적분 기법 전체 문제

$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ 임을 떠올리자.

$$\begin{aligned} \int \tan^5 x \cos^2 x ~\mathrm{d}x&=\int \frac{\sin^5 x}{\cos^5 x}\cos^2 x ~\mathrm{d}x =\int \frac{\sin^5 x}{\cos^3 x}~\mathrm{d}x \\ \text{$u=\cos x$ 로 치환하면 $\mathrm{d}u=-\sin x~\mathrm{d}x$ 이고 $\sin^2 x = 1-\cos^2 x = 1-u^2$ 이다.} \\ &=\int \frac{\sin^4 x}{\cos^3 x}~\sin x~\mathrm{d}x =-\int \frac{(1-u^2)^2}{u^3}~\mathrm{d}u\\ &=-\int \frac{1-2u^2+u^4}{u^3}~\mathrm{d}u= \int \left(-\frac{1}{u^3}+\frac{2}{u}-u\right)\mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{2u^2}+2\log|u|-\frac{1}{2}u^2+C\\ &=\frac{1}{2\cos^2 x}+2\log|\cos x|-\frac{1}{2}\cos^2 x +C \end{aligned}$$

시컨트의 정의를 이용하면 이 적분을 더 익숙한 꼴로 바꿀 수 있다. $$\int \frac{1}{\cos^2 \theta}~\mathrm{d}\theta = \int \sec^2\theta~\mathrm{d}\theta = \tan \theta +C$$

$\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$ 로 고쳐 쓰고, $u=\sin x$, $\mathrm{d}u=\cos x~\mathrm{d}x$ 로 치환한다.

$$\begin{aligned} \int \cot x~\mathrm{d}x&= \int \frac{\cos x}{\sin x}~\mathrm{d}x = \int \frac{1}{u}~\mathrm{d}u\\ &=\log|u|+C = \log|\sin x|+C \end{aligned}$$

• 풀이 1: 먼저 쉽게 떠오르는 치환 $w=e^x$, $\mathrm{d}w=e^x \mathrm{d}w$ 로 시작한다.

$$\begin{aligned} \int e^x\sin(e^x)\cos(e^x) ~\mathrm{d}x&= \int \sin w \cos w ~\mathrm{d}w \\ \text{이제 또 다른 치환 $u=\sin w$, $\mathrm{d}u=\cos w~\mathrm{d}w$ 가 보인다.} \\ &=\int u~\mathrm{d}u=\frac{1}{2}u^2+C=\frac{1}{2}\sin^2 w +C\\ &=\frac{1}{2}\sin^2(e^x)+C \end{aligned}$$

• 풀이 2: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\sin(e^x)\} = e^x \cos(e^x)$ 임에 주목한다. 이는 $u=\sin(e^x)$, $\mathrm{d}u = e^x \cos(e^x)~\mathrm{d}x$ 로 치환하면 된다는 것을 알려 준다.

$$\begin{aligned} \int e^x\sin(e^x)\cos(e^x) ~\mathrm{d}x&= \int u~\mathrm{d}u =\frac{1}{2}u^2+C = \frac{1}{2}\sin^2(e^x)+C \end{aligned}$$

“안쪽 함수”가 있으므로 $s=\cos x$ 로 치환하며 시작한다. 그러면 $-\mathrm{d}s=\sin x ~\mathrm{d}x$ 이고 $\sin^2 x = 1-\cos^2 x = 1-s^2$ 이다.

$$\begin{aligned} \int \sin(\cos x)\sin^3 x ~\mathrm{d}x&=\int \sin(\cos x) \cdot \sin^2 x \cdot \sin x \mathrm{d}x\\ &=-\int \sin(s)\cdot (1-s^2) ~\mathrm{d}s \\ \text{$u=(1-s^2)$, $\mathrm{d}v=\sin s ~\mathrm{d}s$ 로 놓고 부분적분을 하면 $\mathrm{d}u=-2s~\mathrm{d}s$, $v = -\cos s$ 이다.} \\ &=-\left[-(1-s^2)\cos s - \int 2s\cos s~ \mathrm{d}s\right] \\&= (1-s^2)\cos s + \int 2s\cos s~ \mathrm{d}s \\ \text{$u=2s$, $\mathrm{d}v=\cos s ~\mathrm{d}s$ 로 놓고 다시 부분적분을 하면 $\mathrm{d}u=2~\mathrm{d}s$, $v=\sin s$ 이다.} \\ &=(1-s^2)\cos s + 2s\sin s - \int 2\sin s~\mathrm{d}s \\&=(1-s^2)\cos s + 2s\sin s +2\cos s +C \\&=\sin^2 x\cdot\cos (\cos x) + 2\cos x\cdot\sin (\cos x) +2\cos (\cos x) +C \\&=(\sin^2x+2)\cos (\cos x) + 2\cos x\cdot\sin (\cos x) +C \end{aligned}$$

피적분함수가 다항식과 삼각함수의 곱이므로 부분적분으로 풀릴 것이라고 짐작할 수 있다. 이를 수행하는 방법은 여러 가지가 있다.

