적분법 전체 문제

먼저 $f''(x)=e^{-x}$를 한 번 적분해 $f'$을 구해요. $(e^{-x})'=-e^{-x}$이므로 $\int e^{-x}dx=-e^{-x}$예요. 따라서 $f'(x)=-e^{-x}+C_1$이에요.

한 번 더 적분해요. $\int(-e^{-x})dx=e^{-x}$이므로 $f(x)=e^{-x}+C_1x+C_2$예요.

$C_1$, $C_2$는 아무 상수나 될 수 있어요. $C_1=C_2=0$으로 놓으면 $f(x)=e^{-x}$이고, $C_1=1$, $C_2=0$으로 놓으면 $f(x)=e^{-x}+x$예요. 둘 다 두 번 미분하면 $e^{-x}$가 되는지 확인해 봐요.

$[0,6]$을 6등분하면 $\Delta x=1$이고 분점은 $x=0,1,2,3,4,5,6$이에요. 각 분점의 함숫값을 구해요. $f(0)=\sqrt{9-9}=0$, $f(1)=\sqrt{9-4}=\sqrt5\approx2.2361$, $f(2)=\sqrt{8}\approx2.8284$, $f(3)=3$, $f(4)=\sqrt8$, $f(5)=\sqrt5$, $f(6)=0$이에요.

좌합은 각 구간의 왼쪽 끝 값을 써요. $L_6=\Delta x\,[f(0)+f(1)+\cdots+f(5)]=0+2.2361+2.8284+3+2.8284+2.2361\approx13.129$예요.

우합은 오른쪽 끝 값을 써요. $R_6=\Delta x\,[f(1)+\cdots+f(6)]=2.2361+2.8284+3+2.8284+2.2361+0\approx13.129$예요.

두 값이 같은 이유는 좌합에만 들어가는 $f(0)$과 우합에만 들어가는 $f(6)$이 모두 $0$이기 때문이에요. 이 함수는 반지름 3인 반원이라 실제 넓이 $\frac{9\pi}{2}\approx14.14$보다 약간 작은 근삿값이에요.

구간 $[0,1]$ 을 100등분하면 한 칸의 폭은 $\Delta x=\frac{1}{100}$ 이고, 분점은 $x_i=\frac{i}{100}$ 예요.

오른쪽 끝점 합은 $i=1,2,\dots,100$ 에서 높이 $x_i^2=\left(\frac{i}{100}\right)^2$ 을 쓰므로 $$R_{100}=\sum_{i=1}^{100}\left(\frac{i}{100}\right)^2\cdot\frac1{100}=\frac{1}{10^6}\sum_{i=1}^{100}i^2$$ 이에요.

제곱의 합 공식 $\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 에 $n=100$ 을 넣으면 $\frac{100\cdot101\cdot201}{6}=338350$ 이에요. 그래서 $R_{100}=\frac{338350}{10^6}=0.33835$ 예요.

왼쪽 끝점 합은 $i=0,1,\dots,99$ 를 쓰므로 $\sum_{i=0}^{99}i^2=338350-100^2=328350$ 이고, $L_{100}=\frac{328350}{10^6}=0.32835$ 예요.

그래프로 확인해요. $y=x^2$ 은 $[0,1]$ 에서 증가하므로 왼쪽 합은 실제 넓이보다 작고(부족하게 어림), 오른쪽 합은 실제 넓이보다 커요. 실제 넓이 $\frac13\approx0.3333$ 이 두 값 사이에 있어요.

오른쪽 끝점 합은 $R_n=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\,\Delta x$ 꼴이에요. 주어진 식과 비교해 각 부분이 무엇인지 읽어요.

$\Delta x=\frac1n$ 이고 $x_i=\frac in$ 이에요. 구간이 $[a,b]$ 이면 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$, $x_i=a+i\Delta x$ 이므로 $b-a=1$, $a=0$ 으로 읽을 수 있어요. 즉 구간은 $[0,1]$ 이에요.

그러면 $x_i=\frac in$ 에서의 함숫값이 $\frac in$ 이므로 $f(x)=x$ 예요.

따라서 $$\lim_{n\to\infty}R_n=\int_0^1 x\,dx$$ 예요. (값은 $\frac12$ 이에요.)

구간 $[1,2]$ 를 10등분하면 $\Delta t=0.1$ 이고 분점은 $t_i=1+0.1i$ 예요.

왼쪽 합은 $i=0,\dots,9$ 를 쓰므로 $L_{10}=0.1\sum_{i=0}^{9}\bigl(4-t_i^2\bigr)$ 이에요. $\sum_{i=0}^{9}t_i^2=\sum(1+0.2i+0.01i^2)=10+0.2\cdot45+0.01\cdot285=21.85$ 이므로 $\sum(4-t_i^2)=40-21.85=18.15$, 따라서 $L_{10}=1.815$ 예요.

오른쪽 합은 $i=1,\dots,10$ 을 쓰므로 $\sum t_i^2=10+0.2\cdot55+0.01\cdot385=24.85$ 이고 $\sum(4-t_i^2)=40-24.85=15.15$ 예요. 따라서 $R_{10}=1.515$ 예요.

