미분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 3.1절 · 37번우리말 풀이

[계산기 사용] 다음 위치함수 $y=s(t)$ 로 직선 위를 움직이는 물체가 있어요. 여기서 $t$ 는 초, $s$ 는 미터 단위예요. 다음을 구하세요.

a. $t=2$ 에서 $t=2+h$ 까지의 평균속도를 간단히 나타낸 식 b. $t=2$ 와 $t=2+h$ 사이의 평균속도. 단, (i) $h=0.1$ , (ii) $h=0.01$ , (iii) $h=0.001$ , (iv) $h=0.0001$ c. a의 결과를 이용해 $t=2$ 초에서의 순간속도를 어림하기

$s(t)=2t^3+3$

영어 원문 보기

[T] For the following position functions $y=s(t),$ an object is moving along a straight line, where $t$ is in seconds and $s$ is in meters. Find

a. the simplified expression for the average velocity from $t=2$ to $t=2+h;$ b. the average velocity between $t=2$ and $t=2+h,$ where $\text{(i)}\,h=0.1,$ $\text{(ii)}\,h=0.01,$ $\text{(iii)}\,h=0.001,$ and $\text{(iv)}\,h=0.0001;$ and c. use the answer from a. to estimate the instantaneous velocity at $t=2$ second.

$s(t)=2{t}^{3}+3$

풀이 보기

평균속도는 (위치의 변화량)÷(걸린 시간)이고, 시간 간격 $h$ 를 0에 가깝게 하면 순간속도(미분계수)에 가까워져요.

1
평균속도의 식을 세워요. 평균속도는 위치가 얼마나 변했는지를 걸린 시간으로 나눈 값이에요. $t=2$ 에서 $t=2+h$ 까지 걸린 시간은 $h$ 이므로 $\frac{s(2+h)-s(2)}{h}$ 를 계산하면 돼요. 먼저 $s(2)=2\cdot 2^3+3=19$ 예요.
2
$s(2+h)$ 를 전개해요. $(2+h)^3=8+12h+6h^2+h^3$ 이므로 $s(2+h)=2(8+12h+6h^2+h^3)+3=19+24h+12h^2+2h^3$ 예요. 그러면 $s(2+h)-s(2)=24h+12h^2+2h^3$ 이에요.
3
$h$ 로 나누어 간단히 해요. 분자의 모든 항에 $h$ 가 들어 있으니 약분할 수 있어요. $\frac{24h+12h^2+2h^3}{h}=24+12h+2h^2=2(h^2+6h+12)$ 이것이 a의 답이에요.
4
b: $h$ 값을 차례로 넣어요. $2(h^2+6h+12)$ 에 대입하면
- $h=0.1$ : $2(0.01+0.6+12)=25.22$ (m/s)
- $h=0.01$ : $2(0.0001+0.06+12)=24.1202\approx 24.12$ (m/s)
- $h=0.001$ : $24.012\approx 24.01$ (m/s)
- $h=0.0001$ : $24.0012\approx 24.00$ (m/s)
5
c: 값이 어디로 다가가는지 봐요. $h$ 가 작아질수록 평균속도가 $24$ 에 가까워져요. 식으로도 $h\to 0$ 이면 $2(h^2+6h+12)\to 2\cdot 12=24$ 예요. 그러므로 $t=2$ 초의 순간속도는 $24$ m/s 예요.

답

a. $2(h^2+6h+12)$ b. (i) $25.22$ m/s (ii) $24.12$ m/s (iii) $24.01$ m/s (iv) $24$ m/s c. $24$ m/s

자주 하는 실수

$(2+h)^3$ 을 $8+h^3$ 으로 잘못 전개하는 실수가 많아요. $12h+6h^2$ 항을 꼭 챙기세요.

원본 교재 풀이(영어)

a. $2({h}^{2}+6h+12);$ b. $\text{(i)}\,25.22$ m/s, $\text{(ii)}\,24.12$ m/s, $\text{(iii)}\,24.01$ m/s, $\text{(iv)}\,24$ m/s; c. $24$ m/s

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 25번

# 평균변화율과 미분계수활용보통

2.OpenStax 1권 · 3.4절 · 6번우리말 풀이

위치 함수 $s(t)=t^2-3t-4$ 는 차고에서 후진해 나온 뒤 일직선으로 달리는 자동차 뒤쪽의 위치를 나타내요. $s$ 의 단위는 피트, $t$ 의 단위는 초예요. 여기서 $s(t)=0$ 은 자동차 뒤쪽이 차고 문에 있는 순간이고, $s(0)=-4$ 는 처음 위치가 차고 안쪽 4피트라는 뜻이에요.

a. $s(t)=0$ 일 때 자동차의 속도를 구하세요. b. $s(t)=14$ 일 때 자동차의 속도를 구하세요.