• 풀이 1: 부분을 고르기 전에 항등식 $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$ 를 이용하자.

$$\begin{aligned} \int x\sin x \cos x \mathrm{d}x&=\frac{1}{2}\int x \sin(2x)\mathrm{d}x \\ \text{이제 $u= x$, $\mathrm{d}v=\sin(2x)\mathrm{d}x$ 로 놓으면 $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ 이고 $v=-\frac{1}{2}\cos (2x) $ 이다. 부분적분을 이용하면:} \\ &=\frac{1}{2}\left[-\frac{x}{2}\cos (2x) +\frac{1}{2} \int \cos (2x) \mathrm{d}x\right]\\ &=-\frac{x}{4}\cos (2x) +\frac{1}{8}\sin (2x) +C\\ &=-\frac{x}{4}(1-2\sin^2x) +\frac{1}{4}\sin x\cos x +C\\ &=-\frac{x}{4} + \frac{x}{2}\sin^2x+\frac{1}{4}\sin x \cos x +C \end{aligned}$$

• 풀이 2: $u=x$ 로 놓으면 $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ 이므로 부분적분에 알맞아 보인다. $u=x$ 이면 $\mathrm{d}v = \sin x \cos x \mathrm{d}x$ 이다. $v$ 를 구하기 위해 치환 $u=\sin x$, $\mathrm{d}u=\cos x \mathrm{d}x$ 를 쓸 수 있다.

$$\begin{aligned} v=\int \sin x \cos x \mathrm{d}x&=\int u \mathrm{d}u = \frac{1}{2}u^2+C = \frac{1}{2}\sin^2 x +C \\ \text{따라서 $v = \frac{1}{2}\sin^2 x$ 로 잡는다. 이제 처음의 적분에 부분적분을 적용할 수 있다.} \\ \int x\sin x \cos x ~\mathrm{d}x&=\frac{x}{2}\sin^2 x - \int \frac{1}{2}\sin^2 x \mathrm{d}x \\ \text{항등식 $\sin^2x = \dfrac{1-\cos(2x)}{2}$ 를 적용한다.} \\ &=\frac{x}{2}\sin^2 x - \frac{1}{4}\int 1-\cos(2 x) \mathrm{d}x\\ &=\frac{x}{2}\sin^2 x - \frac{x}{4} +\frac{1}{8}\sin(2 x)+C\\ &=\frac{x}{2}\sin^2 x - \frac{x}{4} +\frac{1}{4}\sin x \cos x+C \end{aligned}$$

• 풀이 3: $u=x\sin x$, $\mathrm{d}v=\cos x \mathrm{d}x$ 로 놓으면 $\mathrm{d}u = (x\cos x + \sin x)\mathrm{d}x$ 이고 $v = \sin x$ 이다.

$$\begin{aligned} \int x\sin x \cos x \mathrm{d}x&=x\sin^2 x - \int \sin x(x\cos x + \sin x)\mathrm{d}x\\ &=x\sin^2 x - \int x \sin x \cos x\mathrm{d}x - \int \sin^2 x\mathrm{d}x \\ \text{두 번째 적분에 항등식 $\sin^2 x = \dfrac{1-\cos(2x)}{2}$ 를 적용한다.} \\ &=x\sin^2 x - \int x \sin x \cos x\mathrm{d}x - \int \dfrac{1-\cos(2x)}{2}\mathrm{d}x \\&=x\sin^2 x - \int x \sin x \cos x\mathrm{d}x - \frac{x}{2} +\frac{1}{4}\sin(2x)+C \\ \text{따라서 다음 등식을 얻는다.} \\ \int x\sin x \cos x \mathrm{d}x&=x\sin^2 x - \int x \sin x \cos x\mathrm{d}x - \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin(2x)+C\\ 2\int x\sin x \cos x \mathrm{d}x&=x\sin^2 x - \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin(2x)+C\\ \int x\sin x \cos x \mathrm{d}x&=\frac{x}{2}\sin^2 x - \frac{x}{4} + \frac{1}{8}\sin(2x)+\frac{C}{2}\\ &=\frac{x}{2}\sin^2 x - \frac{x}{4} + \frac{1}{4}\sin x\cos x+\frac{C}{2} \end{aligned}$$

$C$ 는 $(-\infty,\infty)$ 의 어떤 값이든 가질 수 있는 임의의 상수이므로 $\frac{C}{2}$ 도 $(-\infty,\infty)$ 의 어떤 값이든 가질 수 있는 임의의 상수이다. 따라서 $\frac{C}{2}$ 를 $C$ 로 바꾸어 써도 된다.

