속도와 가속도 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 3.4절 · 6번우리말 풀이

위치 함수 $s(t)=t^2-3t-4$ 는 차고에서 후진해 나온 뒤 일직선으로 달리는 자동차 뒤쪽의 위치를 나타내요. $s$ 의 단위는 피트, $t$ 의 단위는 초예요. 여기서 $s(t)=0$ 은 자동차 뒤쪽이 차고 문에 있는 순간이고, $s(0)=-4$ 는 처음 위치가 차고 안쪽 4피트라는 뜻이에요.

a. $s(t)=0$ 일 때 자동차의 속도를 구하세요. b. $s(t)=14$ 일 때 자동차의 속도를 구하세요.

영어 원문 보기

The position function $s(t)={t}^{2}-3t-4$ represents the position of the back of a car backing out of a driveway and then driving in a straight line, where $s$ is in feet and $t$ is in seconds. In this case, $s(t)=0$ represents the time at which the back of the car is at the garage door, so $s(0)=-4$ is the starting position of the car, 4 feet inside the garage.

a. Determine the velocity of the car when $s(t)=0.$ b. Determine the velocity of the car when $s(t)=14.$

풀이 보기

속도는 위치를 시간에 대해 미분한 값이에요. 먼저 그 위치가 되는 시각 $t$ 를 찾고 속도에 넣어요.

1
위치를 미분하면 속도예요. $v(t)=s'(t)=2t-3$ 이에요.
2
(a) $s(t)=0$ 인 시각을 찾아요. $t^2-3t-4=(t-4)(t+1)=0$ 에서 $t=4$ 또는 $t=-1$ 이에요. 시간은 $0$ 이상이어야 하므로 $t=4$ 예요. 속도는 $v(4)=2\cdot4-3=5$ (피트/초)예요.
3
(b) $s(t)=14$ 이면 $t^2-3t-18=0$ 이고, $(t-6)(t+3)=0$ 이므로 $t=6$ (음수인 $t=-3$ 은 버려요). 속도는 $v(6)=2\cdot6-3=9$ (피트/초)예요.

답

(a) $5\text{ 피트/초}$ (b) $9\text{ 피트/초}$

자주 하는 실수

방정식을 풀 때 나온 음수 시각 $t$ 를 버리지 않고 그대로 속도에 넣는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

a. 5 ft/s b. 9 ft/s

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.4절 · 20번

# 속도와 가속도활용기본

2.OpenStax 1권 · 3.4절 · 1번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 함수는 수평선을 따라 움직이는 입자의 위치를 나타낸다. $t\ge 0$ .

a. 속도와 가속도 함수를 구하세요. b. 물체가 느려지는 시간 구간과 빨라지는 시간 구간을 판단하세요.

$s(t)=2{t}^{3}-3{t}^{2}-12t+8$

영어 원문 보기

For the following exercises, the given functions represent the position of a particle traveling along a horizontal line; $t\ge 0$ .

a. Find the velocity and acceleration functions. b. Determine the time intervals when the object is slowing down or speeding up.

$s(t)=2{t}^{3}-3{t}^{2}-12t+8$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.1절 · 13번

# 속도와 가속도활용자동 분류

3.OpenStax 1권 · 3.4절 · 2번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 함수는 수평선을 따라 움직이는 입자의 위치를 나타낸다. $t\ge 0$ .

a. 속도와 가속도 함수를 구하세요. b. 물체가 느려지는 시간 구간과 빨라지는 시간 구간을 판단하세요.

$s(t)=2{t}^{3}-15{t}^{2}+36t-10$

영어 원문 보기

For the following exercises, the given functions represent the position of a particle traveling along a horizontal line; $t\ge 0$ .

a. Find the velocity and acceleration functions. b. Determine the time intervals when the object is slowing down or speeding up.