영어 원문 보기

The position function $s(t)={t}^{2}-3t-4$ represents the position of the back of a car backing out of a driveway and then driving in a straight line, where $s$ is in feet and $t$ is in seconds. In this case, $s(t)=0$ represents the time at which the back of the car is at the garage door, so $s(0)=-4$ is the starting position of the car, 4 feet inside the garage.

a. Determine the velocity of the car when $s(t)=0.$ b. Determine the velocity of the car when $s(t)=14.$

풀이 보기

속도는 위치를 시간에 대해 미분한 값이에요. 먼저 그 위치가 되는 시각 $t$ 를 찾고 속도에 넣어요.

1
위치를 미분하면 속도예요. $v(t)=s'(t)=2t-3$ 이에요.
2
(a) $s(t)=0$ 인 시각을 찾아요. $t^2-3t-4=(t-4)(t+1)=0$ 에서 $t=4$ 또는 $t=-1$ 이에요. 시간은 $0$ 이상이어야 하므로 $t=4$ 예요. 속도는 $v(4)=2\cdot4-3=5$ (피트/초)예요.
3
(b) $s(t)=14$ 이면 $t^2-3t-18=0$ 이고, $(t-6)(t+3)=0$ 이므로 $t=6$ (음수인 $t=-3$ 은 버려요). 속도는 $v(6)=2\cdot6-3=9$ (피트/초)예요.

답

(a) $5\text{ 피트/초}$ (b) $9\text{ 피트/초}$

자주 하는 실수

방정식을 풀 때 나온 음수 시각 $t$ 를 버리지 않고 그대로 속도에 넣는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

a. 5 ft/s b. 9 ft/s

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.4절 · 20번

# 속도와 가속도활용기본

3.OpenStax 1권 · 3.4절 · 12번우리말 풀이

어떤 디지털 시계 라디오의 가격 $p$ (달러)와 수요량 $x$ 사이의 관계가 $p=10-0.001x$ 로 주어져요.

a. 수입 함수 $R(x)$ 를 구하세요. b. 한계수입 함수를 구하세요. c. $x=2000$ 과 $x=5000$ 에서의 한계수입을 구하세요.

영어 원문 보기

The price $p$ (in dollars) and the demand $x$ for a certain digital clock radio is given by the price–demand function $p=10-0.001x.$

a. Find the revenue function $R(x).$ b. Find the marginal revenue function. c. Find the marginal revenue at $x=2000$ and $5000.$

풀이 보기

수입은 (가격)×(판매량)이고, 한계수입은 수입 함수를 미분한 값(한 개 더 팔 때 늘어나는 수입)이에요.

1
(a) 수입은 가격에 판매량을 곱한 값이에요. $R(x)=x\cdot p=x(10-0.001x)=10x-0.001x^2$ 이에요.
2
(b) 한계수입은 수입 함수의 도함수예요. $R'(x)=10-0.002x$ 예요.
3
(c) 값을 대입해요. $R'(2000)=10-0.002\cdot2000=6$ , $R'(5000)=10-0.002\cdot5000=0$ 이에요. 즉 2000개를 판매한 시점에서는 한 개 더 팔면 수입이 약 6달러 늘고, 5000개에서는 더 늘지 않아요.

답

(a) $R(x)=10x-0.001x^2$ (b) $R'(x)=10-0.002x$ (c) $x=2000$ 에서 $6$ , $x=5000$ 에서 $0$ (단위: 달러/개)

자주 하는 실수

수입 $R(x)$ 를 구하지 않고 가격 $p$ 를 그대로 미분해 $-0.001$ 이라고 답하는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

a. $R(x)=10x-0.001{x}^{2}$ b. ${R}^{'}(x)=10-0.002x$ c. $6 per item, $0 per item

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 8번

# 다항함수의 미분법활용기본

4.OpenStax 1권 · 3.4절 · 18번우리말 풀이

[계산기 사용]

a. 계산기나 컴퓨터 프로그램으로 인구를 가장 잘 나타내는 일차함수(최적 직선)를 구하세요. b. a에서 구한 식을 미분하고, 그 물리적 의미를 설명하세요. c. 그 식의 이계도함수를 구하고, 그 물리적 의미를 설명하세요.

