다항함수의 미분법 연습문제

1.CLP-1 · 2.4절 · 4번우리말 번역

$f$ 를 미분가능한 함수라 하자. 적어도 세 가지 서로 다른 규칙을 사용하여 $g(x)=3f(x)$ 를 미분하고, 모두 같은 답을 주는지 확인하세요.

영어 원문 보기

Let $f$ be a differentiable function. Use at least three different rules to differentiate $g(x)=3f(x)$ , and verify that they all give the same answer.

정답·풀이 보기

창의적으로 생각하면 미분하는 방법을 많이 찾을 수 있다!

상수배: $g'(x)=3f'(x)$ .

곱의 미분법: $g'(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{3\}f(x)+3f'(x)=0f(x)+3f'(x)=3f'(x)$ .

합의 미분법: $g'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)+f(x)+f(x)\}=f'(x)+f'(x)+f'(x)=3f'(x)$ .

몫의 미분법: $g'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{f(x)}{\frac{1}{3}}\right\}= \frac{\frac{1}{3}f'(x)-f(x)(0)}{\frac{1}{9}}=\frac{\frac{1}{3}f'(x)}{\frac{1}{9}}=9\left(\frac{1}{3}\right)f'(x)=3f'(x)$ .

모든 규칙이 $g'(x)=3f'(x)$ 를 준다.

원본 교재 풀이(영어)

If you're creative, you can find lots of ways to differentiate!

Constant multiple: $g'(x)=3f'(x)$ .

Product rule: $g'(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{3\}f(x)+3f'(x)=0f(x)+3f'(x)=3f'(x)$ .

Sum rule: $g'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)+f(x)+f(x)\}=f'(x)+f'(x)+f'(x)=3f'(x)$ .

Quotient rule: $g'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{f(x)}{\frac{1}{3}}\right\}= \frac{\frac{1}{3}f'(x)-f(x)(0)}{\frac{1}{9}}=\frac{\frac{1}{3}f'(x)}{\frac{1}{9}}=9\left(\frac{1}{3}\right)f'(x)=3f'(x)$ .

All rules give $g'(x)=3f'(x)$ .

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# 다항함수의 미분법증명·논술기본자동 분류

2.CLP-1 · 2.4절 · 17번우리말 번역

$f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}$ 를 몫의 미분법으로 미분한 결과가, $f(x)=\dfrac{g(x)}{k(x)}\cdot\dfrac{k(x)}{h(x)}$ 를 곱의 미분법과 몫의 미분법으로 미분한 결과와 같음을 보이세요.

영어 원문 보기

Verify that differentiating $f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}$ using the quotient rule gives the same answer as differentiating $f(x)=\dfrac{g(x)}{k(x)}\cdot\dfrac{k(x)}{h(x)}$ using the product rule and the quotient rule.

정답·풀이 보기

$\begin{aligned} \\ \text{First expression, $f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}$:} \\ f'(x)&=\frac{h(x)g'(x)-g(x)h'(x)}{h^2(x)} \\ \text{Second expresson, $f(x)=\dfrac{g(x)}{k(x)}\cdot\dfrac{k(x)}{h(x)}$:} \\ f'(x)&=\left(\frac{k(x)g'(x)-g(x)k'(x)}{k^2(x)}\right)\left(\frac{k(x)}{h(x)}\right)+\left(\frac{g(x)}{k(x)}\right)\left(\frac{h(x)k'(x)-k(x)h'(x)}{h^2(x)}\right)\\ &=\frac{k(x)g'(x)-g(x)k'(x)}{k(x)h(x)}+ \frac{g(x)h(x)k'(x)-g(x)k(x)h'(x)}{k(x)h^2(x)}\\ &=\frac{h(x)k(x)g'(x)-h(x)g(x)k'(x)}{k(x)h^2(x)}+ \frac{g(x)h(x)k'(x)-g(x)k(x)h'(x)}{k(x)h^2(x)}\\ &=\frac{h(x)k(x)g'(x)-h(x)g(x)k'(x)+g(x)h(x)k'(x)-g(x)k(x)h'(x)}{k(x)h^2(x)}\\ &=\frac{h(x)k(x)g'(x)-g(x)k(x)h'(x)}{k(x)h^2(x)}\\ &=\frac{h(x)g'(x)-g(x)h'(x)}{h^2(x)} \\ \text{and this is exactly what we got from differentiating the first expression.} \\ \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{aligned} \\ \text{First expression, $f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}$:} \\ f'(x)&=\frac{h(x)g'(x)-g(x)h'(x)}{h^2(x)} \\ \text{Second expresson, $f(x)=\dfrac{g(x)}{k(x)}\cdot\dfrac{k(x)}{h(x)}$:} \\ f'(x)&=\left(\frac{k(x)g'(x)-g(x)k'(x)}{k^2(x)}\right)\left(\frac{k(x)}{h(x)}\right)+\left(\frac{g(x)}{k(x)}\right)\left(\frac{h(x)k'(x)-k(x)h'(x)}{h^2(x)}\right)\\ &=\frac{k(x)g'(x)-g(x)k'(x)}{k(x)h(x)}+ \frac{g(x)h(x)k'(x)-g(x)k(x)h'(x)}{k(x)h^2(x)}\\ &=\frac{h(x)k(x)g'(x)-h(x)g(x)k'(x)}{k(x)h^2(x)}+ \frac{g(x)h(x)k'(x)-g(x)k(x)h'(x)}{k(x)h^2(x)}\\ &=\frac{h(x)k(x)g'(x)-h(x)g(x)k'(x)+g(x)h(x)k'(x)-g(x)k(x)h'(x)}{k(x)h^2(x)}\\ &=\frac{h(x)k(x)g'(x)-g(x)k(x)h'(x)}{k(x)h^2(x)}\\ &=\frac{h(x)g'(x)-g(x)h'(x)}{h^2(x)} \\ \text{and this is exactly what we got from differentiating the first expression.} \\ \end{aligned}$

