)}{h}$ 를 계산하면 돼요. 먼저 $s(2)=2\cdot 2^3+3=19$ 예요.
2
$s(2+h)$ 를 전개해요. $(2+h)^3=8+12h+6h^2+h^3$ 이므로 $s(2+h)=2(8+12h+6h^2+h^3)+3=19+24h+12h^2+2h^3$ 예요. 그러면 $s(2+h)-s(2)=24h+12h^2+2h^3$ 이에요.
3
$h$ 로 나누어 간단히 해요. 분자의 모든 항에 $h$ 가 들어 있으니 약분할 수 있어요. $\frac{24h+12h^2+2h^3}{h}=24+12h+2h^2=2(h^2+6h+12)$ 이것이 a의 답이에요.
4
b: $h$ 값을 차례로 넣어요. $2(h^2+6h+12)$ 에 대입하면
- $h=0.1$ : $2(0.01+0.6+12)=25.22$ (m/s)
- $h=0.01$ : $2(0.0001+0.06+12)=24.1202\approx 24.12$ (m/s)
- $h=0.001$ : $24.012\approx 24.01$ (m/s)
- $h=0.0001$ : $24.0012\approx 24.00$ (m/s)
5
c: 값이 어디로 다가가는지 봐요. $h$ 가 작아질수록 평균속도가 $24$ 에 가까워져요. 식으로도 $h\to 0$ 이면 $2(h^2+6h+12)\to 2\cdot 12=24$ 예요. 그러므로 $t=2$ 초의 순간속도는 $24$ m/s 예요.

답

a. $2(h^2+6h+12)$ b. (i) $25.22$ m/s (ii) $24.12$ m/s (iii) $24.01$ m/s (iv) $24$ m/s c. $24$ m/s

자주 하는 실수

$(2+h)^3$ 을 $8+h^3$ 으로 잘못 전개하는 실수가 많아요. $12h+6h^2$ 항을 꼭 챙기세요.

원본 교재 풀이(영어)

a. $2({h}^{2}+6h+12);$ b. $\text{(i)}\,25.22$ m/s, $\text{(ii)}\,24.12$ m/s, $\text{(iii)}\,24.01$ m/s, $\text{(iv)}\,24$ m/s; c. $24$ m/s

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 25번

# 평균변화율과 미분계수활용보통

2.OpenStax 1권 · 3.4절 · 6번우리말 풀이

위치 함수 $s(t)=t^2-3t-4$ 는 차고에서 후진해 나온 뒤 일직선으로 달리는 자동차 뒤쪽의 위치를 나타내요. $s$ 의 단위는 피트, $t$ 의 단위는 초예요. 여기서 $s(t)=0$ 은 자동차 뒤쪽이 차고 문에 있는 순간이고, $s(0)=-4$ 는 처음 위치가 차고 안쪽 4피트라는 뜻이에요.

a. $s(t)=0$ 일 때 자동차의 속도를 구하세요. b. $s(t)=14$ 일 때 자동차의 속도를 구하세요.

영어 원문 보기

The position function $s(t)={t}^{2}-3t-4$ represents the position of the back of a car backing out of a driveway and then driving in a straight line, where $s$ is in feet and $t$ is in seconds. In this case, $s(t)=0$ represents the time at which the back of the car is at the garage door, so $s(0)=-4$ is the starting position of the car, 4 feet inside the garage.

a. Determine the velocity of the car when $s(t)=0.$ b. Determine the velocity of the car when $s(t)=14.$

풀이 보기

속도는 위치를 시간에 대해 미분한 값이에요. 먼저 그 위치가 되는 시각 $t$ 를 찾고 속도에 넣어요.

1
위치를 미분하면 속도예요. $v(t)=s'(t)=2t-3$ 이에요.
2
(a) $s(t)=0$ 인 시각을 찾아요. $t^2-3t-4=(t-4)(t+1)=0$ 에서 $t=4$ 또는 $t=-1$ 이에요. 시간은 $0$ 이상이어야 하므로 $t=4$ 예요. 속도는 $v(4)=2\cdot4-3=5$ (피트/초)예요.
3
(b) $s(t)=14$ 이면 $t^2-3t-18=0$ 이고, $(t-6)(t+3)=0$ 이므로 $t=6$ (음수인 $t=-3$ 은 버려요). 속도는 $v(6)=2\cdot6-3=9$ (피트/초)예요.