$s(t)=2{t}^{3}-15{t}^{2}+36t-10$

정답·풀이 보기

a. $v(t)=6{t}^{2}-30t+36,a(t)=12t-30;$ b. 빨라지는 구간 $(2,2.5)\cup (3,\infty )$ , 느려지는 구간 $(0,2)\cup (2.5,3)$

원본 교재 풀이(영어)

a. $v(t)=6{t}^{2}-30t+36,a(t)=12t-30;$ b. speeds up $(2,2.5)\cup (3,\infty ),$ slows down $(0,2)\cup (2.5,3)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.1절 · 2번

# 속도와 가속도활용자동 분류

4.OpenStax 1권 · 3.4절 · 3번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 함수는 수평선을 따라 움직이는 입자의 위치를 나타낸다. $t\ge 0$ 이다.

a. 속도 함수와 가속도 함수를 구하세요. b. 물체의 속력이 줄어드는 시간 구간과 늘어나는 시간 구간을 판단하세요.

$s(t)=\frac{t}{1+{t}^{2}}$

영어 원문 보기

For the following exercises, the given functions represent the position of a particle traveling along a horizontal line; $t\ge 0$ .

a. Find the velocity and acceleration functions. b. Determine the time intervals when the object is slowing down or speeding up.

$s(t)=\frac{t}{1+{t}^{2}}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.1절 · 17번

# 속도와 가속도활용자동 분류

5.OpenStax 1권 · 3.4절 · 4번우리말 번역

모형 로켓을 지면에서 수직으로 위로 쏘아 올렸다. 발사 후 $t$ 초 동안 로켓이 지면으로부터 이동한 거리 $s$ 피트는 $s(t)=-16{t}^{2}+560t$ 로 주어진다.

a. 발사 3초 후 로켓의 속도를 구하세요. b. 발사 3초 후 로켓의 가속도를 구하세요.

영어 원문 보기

A model rocket is fired vertically upward from the ground. The distance $s$ in feet that the rocket travels from the ground after $t$ seconds is given by $s(t)=-16{t}^{2}+560t.$

a. Find the velocity of the rocket 3 seconds after being fired. b. Find the acceleration of the rocket 3 seconds after being fired.

정답·풀이 보기

a. $464{\,\text{ft/s}}^{2}$ b. $-32{\,\text{ft/s}}^{2}$

원본 교재 풀이(영어)

a. $464{\,\text{ft/s}}^{2}$ b. $-32{\,\text{ft/s}}^{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.1절 · 14번

# 속도와 가속도활용자동 분류

6.OpenStax 1권 · 3.4절 · 5번우리말 번역

높이가 64피트인 건물의 꼭대기에서 공을 8 ft/s의 속력으로 아래로 던졌다. $t$ 초 후 공의 지면으로부터의 높이는 $s(t)=-16{t}^{2}-8t+64$ 로 주어진다.

a. 공이 지면에 닿을 때까지 걸리는 시간을 구하세요. b. 공이 지면에 닿는 순간의 속도를 구하세요.

영어 원문 보기

A ball is thrown downward with a speed of 8 ft/s from the top of a 64-foot-tall building. After t seconds, its height above the ground is given by $s(t)=-16{t}^{2}-8t+64.$

a. Determine how long it takes for the ball to hit the ground. b. Determine the velocity of the ball when it hits the ground.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.4절 · 20번

# 속도와 가속도활용자동 분류

7.OpenStax 1권 · 3.4절 · 7번우리말 번역

직선을 따라 날아가는 벌새의 $t$ 초 후 위치는 $s(t)=3{t}^{3}-7t$ 미터로 주어진다.

a. $t=1$ 초일 때 벌새의 속도를 구하세요. b. $t=1$ 초일 때 벌새의 가속도를 구하세요. c. 속도가 0일 때 벌새의 가속도를 구하세요.

