미분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 3.4절 · 6번우리말 풀이

위치 함수 $s(t)=t^2-3t-4$ 는 차고에서 후진해 나온 뒤 일직선으로 달리는 자동차 뒤쪽의 위치를 나타내요. $s$ 의 단위는 피트, $t$ 의 단위는 초예요. 여기서 $s(t)=0$ 은 자동차 뒤쪽이 차고 문에 있는 순간이고, $s(0)=-4$ 는 처음 위치가 차고 안쪽 4피트라는 뜻이에요.

a. $s(t)=0$ 일 때 자동차의 속도를 구하세요. b. $s(t)=14$ 일 때 자동차의 속도를 구하세요.

영어 원문 보기

The position function $s(t)={t}^{2}-3t-4$ represents the position of the back of a car backing out of a driveway and then driving in a straight line, where $s$ is in feet and $t$ is in seconds. In this case, $s(t)=0$ represents the time at which the back of the car is at the garage door, so $s(0)=-4$ is the starting position of the car, 4 feet inside the garage.

a. Determine the velocity of the car when $s(t)=0.$ b. Determine the velocity of the car when $s(t)=14.$

풀이 보기

속도는 위치를 시간에 대해 미분한 값이에요. 먼저 그 위치가 되는 시각 $t$ 를 찾고 속도에 넣어요.

1
위치를 미분하면 속도예요. $v(t)=s'(t)=2t-3$ 이에요.
2
(a) $s(t)=0$ 인 시각을 찾아요. $t^2-3t-4=(t-4)(t+1)=0$ 에서 $t=4$ 또는 $t=-1$ 이에요. 시간은 $0$ 이상이어야 하므로 $t=4$ 예요. 속도는 $v(4)=2\cdot4-3=5$ (피트/초)예요.
3
(b) $s(t)=14$ 이면 $t^2-3t-18=0$ 이고, $(t-6)(t+3)=0$ 이므로 $t=6$ (음수인 $t=-3$ 은 버려요). 속도는 $v(6)=2\cdot6-3=9$ (피트/초)예요.

답

(a) $5\text{ 피트/초}$ (b) $9\text{ 피트/초}$

자주 하는 실수

방정식을 풀 때 나온 음수 시각 $t$ 를 버리지 않고 그대로 속도에 넣는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

a. 5 ft/s b. 9 ft/s

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.4절 · 20번

# 속도와 가속도활용기본

2.OpenStax 1권 · 3.4절 · 12번우리말 풀이

어떤 디지털 시계 라디오의 가격 $p$ (달러)와 수요량 $x$ 사이의 관계가 $p=10-0.001x$ 로 주어져요.

a. 수입 함수 $R(x)$ 를 구하세요. b. 한계수입 함수를 구하세요. c. $x=2000$ 과 $x=5000$ 에서의 한계수입을 구하세요.

영어 원문 보기

The price $p$ (in dollars) and the demand $x$ for a certain digital clock radio is given by the price–demand function $p=10-0.001x.$

a. Find the revenue function $R(x).$ b. Find the marginal revenue function. c. Find the marginal revenue at $x=2000$ and $5000.$

풀이 보기

수입은 (가격)×(판매량)이고, 한계수입은 수입 함수를 미분한 값(한 개 더 팔 때 늘어나는 수입)이에요.

1
(a) 수입은 가격에 판매량을 곱한 값이에요. $R(x)=x\cdot p=x(10-0.001x)=10x-0.001x^2$ 이에요.
2
(b) 한계수입은 수입 함수의 도함수예요. $R'(x)=10-0.002x$ 예요.
3
(c) 값을 대입해요. $R'(2000)=10-0.002\cdot2000=6$ , $R'(5000)=10-0.002\cdot5000=0$ 이에요. 즉 2000개를 판매한 시점에서는 한 개 더 팔면 수입이 약 6달러 늘고, 5000개에서는 더 늘지 않아요.

답

(a) $R(x)=10x-0.001x^2$ (b) $R'(x)=10-0.002x$ (c) $x=2000$ 에서 $6$ , $x=5000$ 에서 $0$ (단위: 달러/개)

자주 하는 실수

수입 $R(x)$ 를 구하지 않고 가격 $p$ 를 그대로 미분해 $-0.001$ 이라고 답하는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

a. $R(x)=10x-0.001{x}^{2}$ b. ${R}^{'}(x)=10-0.002x$ c. $6 per item, $0 per item

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 8번

# 다항함수의 미분법활용기본

3.CLP-1 · 2.2절 · 8번우리말 번역

$s(t)$ 가 함수이고, $t$ 는 초 단위로, $s$ 는 미터 단위로 측정된다고 하자. 이때 $s'(t)$ 의 단위를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose $s(t)$ is a function, with $t$ measured in seconds, and $s$ measured in metres. What are the units of $s'(t)$ ?

정답·풀이 보기

도함수의 정의를 이용하면, $s'(t)=\lim_{h \to 0}\frac{s(t+h)-s(t)}{h}$ 분자의 단위는 미터이고, 분모의 단위는 초이다(분모는 함수의 입력의 변화에서 나오기 때문이다). 따라서 $s'(t)$ 의 단위는 초당 미터이다.

참고: 위치 함수의 도함수가 속도를 준다는 것을 배웠다. 이 예에서 위치는 미터로 주어지고, 속도는 초당 미터로 측정된다.

원본 교재 풀이(영어)

Using the definition of the derivative, $s'(t)=\lim_{h \to 0}\frac{s(t+h)-s(t)}{h}$ The units of the numerator are meters, and the units of the denominator are seconds (since the denominator comes from the change in the input of the function). So, the units of $s'(t)$ are metres per second.

