적분법 전체 문제

이 두 이차함수는 모두 점 $(-1,0)$ 과 $(1,0)$ 을 지나므로, 모든 양수 $a$ 에 대해 이 두 점이 두 그래프의 교점이다. 또한 $-1 < x < 1$ 에서 $1 - x^2 > ax^2 - a$ 이므로, 두 곡선 사이의 넓이는 다음과 같다.

$$A = \int_{-1}^{1} \left( 1 - x^2 - (ax^2 - a) \right) \, dx = \int_{-1}^{1} \left( (1+a) - (1+a)x^2 \right) \, dx\,.$$ 적분을 계산하면

$$\begin{aligned}A &= \int_{-1}^{1} \left( 1 + a - (1+a)x^2 \right) \, dx \\ &= \left. (1+a)x - \frac{1+a}{3}x^3 \right|_{-1}^{1} \\ &= (1+a)(1) - \frac{1+a}{3}(1)^3 - \left( (1+a)(-1) - \frac{1+a}{3}(-1)^3 \right) \\ &= 2(1+a) - \frac{2(1+a)}{3} \\ &= \frac{4(1+a)}{3}\end{aligned}\,.$$ $A = 2$ 가 되는 $a$ 의 값을 구해야 하므로 다음 방정식을 푼다.

$$2 = \frac{4(1+a)}{3}\,,$$ 이로부터 $a = \frac{1}{2}$ 이다. 따라서 아래 그림에서 두 곡선 사이의 넓이는 정확히 $A = 2$ 이다.

(a) 구간 $[0,\sqrt{2}]$ 에서 $f$ 의 평균값은 $$\begin{aligned}r &= \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^{\sqrt{2}} 2-x^2 \, dx \\ &= \left. \frac{1}{\sqrt{2}}\left(2x - \frac{x^3}{3}\right) \right|_0^{\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left( 2\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}^3}{3} \right) \\ &= 2 - \frac{2}{3} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}\,.$$ (b) $y=f(x)$ 와 $y=r$ 의 교점은 양수 $x$ 에 대하여 $2-x^2 = \frac{4}{3}$ 일 때 생기며, 이로부터 $x^2 = \frac{2}{3}$ 이므로 $x = \frac{\sqrt{6}}{3}$ 이다. $f$ 의 그래프, $y = r$ 의 그래프와 교점은 다음 그림과 같다. (c) 아래 그림과 같이, 구간 $\left[0, \frac{\sqrt{6}}{3}\right]$ 에서 $y = f(x)$ 의 아래쪽이면서 $y = r$ 의 위쪽에 있는 부분의 넓이를 $A_1$, 구간 $\left[\frac{\sqrt{6}}{3}, \sqrt{2}\right]$ 에서 $y = r$ 의 아래쪽이면서 $y = f(x)$ 의 위쪽에 있는 영역의 넓이를 $A_2$ 라 하자. 그러면 $$\begin{aligned}A_1 &= \int_0^{\sqrt{6}/3} (2-x^2) - \frac{4}{3} \ dx \\ &= \int_0^{\sqrt{6}/3} \frac{2}{3} - x^2 \ dx \\ &= \left. \left( \frac{2}{3}x - \frac{x^3}{3} \right) \right|_0^{\sqrt{6}/3} \\ &= \left(\frac{2}{3}\right) \left(\frac{\sqrt{6}}{3} \right) - \left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{\sqrt{6}}{3} \right)^3 \\ &= \frac{2\sqrt{6}}{9} - \frac{6 \sqrt{6}}{81} \\ &= \frac{4 \sqrt{6}}{27}\end{aligned}\,.