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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 적분 기법

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536문제 · 24 / 27쪽

461.APEX · 6.8절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–26에서 부정적분의 값을 구하세요. 일부는 삼각 치환 없이 구할 수도 있습니다.

∫x2(1−x2)−3/2 dx\displaystyle \int x^2(1-x^2)^{-3/2}\ dx

영어 원문 보기

In Exercises 17–26, evaluate the indefinite integrals. Some may be evaluated without Trigonometric Substitution.

∫x2(1−x2)−3/2 dx\displaystyle \int x^2(1-x^2)^{-3/2}\ dx

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

x1−x2−sin⁡−1x+C\frac x{\sqrt{1-x^2}} - \sin^{-1}x+C

원본 교재 풀이(영어)

x1−x2−sin⁡−1x+C\frac x{\sqrt{1-x^2}} - \sin^{-1}x+C

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.12절 · 17번
# 이상적분계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
462.APEX · 6.8절 · 25번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–26에서 부정적분의 값을 구하세요. 일부는 삼각 치환 없이 구할 수도 있습니다.

∫5−x27x2 dx\displaystyle \int \frac{\sqrt{5-x^2}}{7x^2}\ dx

영어 원문 보기

In Exercises 17–26, evaluate the indefinite integrals. Some may be evaluated without Trigonometric Substitution.

∫5−x27x2 dx\displaystyle \int \frac{\sqrt{5-x^2}}{7x^2}\ dx

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

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17(−5−x2x−sin⁡−1(x/5))+C\frac17\left(-\frac{\sqrt{5-x^2}}x-\sin^{-1}(x/\sqrt{5})\right)+C

원본 교재 풀이(영어)

17(−5−x2x−sin⁡−1(x/5))+C\frac17\left(-\frac{\sqrt{5-x^2}}x-\sin^{-1}(x/\sqrt{5})\right)+C

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.7절 · 55번
# 이상적분계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
463.APEX · 6.8절 · 26번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–26에서 부정적분의 값을 구하세요. 일부는 삼각 치환 없이 구할 수도 있습니다.

∫x2x2+3 dx\displaystyle \int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+3}}\ dx

영어 원문 보기

In Exercises 17–26, evaluate the indefinite integrals. Some may be evaluated without Trigonometric Substitution.

∫x2x2+3 dx\displaystyle \int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+3}}\ dx

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

12xx2+3−32ln⁡∣x2+33+x3∣+C\frac12x\sqrt{x^2+3}-\frac32\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+3}}{\sqrt{3}}+\frac x{\sqrt{3}}\right|+C

원본 교재 풀이(영어)

12xx2+3−32ln⁡∣x2+33+x3∣+C\frac12x\sqrt{x^2+3}-\frac32\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+3}}{\sqrt{3}}+\frac x{\sqrt{3}}\right|+C

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.7절 · 29번
# 이상적분계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
464.APEX · 6.8절 · 27번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–32에서, 적절한 삼각치환을 하고 또한 적분 구간을 바꾸어 정적분의 값을 구하세요. (참고: 각 정적분에 대응하는 부정적분은 이 연습문제 앞부분에 이미 나왔습니다.)

∫−111−x2 dx\displaystyle \int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\ dx

영어 원문 보기

In Exercises 27–32, evaluate the definite integrals by making the proper trigonometric substitution and changing the bounds of integration. (Note: each of the corresponding indefinite integrals has appeared previously in this Exercise set.)

∫−111−x2 dx\displaystyle \int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\ dx

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π/2\pi/2

원본 교재 풀이(영어)

π/2\pi/2

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.7절 · 33번
# 이상적분계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
465.APEX · 6.8절 · 28번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–32에서, 적절한 삼각치환을 하고 또한 적분 구간을 바꾸어 정적분의 값을 구하세요. (참고: 각 정적분에 대응하는 부정적분은 이 연습문제 앞부분에 이미 나왔습니다.)

∫48x2−16 dx\displaystyle \int_{4}^8 \sqrt{x^2-16}\ dx

영어 원문 보기

In Exercises 27–32, evaluate the definite integrals by making the proper trigonometric substitution and changing the bounds of integration. (Note: each of the corresponding indefinite integrals has appeared previously in this Exercise set.)