Remark: we learned that the derivative of a position function gives velocity. In this example, the position is given in metres, and the velocity is measured in metres per second.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 9번

# 도함수의 뜻활용기본자동 분류

4.CLP-1 · 2.13절 · 1번우리말 번역

어떤 순록의 최고 속력이 시속 70 km이고, 1년 동안 5000 km를 이동한다고 합시다. 이 순록이 이동하는 동안 걸은 시간에 대해 무엇을 알 수 있나요?

영어 원문 보기

Suppose a particular caribou has a top speed of 70 kph, and in one year it migrates 5000 km. What do you know about the amount of time the caribou spent travelling during its migration?

정답·풀이 보기

순록의 최고 속력을 알고 있으므로, 이를 이용하여 순록이 이동하는 데 쓴 시간의 가능한 최솟값을 구할 수 있다. 순록이 시속 70 km로 이동하면 5000킬로미터를 이동하는 데 $(5000 \mathrm{km})\left(\dfrac{1 \mathrm{hr}}{70 \mathrm{km}}\right) \approx 71.4 \mathrm{hrs}$ 가 걸린다. 순록이 내내 전속력으로 달리지는 않았을 것이므로 아마 그보다 더 오래 걸렸겠지만, 순록이 이동하는 데 적어도 약 71.4시간을 썼다는 것만은 확실하게 말할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

We know the top speed of the caribou, so we can use this to give the minimum possible number of hours the caribou spent travelling during its migration. If the caribou travels at 70kph, it will take $(5000 \mathrm{km})\left(\dfrac{1 \mathrm{hr}}{70 \mathrm{km}}\right) \approx 71.4 \mathrm{hrs}$ to travel 5000 kilometres. Probably the caribou wasn't sprinting the whole time, so probably it took it longer than that, but we can only say for sure that the caribou spent at least about 71.4 hours migrating.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 8번

# 롤의 정리와 평균값 정리활용기본자동 분류

5.CLP-1 · 2.13절 · 2번우리말 번역

이동하는 캐나다두루미 한 마리가 하루 동안 240 킬로미터를 날았다고 하자. 평균값 정리는 그날 이 두루미의 속력에 대해 무엇을 말해 주나요?

영어 원문 보기

Suppose a migrating sandhill crane flew 240 kilometres in one day. What does the mean value theorem tell you about its speed during that day?

정답·풀이 보기

$f(x)$ 가 시간 $x$ (단위: 시간)에서의 두루미의 위치라 하면, ( $x=0$ 을 그날의 시작으로 두면) $f(24)-f(0)=240$ 임을 알 수 있다. $f(x)$ 는 새의 위치이므로 $f(x)$ 는 연속이고 미분가능하다. 따라서 평균값 정리에 의해 $(0,24)$ 에 속하는 어떤 $c$ 가 존재하여 $f'(x)=\dfrac{f(24)-f(0)}{24-0}=\dfrac{240}{24}=10$ 이다. 즉, 그날 어느 한 시점 $c$ 에서 두루미의 속력은 정확히 시속 10 킬로미터였다.

원본 교재 풀이(영어)

If $f(x)$ is the position of the crane at time $x$ , measured in hours, then (if we let $x=0$ be the beginning of the day) we know that $f(24)-f(0)=240$ . Since $f(x)$ is the position of the bird, $f(x)$ is continuous and differentiable. So, the MVT says there is a $c$ in $(0,24)$ such that $f'(x)=\dfrac{f(24)-f(0)}{24-0}=\dfrac{240}{24}=10$ . That is, at some point $c$ during the day, the speed of the crane was exactly 10 kph.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 1번

# 롤의 정리와 평균값 정리활용기본자동 분류

6.CLP-1 · 3.1절 · 2번우리말 번역

어떤 물체가 일정한 가속도로 움직인다고 하자. 이 물체가 $1~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 에서 $2~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 로 가속하는 데 10초가 걸린다. $2~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 에서 $3~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 로 가속하는 데 걸리는 시간을 구하세요. $3~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 에서 $13~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 로 가속하는 데 걸리는 시간을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose an object is moving with a constant acceleration. It takes ten seconds to accelerate from $1~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ to $2~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ . How long does it take to accelerate from $2~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ to $3~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ ? How long does it take to accelerate from $3~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ to $13~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ ?

정답·풀이 보기

가속도가 상수이므로 속도의 변화율이 상수이다. 따라서 속도가 1 m/s 증가하는 데( $1~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 에서 $2~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 로) 10초가 걸렸으므로, 속도가 1 m/s 증가하는 데에는 언제나 10초가 걸린다.

그러므로 $2~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 에서 $3~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 로 가속하는 데 10초가 걸린다. $3~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 에서 $13~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 로 가속하는 데(즉, 속도가 10 m/s 변하는 데)에는 $10\times 10=100$ 초가 걸린다.

원본 교재 풀이(영어)

The acceleration is constant, which means the rate of change of the velocity is constant. So, since it took 10 seconds for the velocity to increase by 1 metre per second (from $1~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ to $2~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ ), then it always takes 10 seconds for the velocity to increase by 1 metre per second.

So, it takes 10 seconds to accelerate from $2~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ to $3~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ . To accelerate from $3~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ to $13~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ (that is, to change its velocity by 10 metres per second), it takes $10\times 10=100$ seconds.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.1절 · 1번

# 속도와 가속도활용기본자동 분류

미분 전체 문제