빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

합성함수의 미분법

겉함수·속함수로 나누어 합성함수를 미분한다(연쇄법칙)

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

28문제 · 2 / 2쪽

21.CLP-1 · 2.9절 · 22번우리말 번역

ecos⁡(x2)e^{\cos(x^2)} 의 도함수를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the derivative of ecos⁡(x2)e^{\cos(x^2)}.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

연쇄 법칙을 두 번 사용한다.

ddx{ecos⁡(x2)}=ecos⁡(x2)⋅ddx{cos⁡(x2)}=ecos⁡(x2)⋅(−sin⁡(x2))⋅ddx{x2}=−ecos⁡(x2)⋅sin⁡(x2)⋅2x\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{e^{\cos(x^2)}\right\}&= e^{ \cos(x^2)}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ \cos(x^2)\}\\ &=e^{\cos(x^2)} \cdot(-\sin( x^2))\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ x^2\}\\ &=-e^{\cos(x^2)}\cdot \sin(x^2) \cdot 2x \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We'll use the chain rule twice.

ddx{ecos⁡(x2)}=ecos⁡(x2)⋅ddx{cos⁡(x2)}=ecos⁡(x2)⋅(−sin⁡(x2))⋅ddx{x2}=−ecos⁡(x2)⋅sin⁡(x2)⋅2x\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{e^{\cos(x^2)}\right\}&= e^{ \cos(x^2)}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ \cos(x^2)\}\\ &=e^{\cos(x^2)} \cdot(-\sin( x^2))\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ x^2\}\\ &=-e^{\cos(x^2)}\cdot \sin(x^2) \cdot 2x \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.6절 · 4번
# 합성함수의 미분법계산보통자동 분류
22.CLP-1 · 2.9절 · 23번우리말 번역

y=cos⁡(x2+x2+1)y=\cos\big(x^2+\sqrt{x^2+1}\big) 의 도함수를 구하세요.

영어 원문 보기

Compute the derivative of y=cos⁡(x2+x2+1)y=\cos\big(x^2+\sqrt{x^2+1}\big)

정답·풀이 보기

먼저 연쇄 법칙을 적용한다.

y′=−sin⁡(x2+x2+1)⋅ddx{x2+x2+1}=−sin⁡(x2+x2+1)⋅(2x+ddx{x2+1})연쇄 법칙을 한 번 더 써야 하므로:=−sin⁡(x2+x2+1)⋅(2x+12x2+1⋅ddx{x2+1})=−sin⁡(x2+x2+1)⋅(2x+2x2x2+1)\begin{aligned} y'&=-\sin\big( x^2+\sqrt{x^2+1}\big)\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ x^2+\sqrt{x^2+1}\right\}\\ &=-\sin\big(x^2+\sqrt{x^2+1}\big)\cdot\left(2x+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sqrt{x^2+1}\right\}\right) \\ \text{연쇄 법칙을 한 번 더 써야 하므로:} \\ &=-\sin\big(x^2+\sqrt{x^2+1}\big)\cdot\left(2x+\dfrac{1}{2\sqrt{ x^2+1}}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ x^2+1\right\}\right)\\ &=-\sin\big(x^2+\sqrt{x^2+1}\big)\cdot\left(2x+\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}\right) \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We start with the chain rule:

y′=−sin⁡(x2+x2+1)⋅ddx{x2+x2+1}=−sin⁡(x2+x2+1)⋅(2x+ddx{x2+1})and find ourselves in need of chain rule a second time:=−sin⁡(x2+x2+1)⋅(2x+12x2+1⋅ddx{x2+1})=−sin⁡(x2+x2+1)⋅(2x+2x2x2+1)\begin{aligned} y'&=-\sin\big( x^2+\sqrt{x^2+1}\big)\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ x^2+\sqrt{x^2+1}\right\}\\ &=-\sin\big(x^2+\sqrt{x^2+1}\big)\cdot\left(2x+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sqrt{x^2+1}\right\}\right) \\ \text{and find ourselves in need of chain rule a second time:} \\ &=-\sin\big(x^2+\sqrt{x^2+1}\big)\cdot\left(2x+\dfrac{1}{2\sqrt{ x^2+1}}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ x^2+1\right\}\right)\\ &=-\sin\big(x^2+\sqrt{x^2+1}\big)\cdot\left(2x+\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}\right) \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.9절 · 22번
# 합성함수의 미분법계산보통자동 분류
23.CLP-1 · 2.9절 · 24번우리말 번역