∫48x2−16 dx\displaystyle \int_{4}^8 \sqrt{x^2-16}\ dx

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163−8ln⁡(2+3)16\sqrt3-8\ln(2+\sqrt3)

원본 교재 풀이(영어)

163−8ln⁡(2+3)16\sqrt3-8\ln(2+\sqrt3)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.7절 · 9번
# 이상적분계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
466.APEX · 6.8절 · 29번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–32에서, 적절한 삼각치환을 하고 또한 적분 구간을 바꾸어 정적분의 값을 구하세요. (참고: 각 정적분에 대응하는 부정적분은 이 연습문제 앞부분에 이미 나왔습니다.)

∫02x2+4 dx\displaystyle \int_{0}^2 \sqrt{x^2+4}\ dx

영어 원문 보기

In Exercises 27–32, evaluate the definite integrals by making the proper trigonometric substitution and changing the bounds of integration. (Note: each of the corresponding indefinite integrals has appeared previously in this Exercise set.)

∫02x2+4 dx\displaystyle \int_{0}^2 \sqrt{x^2+4}\ dx

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22+2ln⁡(1+2)2\sqrt2+2\ln(1+\sqrt2)

원본 교재 풀이(영어)

22+2ln⁡(1+2)2\sqrt2+2\ln(1+\sqrt2)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.7절 · 45번
# 이상적분계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
467.APEX · 6.8절 · 30번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–32에서, 적절한 삼각치환을 하고 또한 적분 구간을 바꾸어 정적분의 값을 구하세요. (참고: 각 정적분에 대응하는 부정적분은 이 연습문제 앞부분에 이미 나왔습니다.)

∫−111(x2+1)2 dx\displaystyle \int_{-1}^1 \frac1{(x^2+1)^2}\ dx

영어 원문 보기

In Exercises 27–32, evaluate the definite integrals by making the proper trigonometric substitution and changing the bounds of integration. (Note: each of the corresponding indefinite integrals has appeared previously in this Exercise set.)

∫−111(x2+1)2 dx\displaystyle \int_{-1}^1 \frac1{(x^2+1)^2}\ dx

정답·풀이 보기

π/4+1/2)\pi/4+1/2)

원본 교재 풀이(영어)

π/4+1/2)\pi/4+1/2)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.7절 · 55번
# 이상적분계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
468.APEX · 6.8절 · 31번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–32에서, 적절한 삼각치환을 하고 또한 적분 구간을 바꾸어 정적분의 값을 구하세요. (참고: 각 정적분에 대응하는 부정적분은 이 연습문제 앞부분에 이미 나왔습니다.)

∫−119−x2 dx\displaystyle \int_{-1}^1 \sqrt{9-x^2}\ dx

영어 원문 보기

In Exercises 27–32, evaluate the definite integrals by making the proper trigonometric substitution and changing the bounds of integration. (Note: each of the corresponding indefinite integrals has appeared previously in this Exercise set.)

∫−119−x2 dx\displaystyle \int_{-1}^1 \sqrt{9-x^2}\ dx

정답·풀이 보기

9sin⁡−1(1/3)+89\sin^{-1}(1/3)+\sqrt{8} 참고: 새로운 아래끝은 θ=sin⁡−1(−1/3)\theta=\sin^{-1}(-1/3) 이고 새로운 위끝은 θ=sin⁡−1(1/3)\theta=\sin^{-1}(1/3) 이다. 최종 답은 sin⁡−1(−1/3)=−sin⁡−1(1/3)\sin^{-1}(-1/3)=-\sin^{-1}(1/3) 이고 cos⁡(sin⁡−1(1/3))=cos⁡(sin⁡−1(−1/3))=8/3\cos\big(\sin^{-1}(1/3)\big)=\cos\big(\sin^{-1}(-1/3)\big) = \sqrt{8}/3 임을 이용하여 얻는다.