$$ 그리고 $$\begin{aligned}A_2 &= \int_{\sqrt{6}/3}^{\sqrt{2}} \frac{4}{3} - (2-x^2) \ dx \\ &= \int_{\sqrt{6}/3}^{\sqrt{2}} x^2 - \frac{2}{3} \ dx \\ &= \left. \left(\frac{x^3}{3} - \frac{2}{3}x \right) \right|_{\sqrt{6}/3}^{\sqrt{2}} \\ &= \left(\frac{2\sqrt{2}}{3} - \frac{2}{3} \sqrt{2} \right) - \left[ \left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{\sqrt{6}}{3} \right)^3 - \left(\frac{2}{3}\right) \left(\frac{\sqrt{6}}{3} \right) \right] \\ &= \frac{4 \sqrt{6}}{27}\end{aligned}\,.$$ 따라서 $A_1 = A_2$ 이다. (d) 답은 예이다. $AV$ 를 구간 $[a,b]$ 에서 함수 $f$ 의 평균값이라 하자. 평균값의 정의에 의해 $$AV(b-a) = \int_a^b f(x) \ dx\,,$$ 이며, 이는 밑변이 $(b-a)$ 이고 높이가 $AV$ 인 직사각형의 넓이로 볼 수도 있다. 이제 구간 $[a,b]$ 에서 $f$ 의 그래프의 위쪽이면서 직선 $y=AV$ 의 아래쪽에 있는 영역의 넓이를 $R_1$, 구간 $[a,b]$ 에서 $f$ 의 그래프의 아래쪽이면서 직선 $y=AV$ 의 위쪽에 있는 영역의 넓이를 $R_2$ 라 하자. 아래 그림은 정적분의 값이 직사각형의 넓이에 직사각형 위쪽의 넓이를 더하고 직사각형 아래쪽의 넓이를 뺀 것과 같음을 보여 주며, 즉 $$\int_a^b f(x) \, dx = AV(b-a) + R_2 - R_1\,.$$ 이미 $AV(b-a) = \int_a^b f(x) \ dx$ 임을 보였으므로 $R_2 - R_1 = 0$ 이다. 따라서 $[a,b]$ 에서 $y = f(x)$ 의 아래쪽이면서 $y = AV$ 의 위쪽에 있는 영역의 넓이는, $y = AV$ 의 아래쪽이면서 $y = f(x)$ 의 위쪽에 있는 넓이와 같다.

(a) 함수의 그래프를 그리고 공학 도구를 사용하여 $f(x)$ 가 $x$축과 만나는 지점을 찾으면, 영역 $R$ 은 다음 그림과 같다. 곡선의 길이 공식을 적용하려면 $f$ 의 도함수가 필요하다. 합성함수의 미분법에 의해 $f'(x) = -3 \sin(\frac{x^3}{4}) \cdot \frac{3}{4}x^2$ 이므로, $R$ 의 위쪽 경계를 따라 놓인 $f$ 의 곡선의 길이는 다음과 같다. $$L = \int_0^{1.84257} \sqrt{1+\left( -3 \sin \left(\frac{x^3}{4}\right) \cdot \frac{3}{4}x^2 \right)^2} \, dx\,.$$ 공학 도구로 이 정적분의 값을 계산하면 $L \approx 4.10521$ 이다. (b) $R$ 의 넓이는 다음과 같다. $$A = \int_0^{1.84527} 3 \cos\left( \frac{x^3}{4} \right) \, dx \approx 4.6623\,.$$ (c) $R$ 을 $x$축을 중심으로 회전시키면, $x$축에 수직인 단면으로 자른 원판법을 사용하여 생기는 입체의 부피를 구할 수 있다. 각 원판의 반지름이 $r(x) = 3 \cos(\frac{x^3}{4})$ 이고 각 원판의 두께가 $\triangle x$ 이므로, 각 조각의 부피는 다음과 같다. $$V_{\text{조각}} \approx \pi r(x)^2 \triangle x = \pi \left( 3 \cos\left( \frac{x^3}{4} \right) \right)^2 \triangle x$$ 따라서 전체 부피는 다음과 같다. $$V = \int_0^{1.84527} \pi \cdot 9 \cos^2 \left( \frac{x^3}{4} \right) \, dx \approx 40.31965$$ (d) 대신 $R$ 을 $y$축을 중심으로 회전시키면, 원판법을 적용하기 위해 두께가 $\triangle y$ 인 수평 원판을 사용해야 한다. 