영어 원문 보기

[T]

a. Using a calculator or a computer program, find the best-fit linear function to measure the population. b. Find the derivative of the equation in a. and explain its physical meaning. c. Find the second derivative of the equation and explain its physical meaning.

풀이 보기

일차함수 $P(t)=at+b$ 의 도함수는 기울기 $a$ 하나뿐이고, 이계도함수는 $0$ 이에요.

1
(a) 문제의 자료 표를 계산기에 입력해 일차 회귀(최소제곱 직선)를 구해요. 결과는 $P(t)=0.03983t+0.4280$ 이에요.
2
(b) 일차함수 $at+b$ 를 미분하면 상수 $a$ 예요. $P'(t)=0.03983$ 이고, 이 값은 양수이므로 인구가 시간에 따라 증가하고 있다는 뜻이에요. 증가 속도는 단위 시간당 약 $0.03983$ 이에요.
3
(c) 상수를 미분하면 $0$ 이므로 $P''(t)=0$ 이에요. 인구가 증가하는 속도가 변하지 않고 일정하다는 뜻이에요.

답

(a) $P(t)=0.03983t+0.4280$ (b) $P'(t)=0.03983$ , 인구가 증가하고 있다 (c) $P''(t)=0$ , 증가 속도가 일정하다

자주 하는 실수

$P'(t)$ 가 양수이니 $P''(t)$ 도 양수라고 착각해요. 이계도함수는 증가 속도가 변하는 정도이고, 직선이면 $0$ 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

a. $P(t)=0.03983+0.4280$ b. ${P}^{'}(t)=0.03983.$ The population is increasing. c. ${P}^{''}(t)=0.$ The rate at which the population is increasing is constant.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 1번

# 평균변화율과 미분계수활용보통

5.OpenStax 1권 · 4.7절 · 25번우리말 풀이

$x$ 를 어떻게 정해야 두 도형의 넓이의 합이 최대가 되는지 구하세요.

영어 원문 보기

Choose $x$ to maximize the sum of their areas.

답 쓰고 채점

풀이 보기

넓이의 합이 아래로 볼록한 이차함수이면, 최댓값은 구간의 한쪽 끝에서 나와요.

1
원문에는 앞 문제의 조건이 빠져 있어요. 길이 $L$ 인 철사를 두 조각으로 잘라, 한 조각으로는 한 변의 길이가 $x$ 인 정사각형을, 나머지로는 원을 만드는 상황으로 풀어 볼게요. 이때 $x$ 의 범위는 $0\le x\le \frac{L}{4}$ 이에요.
2
먼저 넓이의 합을 $x$ 로 나타내요. 정사각형의 둘레는 $4x$ 이므로 원의 둘레는 $L-4x$ 이고, 반지름은 $r=\frac{L-4x}{2\pi}$ 예요. 그래서 $A(x)=x^2+\pi r^2=x^2+\frac{(L-4x)^2}{4\pi}$
3
최대인 곳을 찾으려면 도함수를 봐요. $A'(x)=2x-\frac{2(L-4x)}{\pi}$ 이고, 한 번 더 미분하면 $A''(x)=2+\frac{8}{\pi}>0$ 이에요. 이계도함수가 항상 양수이므로 그래프는 아래로 볼록해요.
4
아래로 볼록한 함수는 $A'(x)=0$ 인 점에서 최솟값을 가지고, 최댓값은 구간의 양 끝점 중 하나에서 생겨요. 그래서 두 끝점의 값을 비교해요.
5
$x=0$ 이면 철사 전체로 원을 만든 것이라 $A(0)=\frac{L^2}{4\pi}$ 이고, $x=\frac{L}{4}$ 이면 정사각형만 만든 것이라 $A\left(\frac{L}{4}\right)=\frac{L^2}{16}$ 이에요. $\frac{1}{4\pi}>\frac{1}{16}$ 이므로 $A(0)$ 이 더 커요. 따라서 $x=0$ 일 때 넓이의 합이 최대예요.

