문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

속도와 가속도

직선 위를 움직이는 점의 위치를 미분해 속도·가속도를 구한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

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4문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 3.4절 · 10번우리말 번역

다음 그래프는 직선을 따라 움직이는 물체의 위치 $y=s(t)$ 를 나타낸 것이다.

좌표평면 위에 함수의 그래프가 그려져 있다. 그래프는 원점에서 (2, 2)까지 이어지는 포물선의 일부이며 (1.5, 2.25)에서 최댓값을 갖는다. 그 후 (5, 2)까지는 함수가 상수이고, (5, 2)에서 다시 포물선이 되어 (6, 1)에서 최솟값을 갖도록 감소한 다음 (7, 2)까지 증가한다.

a. 위치 함수의 그래프를 이용하여 속도가 양수, 음수, 0인 시간 구간을 각각 구하세요. b. 속도 함수의 그래프를 그리세요. c. 속도 함수의 그래프를 이용하여 가속도가 양수, 음수, 0인 시간 구간을 각각 구하세요. d. 물체가 빨라지는 시간 구간과 느려지는 시간 구간을 구하세요.

영어 원문 보기

The following graph shows the position $y=s(t)$ of an object moving along a straight line.

On the Cartesian coordinate plane, a function is graphed that is part of a parabola from the origin to (2, 2) with maximum at (1.5, 2.25). Then the function is constant until (5, 2), at which points becomes a parabola again, decreasing to a minimum at (6, 1) and then increasing to (7, 2).

a. Use the graph of the position function to determine the time intervals when the velocity is positive, negative, or zero. b. Sketch the graph of the velocity function. c. Use the graph of the velocity function to determine the time intervals when the acceleration is positive, negative, or zero. d. Determine the time intervals when the object is speeding up or slowing down.

정답·풀이 보기

a. 속도는 $(0,1.5)\cup (6,7)$ 에서 양수, $(1.5,2)\cup (5,6)$ 에서 음수, $(2,5)$ 에서 0이다. b.

그래프는 (0, 2)에서 (2, −1)까지의 직선이고, 이어서 불연속으로 (2, 0)에서 (5, 0)까지의 직선이 있으며, 다시 불연속으로 (5, −4)에서 (7, 4)까지의 직선이 있다.

c. 가속도는 $(5,7)$ 에서 양수, $(0,2)$ 에서 음수, $(2,5)$ 에서 0이다. d. 물체는 $(6,7)\cup (1.5,2)$ 에서 빨라지고 $(0,1.5)\cup (5,6)$ 에서 느려진다.

원본 교재 풀이(영어)

a. Velocity is positive on $(0,1.5)\cup (6,7),$ negative on $(1.5,2)\cup (5,6),$ and zero on $(2,5).$ b.

The graph is a straight line from (0, 2) to (2, −1), then is discontinuous with a straight line from (2, 0) to (5, 0), and then is discontinuous with a straight line from (5, −4) to (7, 4).

c. Acceleration is positive on $(5,7),$ negative on $(0,2),$ and zero on $(2,5).$ d. The object is speeding up on $(6,7)\cup (1.5,2)$ and slowing down on $(0,1.5)\cup (5,6).$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.4절 · 14번

# 속도와 가속도그래프·표 해석자동 분류

2.OpenStax 1권 · 3.4절 · 22번우리말 번역

[계산기 사용] 홀링 I형 방정식은 $f(x)=ax$ 로 나타내어진다. 여기서 $x$ 는 이용 가능한 먹이의 양이고 $a>0$ 은 포식자가 먹이를 만나 섭취하는 비율이다.

a. $a=0.5$ 일 때, 홀링 I형 방정식의 그래프를 그리세요. b. 홀링 I형 방정식의 일계도함수를 구하고, 그 도함수가 물리적으로 무엇을 뜻하는지 설명하세요. c. 홀링 I형 방정식의 이계도함수를 구하고, 그 도함수가 물리적으로 무엇을 뜻하는지 설명하세요. d. b와 c에서 얻은 해석을 이용하여 홀링 I형 방정식이 현실적이지 않을 수 있는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

[T] The Holling type I equation is described by $f(x)=ax,$ where $x$ is the amount of prey available and $a>0$ is the rate at which the predator meets the prey for consumption.

a. Graph the Holling type I equation, given $a=0.5.$ b. Determine the first derivative of the Holling type I equation and explain physically what the derivative implies. c. Determine the second derivative of the Holling type I equation and explain physically what the derivative implies. d. Using the interpretations from b. and c. explain why the Holling type I equation may not be realistic.