원본 교재 풀이(영어)

9sin⁡−1(1/3)+89\sin^{-1}(1/3)+\sqrt{8} Note: the new lower bound is θ=sin⁡−1(−1/3)\theta=\sin^{-1}(-1/3) and the new upper bound is θ=sin⁡−1(1/3)\theta=\sin^{-1}(1/3). The final answer comes with recognizing that sin⁡−1(−1/3)=−sin⁡−1(1/3)\sin^{-1}(-1/3)=-\sin^{-1}(1/3) and that cos⁡(sin⁡−1(1/3))=cos⁡(sin⁡−1(−1/3))=8/3\cos\big(\sin^{-1}(1/3)\big)=\cos\big(\sin^{-1}(-1/3)\big) = \sqrt{8}/3.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.7절 · 11번
# 이상적분계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
469.APEX · 6.8절 · 32번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–32에서, 알맞은 삼각함수 치환을 이용하고 또한 적분 구간을 바꾸어 정적분의 값을 구하세요. (참고: 각 정적분에 대응하는 부정적분은 이 연습문제 앞부분에 이미 나왔습니다.)

∫−11x21−x2 dx\displaystyle \int_{-1}^1 x^2\sqrt{1-x^2}\ dx

영어 원문 보기

In Exercises 27–32, evaluate the definite integrals by making the proper trigonometric substitution and changing the bounds of integration. (Note: each of the corresponding indefinite integrals has appeared previously in this Exercise set.)

∫−11x21−x2 dx\displaystyle \int_{-1}^1 x^2\sqrt{1-x^2}\ dx

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

π/8\pi/8

원본 교재 풀이(영어)

π/8\pi/8

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.12절 · 17번
# 이상적분계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
470.CLP-2 · 1.8절 · 1번대학 수준우리말 번역

∫0π/4sin⁡xcos⁡nx dx\displaystyle\int_0^{\pi/4} \sin x \cos^n x ~\mathrm{d}x 의 값을 치환 u=cos⁡xu=\cos x 를 이용하여 구하려고 합니다. 치환이 성립하기 위해 참이어야 하는 것은 다음 중 어느 것입니까?

(a) nn 은 짝수여야 한다 (b) nn 은 홀수여야 한다 (c) nn 은 정수여야 한다 (d) nn 은 양수여야 한다 (e) nn 은 임의의 실수일 수 있다

영어 원문 보기

Suppose you want to evaluate ∫0π/4sin⁡xcos⁡nx dx\displaystyle\int_0^{\pi/4} \sin x \cos^n x ~\mathrm{d}x using the substitution u=cos⁡xu=\cos x. Which of the following need to be true for your substitution to work?

(a) nn must be even (b) nn must be odd (c) nn must be an integer (d) nn must be positive (e) nn can be any real number

정답·풀이 보기

u=cos⁡xu=\cos x 이면 du=−sin⁡x dx\mathrm{d}u=-\sin x\,\mathrm{d}x 이다. n≠−1n \neq -1 이면

∫0π/4sin⁡xcos⁡nx dx=−∫11/2undu=[−1n+1un+1]11/2=1n+1(1−12n+1)n=−1 이면∫0π/4sin⁡xcos⁡nx dx=−∫11/2undu=−∫11/21udu=[−log⁡∣u∣]11/2=−log⁡(12)=12log⁡2\begin{aligned} \int_0^{\pi/4} \sin x \cos^n x ~\mathrm{d}x&= - \int_1^{1/\sqrt2} u^n \mathrm{d}u = \left[-\frac{1}{n+1}u^{n+1}\right]_1^{1/\sqrt2}=\frac{1}{n+1}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}^{n+1}}\right) \\ \text{$n=-1$ 이면} \\ \int_0^{\pi/4} \sin x \cos^n x ~\mathrm{d}x&= - \int_1^{1/\sqrt2} u^n \mathrm{d}u = - \int_1^{1/\sqrt2} \frac{1}{u} \mathrm{d}u =\bigg[ -\log|u|\bigg]_1^{1/\sqrt2} \\ & =-\log\left(\frac{1}{\sqrt2}\right) = \frac{1}{2}\log 2 \end{aligned}

따라서 (e) nn 은 임의의 실수일 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

If u=cos⁡xu=\cos x, then du=−sin⁡x dx\mathrm{d}u=-\sin x\,\mathrm{d}x. If n≠−1n \neq -1, then