도함수를 구하세요. y=(1+x2)cos⁡2xy=(1+x^2)\cos^2 x

영어 원문 보기

Evaluate the derivative. y=(1+x2)cos⁡2xy=(1+x^2)\cos^2 x

정답·풀이 보기

y=(1+x2)cos⁡2xUsing the product rule,y′=(2x)cos⁡2x+(1+x2)ddx{cos⁡2x}Here, we’ll need to use the chain rule. Remember cos⁡2x=[cos⁡x]2.=2xcos⁡2x+(1+x2)2cos⁡x⋅ddx{cos⁡x}=2xcos⁡2x+(1+x2)2cos⁡x⋅(−sin⁡x)=2xcos⁡2x−2(1+x2)sin⁡xcos⁡x\begin{aligned} y&=(1+x^2)\cos^2 x \\ \text{Using the product rule,} \\ y'&=(2x)\cos^2 x + (1+x^2)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\cos^2 x\} \\ \text{Here, we'll need to use the chain rule. Remember $\cos^2 x = [\cos x]^2$.} \\ &=2x\cos^2x+(1+x^2) 2 \cos x \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ \cos x\}\\ &=2x\cos^2x+(1+x^2) 2\cos x \cdot (-\sin x)\\ &=2x\cos^2x-2(1+x^2) \sin x\cos x \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

y=(1+x2)cos⁡2xUsing the product rule,y′=(2x)cos⁡2x+(1+x2)ddx{cos⁡2x}Here, we’ll need to use the chain rule. Remember cos⁡2x=[cos⁡x]2.=2xcos⁡2x+(1+x2)2cos⁡x⋅ddx{cos⁡x}=2xcos⁡2x+(1+x2)2cos⁡x⋅(−sin⁡x)=2xcos⁡2x−2(1+x2)sin⁡xcos⁡x\begin{aligned} y&=(1+x^2)\cos^2 x \\ \text{Using the product rule,} \\ y'&=(2x)\cos^2 x + (1+x^2)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\cos^2 x\} \\ \text{Here, we'll need to use the chain rule. Remember $\cos^2 x = [\cos x]^2$.} \\ &=2x\cos^2x+(1+x^2) 2 \cos x \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ \cos x\}\\ &=2x\cos^2x+(1+x^2) 2\cos x \cdot (-\sin x)\\ &=2x\cos^2x-2(1+x^2) \sin x\cos x \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.6절 · 6번
# 합성함수의 미분법계산보통자동 분류
24.CLP-1 · 2.9절 · 25번우리말 번역

도함수를 구하세요. y=e3x1+x2y=\frac{e^{3x}}{1+x^2}

영어 원문 보기

Evaluate the derivative. y=e3x1+x2y=\frac{e^{3x}}{1+x^2}

정답·풀이 보기

연쇄 법칙에 의해 ddx{e3x}=3e3x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{e^{3x}\}=3e^{3x} 임에 주의하여 몫의 미분법을 사용한다.

y′=(1+x2)⋅3e3x−e3x(2x)(1+x2)2=e3x(3x2−2x+3)(1+x2)2\begin{aligned} y'&=\frac{(1+x^2)\cdot3e^{3x}-e^{3x}(2x)}{(1+x^2)^2}\\ &=\frac{e^{3x}(3x^2-2x+3)}{(1+x^2)^2} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We use the quotient rule, noting by the chain rule that ddx{e3x}=3e3x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{e^{3x}\}=3e^{3x}:

y′=(1+x2)⋅3e3x−e3x(2x)(1+x2)2=e3x(3x2−2x+3)(1+x2)2\begin{aligned} y'&=\frac{(1+x^2)\cdot3e^{3x}-e^{3x}(2x)}{(1+x^2)^2}\\ &=\frac{e^{3x}(3x^2-2x+3)}{(1+x^2)^2} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.9절 · 24번
# 합성함수의 미분법계산보통자동 분류
25.CLP-1 · 2.9절 · 26번우리말 번역

g(x)=x3h(x2)g(x)=x^3h(x^2) 이고 h(4)=2h(4)=2, h′(4)=−2h'(4)=-2 일 때, g′(2)g'(2) 를 구하세요.