그러려면 주어진 대로 $y$ 를 $x$ 의 함수로 나타내는 대신 $x$ 를 $y$ 의 함수로 나타내야 한다. 따라서 주어진 함수 $y = 3 \cos(\frac{x^3}{4})$ 에서 $x$ 에 대해 방정식을 푼다. 먼저 다음을 얻는다. $$\cos\left( \frac{x^3}{4} \right) = \frac{y}{3}$$ 그러므로 역코사인을 사용하면 $$\frac{x^3}{4} = \arccos \left( \frac{y}{3} \right)$$ 이고, 따라서 $x^3 = 4\arccos \left(\frac{y}{3} \right)$ 이므로 $$x = \sqrt[3]{4\arccos \left(\frac{y}{3} \right)}\,.$$ 이제 대표적인 조각은 반지름이 $r(y) = \sqrt[3]{4\arccos \left(\frac{y}{3} \right)}$ 이고 두께가 $\triangle y$ 이며, 부피는 다음과 같다. $$V_{\text{조각}} \approx \pi \cdot \left( \sqrt[3]{4\arccos \left(\frac{y}{3} \right)} \right)^2 \triangle y\,.$$ $y = 0$ 부터 $y = 3$ 까지 조각들을 더하기 위해 적분하면, 회전체의 부피는 다음과 같다. $$V = \int_0^3 \pi \left( 4\arccos \left(\frac{y}{3} \right) \right)^{2/3} \, dy \approx 23.29194\,.$$

(a) 위의 그림을 보라. 두 곡선의 교점은 제1사분면에서 $\cos(x) = \sin(x)$ 인 곳이므로 점 $(\frac{\pi}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 이다. (b) $R$ 의 넓이는 다음 정적분으로 주어진다. $$A = \int_0^{\frac{\pi}{4}} ( \cos(x) - \sin(x) ) \, dx\,.$$ (c) $R$ 을 $x$축을 중심으로 회전시키고, 축에 수직이며 두께가 $\triangle x$ 인 조각으로 자르면, 생기는 와셔의 바깥쪽 반지름은 $R(x) = \cos(x)$ 이고 안쪽 반지름은 $r(x) = \sin(x)$ 이다. 대표 조각의 부피는 $$V_{\text{조각}} \approx \pi (\cos^2(x) - \sin^2(x)) \triangle x$$ 이므로, 구간 $x = 0$ 부터 $x = \pi/4$ 까지 조각들을 정적분으로 더하면 회전체의 부피는 다음과 같다. $$V = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \pi (\cos^2(x) - \sin^2(x)) \, dx\,.$$ (d) $R$ 을 $y$축을 중심으로 회전시키면, 생기는 도형의 단면은 $y$축에 수직이고 두께가 $\triangle x$ 인 원판이다. 그런데 각 원판의 반지름을 결정하는 반지름 $R(y)$ 는 $y = 0$ 부터 $y = 1$ 까지의 구간에서 높이 $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 에서 바뀐다. 또한 영역을 둘러싸는 두 곡선을 $y$의 함수로서 $x$ 로 나타내야 한다. $y = 0$ 부터 $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 까지의 구간에서는 사인 함수가 경계를 이루며 이를 $x = \arcsin(y)$ 로 쓴다. $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 부터 $y = 1$ 까지의 구간에서는 코사인 함수가 경계를 이루며 이를 $x = \arccos(y)$ 로 쓴다. 아래쪽 구간에서 대표 조각의 부피는 $$V_{\text{조각}} \approx \pi \arcsin^2(y) \triangle y\,.