∫0π/4sin⁡xcos⁡nx dx=−∫11/2undu=[−1n+1un+1]11/2=1n+1(1−12n+1)If n=−1, then∫0π/4sin⁡xcos⁡nx dx=−∫11/2undu=−∫11/21udu=[−log⁡∣u∣]11/2=−log⁡(12)=12log⁡2\begin{aligned} \int_0^{\pi/4} \sin x \cos^n x ~\mathrm{d}x&= - \int_1^{1/\sqrt2} u^n \mathrm{d}u = \left[-\frac{1}{n+1}u^{n+1}\right]_1^{1/\sqrt2}=\frac{1}{n+1}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}^{n+1}}\right) \\ \text{If $n=-1$, then} \\ \int_0^{\pi/4} \sin x \cos^n x ~\mathrm{d}x&= - \int_1^{1/\sqrt2} u^n \mathrm{d}u = - \int_1^{1/\sqrt2} \frac{1}{u} \mathrm{d}u =\bigg[ -\log|u|\bigg]_1^{1/\sqrt2} \\ & =-\log\left(\frac{1}{\sqrt2}\right) = \frac{1}{2}\log 2 \end{aligned}

So, (e) nn can be any real number.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.2절 · 39번
# 삼각함수의 적분계산기본자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
471.CLP-2 · 1.8절 · 2번대학 수준우리말 번역

∫sec⁡nxtan⁡xdx\displaystyle\int \sec^n x \tan x \mathrm{d}x 의 값을 구하세요. 여기서 nn 은 0보다 큰 정수입니다.

영어 원문 보기

Evaluate ∫sec⁡nxtan⁡xdx\displaystyle\int \sec^n x \tan x \mathrm{d}x, where nn is a strictly positive integer.

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

치환 u=sec⁡xu=\sec x, du=sec⁡xtan⁡x dx\mathrm{d}u=\sec x \tan x ~\mathrm{d}x 를 사용한다.

∫sec⁡nxtan⁡xdx=∫sec⁡n−1x⋅sec⁡xtan⁡x dx=∫un−1dun 이 양수이므로 n−1≠−1 이고, 따라서 거듭제곱 법칙으로 부정적분한다.=unn+C=1nsec⁡nx+C\begin{aligned} \int \sec^n x \tan x \mathrm{d}x&=\int \sec^{n-1}x \cdot \sec x \tan x~\mathrm{d}x = \int u^{n-1}\mathrm{d}u \\ \text{$n$ 이 양수이므로 $n-1 \neq -1$ 이고, 따라서 거듭제곱 법칙으로 부정적분한다.} \\ &=\frac{u^n}{n}+C = \frac{1}{n}\sec^n x +C \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We use the substitution u=sec⁡xu=\sec x, du=sec⁡xtan⁡x dx\mathrm{d}u=\sec x \tan x ~\mathrm{d}x.

∫sec⁡nxtan⁡xdx=∫sec⁡n−1x⋅sec⁡xtan⁡x dx=∫un−1duSince n is positive, n−1≠−1, so we antidifferentiate using the power rule.=unn+C=1nsec⁡nx+C\begin{aligned} \int \sec^n x \tan x \mathrm{d}x&=\int \sec^{n-1}x \cdot \sec x \tan x~\mathrm{d}x = \int u^{n-1}\mathrm{d}u \\ \text{Since $n$ is positive, $n-1 \neq -1$, so we antidifferentiate using the power rule.} \\ &=\frac{u^n}{n}+C = \frac{1}{n}\sec^n x +C \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.8절 · 3번
# 삼각함수의 적분계산기본자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
472.CLP-2 · 1.8절 · 3번대학 수준우리말 번역

기억하기 더 쉬운 항등식 sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2x+\cos^2 x =1 로부터 항등식 tan⁡2x+1=sec⁡2x\tan^2 x +1 = \sec^2 x 를 유도하세요.

영어 원문 보기

Derive the identity tan⁡2x+1=sec⁡2x\tan^2 x +1 = \sec^2 x from the easier-to-remember identity sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2x+\cos^2 x =1.