영어 원문 보기

Find g′(2)g'(2) if g(x)=x3h(x2)g(x)=x^3h(x^2), where h(4)=2h(4)=2 and h′(4)=−2h'(4)=-2.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

연쇄 법칙에 의해

ddx{h(x2)}=h′(x2)⋅2x\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{h\left(x^2\right)\right\}&=h'(x^2)\cdot 2x \end{aligned}

곱의 미분법과 위의 결과를 사용하면

g′(x)=3x2h(x2)+x3h′(x2)2xx=2 를 대입하면:g′(2)=3(22)h(22)+23h′(22)2×2=12h(4)+32h′(4)=12×2−32×2=−40\begin{aligned} g'(x)&=3x^2h(x^2)+x^3h'(x^2)2x \\ \text{$x=2$ 를 대입하면:} \\ g'(2)&=3(2^2)h(2^2)+2^3h'(2^2)2\times 2\\ &=12h(4)+32h'(4)=12\times 2-32\times 2\\ &=-40 \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

By the chain rule,

ddx{h(x2)}=h′(x2)⋅2x\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{h\left(x^2\right)\right\}&=h'(x^2)\cdot 2x \end{aligned}

Using the product rules and the result above,

g′(x)=3x2h(x2)+x3h′(x2)2xPlugging in x=2:g′(2)=3(22)h(22)+23h′(22)2×2=12h(4)+32h′(4)=12×2−32×2=−40\begin{aligned} g'(x)&=3x^2h(x^2)+x^3h'(x^2)2x \\ \text{Plugging in $x=2$:} \\ g'(2)&=3(2^2)h(2^2)+2^3h'(2^2)2\times 2\\ &=12h(4)+32h'(4)=12\times 2-32\times 2\\ &=-40 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.6절 · 2번
# 합성함수의 미분법계산보통자동 분류
26.CLP-1 · 2.9절 · 27번우리말 번역

곡선 y=xe−(x2−1)/2y=xe^{-(x^2-1)/2} 가 수평한 접선을 갖는 점 (x,y)(x,y) 는 어디입니까?

영어 원문 보기

At what points (x,y)(x,y) does the curve y=xe−(x2−1)/2y=xe^{-(x^2-1)/2} have a horizontal tangent?

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

f(x)=xe−(x2−1)/2=xe(1−x2)/2f(x)=xe^{-(x^2-1)/2}=xe^{(1-x^2)/2} 이라 하자. 곱의 미분법을 쓰면

f′(x)=e(1−x2)/2+x⋅ddx{e(1−x2)/2}여기서 연쇄 법칙이 필요하다:=e(1−x2)/2+x⋅e(1−x2)/2ddx{12(1−x2)}=e(1−x2)/2+x⋅e(1−x2)/2⋅(−x)=(1−x2)e(1−x2)/2\begin{aligned} f'(x)&=e^{(1-x^2)/2}+x\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{e^{(1-x^2)/2}\right\} \\ \text{여기서 연쇄 법칙이 필요하다:} \\ &=e^{(1-x^2)/2}+x\cdot e^{ (1-x^2)/2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \frac{1}{2}(1-x^2)\right\}\\ &=e^{(1-x^2)/2}+x\cdot e^{{(1-x^2)/2}}\cdot (-x)\\ &=(1-x^2)e^{(1-x^2)/2} \end{aligned}

ee 의 거듭제곱은 0이 될 수 없으므로, 위의 곱이 0이면 1−x2=01-x^2=0 이어야 한다. 이는 x=±1x=\pm 1 일 때 성립한다. 곡선 위에서 x=1x=1 일 때 y=1y=1 이고, x=−1x=-1 일 때 y=−1y=-1 이다. 따라서 구하는 점은 (1,1)(1,1) 과 (−1,−1)(-1,-1) 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let f(x)=xe−(x2−1)/2=xe(1−x2)/2f(x)=xe^{-(x^2-1)/2}=xe^{(1-x^2)/2}. Then, using the product rule,