영어 원문 보기

The position of a hummingbird flying along a straight line in $t$ seconds is given by $s(t)=3{t}^{3}-7t$ meters.

a. Determine the velocity of the bird at $t=1$ sec. b. Determine the acceleration of the bird at $t=1$ sec. c. Determine the acceleration of the bird when the velocity equals 0.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.4절 · 14번

# 속도와 가속도활용자동 분류

8.OpenStax 1권 · 3.4절 · 8번우리말 번역

감자 발사기가 높이 85피트인 건물 꼭대기에서 감자를 초기 속도 100 ft/s로 수직 위로 발사한다. $t$ 초 후 지면에 대한 감자의 위치는 $s(t)=-16{t}^{2}+100t+85$ 로 주어진다.

a. $0.5\,\text{s}$ 후와 $5.75\,\text{s}$ 후 감자의 속도를 구하세요. b. 0.5 s일 때와 5.75 s일 때 감자의 속력을 구하세요. c. 감자가 최고 높이에 도달하는 때를 구하세요. d. 0.5 s일 때와 1.5 s일 때 감자의 가속도를 구하세요. e. 감자가 공중에 떠 있는 시간을 구하세요. f. 감자가 땅에 닿는 순간의 속도를 구하세요.

영어 원문 보기

A potato is launched vertically upward with an initial velocity of 100 ft/s from a potato gun at the top of an 85-foot-tall building. The position of the potato relative to the ground after $t$ seconds is given by $s(t)=-16{t}^{2}+100t+85.$

a. Find the velocity of the potato after $0.5\,\text{s}$ and $5.75\,\text{s}.$ b. Find the speed of the potato at 0.5 s and 5.75 s. c. Determine when the potato reaches its maximum height. d. Find the acceleration of the potato at 0.5 s and 1.5 s. e. Determine how long the potato is in the air. f. Determine the velocity of the potato upon hitting the ground.

정답·풀이 보기

a. 84 ft/s, −84 ft/s b. 84 ft/s c. $\frac{25}{8}\,\text{s}$ d. 두 경우 모두 $-32{\,\text{ft/s}}^{2}$ e. $\frac{1}{8}\left(25+\sqrt{965}\right)\,\text{s}$ f. $-4\sqrt{965}\,\text{ft/s}$

원본 교재 풀이(영어)

a. 84 ft/s, −84 ft/s b. 84 ft/s c. $\frac{25}{8}\,\text{s}$ d. $-32{\,\text{ft/s}}^{2}$ in both cases e. $\frac{1}{8}\left(25+\sqrt{965}\right)\,\text{s}$ f. $-4\sqrt{965}\,\text{ft/s}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.4절 · 2번

# 속도와 가속도활용자동 분류

9.OpenStax 1권 · 3.4절 · 9번우리말 번역

위치 함수 $s(t)={t}^{3}-8t$ 는 동쪽을 양의 방향으로 하고 $t$ 를 시간 단위로 측정할 때, 화물 열차의 위치를 마일 단위로 나타낸 것이다.

a. $s(t)=0$ 일 때 열차가 움직이는 방향을 구하세요. b. $a(t)=0$ 일 때 열차가 움직이는 방향을 구하세요. c. 열차가 느려지는 시간 구간과 빨라지는 시간 구간을 구하세요.

영어 원문 보기

The position function $s(t)={t}^{3}-8t$ gives the position in miles of a freight train where east is the positive direction and $t$ is measured in hours.

a. Determine the direction the train is traveling when $s(t)=0.$ b. Determine the direction the train is traveling when $a(t)=0.$ c. Determine the time intervals when the train is slowing down or speeding up.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.4절 · 22번

# 속도와 가속도활용자동 분류

10.OpenStax 1권 · 3.4절 · 11번우리말 번역

식품 가공기를 제조하는 회사의 비용 함수(단위: 달러)가 $C(x)=200+\frac{7}{x}+\frac{{x}^{2}}{7}$ 으로 주어진다. 여기서 $x$ 는 제조한 식품 가공기의 수이다.

a. 한계비용 함수를 구하세요. b. 한계비용 함수를 이용하여 13번째 식품 가공기를 제조하는 데 드는 비용을 어림하세요. c. 13번째 식품 가공기를 제조하는 데 드는 실제 비용을 구하세요.