정답·풀이 보기

양변을 cos⁡2x\cos^2 x 로 나누고 간단히 한다.

sin⁡2x+cos⁡2x=1sin⁡2x+cos⁡2xcos⁡2x=1cos⁡2xsin⁡2xcos⁡2x+1=sec⁡2xtan⁡2x+1=sec⁡2x\begin{aligned} \sin^2x+\cos^2 x &=1 \\\frac{\sin^2x+\cos^2 x }{\cos^2 x}&=\frac{1}{\cos^2 x} \\\frac{\sin^2x}{\cos^2 x}+1&=\sec^2 x \\\tan^2 x+1&=\sec^2 x \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We divide both sides by cos⁡2x\cos^2 x, and simplify.

sin⁡2x+cos⁡2x=1sin⁡2x+cos⁡2xcos⁡2x=1cos⁡2xsin⁡2xcos⁡2x+1=sec⁡2xtan⁡2x+1=sec⁡2x\begin{aligned} \sin^2x+\cos^2 x &=1 \\\frac{\sin^2x+\cos^2 x }{\cos^2 x}&=\frac{1}{\cos^2 x} \\\frac{\sin^2x}{\cos^2 x}+1&=\sec^2 x \\\tan^2 x+1&=\sec^2 x \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.8절 · 1번
# 삼각함수의 적분계산기본자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
473.CLP-2 · 1.8절 · 24번대학 수준우리말 번역

∫tan⁡5xcos⁡2x dx\displaystyle\int \tan^5 x \cos^2 x ~\mathrm{d}x 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate ∫tan⁡5xcos⁡2x dx\displaystyle\int \tan^5 x \cos^2 x ~\mathrm{d}x.

정답·풀이 보기

tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} 임을 떠올리자.

∫tan⁡5xcos⁡2x dx=∫sin⁡5xcos⁡5xcos⁡2x dx=∫sin⁡5xcos⁡3x dxu=cos⁡x 로 치환하면 du=−sin⁡x dx 이고 sin⁡2x=1−cos⁡2x=1−u2 이다.=∫sin⁡4xcos⁡3x sin⁡x dx=−∫(1−u2)2u3 du=−∫1−2u2+u4u3 du=∫(−1u3+2u−u)du=12u2+2log⁡∣u∣−12u2+C=12cos⁡2x+2log⁡∣cos⁡x∣−12cos⁡2x+C\begin{aligned} \int \tan^5 x \cos^2 x ~\mathrm{d}x&=\int \frac{\sin^5 x}{\cos^5 x}\cos^2 x ~\mathrm{d}x =\int \frac{\sin^5 x}{\cos^3 x}~\mathrm{d}x \\ \text{$u=\cos x$ 로 치환하면 $\mathrm{d}u=-\sin x~\mathrm{d}x$ 이고 $\sin^2 x = 1-\cos^2 x = 1-u^2$ 이다.} \\ &=\int \frac{\sin^4 x}{\cos^3 x}~\sin x~\mathrm{d}x =-\int \frac{(1-u^2)^2}{u^3}~\mathrm{d}u\\ &=-\int \frac{1-2u^2+u^4}{u^3}~\mathrm{d}u= \int \left(-\frac{1}{u^3}+\frac{2}{u}-u\right)\mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{2u^2}+2\log|u|-\frac{1}{2}u^2+C\\ &=\frac{1}{2\cos^2 x}+2\log|\cos x|-\frac{1}{2}\cos^2 x +C \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

Recall tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}.