정답·풀이 보기

그래프는 원점을 지나고 기울기가 1/2인 직선이다.

b. ${f}^{'}(x)=a$ . 먹이가 많이 늘어날수록 포식자는 더 많이 성장한다. c. ${f}^{''}(x)=0$ . 먹이의 양이 늘어나도 포식자 개체 수의 증가율이 늘어나는 비율은 일정하다. d. 이 방정식은 먹이가 더 많으면 포식자가 섭취량을 선형적으로 늘릴 수 있다고 가정한다. 이 가정은 비현실적인데, 먹이가 너무 많아 포식자가 충분히 섭취할 수 없게 되는 어떤 포화점이 있을 것으로 예상되기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

The graph is a straight line drawn through the origin with slope 1/2.

b. ${f}^{'}(x)=a.$ The more increase in prey, the more growth for predators. c. ${f}^{''}(x)=0.$ As the amount of prey increases, the rate at which the predator population growth increases is constant. d. This equation assumes that if there is more prey, the predator is able to increase consumption linearly. This assumption is unphysical because we would expect there to be some saturation point at which there is too much prey for the predator to consume adequately.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.4절 · 8번

# 속도와 가속도그래프·표 해석자동 분류

3.OpenStax 1권 · 3.4절 · 25번우리말 번역

[계산기 사용] 1937년부터 1943년까지 7년 동안 수집한 눈신토끼의 개체 수(단위: 천 마리)와 스라소니의 개체 수(단위: 백 마리)가 다음 표에 나와 있습니다. 눈신토끼는 스라소니의 주된 먹이입니다.

눈신토끼와 스라소니의 개체 수

눈신토끼의 개체 수(천 마리)	스라소니의 개체 수(백 마리)
20	10
55	15
65	55
95	60

출처: http://www.biotopics.co.uk/newgcse/predatorprey.html.

a. 자료의 점들을 그래프로 그리고, 어떤 홀링 유형 함수가 자료에 가장 잘 맞는지 판단하세요. b. 매개변수 $a$ 와 $n$ 의 의미를 이용하여, 자료의 그래프를 살펴보고 두 매개변수의 값을 구하세요. $n$ 은 포식자 값이 최댓값의 절반이 되게 하는 먹이 값을 나타낸다는 것을 기억하세요. c. 자료 위에 홀링 I형, II형, III형 함수의 그래프를 함께 그리세요. a에서 얻은 결과가 맞았습니까?

영어 원문 보기

[T] The populations of the snowshoe hare (in thousands) and the lynx (in hundreds) collected over 7 years from 1937 to 1943 are shown in the following table. The snowshoe hare is the primary prey of the lynx.

Snowshoe Hare and Lynx Populations

Population of snowshoe hare (thousands)	Population of lynx (hundreds)
20	10
55	15
65	55
95	60

Source: http://www.biotopics.co.uk/newgcse/predatorprey.html.

a. Graph the data points and determine which Holling-type function fits the data best. b. Using the meanings of the parameters $a$ and $n,$ determine values for those parameters by examining a graph of the data. Recall that $n$ measures what prey value results in the half-maximum of the predator value. c. Plot the resulting Holling-type I, II, and III functions on top of the data. Was the result from part a. correct?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.4절 · 14번

# 속도와 가속도그래프·표 해석자동 분류

4.CLP-1 · 3.1절 · 16번우리말 번역

당신은 트램펄린 가장자리에서 처음 위쪽 속도 초속 $1$ 미터로 뛰어오릅니다. 공중에 있는 동안 중력 때문에 당신의 감속도는 일정하게 초당 $9.8$ 미터씩 매초 늘어납니다. 트램펄린에 닿은 뒤 떨어지는 동안에는 당신의 속력이 초당 $4.9$ 미터마다 매초씩 줄어듭니다. 점프의 최고점부터 트램펄린 위에서 가장 낮은 지점까지 몇 초가 지나는지 구하세요.

영어 원문 보기

You jump up from the side of a trampoline with an initial upward velocity of $1$ metre per second. While you are in the air, your deceleration is a constant $9.8$ metres per second per second due to gravity. Once you hit the trampoline, as you fall your speed decreases by $4.9$ metres per second per second. How many seconds pass between the peak of your jump and the lowest part of your fall on the trampoline?