f′(x)=e(1−x2)/2+x⋅ddx{e(1−x2)/2}Here, we need the chain rule:=e(1−x2)/2+x⋅e(1−x2)/2ddx{12(1−x2)}=e(1−x2)/2+x⋅e(1−x2)/2⋅(−x)=(1−x2)e(1−x2)/2\begin{aligned} f'(x)&=e^{(1-x^2)/2}+x\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{e^{(1-x^2)/2}\right\} \\ \text{Here, we need the chain rule:} \\ &=e^{(1-x^2)/2}+x\cdot e^{ (1-x^2)/2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \frac{1}{2}(1-x^2)\right\}\\ &=e^{(1-x^2)/2}+x\cdot e^{{(1-x^2)/2}}\cdot (-x)\\ &=(1-x^2)e^{(1-x^2)/2} \end{aligned}

There is no power of ee that is equal to zero; so if the product above is zero, it must be that 1−x2=01-x^2=0. This happens for x=±1x=\pm 1. On the curve, when x=1x=1, y=1y=1, and when x=−1x=-1, y=−1y=-1. So the points are (1,1)(1,1) and (−1,−1)(-1,-1).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.9절 · 26번
# 합성함수의 미분법계산보통자동 분류
27.CLP-1 · 2.9절 · 28번우리말 번역

한 입자가 시각 t=1t=1 에 움직이기 시작하며, 그 이후의 위치는 s(t)=sin⁡(1t)s(t)=\sin\left(\frac{1}{t}\right) 로 주어집니다. 이 입자는 언제 음의 방향으로 움직입니까?

영어 원문 보기

A particle starts moving at time t=1t=1, and its position thereafter is given by s(t)=sin⁡(1t).s(t)=\sin\left(\frac{1}{t}\right). When is the particle moving in the negative direction?

정답·풀이 보기

문제는 s′(t)s'(t) 가 음수가 되는 때를 묻고 있다. 그래서 먼저 미분한다. 연쇄 법칙을 쓰면

s′(t)=cos⁡(1t)⋅ddt{1t}=cos⁡(1t)⋅−1t2\begin{aligned} s'(t)&=\cos\left( \frac{1}{t}\right)\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left\{ \frac{1}{t}\right\}\\ &=\cos\left({\frac{1}{t}}\right)\cdot\frac{-1}{t^2} \end{aligned}

t≥1t\ge1 일 때 1t\frac{1}{t} 은 0과 1 사이에 있다. 0≤θ<π/20 \leq \theta < \pi/2 에서 cos⁡θ\cos \theta 는 양수이고 π/2>1\pi/2 >1 이므로, cos⁡(1t)\cos\left(\frac{1}{t}\right) 은 s(t)s(t) 의 정의역 전체에서 양수이다. 또한 −1t2\frac{-1}{t^2} 은 이 함수의 정의역 전체에서 음수이다. 따라서 s′(t)s'(t) 는 s(t)s(t) 의 정의역 전체에서 음수이고, 입자는 항상 음의 방향으로 움직인다.

원본 교재 풀이(영어)

The question asks when s′(t)s'(t) is negative. So, we start by differentiating. Using the chain rule:

s′(t)=cos⁡(1t)⋅ddt{1t}=cos⁡(1t)⋅−1t2\begin{aligned} s'(t)&=\cos\left( \frac{1}{t}\right)\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left\{ \frac{1}{t}\right\}\\ &=\cos\left({\frac{1}{t}}\right)\cdot\frac{-1}{t^2} \end{aligned}

When t≥1t\ge1, 1t\frac{1}{t} is between 0 and 1. Since cos⁡θ\cos \theta is positive for 0≤θ<π/20 \leq \theta < \pi/2, and π/2>1\pi/2 >1, we see that cos⁡(1t)\cos\left(\frac{1}{t}\right) is positive for the entire domain of s(t)s(t). Also, −1t2\frac{-1}{t^2} is negative for the entire domain of the function. We conclude that s′(t)s'(t) is negative for the entire domain of s(t)s(t), so the particle is always moving in the negative direction.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.9절 · 33번
# 합성함수의 미분법계산보통자동 분류
28.CLP-1 · 2.9절 · 29번우리말 번역

f(x)=excos⁡3(5x−7)f(x)=\dfrac{e^{x}}{\cos^3 (5x-7)} 의 도함수를 구하세요.