치환 $x=\tan u$, $\mathrm{d}x=\sec^2 u~\mathrm{d}u$ 를 이용한다.

$$\begin{aligned} \int\dfrac{\sqrt{1+x^2}^3}{x}\mathrm{d}x&=\int\frac{\sqrt{1+\tan^2 u}^3}{\tan u}\sec^2 u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{\sec^3u}{\tan u}\sec^2 u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{(\sec^2u)^2}{\tan u}\sec u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{(\tan^2u+1)^2}{\tan u}\sec u~\mathrm{d}u \\&=\int\frac{\tan^4u+2\tan^2 u + 1}{\tan u}\sec u~\mathrm{d}u \\&=\int \tan^3 u \sec u ~\mathrm{d}u + \int 2\sec u \tan u~\mathrm{d}u + \int \frac{\sec u}{\tan u}~\mathrm{d}u \\ \text{첫 번째 적분에서는 치환 $w=\sec u$ 를 이용한다. 두 번째는 $2\sec u$ 의 부정적분이다. 세 번째는 $\frac{\sec u}{\tan u} = \frac{1}{\cos u}\cdot \frac{\cos u}{\sin u} = \csc u$~로 간단히 한다.} \\ &=\int\bigg((\sec^2 u -1)\sec u \tan u\bigg)~\mathrm{d}u + 2\sec u + \log|\cot u - \csc u |+C\\ &=\int (w^2-1)~\mathrm{d}w+2\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C\\ &=\frac{1}{3}w^3-w+2\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C\\ &=\frac{1}{3}\sec^3u-\sec u+2\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C \\ \smash{  } \qquad &=\frac{1}{3}\sec^3u+\sec u + \log|\cot u - \csc u|+C \\ \text{처음에 치환 $x=\tan u$ 를 사용했다. 그러면 $\cot u = \frac{1}{x}$ 이다. $\csc u$ 와 $\sec u$ 를 구하기 위해, 각 $u$ 가 있고 높이가 $x$, 밑변이 $1$ 인 직각삼각형을 그린다. 피타고라스 정리로 빗변의 길이를 구할 수 있다.} \\ &=\frac{1}{3}\sqrt{1+x^2}^3+\sqrt{1+x^2}+\log\left| \frac{1}{x}-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x} \right|+C \\&=\frac{1}{3}\sqrt{1+x^2}(4+x^2)+\log\left|\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x} \right|+C \end{aligned}$$

임의의 값 $X$ 에 대해 $$|X| = \left\{\begin{array}{rl} X&\text{(}X \ge 0\text{ 일 때)}\\ -X&\text{(}X \le 0\text{ 일 때)}\end{array}\right.$$ 임을 기억하자. 따라서 $|X| \neq X$ 인 것은 정확히 $X<0$ 일 때이다.

(a) 아크사인의 치역은 $\big[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big]$ 이다. 따라서 $u=\arcsin(x/a)$ 이므로 $u$ 는 $\big[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big]$ 범위에 있다. 그러므로 $\cos u \geq 0$ 이다. $a$ 가 양수이므로 $a\cos u \ge 0$ 이고, 따라서 $a\cos u = |a\cos u|$ 이다. 즉, $$\sqrt{a^2-x^2}=|a\cos u|=a\cos u$$ 가 항상 성립한다.

(b) 아크탄젠트의 치역은 $\big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)$ 이다. 따라서 $u=\arctan(x/a)$ 이므로 $u$ 는 $\big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)$ 범위에 있다. 그러므로 $\sec u = \frac{1}{\cos u} >0$ 이다. $a$ 가 양수이므로 $a\sec u > 0$ 이고, 따라서 $a\sec u = |a\sec u|$ 이다. 즉, $$\sqrt{a^2+x^2}=|a\sec u|=a\sec u$$ 가 항상 성립한다.

(c) 아크코사인의 치역은 $\big[0,\pi \big]$ 이다. 따라서 $u=\mathop{\mathrm{arcsec}}(x/a) = \arccos(a/x)$ 이므로 $u$ 는 $\big[0,\pi\big]$ 범위에 있다. (사실 시컨트는 $\pi/2$ 에서 정의되지 않으므로 $u$ 는 $[0,\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2},\pi]$ 범위에 있다.) $|a\tan u| \neq a\tan u$ 이면 $\tan u <0$ 이고, 이는 $u$ 가 $\big (\frac{\pi}{2},\pi)$ 범위에 있을 때 일어난다. 이 범위는 $-1<\cos u <0$ 인 범위와 같으므로 $-1<\frac{a}{x}<0$ 이다. $\frac{a}{x}<0$ 이므로 $a$ 와 $x$ 의 부호가 다르고, 따라서 $x<0$ 이다. 그러면 $-1<\frac{a}{x}$ 이므로 $x<-a$ 이기도 하다.

그러므로 $$\sqrt{x^2-a^2} = |a\tan u| = -a\tan u \neq a\tan u$$ 가 성립하는 것은 정확히 $x< -a$ 일 때이다.