정답·풀이 보기

(1) 뛰어오른 뒤 트램펄린에 닿기 전과 (2) 트램펄린 속으로 떨어지는 동안에는 서로 다른 힘이 작용한다. 두 경우 모두 가속도가 상수이므로 두 높이 함수는 모두 $\frac{a}{2}t^2+vt+h$ 꼴의 이차함수이다. 여기서 $a$ 는 가속도, $v$ 는 $t=0$ 일 때의 속도, $h$ 는 처음 높이이다.

먼저 (1), 즉 점프하는 동안 발이 트램펄린에 닿기 전의 시간을 생각하자. $t=0$ 을 뛰어오른 순간으로 하고, 트램펄린 가장자리의 높이를 $0$ 으로 하자. 처음 속도가 (양수) 초속 $1$ 미터였으므로 높이는 다음과 같다. $h_1(t)=\frac{-9.8}{2}t^2+t=t\left(\frac{-9.8}{2}t+1\right)$ 가속도가 양의 속도와 반대로 작용하므로 음의 부호가 붙는다는 점에 주의한다.
떨어지다가 발이 처음 트램펄린에 닿을 때의 속도를 알아야 한다. 점프한 뒤 발이 처음 트램펄린에 닿는 시각은 바로 $h_1(t)=0$ 이고 $t>0$ 일 때이다. 즉 $t=\frac{2}{9.8}$ 일 때이다. 이제 $h'(t)=-9.8t+1$ 이므로 $h'\left(\frac{2}{9.8}\right)=-9.8\left(\frac{2}{9.8}\right)+1=-1$ 이다. 따라서 발이 트램펄린에 닿는 순간 당신은 초속 1 미터로 내려가고 있다.

참고: 이 값이 처음 속력과 같은 것은 우연만은 아니다. 포물선의 대칭성과 에너지 보존을 생각해 보자.

이제 트램펄린이 낙하를 늦추는 동안의 높이를 생각해야 한다. 일반식 $\frac{a}{2}t^2+vt+h$ 에서 $v$ 는 $t=0$ 일 때의 속도라는 점을 기억하자. 그런데 트램펄린에 닿는 시각은 $t=0$ 이 아니라 $t=\frac{2}{9.8}$ 이다. 간단히 하기 위해 여정의 두 번째 부분에는 다른 시간 척도를 쓰자. 발이 트램펄린 표면에 닿는 순간( $T=0$ )부터 낙하의 맨 아래까지, 시각 $T$ 에서의 높이를 $h_2(T)$ 라 하자. 이제 처음 속도가 초속 $-1$ 미터(높이가 줄어들므로 음수)이고 가속도가 초당 $4.9$ 미터마다 매초(속도가 음수에서 $0$ 으로 증가하므로 양수)라는 사실을 쓸 수 있다. $h_2(T)=\frac{4.9}{2}T^2-T$ 여기서도 트램펄린 가장자리의 높이는 $0$ 으로 본다.

참고: 자유 낙하할 때의 가속도는 음수인데 트램펄린 위에서의 가속도는 양수라는 점이 혼란스럽다면, 중력은 당신을 아래로 밀고 트램펄린은 당신을 위로 민다는 것을 기억하자.

트램펄린 속에서 얼마나 오래 떨어졌을까? 식 $h_2(T)$ 는 트램펄린이 낙하를 늦추는 동안에만 높이를 알려 준다. 속도가 $0$ 이 될 때 낙하의 맨 아래에 이른다. $h_2'(T)=4.9T-1$ 이므로 $T=\frac{1}{4.9}$ 일 때 낙하의 맨 아래에 이른다. 주의하자. 이것은 트램펄린에 닿은 때로부터 $\frac{1}{4.9}$ 초 뒤이지, 낙하의 최고점이나 뛰어오른 때로부터가 아니다.
마지막 조각은 점프의 최고점에서 트램펄린 표면까지 떨어지는 데 걸린 시간이다. 그동안의 운동을 나타내는 식은 $h_1(t)=\frac{-9.8}{2}t^2+t$ 이다. 속도가 $0$ 일 때 최고점에 이른다. $h_1'(t)=-9.8t+1 =0\qquad\Rightarrow\qquad t=\frac{1}{9.8}$ 따라서 당신은 $t=\frac{1}{9.8}$ 에서 최고점을 출발하여 $t=\frac{2}{1.98}$ 에서 트램펄린 가장자리 높이에 이르렀으므로, 낙하에 $\frac{1}{9.8}$ 초가 걸렸다.