영어 원문 보기

The cost function, in dollars, of a company that manufactures food processors is given by $C(x)=200+\frac{7}{x}+\frac{{x}^{2}}{7},$ where $x$ is the number of food processors manufactured.

a. Find the marginal cost function. b. Use the marginal cost function to estimate the cost of manufacturing the thirteenth food processor. c. Find the actual cost of manufacturing the thirteenth food processor.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.4절 · 16번

# 속도와 가속도활용자동 분류

11.OpenStax 1권 · 3.4절 · 13번우리말 번역

[계산기 사용] 수입이 비용을 넘으면 이익이 생긴다. 스케이트보드 제조업체의 이익 함수가 $P(x)=30x-0.3{x}^{2}-250$ 으로 주어져 있다고 하자. 여기서 $x$ 는 판매한 스케이트보드의 대수이다.

a. 30번째 스케이트보드를 판매하여 얻는 이익을 정확하게 구하세요. b. 한계이익 함수를 구하고, 이를 이용하여 30번째 스케이트보드를 판매하여 얻는 이익을 어림하세요.

영어 원문 보기

[T] A profit is earned when revenue exceeds cost. Suppose the profit function for a skateboard manufacturer is given by $P(x)=30x-0.3{x}^{2}-250,$ where $x$ is the number of skateboards sold.

a. Find the exact profit from the sale of the thirtieth skateboard. b. Find the marginal profit function and use it to estimate the profit from the sale of the thirtieth skateboard.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.4절 · 22번

# 속도와 가속도활용자동 분류

12.OpenStax 1권 · 3.4절 · 14번우리말 번역

[계산기 사용] 일반적으로 이익 함수는 수입 함수와 비용 함수의 차이다: $P(x)=R(x)-C(x)$ .

무선 드릴을 생산할 때의 가격-수요 함수와 비용 함수가 각각 $p=143-0.03x$ 와 $C(x)=75,000+65x$ 로 주어져 있다고 하자. 여기서 $x$ 는 드릴 한 대당 $p$ 달러의 가격으로 판매되는 무선 드릴의 대수이고, $C(x)$ 는 무선 드릴 $x$ 대를 생산하는 데 드는 비용이다.

a. 한계비용 함수를 구하세요. b. 수입 함수와 한계수입 함수를 구하세요. c. ${R}^{'}(1000)$ 과 ${R}^{'}(4000)$ 을 구하세요. 그 결과를 설명하세요. d. 이익 함수와 한계이익 함수를 구하세요. e. ${P}^{'}(1000)$ 과 ${P}^{'}(4000)$ 을 구하세요. 그 결과를 설명하세요.

영어 원문 보기

[T] In general, the profit function is the difference between the revenue and cost functions: $P(x)=R(x)-C(x).$

Suppose the price-demand and cost functions for the production of cordless drills is given respectively by $p=143-0.03x$ and $C(x)=75,000+65x,$ where $x$ is the number of cordless drills that are sold at a price of $p$ dollars per drill and $C(x)$ is the cost of producing $x$ cordless drills.

a. Find the marginal cost function. b. Find the revenue and marginal revenue functions. c. Find ${R}^{'}(1000)$ and ${R}^{'}(4000).$ Interpret the results. d. Find the profit and marginal profit functions. e. Find ${P}^{'}(1000)$ and ${P}^{'}(4000).$ Interpret the results.

정답·풀이 보기

a. ${C}^{'}(x)=65$ b. $R(x)=143x-0.03{x}^{2},{R}^{'}(x)=143-0.06x$ c. $83,-97$ . 무선 드릴 생산량이 1000대일 때 수입은 드릴 한 대당 $83의 비율로 증가하고, 생산량이 4000대일 때 수입은 드릴 한 대당 $97의 비율로 감소한다. d. $P(x)=-0.03{x}^{2}+78x-75000,{P}^{'}(x)=-0.06x+78$ e. $18,-162$ . 무선 드릴 생산량이 1000대일 때 이익은 드릴 한 대당 $18의 비율로 증가하고, 생산량이 4000대일 때 이익은 드릴 한 대당 $162의 비율로 감소한다.