답

$x=0$

자주 하는 실수

도함수가 0인 점이 곧 최댓값이라고 생각하기 쉬워요. 아래로 볼록하면 그 점은 최솟값이고, 최댓값은 끝점에서 찾아야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

$0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 37번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용보통

6.OpenStax 1권 · 4.7절 · 37번우리말 풀이

[계산기 사용] 직선 $y=5-2x$ 위에서 원점에 가장 가까운 점은 어디인가요?

영어 원문 보기

[T] Where is the line $y=5-2x$ closest to the origin?

답 쓰고 채점

풀이 보기

거리 대신 거리의 제곱을 최소로 만들면 근호 없이 편하게 풀려요.

1
왜 이렇게 할까요? 직선 위의 점은 $(x,\,5-2x)$ 로 쓸 수 있어서 변수가 $x$ 하나뿐이에요. 거리가 최소일 때 거리의 제곱도 최소이므로, 근호가 있는 거리 대신 제곱을 써요.
2
거리의 제곱을 식으로 써요. $D(x)=x^2+(5-2x)^2=5x^2-20x+25$
3
미분해서 0 이 되는 곳을 찾아요. $D'(x)=10x-20=0\;\Longrightarrow\;x=2$
4
최솟값인지 확인해요. $D''(x)=10>0$ 이므로 아래로 볼록한 이차함수라서 $x=2$ 에서 최소예요.
5
점의 좌표를 구해요. $y=5-2\cdot2=1$ 이므로 가장 가까운 점은 $(2,1)$ 이에요.

답

$(2,1)$

자주 하는 실수

거리 $\sqrt{x^2+y^2}$ 을 그대로 미분하느라 식이 복잡해지거나, $x$ 만 구하고 $y$ 좌표를 쓰지 않아요.

원본 교재 풀이(영어)

$(2,1)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.3절 · 9번

# 최댓값·최솟값과 최적화활용보통

7.OpenStax 1권 · 3.1절 · 35번우리말 번역

[계산기 사용] 다음 위치 함수 $y=s(t)$ 에 대하여 물체가 직선을 따라 움직이고 있습니다. 여기서 $t$ 의 단위는 초, $s$ 의 단위는 미터입니다. 다음을 구하세요.

a. $t=2$ 에서 $t=2+h$ 까지의 평균 속도를 간단히 한 식 $;$ b. $t=2$ 와 $t=2+h$ 사이의 평균 속도. 여기서 $\text{(i)}\,h=0.1,$ $\text{(ii)}\,h=0.01,$ $\text{(iii)}\,h=0.001$ , 그리고 $\text{(iv)}\,h=0.0001$ 일 때 c. a의 답을 이용하여 $t=2$ 초에서의 순간 속도를 어림하세요.

$s(t)=\frac{1}{3}t+5$

영어 원문 보기

[T] For the following position functions $y=s(t),$ an object is moving along a straight line, where $t$ is in seconds and $s$ is in meters. Find

a. the simplified expression for the average velocity from $t=2$ to $t=2+h;$ b. the average velocity between $t=2$ and $t=2+h,$ where $\text{(i)}\,h=0.1,$ $\text{(ii)}\,h=0.01,$ $\text{(iii)}\,h=0.001,$ and $\text{(iv)}\,h=0.0001;$ and c. use the answer from a. to estimate the instantaneous velocity at $t=2$ second.

$s(t)=\frac{1}{3}t+5$

정답·풀이 보기

a. $\frac{1}{3};$ b. $\text{(i)}\,0.\overset{-}{3}$ m/s, $\text{(ii)}\,0.\overset{-}{3}$ m/s, $\text{(iii)}\,0.\overset{-}{3}$ m/s, $\text{(iv)}\,0.\overset{-}{3}$ m/s; c. $0.\overset{-}{3}=\frac{1}{3}$ m/s

원본 교재 풀이(영어)

a. $\frac{1}{3};$ b. $\text{(i)}\,0.\overset{-}{3}$ m/s, $\text{(ii)}\,0.\overset{-}{3}$ m/s, $\text{(iii)}\,0.\overset{-}{3}$ m/s, $\text{(iv)}\,0.\overset{-}{3}$ m/s; c. $0.\overset{-}{3}=\frac{1}{3}$ m/s

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 21번

# 평균변화율과 미분계수활용자동 분류

8.OpenStax 1권 · 3.1절 · 36번우리말 번역

[계산기 사용] 다음 위치 함수 $y=s(t)$ 에 대하여 물체가 직선을 따라 움직이고 있습니다. 여기서 $t$ 의 단위는 초, $s$ 의 단위는 미터입니다. 다음을 구하세요.