∫tan⁡5xcos⁡2x dx=∫sin⁡5xcos⁡5xcos⁡2x dx=∫sin⁡5xcos⁡3x dxSubstitute u=cos⁡x, so du=−sin⁡x dx and sin⁡2x=1−cos⁡2x=1−u2.=∫sin⁡4xcos⁡3x sin⁡x dx=−∫(1−u2)2u3 du=−∫1−2u2+u4u3 du=∫(−1u3+2u−u)du=12u2+2log⁡∣u∣−12u2+C=12cos⁡2x+2log⁡∣cos⁡x∣−12cos⁡2x+C\begin{aligned} \int \tan^5 x \cos^2 x ~\mathrm{d}x&=\int \frac{\sin^5 x}{\cos^5 x}\cos^2 x ~\mathrm{d}x =\int \frac{\sin^5 x}{\cos^3 x}~\mathrm{d}x \\ \text{Substitute $u=\cos x$, so $\mathrm{d}u=-\sin x~\mathrm{d}x$ and $\sin^2 x = 1-\cos^2 x = 1-u^2$.} \\ &=\int \frac{\sin^4 x}{\cos^3 x}~\sin x~\mathrm{d}x =-\int \frac{(1-u^2)^2}{u^3}~\mathrm{d}u\\ &=-\int \frac{1-2u^2+u^4}{u^3}~\mathrm{d}u= \int \left(-\frac{1}{u^3}+\frac{2}{u}-u\right)\mathrm{d}u\\ &=\frac{1}{2u^2}+2\log|u|-\frac{1}{2}u^2+C\\ &=\frac{1}{2\cos^2 x}+2\log|\cos x|-\frac{1}{2}\cos^2 x +C \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.8절 · 25번
# 삼각함수의 적분계산도전자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
474.CLP-2 · 1.8절 · 25번대학 수준우리말 번역

∫1cos⁡2θdθ\displaystyle\int \frac{1}{\cos^2 \theta}\mathrm{d}\theta 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate ∫1cos⁡2θdθ\displaystyle\int \frac{1}{\cos^2 \theta}\mathrm{d}\theta.

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

시컨트의 정의를 이용하면 이 적분을 더 익숙한 꼴로 바꿀 수 있다. ∫1cos⁡2θ dθ=∫sec⁡2θ dθ=tan⁡θ+C\int \frac{1}{\cos^2 \theta}~\mathrm{d}\theta = \int \sec^2\theta~\mathrm{d}\theta = \tan \theta +C

원본 교재 풀이(영어)

We can use the definition of secant to make this integral look more familiar. ∫1cos⁡2θ dθ=∫sec⁡2θ dθ=tan⁡θ+C\int \frac{1}{\cos^2 \theta}~\mathrm{d}\theta = \int \sec^2\theta~\mathrm{d}\theta = \tan \theta +C

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.2절 · 55번
# 삼각함수의 적분계산도전자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
475.CLP-2 · 1.8절 · 26번대학 수준우리말 번역

∫cot⁡x dx\displaystyle\int \cot x~\mathrm{d}x 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate ∫cot⁡x dx\displaystyle\int \cot x~\mathrm{d}x.

정답·풀이 보기

cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x} 로 고쳐 쓰고, u=sin⁡xu=\sin x, du=cos⁡x dx\mathrm{d}u=\cos x~\mathrm{d}x 로 치환한다.

∫cot⁡x dx=∫cos⁡xsin⁡x dx=∫1u du=log⁡∣u∣+C=log⁡∣sin⁡x∣+C\begin{aligned} \int \cot x~\mathrm{d}x&= \int \frac{\cos x}{\sin x}~\mathrm{d}x = \int \frac{1}{u}~\mathrm{d}u\\ &=\log|u|+C = \log|\sin x|+C \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We re-write cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}, and use the substitution u=sin⁡xu=\sin x, du=cos⁡x dx\mathrm{d}u=\cos x~\mathrm{d}x.

∫cot⁡x dx=∫cos⁡xsin⁡x dx=∫1u du=log⁡∣u∣+C=log⁡∣sin⁡x∣+C\begin{aligned} \int \cot x~\mathrm{d}x&= \int \frac{\cos x}{\sin x}~\mathrm{d}x = \int \frac{1}{u}~\mathrm{d}u\\ &=\log|u|+C = \log|\sin x|+C \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.8절 · 27번
# 삼각함수의 적분계산도전자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
476.CLP-2 · 1.8절 · 27번대학 수준우리말 번역

∫exsin⁡(ex)cos⁡(ex) dx\displaystyle\int e^x\sin(e^x)\cos(e^x) ~\mathrm{d}x 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate ∫exsin⁡(ex)cos⁡(ex) dx\displaystyle\int e^x\sin(e^x)\cos(e^x) ~\mathrm{d}x.