원본 교재 풀이(영어)

a. ${C}^{'}(x)=65$ b. $R(x)=143x-0.03{x}^{2},{R}^{'}(x)=143-0.06x$ c. $83,-97.$ At a production level of 1000 cordless drills, revenue is increasing at a rate of $83 per drill; at a production level of 4000 cordless drills, revenue is decreasing at a rate of $97 per drill. d. $P(x)=-0.03{x}^{2}+78x-75000,{P}^{'}(x)=-0.06x+78$ e. $18,-162.$ At a production level of 1000 cordless drills, profit is increasing at a rate of $18 per drill; at a production level of 4000 cordless drills, profit is decreasing at a rate of $162 per drill.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.4절 · 16번

# 속도와 가속도활용자동 분류

13.OpenStax 1권 · 3.4절 · 15번우리말 번역

오하이오주의 한 작은 마을이 보험계리 회사에 마을 인구의 변화율을 모델링하는 연구를 의뢰했다. 연구 결과, 마을의 인구(단위: 천 명)는 함수 $P(t)=-\frac{1}{3}{t}^{3}+64t+3000$ 으로 모델링할 수 있으며, 여기서 $t$ 는 연 단위로 측정한다.

a. 인구 함수의 변화율 함수 ${P}^{'}(t)$ 를 구하세요. b. ${P}^{'}(1),{P}^{'}(2),{P}^{'}(3)$ 과 ${P}^{'}(4)$ 를 구하세요. 그 결과가 마을에 어떤 의미인지 설명하세요. c. ${P}^{''}(1),{P}^{''}(2),{P}^{''}(3)$ 과 ${P}^{''}(4)$ 를 구하세요. 그 결과가 마을의 인구에 어떤 의미인지 설명하세요.

영어 원문 보기

A small town in Ohio commissioned an actuarial firm to conduct a study that modeled the rate of change of the town’s population. The study found that the town’s population (measured in thousands of people) can be modeled by the function $P(t)=-\frac{1}{3}{t}^{3}+64t+3000,$ where $t$ is measured in years.

a. Find the rate of change function ${P}^{'}(t)$ of the population function. b. Find ${P}^{'}(1),{P}^{'}(2),{P}^{'}(3),$ and ${P}^{'}(4).$ Interpret what the results mean for the town. c. Find ${P}^{''}(1),{P}^{''}(2),{P}^{''}(3),$ and ${P}^{''}(4).$ Interpret what the results mean for the town’s population.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.1절 · 2번

# 속도와 가속도활용자동 분류

14.OpenStax 1권 · 3.4절 · 16번우리말 번역

[계산기 사용] 세균 배양액에서 세균의 수는 함수 $N(t)=3000\left(1+\frac{4t}{{t}^{2}+100}\right)$ 에 따라 증가하며, 여기서 $t$ 는 시간 단위로 측정한다.

a. 세균 수의 변화율을 구하세요. b. ${N}^{'}(0),{N}^{'}(10),{N}^{'}(20)$ 과 ${N}^{'}(30)$ 을 구하세요. c. (b)의 결과를 해석하세요. d. ${N}^{''}(0),{N}^{''}(10),{N}^{''}(20)$ 과 ${N}^{''}(30)$ 을 구하세요. 그 답이 세균 개체수의 증가에 대해 무엇을 의미하는지 설명하세요.