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# 다항함수의 미분법증명·논술도전자동 분류

3.Active Calculus · 2.1절 · 11번우리말 번역

$f(x) = a^x$ 라 하자. 이 문제의 목표는 이 절의 앞부분에서 제시하고 사용했던 $\frac{d}{dx}[a^x]$ 의 공식을 안다고 가정하지 않고, $a$ 의 값이 $f(x)$ 의 도함수에 어떤 영향을 주는지 알아보는 것이다.

(a) 도함수의 극한 정의를 이용하여 다음을 보이세요. $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{a^x \cdot a^h - a^x}{h}\,.$ (b) 다음 등식도 성립하는 이유를 설명하세요. $f'(x) = a^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h}\,.$ (c) 계산 도구와 작은 $h$ 의 값을 이용하여 $a = 2$ 일 때 $L = \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h}$ 의 값을 어림하세요. $a = 3$ 일 때도 마찬가지로 하세요. (d) 극한 $L$ 의 값이 $1$ 이면 이상적이라는 점에 주목하자. 그러면 $f$ 는 매우 특별한 함수가 되는데, 그 도함수가 단지 $a^x$ 이므로 도함수가 자기 자신이 되기 때문이다. $2$ 와 $3$ 사이의 여러 $a$ 의 값을 시험해 보면서 $L = \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} = 1$ 이 되는 $a$ 의 값을 찾아보세요. (e) $\ln(2)$ 와 $\ln(3)$ 의 값을 계산하세요. (b)와 (c)에서 한 작업은 $\frac{d}{dx}[2^x]$ 와 $\frac{d}{dx}[3^x]$ 에 대해 어떤 사실을 암시하나요? (f) (d)에서 한 탐구는 함수 $f(x) = e^x$ 에 관한 어떤 특별히 중요한 사실로 이어지나요?

영어 원문 보기

Let $f(x) = a^x$ . The goal of this problem is to explore how the value of $a$ affects the derivative of $f(x)$ , without assuming we know the rule for $\frac{d}{dx}[a^x]$ that we have stated and used in earlier work in this section.

(a) Use the limit definition of the derivative to show that $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{a^x \cdot a^h - a^x}{h}\,.$ (b) Explain why it is also true that $f'(x) = a^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h}\,.$ (c) Use computing technology and small values of $h$ to estimate the value of $L = \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h}$ when $a = 2$ . Do likewise when $a = 3$ . (d) Note that it would be ideal if the value of the limit $L$ was $1$ , for then $f$ would be a particularly special function: its derivative would be simply $a^x$ , which would mean that its derivative is itself. By experimenting with different values of $a$ between $2$ and $3$ , try to find a value for $a$ for which $L = \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} = 1\,.$ (e) Compute $\ln(2)$ and $\ln(3)$ . What does your work in (b) and (c) suggest is true about $\frac{d}{dx}[2^x]$ and $\frac{d}{dx}[3^x]$ ? (f) How do your investigations in (d) lead to a particularly important fact about the function $f(x) = e^x$ ?