a. $t=2$ 에서 $t=2+h$ 까지의 평균 속도를 간단히 한 식 $;$ b. $t=2$ 와 $t=2+h$ 사이의 평균 속도. 여기서 $\text{(i)}\,h=0.1,$ $\text{(ii)}\,h=0.01,$ $\text{(iii)}\,h=0.001$ , 그리고 $\text{(iv)}\,h=0.0001$ 일 때 c. a의 답을 이용하여 $t=2$ 초에서의 순간 속도를 어림하세요.

$s(t)={t}^{2}-2t$

영어 원문 보기

[T] For the following position functions $y=s(t),$ an object is moving along a straight line, where $t$ is in seconds and $s$ is in meters. Find

a. the simplified expression for the average velocity from $t=2$ to $t=2+h;$ b. the average velocity between $t=2$ and $t=2+h,$ where $\text{(i)}\,h=0.1,$ $\text{(ii)}\,h=0.01,$ $\text{(iii)}\,h=0.001,$ and $\text{(iv)}\,h=0.0001;$ and c. use the answer from a. to estimate the instantaneous velocity at $t=2$ second.

$s(t)={t}^{2}-2t$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 1번

# 평균변화율과 미분계수활용자동 분류

9.OpenStax 1권 · 3.1절 · 38번우리말 번역

[계산기 사용] 다음 위치 함수 $y=s(t)$ 에 대하여 물체가 직선을 따라 움직이고 있습니다. 여기서 $t$ 의 단위는 초, $s$ 의 단위는 미터입니다. 다음을 구하세요.

a. $t=2$ 에서 $t=2+h$ 까지의 평균 속도를 간단히 한 식 $;$ b. $t=2$ 와 $t=2+h$ 사이의 평균 속도. 여기서 $\text{(i)}\,h=0.1,$ $\text{(ii)}\,h=0.01,$ $\text{(iii)}\,h=0.001$ , 그리고 $\text{(iv)}\,h=0.0001$ 일 때 c. a의 답을 이용하여 $t=2$ 초에서의 순간 속도를 어림하세요.

$s(t)=\frac{16}{{t}^{2}}-\frac{4}{t}$

영어 원문 보기

[T] For the following position functions $y=s(t),$ an object is moving along a straight line, where $t$ is in seconds and $s$ is in meters. Find

a. the simplified expression for the average velocity from $t=2$ to $t=2+h;$ b. the average velocity between $t=2$ and $t=2+h,$ where $\text{(i)}\,h=0.1,$ $\text{(ii)}\,h=0.01,$ $\text{(iii)}\,h=0.001,$ and $\text{(iv)}\,h=0.0001;$ and c. use the answer from a. to estimate the instantaneous velocity at $t=2$ second.

$s(t)=\frac{16}{{t}^{2}}-\frac{4}{t}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 8번

# 평균변화율과 미분계수활용자동 분류

10.OpenStax 1권 · 3.1절 · 45번우리말 번역

[계산기 사용] 직선 트랙을 달리는 경주용 자동차의 $t$ 초 후 위치(단위: 피트)가 함수 $s(t)=8{t}^{2}-\frac{1}{16}{t}^{3}$ 으로 모델링된다.

a. 다음 각 시간 구간에서 자동차의 평균 속도를 소수 넷째 자리까지 구하세요. ⅰ. [4, 4.1] ⅱ. [4, 4.01] ⅲ. [4, 4.001] ⅳ. [4, 4.0001] b. a.의 결과를 이용하여 $t=4$ 초일 때 자동차의 순간 속도에 대한 결론을 내리세요.

영어 원문 보기

[T] The position in feet of a race car along a straight track after $t$ seconds is modeled by the function $s(t)=8{t}^{2}-\frac{1}{16}{t}^{3}.$

a. Find the average velocity of the vehicle over the following time intervals to four decimal places: i. [4, 4.1] ii. [4, 4.01] iii. [4, 4.001] iv. [4, 4.0001] b. Use a. to draw a conclusion about the instantaneous velocity of the vehicle at $t=4$ seconds.