영어 원문 보기

[T] A culture of bacteria grows in number according to the function $N(t)=3000\left(1+\frac{4t}{{t}^{2}+100}\right),$ where $t$ is measured in hours.

a. Find the rate of change of the number of bacteria. b. Find ${N}^{'}(0),{N}^{'}(10),{N}^{'}(20),$ and ${N}^{'}(30).$ c. Interpret the results in (b). d. Find ${N}^{''}(0),{N}^{''}(10),{N}^{''}(20),$ and ${N}^{''}(30).$ Interpret what the answers imply about the bacteria population growth.

정답·풀이 보기

a. ${N}^{'}(t)=3000\left(\frac{-4{t}^{2}+400}{{({t}^{2}+100)}^{2}}\right)$ b. $120,0,-14.4,-9.6$ c. 세균 개체수는 시각 0에서 10시간까지 증가하고, 그 이후에는 감소한다. d. $0,-6,0.384,0.432$ . 처음 10시간 동안은 세균이 증가하는 비율이 감소하고 있다. 그 이후에는 세균 개체수가 감소하되, 감소하는 비율이 줄어들고 있다.

원본 교재 풀이(영어)

a. ${N}^{'}(t)=3000\left(\frac{-4{t}^{2}+400}{{({t}^{2}+100)}^{2}}\right)$ b. $120,0,-14.4,-9.6$ c. The bacteria population increases from time 0 to 10 hours; afterwards, the bacteria population decreases. d. $0,-6,0.384,0.432.$ The rate at which the bacteria is increasing is decreasing during the first 10 hours. Afterwards, the bacteria population is decreasing at a decreasing rate.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.4절 · 6번

# 속도와 가속도활용자동 분류

15.OpenStax 1권 · 3.4절 · 17번우리말 번역

질량이 $m$ 인 물체의 구심력은 $F(r)=\frac{m{v}^{2}}{r}$ 로 주어지며, 여기서 $v$ 는 회전 속력이고 $r$ 는 회전 중심으로부터의 거리이다.

a. 회전 중심으로부터의 거리에 대한 구심력의 변화율을 구하세요. b. 질량이 1000 킬로그램, 속도가 13.89 m/s, 회전 중심으로부터의 거리가 200 미터인 물체의 구심력의 변화율을 구하세요.

영어 원문 보기

The centripetal force of an object of mass $m$ is given by $F(r)=\frac{m{v}^{2}}{r},$ where $v$ is the speed of rotation and $r$ is the distance from the center of rotation.

a. Find the rate of change of centripetal force with respect to the distance from the center of rotation. b. Find the rate of change of centripetal force of an object with mass 1000 kilograms, velocity of 13.89 m/s, and a distance from the center of rotation of 200 meters.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.4절 · 4번

# 속도와 가속도활용자동 분류

16.OpenStax 1권 · 3.4절 · 19번우리말 번역

[계산기 사용]

a. 계산기나 컴퓨터 프로그램을 사용하여 자료에 가장 잘 맞는 이차 곡선을 구하세요. b. 이 식의 도함수를 구하고 그 물리적 의미를 설명하세요. c. 이 식의 이계도함수를 구하고 그 물리적 의미를 설명하세요.

영어 원문 보기

[T]

a. Using a calculator or a computer program, find the best-fit quadratic curve through the data. b. Find the derivative of the equation and explain its physical meaning. c. Find the second derivative of the equation and explain its physical meaning.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.1절 · 17번

# 속도와 가속도활용자동 분류

17.OpenStax 1권 · 3.4절 · 20번우리말 번역

[계산기 사용]

a. 계산기나 컴퓨터 프로그램을 사용하여 자료에 가장 잘 맞는 이차 곡선을 구하세요. b. 위치 함수의 도함수를 구하고 그 물리적 의미를 설명하세요. c. 위치 함수의 이계도함수를 구하고 그 물리적 의미를 설명하세요.

영어 원문 보기

[T]

a. Using a calculator or computer program, find the best-fit quadratic curve to the data. b. Find the derivative of the position function and explain its physical meaning. c. Find the second derivative of the position function and explain its physical meaning.