평균은 $$\frac{L_{10}+R_{10}}{2}=\frac{1.815+1.515}{2}=1.665$$ 예요. $f$ 가 감소하므로 $L_{10}$ 은 실제보다 크고 $R_{10}$ 은 작아서, 평균을 내면 서로 오차가 상쇄돼요.

실제 값 $1.666\ldots$ 과 비교하면 $1.665$ 는 차이가 약 $0.0017$ 이에요. 소수 둘째 자리까지 같은 값($1.66$)이므로 소수점 아래 둘째 자리까지 정확해요.

에너지는 출력을 시간에 대해 적분한 값이에요. 표는 1초마다 값이 있으므로 폭이 $\Delta t=1$초인 직사각형의 합(리만 합)으로 근사해요. 각 칸의 에너지는 (와트)×(1초)=줄이에요.

1초부터 9초까지의 합은 $600+500+575+1050+925+950+1050+950+1100=7700$이에요.

10초부터 18초까지의 합은 $1200+1170+1125+1100+1075+1000+950+900+780=9300$이에요. 전체는 $7700+9300=17000$줄, 즉 $17\text{ kJ}$예요.

평균 출력은 전체 에너지를 걸린 시간으로 나눈 값이에요. $\frac{17000\text{ J}}{18\text{ s}}\approx944\text{ W}$예요.

왜 이렇게 할까요? 분모 괄호 안의 식 $x^3-3$ 의 도함수 $3x^2$ 이 분자의 $x^2$ 과 상수배 차이만 있어서, 치환하면 깔끔해져요.

치환해요. $u=x^3-3$ 으로 놓으면 $du=3x^2dx$, 즉 $x^2dx=\frac13du$ 예요.

적분해요. $$\int\frac{x^2dx}{(x^3-3)^2}=\frac13\int u^{-2}du=\frac13\cdot\left(-\frac1u\right)+C=-\frac{1}{3u}+C$$

$x$ 로 되돌려요. $$-\frac{1}{3(x^3-3)}+C$$

왜 이렇게 할까요? 분모 $\cos^4\theta$ 의 속함수 $\cos\theta$ 의 도함수가 $-\sin\theta$ 로 분자에 있어요. 그래서 $u=\cos\theta$ 가 알맞아요.

치환식과 구간을 바꿔요. $du=-\sin\theta\,d\theta$ 이고, $\theta=0$ 이면 $u=1$, $\theta=\frac\pi4$ 이면 $u=\frac{1}{\sqrt2}$ 예요.

식을 바꿔 적분해요. $$\int_0^{\pi/4}\frac{\sin\theta}{\cos^4\theta}d\theta=\int_1^{1/\sqrt2}-u^{-4}du=\int_{1/\sqrt2}^{1}u^{-4}du$$ 위끝과 아래끝을 바꾸면서 음수 부호가 사라졌어요.

값을 구해요. $$\left[-\frac{1}{3u^3}\right]_{1/\sqrt2}^{1}=-\frac13+\frac{(\sqrt2)^3}{3}=\frac{2\sqrt2-1}{3}$$

먼저 주어진 공식을 확인해요. $\frac{d}{dx}\left[x(\ln x-1)\right]=(\ln x-1)+x\cdot\frac1x=\ln x$ 이므로 $\int\ln x\,dx=x(\ln x-1)+C$ 가 맞아요.

로그를 정리해요. ($x>0$ 으로 생각해요.) $\ln(x^2)=2\ln x$ 이고, $x^3=u$ 로 두면 $\ln x=\frac13\ln u$ 예요. 그래서 $$x^2\ln(x^2)=2x^2\ln x=\frac{2}{3}\,x^2\ln u$$

치환해요. $u=x^3$ 이면 $du=3x^2dx$, 즉 $x^2dx=\frac{du}{3}$ 이에요. $$\int x^2\ln(x^2)\,dx=\int 2\cdot\frac{1}{3}\ln u\cdot\frac{du}{3}=\frac{2}{9}\int\ln u\,du$$

공식을 써요. $$\frac29\int\ln u\,du=\frac29\,u(\ln u-1)+C$$

$x$ 로 되돌려요. $u=x^3$ 이므로 $$\frac{2}{9}x^3\left(\ln(x^3)-1\right)+C$$ 로 정리돼요. (직접 부분적분으로 풀어도 $\frac23x^3\ln x-\frac29x^3+C$ 로 같은 식이에요.)

왜 이렇게 할까요? $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ 로 쓰면, 분자 $\cos x$ 가 분모 $\sin x$ 의 도함수예요. 이런 꼴은 $\int\frac{g'(x)}{g(x)}dx=\ln|g(x)|+C$ 를 써요.

부정적분을 구해요. $$\int\cot x\,dx=\ln|\sin x|+C$$ (구간에서 $\sin x>0$ 이에요.)