$$ 위쪽 구간에도 같은 방법으로 생각하고 알맞은 정적분으로 조각들을 더하면 다음을 얻는다. $$V = \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \pi \arcsin^2(y) \, dy + \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^1 \pi \arccos^2(y) \, dy$$ (e) 그림을 그린다. $R$ 을 직선 $y = 2$ 를 중심으로 회전시키면, 직선 $y = 2$ 에 수직인 단면은 두께가 $\triangle x$ 이고 바깥쪽 반지름이 $R(x) = 2 - \sin(x)$, 안쪽 반지름이 $r(x) = 2 - \cos(x)$ 인 와셔이다. 구간 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 에서 $2 - \sin(x) \ge 2 - \cos(x)$ 이기 때문이다. 따라서 대표 조각의 부피는 $$V_{\text{조각}} \approx \pi [(2 - \sin(x))^2 - (2 - \cos(x))^2] \triangle x$$ 이고, 이를 적분하여 전체 부피를 구하면 다음과 같다. $$V = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \pi [(2 - \sin(x))^2 - (2 - \cos(x))^2] \, dx\,.$$ (f) $R$ 을 직선 $x = -1$ 을 중심으로 회전시키면, 생기는 도형의 단면은 $y$축에 수직이고 두께가 $\triangle x$ 인 와셔이다. 안쪽 반지름은 항상 $r(y) = 1$ 이지만, 각 와셔의 더 큰 반지름을 결정하는 바깥쪽 반지름 $R(y)$ 는 $y = 0$ 부터 $y = 1$ 까지의 구간에서 높이 $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 에서 바뀐다. (d)와 마찬가지로 영역을 둘러싸는 두 곡선을 $y$의 함수로서 $x$ 로 나타낸다. $y = 0$ 부터 $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 까지의 구간에서는 $R(y) = 1 + \arcsin(y)$ 이고, $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 부터 $y = 1$ 까지의 구간에서는 $R(y) = 1 + \arccos(y)$ 이다. 아래쪽 구간에서 대표 조각의 부피는 $$V_{\text{조각}} \approx \pi [ (1+\arcsin(y))^2 - 1^2 ] \triangle y\,.$$ 위쪽 구간에도 같은 방법으로 생각하고 알맞은 정적분으로 조각들을 더하면 다음을 얻는다. $$V = \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \pi [ (1+\arcsin(y))^2 - 1^2 ] \, dy + \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^1 \pi [ (1+\arccos(y))^2 - 1^2 ] \, dy$$

(a) 영역의 모양은 위의 그림과 같다. 두 곡선의 교점은 $$1+\frac{1}{2}(x-2)^2 = \frac{1}{2}x^2\,,$$ 일 때 생기므로 $2+(x-2)^2 = x^2$ 이고, 이로부터 $2+(x^2-4x+4) = x^2$ 이므로 $4x=6$ 에서 $x = \frac{3}{2}$ 이다. 구간 $\left[0, \frac{3}{2} \right]$ 에서 $g(x) = 1+\frac{1}{2}(x-2)^2 \ge \frac{1}{2}x^2 = f(x)$ 이므로, 두 곡선 사이 영역의 넓이는 $$\begin{aligned}A = &= \int_0^{1.5} 1+\frac{1}{2}(x-2)^2 - \frac{1}{2}x^2 \ dx \\ &= \int_0^{1.5} 1+\frac{1}{2}(x^2-4x+4) - \frac{1}{2}x^2 \ dx \\ &= \int_0^{1.5} 3-2x \ dx \\ &= \left(3x-x^2\right)\biggm|_{0}^{1.5} \\ &= 4.5-2.25 \\ &= 2.25\end{aligned}\,.