정답·풀이 보기

a. $p(t)=-0.6071{x}^{2}+0.4357x-0.3571$ b. ${p}^{'}(t)=-1.214x+0.4357$ . 이것은 센서의 속도이다. c. ${p}^{''}(t)=-1.214$ . 이것은 센서의 가속도이며, 아래 방향으로 일정한 가속도이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $p(t)=-0.6071{x}^{2}+0.4357x-0.3571$ b. ${p}^{'}(t)=-1.214x+0.4357.$ This is the velocity of the sensor. c. ${p}^{''}(t)=-1.214.$ This is the acceleration of the sensor; it is a constant acceleration downward.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.4절 · 22번

# 속도와 가속도활용자동 분류

18.OpenStax 1권 · 3.4절 · 21번우리말 번역

[계산기 사용]

a. 계산기나 컴퓨터 프로그램을 사용하여 자료에 가장 잘 맞는 삼차 곡선을 구하세요. b. 위치 함수의 도함수를 구하고 그 물리적 의미를 설명하세요. c. 위치 함수의 이계도함수를 구하고 그 물리적 의미를 설명하세요. d. c의 결과를 이용하여 이 문제에서 삼차 함수가 좋은 선택이 아닌 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

[T]

a. Using a calculator or computer program, find the best-fit cubic curve to the data. b. Find the derivative of the position function and explain its physical meaning. c. Find the second derivative of the position function and explain its physical meaning. d. Using the result from c. explain why a cubic function is not a good choice for this problem.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.1절 · 17번

# 속도와 가속도활용자동 분류

19.CLP-1 · 3.1절 · 2번우리말 번역

어떤 물체가 일정한 가속도로 움직인다고 하자. 이 물체가 $1~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 에서 $2~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 로 가속하는 데 10초가 걸린다. $2~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 에서 $3~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 로 가속하는 데 걸리는 시간을 구하세요. $3~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 에서 $13~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 로 가속하는 데 걸리는 시간을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose an object is moving with a constant acceleration. It takes ten seconds to accelerate from $1~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ to $2~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ . How long does it take to accelerate from $2~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ to $3~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ ? How long does it take to accelerate from $3~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ to $13~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ ?

정답·풀이 보기

가속도가 상수이므로 속도의 변화율이 상수이다. 따라서 속도가 1 m/s 증가하는 데( $1~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 에서 $2~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 로) 10초가 걸렸으므로, 속도가 1 m/s 증가하는 데에는 언제나 10초가 걸린다.

그러므로 $2~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 에서 $3~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 로 가속하는 데 10초가 걸린다. $3~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 에서 $13~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ 로 가속하는 데(즉, 속도가 10 m/s 변하는 데)에는 $10\times 10=100$ 초가 걸린다.

원본 교재 풀이(영어)

The acceleration is constant, which means the rate of change of the velocity is constant. So, since it took 10 seconds for the velocity to increase by 1 metre per second (from $1~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ to $2~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ ), then it always takes 10 seconds for the velocity to increase by 1 metre per second.

So, it takes 10 seconds to accelerate from $2~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ to $3~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ . To accelerate from $3~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ to $13~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ (that is, to change its velocity by 10 metres per second), it takes $10\times 10=100$ seconds.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.1절 · 1번

# 속도와 가속도활용기본자동 분류

20.CLP-1 · 3.1절 · 7번우리말 번역

이 절에서는 지구에서 떨어지는 물체와 관련된 여러 문제를 낸다. 달리 언급하지 않는 한, 공기 중에서 떨어지는 물체의 중력 가속도는 초당 초당 9.8미터(9.8 m/s²)라고 가정하세요.

당신은 2미터 떨어진 곳에 서 있는 친구에게 열쇠를 던집니다. 열쇠는 처음에 초속 2미터로 친구를 향해 움직이지만, 초당 초당 0.25미터의 비율로 느려집니다. 친구가 열쇠를 받으려고 반응할 수 있는 시간은 얼마인지 구하세요. 즉, 열쇠가 친구에게 닿기까지 날아가는 시간은 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

For this section, we will ask you a number of questions that have to do with objects falling on Earth. Unless otherwise stated, you should assume that an object falling through the air has an acceleration due to gravity of 9.8 meters per second per second.