영어 원문 보기

Compute the derivative of f(x)=excos⁡3(5x−7)f(x)=\dfrac{e^{x}}{\cos^3 (5x-7)}.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

풀이를 두 가지 제시한다. 하나는 바로 몫의 미분법을 쓰는 풀이이고, 다른 하나는 먼저 간단히 한 뒤 곱의 미분법을 쓰는 풀이이다.

  • 풀이 1: 몫의 미분법으로 시작한다:

f′(x)=cos⁡3(5x−7)ddx{ex}−exddx{cos⁡3(5x−7)}cos⁡6(5x−7)=cos⁡3(5x−7)ex−exddx{cos⁡3(5x−7)}cos⁡6(5x−7)이제 합성함수의 미분법을 쓴다. cos⁡3(5x−7)=[cos⁡(5x−7)]3 이므로 “바깥" 함수는 g(x)=x3 이고, “안쪽" 함수는 h(x)=cos⁡(5x−1) 이다.=cos⁡3(5x−7)ex−ex⋅3cos⁡2(5x−7)⋅ddx{cos⁡(5x−7)}cos⁡6(5x−7)합성함수의 미분법이 다시 필요하다!=cos⁡3(5x−7)ex−ex⋅3cos⁡2(5x−7)⋅[−sin⁡(5x−7)⋅ddx{5x−7}]cos⁡6(5x−7)=cos⁡3(5x−7)ex−ex⋅3cos⁡2(5x−7)⋅[−sin⁡(5x−7)⋅5]cos⁡6(5x−7)간단히 하여 마무리한다:=excos⁡2(5x−7)(cos⁡(5x−7)+15sin⁡(5x−7))cos⁡6(5x−7)=excos⁡(5x−7)+15sin⁡(5x−7)cos⁡4(5x−7)=ex(sec⁡3(5x−7)+15tan⁡(5x−7)sec⁡3(5x−7))=exsec⁡3(5x−7)(1+15tan⁡(5x−7))\begin{aligned} f'(x) &= \frac{\cos^3(5x-7)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{e^x\}-e^x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\cos^3(5x-7)\}}{\cos^6(5x-7)}\\ &= \frac{\cos^3(5x-7)e^x-e^x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\cos^3(5x-7)\}}{\cos^6(5x-7)} \\ \text{이제 합성함수의 미분법을 쓴다. $\cos^3(5x-7)=[\cos(5x-7)]^3$ 이므로 ``바깥" 함수는 $g(x)=x^3$ 이고, ``안쪽" 함수는 $h(x)=\cos(5x-1)$ 이다.} \\ &= \frac{\cos^3(5x-7)e^x-e^x\cdot3 \cos^2 (5x-7) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ \cos(5x-7)\}}{\cos^6(5x-7)} \\ \text{합성함수의 미분법이 다시 필요하다!} \\ &= \frac{\cos^3(5x-7)e^x-e^x\cdot3{\cos}^2{(5x-7)} \cdot[{-\sin( 5x-7)\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ 5x-7\}}]}{\cos^6(5x-7)}\\ &= \frac{\cos^3(5x-7)e^x-e^x\cdot3{\cos}^2{(5x-7)} \cdot[{-\sin({5x-7})\cdot5}]}{\cos^6(5x-7)} \\ \text{간단히 하여 마무리한다:} \\ &= \frac{e^x\cos^2(5x-7)\left(\cos(5x-7)+15\sin(5x-7)\right)}{\cos^6(5x-7)}\\ &=e^x \frac{\cos(5x-7)+15\sin(5x-7)}{\cos^4(5x-7)}\\ &=e^x(\sec^3(5x-7)+15\tan(5x-7)\sec^3(5x-7))\\ &=e^x\sec^3(5x-7)(1+15\tan(5x-7)) \end{aligned}