$$ (b) (위의 그림을 바탕으로 영역 $R$ 을 $y = -1$ 을 축으로 회전시킨 회전체의 그림을 직접 그려 보아야 한다.) 두께가 $\triangle x$ 인 수직 단면으로 자르면 단면은 워셔(속이 빈 원판) 모양이 된다. $y = -1$ 을 축으로 회전시키므로 바깥쪽 반지름은 $R(x) = 2+\frac{1}{2}(x-2)^2$ 이고, 안쪽 반지름은 $1+\frac{1}{2}x^2$ 이다. 따라서 두께가 $\triangle x$ 인 대표적인 조각의 부피는 $$V_{\text{조각}} \approx \pi \left( R(x)^2 - r(x)^2 \right) \triangle x = \pi\left[\left(2+\frac{1}{2}(x-2)^2\right)^2 - \left(1+\frac{1}{2}x^2\right)^2 \right] \triangle x\,.$$ 로 주어진다. 그러므로 영역 $R$ 을 직선 $y=-1$ 을 축으로 회전시켜 얻은 회전체의 부피는 $$V = \int_0^{1.5} \pi\left[\left(2+\frac{1}{2}(x-2)^2\right)^2 - \left(1+\frac{1}{2}x^2\right)^2 \right] \ dx = \frac{315}{32} \pi$$ 이다. (c) (영역 $R$ 을 $y$축을 축으로 회전시킨 회전체의 그림을 직접 그려 보아야 한다.) 수평으로 자르면 단면은 두께가 $\triangle y$ 인 원기둥 모양(원판)이 된다. $y$ 가 $f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{8} = 1.125$ 를 지나면서 원판의 반지름이 달라지므로 전체 부피를 구하려면 서로 다른 두 정적분이 필요하다. 수평으로 자르므로 $y$ 에 대해 적분하게 되고, 따라서 두 방정식을 모두 $y$ 의 함수로서 $x$ 에 대해 풀어야 한다. $y = 1+\frac{1}{2}(x-2)^2$ 에서 $2(y-1) = (x-2)^2$ 이므로 $x-2 = \pm \sqrt{2(y-1)}$ 이고 따라서 $x = 2 \pm \sqrt{2(y-1)}$ 이며, 마찬가지로 $y = \frac{1}{2}x^2$ 에서 $x = \pm \sqrt{2y}$ 이다. 곡선 $y = 1+\frac{1}{2}(x-2)^2$ 중에서 경계 하나를 이루는 부분은 포물선의 왼쪽 부분이므로 $x = 2 - \sqrt{2(y-1)}$ 이고, 곡선 $y = \frac{1}{2}x^2$ 중에서 다른 경계를 이루는 부분은 포물선의 오른쪽 부분이므로 $x = \sqrt{2y}$ 이다. 이 두 곡선이 원판의 반지름을 정하며($y < 1.125$ 일 때는 하나, $y > 1.125$ 일 때는 다른 하나), 영역의 가장 낮은 점은 $(0,0)$ 이고 가장 높은 점은 $(0,3)$ 이다. 따라서 영역 $R$ 을 $y$축을 축으로 회전시켜 얻은 회전체의 부피를 나타내는 적분의 합은 $$V = \int_{0}^{1.125} \pi \left(\sqrt{2y}\right)^2 \ dy + \int_{1.125}^3 \pi \left(2 - \sqrt{2(y-1)}\right)^2 \ dy \approx 7.06858347$$ 이다. (d) 구간 $[a,b]$ 에서 함수 $f$ 로 정의된 곡선의 길이는 $$\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} \ dx\,.$$ 로 주어짐을 기억하자. 영역 $R$ 의 둘레를 구하려면 구간 $[0,1.5]$ 에서 $y = 1+\frac{1}{2}(x-2)^2$ (이때 $y' = x-2$) 과 $y=\frac{1}{2}x^2$ (이때 $y' = x$) 로 정의된 곡선의 길이와, $y$ 가 $0$ 에서 $3$ 까지 변할 때 $x=0$ 을 따라 놓인 선분의 길이를 계산한다. 이 마지막 길이는 $3$ 이므로 영역 $R$ 의 둘레는 $$P = 3 + \int_0^{1.5} \sqrt{1+(x-2)^2} + \sqrt{1+x^2} \ dx \approx 7.387234642\,.$$ 로 주어진다.