You toss a key to your friend, standing two metres away. The keys initially move towards your friend at 2 metres per second, but slow at a rate of 0.25 metres per second per second. How much time does your friend have to react to catch the keys? That is–how long are the keys flying before they reach your friend?

답 쓰고 채점

초

정답·풀이 보기

$s(t)$ 를 열쇠가 손을 떠난 뒤 이동한 거리라고 하자. 열쇠가 움직이는 속력 $s'(t)$ 는 초당 0.25미터씩 감소한다. 즉, $s''(t)=-0.25$ 이다. 따라서 어떤 상수 $c$ 에 대해 $s'(t)=-0.25t+c$ 이다. $c=s'(0)=2$ 이므로 $s'(t)=2-0.25t$ 이다. 그러면 $s(t)$ 는 $2-0.25t$ 를 도함수로 가지므로, 어떤 상수 $d$ 에 대해 $s(t)=2t-\frac{1}{8}t^2+d$ 이다. 시각 $t=0$ 에서 열쇠는 아직 어디로도 움직이지 않았으므로 $0=s(0)=d$ 이다. 따라서 $s(t)=2t-\frac{1}{8}t^2$ 이다.

열쇠가 친구에게 닿는 때는 $s(t)=2$ 이고 $t>0$ 일 때이다. 즉:

$\begin{aligned} 2&=2t-\frac{1}{8}t^2\\ 0&=\frac{1}{8}t^2-2t+2\\ t&=8\pm4\sqrt{3} \end{aligned}$

이 $t$ 의 값 중 어느 것이 실제로 열쇠가 친구에게 닿는 시각인지 가려내야 한다. 열쇠는 $t=0$ 부터 친구에게 닿는 시각까지 이렇게 움직인다. (그 뒤에는 $s(t)$ 가 열쇠의 움직임을 나타내지 않는다.) 그러므로 $s(t)=2$ 를 만족하는 양수 $t$ 중 처음 값을 찾아야 한다. $8-4\sqrt{3}>0$ 이므로 이 값이 $s(t)=2$ 이고 $t>0$ 인 첫 번째 시각이다. 따라서 열쇠가 친구에게 닿기까지 걸리는 시간은 $8-4\sqrt{3}\approx 1~\text{초}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $s(t)$ be the distance your keys have travelled since they left your hand. The rate at which they are travelling, $s'(t)$ , is decreasing by 0.25 metres per second. That is, $s''(t)=-0.25$ . Therefore, $s'(t)=-0.25t+c$ for some constant $c$ . Since $c=s'(0)=2$ , we see $s'(t)=2-0.25t$ Then $s(t)$ has $2-0.25t$ as its derivative, so $s(t)=2t-\frac{1}{8}t^2+d$ for some constant $d$ . At time $t=0$ , the keys have not yet gone anywhere, so $0=s(0)=d$ . Therefore, $s(t)=2t-\frac{1}{8}t^2$

The keys reach your friend when $s(t)=2$ and $t>0$ . That is:

$\begin{aligned} 2&=2t-\frac{1}{8}t^2\\ 0&=\frac{1}{8}t^2-2t+2\\ t&=8\pm4\sqrt{3} \end{aligned}$

We need to figure out which of these values of $t$ is really the time when the keys reach your friend. The keys travel this way from $t=0$ to the time they reach your friend. (Then $s(t)$ no longer describes their motion.) So, we need to find the first value of $t$ that is positive with $s(t)=2$ . Since $8-4\sqrt{3}>0$ , this is the first time $s(t)=2$ and $t>0$ . So, the keys take $8-4\sqrt{3}\approx 1~\text{second}$ to reach your friend.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.1절 · 17번

# 속도와 가속도활용보통자동 분류