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기
  • 풀이 1: 먼저 쉽게 떠오르는 치환 w=exw=e^x, dw=exdw\mathrm{d}w=e^x \mathrm{d}w 로 시작한다.

∫exsin⁡(ex)cos⁡(ex) dx=∫sin⁡wcos⁡w dw이제 또 다른 치환 u=sin⁡w, du=cos⁡w dw 가 보인다.=∫u du=12u2+C=12sin⁡2w+C=12sin⁡2(ex)+C\begin{aligned} \int e^x\sin(e^x)\cos(e^x) ~\mathrm{d}x&= \int \sin w \cos w ~\mathrm{d}w \\ \text{이제 또 다른 치환 $u=\sin w$, $\mathrm{d}u=\cos w~\mathrm{d}w$ 가 보인다.} \\ &=\int u~\mathrm{d}u=\frac{1}{2}u^2+C=\frac{1}{2}\sin^2 w +C\\ &=\frac{1}{2}\sin^2(e^x)+C \end{aligned}

  • 풀이 2: ddx{sin⁡(ex)}=excos⁡(ex)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\sin(e^x)\} = e^x \cos(e^x) 임에 주목한다. 이는 u=sin⁡(ex)u=\sin(e^x), du=excos⁡(ex) dx\mathrm{d}u = e^x \cos(e^x)~\mathrm{d}x 로 치환하면 된다는 것을 알려 준다.

∫exsin⁡(ex)cos⁡(ex) dx=∫u du=12u2+C=12sin⁡2(ex)+C\begin{aligned} \int e^x\sin(e^x)\cos(e^x) ~\mathrm{d}x&= \int u~\mathrm{d}u =\frac{1}{2}u^2+C = \frac{1}{2}\sin^2(e^x)+C \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)
  • Solution 1: We begin with the obvious substitution, w=exw=e^x, dw=exdw\mathrm{d}w=e^x \mathrm{d}w.

∫exsin⁡(ex)cos⁡(ex) dx=∫sin⁡wcos⁡w dwNow we see another substitution, u=sin⁡w, du=cos⁡w dw.=∫u du=12u2+C=12sin⁡2w+C=12sin⁡2(ex)+C\begin{aligned} \int e^x\sin(e^x)\cos(e^x) ~\mathrm{d}x&= \int \sin w \cos w ~\mathrm{d}w \\ \text{Now we see another substitution, $u=\sin w$, $\mathrm{d}u=\cos w~\mathrm{d}w$.} \\ &=\int u~\mathrm{d}u=\frac{1}{2}u^2+C=\frac{1}{2}\sin^2 w +C\\ &=\frac{1}{2}\sin^2(e^x)+C \end{aligned}

  • Solution 2: Notice that ddx{sin⁡(ex)}=excos⁡(ex)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\sin(e^x)\} = e^x \cos(e^x). This suggests to us the substitution u=sin⁡(ex)u=\sin(e^x), du=excos⁡(ex) dx\mathrm{d}u = e^x \cos(e^x)~\mathrm{d}x.

∫exsin⁡(ex)cos⁡(ex) dx=∫u du=12u2+C=12sin⁡2(ex)+C\begin{aligned} \int e^x\sin(e^x)\cos(e^x) ~\mathrm{d}x&= \int u~\mathrm{d}u =\frac{1}{2}u^2+C = \frac{1}{2}\sin^2(e^x)+C \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.2절 · 53번
# 삼각함수의 적분계산도전자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
477.CLP-2 · 1.8절 · 28번대학 수준우리말 번역

∫sin⁡(cos⁡x)sin⁡3x dx\displaystyle\int \sin(\cos x)\sin^3 x ~\mathrm{d}x 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate ∫sin⁡(cos⁡x)sin⁡3x dx\displaystyle\int \sin(\cos x)\sin^3 x ~\mathrm{d}x.

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

“안쪽 함수”가 있으므로 s=cos⁡xs=\cos x 로 치환하며 시작한다. 그러면 −ds=sin⁡x dx-\mathrm{d}s=\sin x ~\mathrm{d}x 이고 sin⁡2x=1−cos⁡2x=1−s2\sin^2 x = 1-\cos^2 x = 1-s^2 이다.