참고: 앞에서 언급한 대칭성에 의해, 점프의 최고점에서 트램펄린 표면까지 떨어지는 데 걸린 시간은 가장자리에서 뛰어오른 순간부터 다시 트램펄린 표면에 닿는 순간까지 걸린 시간의 절반과 같다.

따라서 점프의 최고점에서 맨 아래까지 떨어진 시간은 $\frac{1}{9.8}+\frac{1}{4.9}\approx 0.3$ 초이다.

원본 교재 풀이(영어)

Different forces are acting on you (1) after you jump but before you land on the trampoline, and (2) while you are falling into the trampoline. In both instances, the acceleration is constant, so both height functions are quadratic, of the form $\frac{a}{2}t^2+vt+h$ , where $a$ is the acceleration, $v$ is the velocity when $t=0$ , and $h$ is the initial height.

Let's consider (1) first, the time during your jump before your feet touch the trampoline. Let $t=0$ be the moment you jump, and let the rim of the trampoline be height $0$ . Then, since your initial velocity was (positive) $1$ meter per second, your height is given by $h_1(t)=\frac{-9.8}{2}t^2+t=t\left(\frac{-9.8}{2}t+1\right)$ Notice that, because your acceleration is working against your positive velocity, it has a negative sign.
We'll need to know your velocity when your feet first touch the trampoline on your fall. The time your feet first first touch the trampoline after your jump is precisely when $h_1(t)=0$ and $t>0$ . That is, when $t=\frac{2}{9.8}$ . Now, since $h'(t)=-9.8t+1$ , $h'\left(\frac{2}{9.8}\right)=-9.8\left(\frac{2}{9.8}\right)+1=-1$ . So, you are descending at a rate of 1 metre per second at the instant your feet touch the trampoline.

Remark: it is not only coincidence that this was your initial speed. Think about the symmetries of parabolas, and conservation of energy.

Now we need to think about your height as the trampoline is slowing your fall. One thing to remember about our general equation $\frac{a}{2}t^2+vt+h$ is that $v$ is the velocity when $t=0$ . But, you don't hit the trampoline at $t=0$ , you hit it at $t=\frac{2}{9.8}$ . In order to keep things simple, let's use a different time scale for this second part of your journey. Let's let $h_2(T)$ be your height at time $T$ , from the moment your feet touch the trampoline skin ( $T=0$ ) to the bottom of your fall. Now, we can use the fact that your initial velocity is $-1$ metres per second (negative, since your height is decreasing) and your acceleration is $4.9$ metres per second per second (positive, since your velocity is increasing from a negative number to zero): $h_2(T)=\frac{4.9}{2}T^2-T$ where still the height of the rim of the trampoline is taken to be zero.

Remark: if it seems very confusing that your free-falling acceleration is negative, while your acceleration in the trampoline is positive, remember that gravity is pushing you down, but the trampoline is pushing you up.

How long were you falling in the trampoline? The equation $h_2(T)$ tells you your height only as long as the trampoline is slowing your fall. You reach the bottom of your fall when your velocity is zero. $h_2'(T)=4.9T-1$ so you reach the bottom of your fall at $T=\frac{1}{4.9}$ . Be careful: this is $\frac{1}{4.9}$ seconds after you entered the trampoline, not after the peak of your fall, or after you jumped.
The last piece of the puzzle is how long it took you to fall from the peak of your jump to the surface of the trampoline. We know the equation of your motion during that time: $h_1(t)=\frac{-9.8}{2}t^2+t$ . You reached the peak when your velocity was zero: $h_1'(t)=-9.8t+1 =0\qquad\Rightarrow\qquad t=\frac{1}{9.8}$ So, you fell from your peak at $t=\frac{1}{9.8}$ and reached the level of the trampoline rim at $t=\frac{2}{1.98}$ , which means the fall took $\frac{1}{9.8}$ seconds.

Remark: by the symmetry mentioned early, the time it took to fall from the peak of your jump to the surface of the trampoline is the same as one-half the time from the moment you jumped off the rim to the moment you're back on the surface of the trampoline.

So, your time falling from the peak of your jump to its bottom was $\frac{1}{9.8}+\frac{1}{4.9}\approx 0.3$ seconds.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.1절 · 11번

# 속도와 가속도그래프·표 해석도전자동 분류