정답·풀이 보기

(a) 정의에 의해 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,.$ $f(x)=a^x$ 이고 $a^{x+h} = a^x \cdot a^h$ 임을 이용하면 $\begin{aligned}f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{a^{x+h}-a^x}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{a^{x} \cdot a^{h} - a^x}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{a^{x}(a^{h}-1)}{h}\end{aligned}\,,$ 이다. 여기서 마지막 등호는 분자의 각 항에서 공통인수 $a^x$ 을 묶어 내면 성립한다. (b) $a^x$ 은 $h$ 에 전혀 의존하지 않으므로, 이 극한에서 $a^x$ 을 상수로 취급할 수 있다. 따라서 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{a^{x}(a^{h}-1)}{h} = a^{x} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{a^{h}-1}{h}\,.$ 이는 $a^x$ 의 도함수가 $a^x$ 의 어떤 상수 배임을 알려 준다. (그리고 그 상수의 값은 $\lim_{h \to 0} \frac{a^{h}-1}{h}$ 이어야 한다.) (c) $h = \pm 0.0001$ 을 이용하면, $a = 2$ 일 때 $L \approx 0.6931$ 이고 $a = 3$ 일 때 $L \approx 1.0986$ 인 것으로 보인다. (d) 시험해 보면, 먼저 $a \approx 2.7$ 임을 알 수 있다( $L \approx 0.993$ 이므로 $a$ 는 $2.7$ 보다 조금 더 커야 한다). $L$ 이 $1$ 에 점점 더 가까워지는 $a$ 의 값을 계속 시험하면 $a \approx 2.71828$ 을 얻는다( $L \approx 1.000$ 이 되는 값). (e) $\ln(2) \approx 0.6931$ 이고 $\ln(3) \approx 1.0986$ 임에 주목하자. 이 값들은 $a = 2$ 와 $a = 3$ 일 때 $\lim_{h \to 0} \frac{a^{h}-1}{h}$ 의 값과 일치하므로, $\frac{d}{dx}[2^x] = 2^x \cdot \ln(2)$ 그리고 $\frac{d}{dx}[3^x] = 3^x \cdot \ln(3)$ 이라고 추측한다. (f) 위의 작업은 $\frac{d}{dx}[a^x] = a^x \cdot \ln(a)$ 임을 암시하며, $a = e \approx 2.71828$ 일 때 $\frac{d}{dx}[e^x] = e^x \cdot \ln(e) = e^x$ 이다. 따라서 $e^x$ 은 매우 특별한 함수이다. 그 도함수가 자기 자신이다!

원본 교재 풀이(영어)

(a) By definition, $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,.$ Using the fact that $f(x)=a^x$ along with $a^{x+h} = a^x \cdot a^h$ , we have $\begin{aligned}f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{a^{x+h}-a^x}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{a^{x} \cdot a^{h} - a^x}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{a^{x}(a^{h}-1)}{h}\end{aligned}\,,$ where the last equality follows by removing the common factor of $a^x$ from each term in the numerator. (b) Since $a^x$ does not depend at all on $h$ , we may treat $a^x$ as constant in the noted limit. Thus, $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{a^{x}(a^{h}-1)}{h} = a^{x} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{a^{h}-1}{h}\,.$ Note that this tells us that the derivative of $a^x$ is some constant multiple of $a^x$ (and that the constant's values must be $\lim_{h \to 0} \frac{a^{h}-1}{h}$ .) (c) Using $h = \pm 0.0001$ , it appears that when $a = 2$ , $L \approx 0.6931$ , while when $a = 3$ , $L \approx 1.0986$ . (d) By experimenting, we see first that $a \approx 2.7$ (for which $L \approx 0.993$ , so $a$ needs to be slightly bigger than $2.7$ ). Continuing to try values of $a$ that result in $L$ being closer and closer to $1$ , we find $a \approx 2.71828$ (for which $L \approx 1.000$ ) (e) We note that $\ln(2) \approx 0.6931$ and $\ln(3) \approx 1.0986$ . Since these values correspond to the values of $\lim_{h \to 0} \frac{a^{h}-1}{h}$ when $a = 2$ and $a = 3$ , we conjecture that $\frac{d}{dx}[2^x] = 2^x \cdot \ln(2)$ and $\frac{d}{dx}[3^x] = 3^x \cdot \ln(3)$ (f) Our work suggests that $\frac{d}{dx}[a^x] = a^x \cdot \ln(a)$ , and when $a = e \approx 2.71828$ , it follows that $\frac{d}{dx}[e^x] = e^x \cdot \ln(e) = e^x$ Thus, $e^x$ is a very special function: its derivative is itself!

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.6절 · 12번

# 다항함수의 미분법증명·논술자동 분류