  • 풀이 2: 몫의 미분법을 피하기 위해 먼저 간단히 한다:

f(x)=excos⁡3(5x−7)=exsec⁡3(5x−7)이제 곱의 미분법으로 미분한다:f′(x)=exsec⁡3(5x−7)+exddx{sec⁡3(5x−7)}여기서는 합성함수의 미분법이 필요하다. sec⁡3(5x−7)=[sec⁡(5x−7)]3 이므로 “바깥" 함수는 g(x)=x3 이고 “안쪽" 함수는 h(x)=sec⁡(5x−7) 이며, 따라서 g(h(x))=[sec⁡(5x−7)]3=sec⁡3(5x−7) 이다.=exsec⁡3(5x−7)+ex⋅3 sec⁡2(5x−7)⋅ddx{sec⁡(5x−7)}합성함수의 미분법이 다시 필요하다! ddx{sec⁡x}=sec⁡xtan⁡x 임을 떠올리자.=exsec⁡3(5x−7)+ex⋅3 sec⁡2(5x−7)⋅sec⁡(5x−7)tan⁡(5x−7)⋅ddx{5x−7}=exsec⁡3(5x−7)+ex⋅3 sec⁡2(5x−7)⋅sec⁡(5x−7)tan⁡(5x−7)⋅5간단히 하여 마무리한다:=exsec⁡3(5x−7)(1+15tan⁡(5x−7))\begin{aligned} f(x)&=\dfrac{e^{x}}{\cos^3 (5x-7)}\\ &=e^x\sec^3(5x-7) \\ \text{이제 곱의 미분법으로 미분한다:} \\ f'(x)&=e^x\sec^3(5x-7)+e^x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\sec^3(5x-7)\} \\ \text{여기서는 합성함수의 미분법이 필요하다. $\sec^3(5x-7)=[\sec (5x-7)]^3$ 이므로 ``바깥" 함수는 $g(x)=x^3$ 이고 ``안쪽" 함수는 $h(x)=\sec(5x-7)$ 이며, 따라서 $g(h(x))=[\sec(5x-7)]^3=\sec^3(5x-7)$ 이다.} \\ &=e^x\sec^3(5x-7)+e^x\cdot3~ \sec^2 (5x-7) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ \sec(5x-7)\} \\ \text{합성함수의 미분법이 다시 필요하다! $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\sec x\}=\sec x \tan x$ 임을 떠올리자.} \\ &=e^x\sec^3(5x-7)+e^x\cdot3~{\sec}^2{(5x-7)} \cdot {\sec( 5x-7)\tan( 5x-7)\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ 5x-7\}}\\ &=e^x\sec^3(5x-7)+e^x\cdot3~{\sec}^2{(5x-7)} \cdot {\sec({5x-7})\tan({5x-7})\cdot 5} \\ \text{간단히 하여 마무리한다:} \\ &=e^x\sec^3(5x-7)(1+15\tan({5x-7})) \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We present two solutions: one where we dive right in and use the quotient rule, and another where we simplify first and use the product rule.

  • Solution 1: We begin with the quotient rule:

f′(x)=cos⁡3(5x−7)ddx{ex}−exddx{cos⁡3(5x−7)}cos⁡6(5x−7)=cos⁡3(5x−7)ex−exddx{cos⁡3(5x−7)}cos⁡6(5x−7)Now, we use the chain rule. Since cos⁡3(5x−7)=[cos⁡(5x−7)]3, our “outside" function is g(x)=x3, and our “inside" function is h(x)=cos⁡(5x−1).=cos⁡3(5x−7)ex−ex⋅3cos⁡2(5x−7)⋅ddx{cos⁡(5x−7)}cos⁡6(5x−7)We need the chain rule again!=cos⁡3(5x−7)ex−ex⋅3cos⁡2(5x−7)⋅[−sin⁡(5x−7)⋅ddx{5x−7}]cos⁡6(5x−7)=cos⁡3(5x−7)ex−ex⋅3cos⁡2(5x−7)⋅[−sin⁡(5x−7)⋅5]cos⁡6(5x−7)We finish by simplifying:=excos⁡2(5x−7)(cos⁡(5x−7)+15sin⁡(5x−7))cos⁡6(5x−7)=excos⁡(5x−7)+15sin⁡(5x−7)cos⁡4(5x−7)=ex(sec⁡3(5x−7)+15tan⁡(5x−7)sec⁡3(5x−7))=exsec⁡3(5x−7)(1+15tan⁡(5x−7))\begin{aligned} f'(x) &= \frac{\cos^3(5x-7)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{e^x\}-e^x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\cos^3(5x-7)\}}{\cos^6(5x-7)}\\ &= \frac{\cos^3(5x-7)e^x-e^x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\cos^3(5x-7)\}}{\cos^6(5x-7)} \\ \text{Now, we use the chain rule. Since $\cos^3(5x-7)=[\cos(5x-7)]^3$, our ``outside" function is $g(x)=x^3$, and our ``inside" function is $h(x)=\cos(5x-1)$.} \\ &= \frac{\cos^3(5x-7)e^x-e^x\cdot3 \cos^2 (5x-7) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ \cos(5x-7)\}}{\cos^6(5x-7)} \\ \text{We need the chain rule again!} \\ &= \frac{\cos^3(5x-7)e^x-e^x\cdot3{\cos}^2{(5x-7)} \cdot[{-\sin( 5x-7)\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ 5x-7\}}]}{\cos^6(5x-7)}\\ &= \frac{\cos^3(5x-7)e^x-e^x\cdot3{\cos}^2{(5x-7)} \cdot[{-\sin({5x-7})\cdot5}]}{\cos^6(5x-7)} \\ \text{We finish by simplifying:} \\ &= \frac{e^x\cos^2(5x-7)\left(\cos(5x-7)+15\sin(5x-7)\right)}{\cos^6(5x-7)}\\ &=e^x \frac{\cos(5x-7)+15\sin(5x-7)}{\cos^4(5x-7)}\\ &=e^x(\sec^3(5x-7)+15\tan(5x-7)\sec^3(5x-7))\\ &=e^x\sec^3(5x-7)(1+15\tan(5x-7)) \end{aligned}

  • Solution 2: We simplify to avoid the quotient rule:

f(x)=excos⁡3(5x−7)=exsec⁡3(5x−7)Now we use the product rule to differentiate:f′(x)=exsec⁡3(5x−7)+exddx{sec⁡3(5x−7)}Here, we’ll need the chain rule. Since sec⁡3(5x−7)=[sec⁡(5x−7)]3, our “outside" function is g(x)=x3 and our “inside" function is h(x)=sec⁡(5x−7), so that g(h(x))=[sec⁡(5x−7)]3=sec⁡3(5x−7).=exsec⁡3(5x−7)+ex⋅3 sec⁡2(5x−7)⋅ddx{sec⁡(5x−7)}We need the chain rule again! Recall ddx{sec⁡x}=sec⁡xtan⁡x.=exsec⁡3(5x−7)+ex⋅3 sec⁡2(5x−7)⋅sec⁡(5x−7)tan⁡(5x−7)⋅ddx{5x−7}=exsec⁡3(5x−7)+ex⋅3 sec⁡2(5x−7)⋅sec⁡(5x−7)tan⁡(5x−7)⋅5We finish by simplifying:=exsec⁡3(5x−7)(1+15tan⁡(5x−7))\begin{aligned} f(x)&=\dfrac{e^{x}}{\cos^3 (5x-7)}\\ &=e^x\sec^3(5x-7) \\ \text{Now we use the product rule to differentiate:} \\ f'(x)&=e^x\sec^3(5x-7)+e^x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\sec^3(5x-7)\} \\ \text{Here, we'll need the chain rule. Since $\sec^3(5x-7)=[\sec (5x-7)]^3$, our ``outside" function is $g(x)=x^3$ and our ``inside" function is $h(x)=\sec(5x-7)$, so that $g(h(x))=[\sec(5x-7)]^3=\sec^3(5x-7)$.} \\ &=e^x\sec^3(5x-7)+e^x\cdot3~ \sec^2 (5x-7) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ \sec(5x-7)\} \\ \text{We need the chain rule again! Recall $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\sec x\}=\sec x \tan x$.} \\ &=e^x\sec^3(5x-7)+e^x\cdot3~{\sec}^2{(5x-7)} \cdot {\sec( 5x-7)\tan( 5x-7)\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{ 5x-7\}}\\ &=e^x\sec^3(5x-7)+e^x\cdot3~{\sec}^2{(5x-7)} \cdot {\sec({5x-7})\tan({5x-7})\cdot 5} \\ \text{We finish by simplifying:} \\ &=e^x\sec^3(5x-7)(1+15\tan({5x-7})) \end{aligned}

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