답

(a) $5\text{ 피트/초}$ (b) $9\text{ 피트/초}$

자주 하는 실수

방정식을 풀 때 나온 음수 시각 $t$ 를 버리지 않고 그대로 속도에 넣는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

a. 5 ft/s b. 9 ft/s

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.4절 · 20번

# 속도와 가속도활용기본

3.OpenStax 1권 · 3.4절 · 12번우리말 풀이

어떤 디지털 시계 라디오의 가격 $p$ (달러)와 수요량 $x$ 사이의 관계가 $p=10-0.001x$ 로 주어져요.

a. 수입 함수 $R(x)$ 를 구하세요. b. 한계수입 함수를 구하세요. c. $x=2000$ 과 $x=5000$ 에서의 한계수입을 구하세요.

영어 원문 보기

The price $p$ (in dollars) and the demand $x$ for a certain digital clock radio is given by the price–demand function $p=10-0.001x.$

a. Find the revenue function $R(x).$ b. Find the marginal revenue function. c. Find the marginal revenue at $x=2000$ and $5000.$

풀이 보기

수입은 (가격)×(판매량)이고, 한계수입은 수입 함수를 미분한 값(한 개 더 팔 때 늘어나는 수입)이에요.

1
(a) 수입은 가격에 판매량을 곱한 값이에요. $R(x)=x\cdot p=x(10-0.001x)=10x-0.001x^2$ 이에요.
2
(b) 한계수입은 수입 함수의 도함수예요. $R'(x)=10-0.002x$ 예요.
3
(c) 값을 대입해요. $R'(2000)=10-0.002\cdot2000=6$ , $R'(5000)=10-0.002\cdot5000=0$ 이에요. 즉 2000개를 판매한 시점에서는 한 개 더 팔면 수입이 약 6달러 늘고, 5000개에서는 더 늘지 않아요.

답

(a) $R(x)=10x-0.001x^2$ (b) $R'(x)=10-0.002x$ (c) $x=2000$ 에서 $6$ , $x=5000$ 에서 $0$ (단위: 달러/개)

자주 하는 실수

수입 $R(x)$ 를 구하지 않고 가격 $p$ 를 그대로 미분해 $-0.001$ 이라고 답하는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

a. $R(x)=10x-0.001{x}^{2}$ b. ${R}^{'}(x)=10-0.002x$ c. $6 per item, $0 per item

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 8번

# 다항함수의 미분법활용기본

4.OpenStax 1권 · 3.4절 · 18번우리말 풀이

[계산기 사용]

a. 계산기나 컴퓨터 프로그램으로 인구를 가장 잘 나타내는 일차함수(최적 직선)를 구하세요. b. a에서 구한 식을 미분하고, 그 물리적 의미를 설명하세요. c. 그 식의 이계도함수를 구하고, 그 물리적 의미를 설명하세요.

영어 원문 보기

[T]

a. Using a calculator or a computer program, find the best-fit linear function to measure the population. b. Find the derivative of the equation in a. and explain its physical meaning. c. Find the second derivative of the equation and explain its physical meaning.

풀이 보기

일차함수 $P(t)=at+b$ 의 도함수는 기울기 $a$ 하나뿐이고, 이계도함수는 $0$ 이에요.

1
(a) 문제의 자료 표를 계산기에 입력해 일차 회귀(최소제곱 직선)를 구해요. 결과는 $P(t)=0.03983t+0.4280$ 이에요.
2
(b) 일차함수 $at+b$ 를 미분하면 상수 $a$ 예요. $P'(t)=0.03983$ 이고, 이 값은 양수이므로 인구가 시간에 따라 증가하고 있다는 뜻이에요. 증가 속도는 단위 시간당 약 $0.03983$ 이에요.
3
(c) 상수를 미분하면 $0$ 이므로 $P''(t)=0$ 이에요. 인구가 증가하는 속도가 변하지 않고 일정하다는 뜻이에요.