정답·풀이 보기

a. $\text{(i)}\,61.7244$ ft/s, $\text{(ii)}\,61.0725$ ft/s $\text{(iii)}\,61.0072$ ft/s $\text{(iv)}\,61.0007$ ft/s b. $4$ 초일 때 경주용 자동차는 $61$ ft/s의 속도로 달리고 있다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $\text{(i)}\,61.7244$ ft/s, $\text{(ii)}\,61.0725$ ft/s $\text{(iii)}\,61.0072$ ft/s $\text{(iv)}\,61.0007$ ft/s b. At $4$ seconds the race car is traveling at a rate/velocity of $61$ ft/s.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.1절 · 11번

# 평균변화율과 미분계수활용자동 분류

11.OpenStax 1권 · 3.1절 · 46번우리말 번역

[계산기 사용] 공이 경사면을 따라 굴러 내려간 거리(피트)가 함수 $s(t)=14{t}^{2}$ 로 모델링됩니다. 여기서 t 는 공이 구르기 시작한 후의 시간(초)입니다.

a. 다음 시간 구간에서 공의 평균 속도를 구하세요. i. [5, 5.1] ii. [5, 5.01] iii. [5, 5.001] iv. [5, 5.0001] b. a의 답을 이용하여 $t=5$ 초일 때 공의 순간 속도에 대한 결론을 내리세요.

영어 원문 보기

[T] The distance in feet that a ball rolls down an incline is modeled by the function $s(t)=14{t}^{2},$ where t is seconds after the ball begins rolling.

a. Find the average velocity of the ball over the following time intervals: i. [5, 5.1] ii. [5, 5.01] iii. [5, 5.001] iv. [5, 5.0001] b. Use the answers from a. to draw a conclusion about the instantaneous velocity of the ball at $t=5$ seconds.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 4번

# 평균변화율과 미분계수활용자동 분류

12.OpenStax 1권 · 3.1절 · 48번우리말 번역

[계산기 사용] 마요네즈 $x$ 천 병을 생산하는 데 드는 총비용 $C(x)$ (단위: 백 달러)는 $C(x)=0.000003{x}^{3}+4x+300$ 으로 주어진다.

a. 다음 구간에서 병당 평균 비용을 구하세요. ⅰ. [100, 100.1] ⅱ. [100, 100.01] ⅲ. [100, 100.001] ⅳ. [100, 100.0001] b. a.에서 구한 답을 이용하여 마요네즈 $100,000$ 병을 생산하는 데 드는 평균 비용을 어림하세요.

영어 원문 보기

[T] The total cost $C(x),$ in hundreds of dollars, to produce $x$ thousand jars of mayonnaise is given by $C(x)=0.000003{x}^{3}+4x+300.$

a. Calculate the average cost per jar over the following intervals: i. [100, 100.1] ii. [100, 100.01] iii. [100, 100.001] iv. [100, 100.0001] b. Use the answers from a. to estimate the average cost to produce $100,000$ jars of mayonnaise.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.3절 · 3번

# 평균변화율과 미분계수활용자동 분류

13.OpenStax 1권 · 3.2절 · 37번우리말 번역

$P(x)$ 는 $x$ 년 시점의 한 도시의 인구를 나타낸다.

영어 원문 보기

$P(x)$ denotes the population of a city at time $x$ in years.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 도함수의 뜻활용자동 분류

14.OpenStax 1권 · 3.2절 · 39번우리말 번역

$R(x)$ 는 시계 라디오 $x$ 대를 제조하는 데 드는 총비용(단위: 천 달러)을 나타낸다.

영어 원문 보기

$R(x)$ denotes the total cost (in thousands of dollars) of manufacturing $x$ clock radios.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 도함수의 뜻활용자동 분류

15.OpenStax 1권 · 3.2절 · 40번우리말 번역

$g(x)$ 는 $x$ 시간 공부했을 때 시험에서 받은 점수(퍼센트포인트 단위)를 나타낸다.

영어 원문 보기

$g(x)$ denotes the grade (in percentage points) received on a test, given $x$ hours of studying.

정답·풀이 보기

a. 두 값 사이의 평균 공부 시간에 대해 시험에서 받은 평균 점수이다. b. 평균 공부 시간이 $x$ 시간으로 주어졌을 때, 시험 점수가 증가하거나 감소하는 변화율(시간당 퍼센트포인트)이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. Average grade received on the test with an average study time between two values. b. Rate (in percentage points per hour) at which the grade on the test increased or decreased for a given average study time of $x$ hours.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 42번

# 도함수의 뜻활용자동 분류

16.OpenStax 1권 · 3.2절 · 41번우리말 번역

$B(x)$ 는 $1990$ 년 이후 $x$ 년이 지났을 때 미국 대학 서점에서 판매하는 사회학 교재의 가격(달러 단위)을 나타낸다.