위끝과 아래끝을 넣어요. $$\Big[\ln\sin x\Big]_{\pi/4}^{\pi/3}=\ln\frac{\sqrt3}{2}-\ln\frac{\sqrt2}{2}$$

로그의 성질로 합쳐요. $$\ln\frac{\sqrt3/2}{\sqrt2/2}=\ln\sqrt{\frac32}=\frac12\ln\frac32$$

왜 이렇게 할까요? 그래프 아래의 넓이는 정적분 $\int_3^4 2^{-x}dx$ 의 값이에요. 먼저 부정적분을 구해요.

부정적분. $2^{-x}=\left(\frac12\right)^x$ 이므로 $\int 2^{-x}dx=-\frac{2^{-x}}{\ln2}+C$ 예요. 미분하면 $-\frac{2^{-x}\cdot(-\ln 2)}{\ln 2}=2^{-x}$ 로 맞아요.

위끝과 아래끝을 넣어요. $$\left[-\frac{2^{-x}}{\ln2}\right]_3^4=-\frac{2^{-4}}{\ln2}+\frac{2^{-3}}{\ln2}=\frac{1}{\ln2}\left(\frac18-\frac1{16}\right)=\frac{1}{16\ln2}$$

원본 답과 같은 꼴로 바꿔요. $65536=2^{16}$ 이므로 $\ln(65536)=16\ln2$ 이고 $$\frac{1}{16\ln2}=\frac{1}{\ln(65536)}$$

$e^x>0$이므로 $xe^x\le e^x$인지는 $x\le1$인지로 정해져요. $0\le x\le1$에서 $x\le1$이므로 $y=e^x$가 위, $y=xe^x$가 아래예요. 그림에서도 $x=1$에서 두 곡선이 만나요.

넓이는 $\int_0^1(e^x-xe^x)\,dx$예요. 먼저 $\int_0^1e^xdx=e-1$이에요.

$\int_0^1xe^x\,dx$는 부분적분으로 구해요. $u=x$, $v'=e^x$로 놓으면 $\int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x$이므로 $\left[xe^x-e^x\right]_0^1=(e-e)-(0-1)=1$이에요.

따라서 넓이는 $(e-1)-1=e-2$예요.

두 그래프를 그려요. $y=4-3x$ 는 기울기 $-3$, $y$ 절편 $4$ 인 직선이고, $y=\frac1x$ 는 제1사분면에서 감소하는 곡선이에요. 직선이 곡선과 두 점에서 만나 그 사이에 영역이 생겨요.

교점을 구해요. $4-3x=\frac1x$ 의 양변에 $x$ 를 곱하면 $4x-3x^2=1$, 즉 $3x^2-4x+1=0$ 이고 $(3x-1)(x-1)=0$ 이므로 $x=\frac13,\ 1$ 이에요.

두 교점 사이의 한 점 $x=\frac12$ 에서 직선은 $4-\frac32=\frac52$, 곡선은 $2$ 이므로 직선이 위에 있어요.

넓이는 (위 $-$ 아래)의 정적분이에요. $$A=\int_{1/3}^{1}\left(4-3x-\frac1x\right)dx=\left[4x-\frac32x^2-\ln x\right]_{1/3}^{1}$$

$x=1$ 에서의 값은 $4-\frac32-0=\frac52$ 이고, $x=\frac13$ 에서의 값은 $\frac43-\frac16-\ln\frac13=\frac76+\ln3$ 이에요. 따라서 $$A=\frac52-\frac76-\ln3=\frac43-\ln3$$

영역은 제1사분면에서 위는 $y=\frac\pi4$, 오른쪽은 $x=\sec y$, 아래는 $x$ 축, 왼쪽은 $y$ 축으로 둘러싸인 부분이에요.

$y$ 축을 중심으로 돌리면, 높이 $y$ 에서 자른 단면은 반지름이 $x=\sec y$ 인 원판이에요. 넓이는 $\pi\sec^2 y$ 예요.

$y$ 는 $0$ 부터 $\frac\pi4$ 까지이므로 $$V=\pi\int_0^{\pi/4}\sec^2y\,dy$$ 예요.

$\tan y$ 를 미분하면 $\sec^2y$ 이므로 $$V=\pi\bigl[\tan y\bigr]_0^{\pi/4}=\pi(1-0)=\pi$$ 예요.

$x$ 와 $\cosh x$ 가 곱해져 있고 치환으로는 풀리지 않아요. 그래서 부분적분 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ 를 써요. $x$ 는 미분하면 $1$ 이 되어 간단해지니까 $u=x$, $dv=\cosh x\,dx$ 로 잡아요.

공식에 넣을 $du$ 와 $v$ 를 구해요. $du=dx$ 이고, $\sinh x$ 를 미분하면 $\cosh x$ 이므로 $v=\sinh x$ 예요.

공식에 대입해요. $$\int x\cosh x\,dx=x\sinh x-\int \sinh x\,dx$$

남은 적분은 쉬워요. $\cosh x$ 를 미분하면 $\sinh x$ 이므로 $\int\sinh x\,dx=\cosh x$ 예요. 따라서 $$\int x\cosh x\,dx=x\sinh x-\cosh x+C$$

검산으로 미분해 봐요. $(x\sinh x-\cosh x)'=\sinh x+x\cosh x-\sinh x=x\cosh x$ 로 처음 식이 나와요.