답

(a) $P(t)=0.03983t+0.4280$ (b) $P'(t)=0.03983$ , 인구가 증가하고 있다 (c) $P''(t)=0$ , 증가 속도가 일정하다

자주 하는 실수

$P'(t)$ 가 양수이니 $P''(t)$ 도 양수라고 착각해요. 이계도함수는 증가 속도가 변하는 정도이고, 직선이면 $0$ 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

a. $P(t)=0.03983+0.4280$ b. ${P}^{'}(t)=0.03983.$ The population is increasing. c. ${P}^{''}(t)=0.$ The rate at which the population is increasing is constant.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 1번

# 평균변화율과 미분계수활용보통

5.OpenStax 1권 · 4.7절 · 25번우리말 풀이

$x$ 를 어떻게 정해야 두 도형의 넓이의 합이 최대가 되는지 구하세요.

영어 원문 보기

Choose $x$ to maximize the sum of their areas.

답 쓰고 채점

풀이 보기

넓이의 합이 아래로 볼록한 이차함수이면, 최댓값은 구간의 한쪽 끝에서 나와요.

1
원문에는 앞 문제의 조건이 빠져 있어요. 길이 $L$ 인 철사를 두 조각으로 잘라, 한 조각으로는 한 변의 길이가 $x$ 인 정사각형을, 나머지로는 원을 만드는 상황으로 풀어 볼게요. 이때 $x$ 의 범위는 $0\le x\le \frac{L}{4}$ 이에요.
2
먼저 넓이의 합을 $x$ 로 나타내요. 정사각형의 둘레는 $4x$ 이므로 원의 둘레는 $L-4x$ 이고, 반지름은 $r=\frac{L-4x}{2\pi}$ 예요. 그래서 $A(x)=x^2+\pi r^2=x^2+\frac{(L-4x)^2}{4\pi}$
3
최대인 곳을 찾으려면 도함수를 봐요. $A'(x)=2x-\frac{2(L-4x)}{\pi}$ 이고, 한 번 더 미분하면 $A''(x)=2+\frac{8}{\pi}>0$ 이에요. 이계도함수가 항상 양수이므로 그래프는 아래로 볼록해요.
4
아래로 볼록한 함수는 $A'(x)=0$ 인 점에서 최솟값을 가지고, 최댓값은 구간의 양 끝점 중 하나에서 생겨요. 그래서 두 끝점의 값을 비교해요.
5
$x=0$ 이면 철사 전체로 원을 만든 것이라 $A(0)=\frac{L^2}{4\pi}$ 이고, $x=\frac{L}{4}$ 이면 정사각형만 만든 것이라 $A\left(\frac{L}{4}\right)=\frac{L^2}{16}$ 이에요. $\frac{1}{4\pi}>\frac{1}{16}$ 이므로 $A(0)$ 이 더 커요. 따라서 $x=0$ 일 때 넓이의 합이 최대예요.

답

$x=0$

자주 하는 실수

도함수가 0인 점이 곧 최댓값이라고 생각하기 쉬워요. 아래로 볼록하면 그 점은 최솟값이고, 최댓값은 끝점에서 찾아야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

$0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 37번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용보통

6.OpenStax 1권 · 4.7절 · 37번우리말 풀이

[계산기 사용] 직선 $y=5-2x$ 위에서 원점에 가장 가까운 점은 어디인가요?

영어 원문 보기

[T] Where is the line $y=5-2x$ closest to the origin?

답 쓰고 채점

풀이 보기

거리 대신 거리의 제곱을 최소로 만들면 근호 없이 편하게 풀려요.

1
왜 이렇게 할까요? 직선 위의 점은 $(x,\,5-2x)$ 로 쓸 수 있어서 변수가 $x$ 하나뿐이에요. 거리가 최소일 때 거리의 제곱도 최소이므로, 근호가 있는 거리 대신 제곱을 써요.
2
거리의 제곱을 식으로 써요. $D(x)=x^2+(5-2x)^2=5x^2-20x+25$
3
미분해서 0 이 되는 곳을 찾아요. $D'(x)=10x-20=0\;\Longrightarrow\;x=2$
4
최솟값인지 확인해요. $D''(x)=10>0$ 이므로 아래로 볼록한 이차함수라서 $x=2$ 에서 최소예요.
5
점의 좌표를 구해요. $y=5-2\cdot2=1$ 이므로 가장 가까운 점은 $(2,1)$ 이에요.

답

$(2,1)$

자주 하는 실수

거리 $\sqrt{x^2+y^2}$ 을 그대로 미분하느라 식이 복잡해지거나, $x$ 만 구하고 $y$ 좌표를 쓰지 않아요.

원본 교재 풀이(영어)

$(2,1)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 9번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용보통

미분 전체 문제