영어 원문 보기

$B(x)$ denotes the cost (in dollars) of a sociology textbook at university bookstores in the United States in $x$ years since $1990.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 도함수의 뜻활용자동 분류

17.OpenStax 1권 · 3.2절 · 42번우리말 번역

$p(x)$ 는 고도 $x$ 피트에서의 대기압(토르 단위)을 나타낸다.

영어 원문 보기

$p(x)$ denotes atmospheric pressure in Torrs at an altitude of $x$ feet.

정답·풀이 보기

a. 서로 다른 두 고도 사이의 대기압의 평균 변화량이다. b. $x$ 피트에서 대기압이 증가하거나 감소하는 변화율(피트당 토르)이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. Average change of atmospheric pressure between two different altitudes. b. Rate (torr per foot) at which atmospheric pressure is increasing or decreasing at $x$ feet.

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# 도함수의 뜻활용자동 분류

18.OpenStax 1권 · 3.2절 · 44번우리말 번역

지면으로부터 높이 $x$ 피트에서의 온도 $T$ (화씨)가 $y=T(x)$ 로 주어진다고 하자.

a. ${T}^{'}(x)$ 의 물리적 의미를 단위와 함께 설명하세요. b. ${T}^{'}(1000)=-0.1$ 임을 안다면, 그 물리적 의미를 설명하세요.

영어 원문 보기

Suppose temperature $T$ in degrees Fahrenheit at a height $x$ in feet above the ground is given by $y=T(x).$

a. Give a physical interpretation, with units, of ${T}^{'}(x).$ b. If we know that ${T}^{'}(1000)=-0.1,$ explain the physical meaning.

정답·풀이 보기

a. 주어진 높이 $x$ 에서 온도가 증가하거나 감소하는 변화율(피트당 도)이다. b. $1000$ 피트에서 고도가 변할 때의 온도의 변화율은 피트당 $-0.1$ 도이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. The rate (in degrees per foot) at which temperature is increasing or decreasing for a given height $x.$ b. The rate of change of temperature as altitude changes at $1000$ feet is $-0.1$ degrees per foot.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 34번

# 도함수의 뜻활용자동 분류

19.OpenStax 1권 · 3.2절 · 45번우리말 번역

어떤 회사가 제품을 $x$ 개 판매했을 때의 총이익이 $y=P(x)$ 천 달러라고 합시다.

a. $0<a<b$ 일 때 $\frac{P(b)-P(a)}{b-a}$ 는 무엇을 나타내며, 그 단위는 무엇인지 설명하세요. b. ${P}^{'}(x)$ 는 무엇을 나타내며, 그 단위는 무엇인지 설명하세요. c. ${P}^{'}(30)=5$ 라고 할 때, 판매 개수가 $30\,\text{에서}\,31$ 로 증가하면 이익의 변화는 대략 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose the total profit of a company is $y=P(x)$ thousand dollars when $x$ units of an item are sold.

a. What does $\frac{P(b)-P(a)}{b-a}$ for $0<a<b$ measure, and what are the units? b. What does ${P}^{'}(x)$ measure, and what are the units? c. Suppose that ${P}^{'}(30)=5,$ what is the approximate change in profit if the number of items sold increases from $30\,\text{to}\,31?$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 도함수의 뜻활용자동 분류

20.OpenStax 1권 · 3.3절 · 39번우리말 번역

고속도로에서 교통 흐름을 따라 달리는 자동차가 $t$ 초 동안 $s(t)={t}^{3}-6{t}^{2}+9t$ m 를 이동했다.

a. 자동차의 속도가 0이 되는 시각(초)을 구하세요. b. 속도가 0일 때 자동차의 가속도를 구하세요.

영어 원문 보기

A car driving along a freeway with traffic has traveled $s(t)={t}^{3}-6{t}^{2}+9t$ meters in $t$ seconds.

a. Determine the time in seconds when the velocity of the car is 0. b. Determine the acceleration of the car when the velocity is 0.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 다항함수의 미분법활용자동 분류

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