∫sin⁡(cos⁡x)sin⁡3x dx=∫sin⁡(cos⁡x)⋅sin⁡2x⋅sin⁡xdx=−∫sin⁡(s)⋅(1−s2) dsu=(1−s2), dv=sin⁡s ds 로 놓고 부분적분을 하면 du=−2s ds, v=−cos⁡s 이다.=−[−(1−s2)cos⁡s−∫2scos⁡s ds]=(1−s2)cos⁡s+∫2scos⁡s dsu=2s, dv=cos⁡s ds 로 놓고 다시 부분적분을 하면 du=2 ds, v=sin⁡s 이다.=(1−s2)cos⁡s+2ssin⁡s−∫2sin⁡s ds=(1−s2)cos⁡s+2ssin⁡s+2cos⁡s+C=sin⁡2x⋅cos⁡(cos⁡x)+2cos⁡x⋅sin⁡(cos⁡x)+2cos⁡(cos⁡x)+C=(sin⁡2x+2)cos⁡(cos⁡x)+2cos⁡x⋅sin⁡(cos⁡x)+C\begin{aligned} \int \sin(\cos x)\sin^3 x ~\mathrm{d}x&=\int \sin(\cos x) \cdot \sin^2 x \cdot \sin x \mathrm{d}x\\ &=-\int \sin(s)\cdot (1-s^2) ~\mathrm{d}s \\ \text{$u=(1-s^2)$, $\mathrm{d}v=\sin s ~\mathrm{d}s$ 로 놓고 부분적분을 하면 $\mathrm{d}u=-2s~\mathrm{d}s$, $v = -\cos s$ 이다.} \\ &=-\left[-(1-s^2)\cos s - \int 2s\cos s~ \mathrm{d}s\right] \\&= (1-s^2)\cos s + \int 2s\cos s~ \mathrm{d}s \\ \text{$u=2s$, $\mathrm{d}v=\cos s ~\mathrm{d}s$ 로 놓고 다시 부분적분을 하면 $\mathrm{d}u=2~\mathrm{d}s$, $v=\sin s$ 이다.} \\ &=(1-s^2)\cos s + 2s\sin s - \int 2\sin s~\mathrm{d}s \\&=(1-s^2)\cos s + 2s\sin s +2\cos s +C \\&=\sin^2 x\cdot\cos (\cos x) + 2\cos x\cdot\sin (\cos x) +2\cos (\cos x) +C \\&=(\sin^2x+2)\cos (\cos x) + 2\cos x\cdot\sin (\cos x) +C \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

Since we have an “inside function," we start with the substitution s=cos⁡xs=\cos x, so −ds=sin⁡x dx-\mathrm{d}s=\sin x ~\mathrm{d}x and sin⁡2x=1−cos⁡2x=1−s2\sin^2 x = 1-\cos^2 x = 1-s^2.

∫sin⁡(cos⁡x)sin⁡3x dx=∫sin⁡(cos⁡x)⋅sin⁡2x⋅sin⁡xdx=−∫sin⁡(s)⋅(1−s2) dsWe use integration by parts with u=(1−s2), dv=sin⁡s ds; du=−2s ds, and v=−cos⁡s.=−[−(1−s2)cos⁡s−∫2scos⁡s ds]=(1−s2)cos⁡s+∫2scos⁡s dsWe integrate by parts again, with u=2s, dv=cos⁡s ds; du=2 ds, and v=sin⁡s.=(1−s2)cos⁡s+2ssin⁡s−∫2sin⁡s ds=(1−s2)cos⁡s+2ssin⁡s+2cos⁡s+C=sin⁡2x⋅cos⁡(cos⁡x)+2cos⁡x⋅sin⁡(cos⁡x)+2cos⁡(cos⁡x)+C=(sin⁡2x+2)cos⁡(cos⁡x)+2cos⁡x⋅sin⁡(cos⁡x)+C\begin{aligned} \int \sin(\cos x)\sin^3 x ~\mathrm{d}x&=\int \sin(\cos x) \cdot \sin^2 x \cdot \sin x \mathrm{d}x\\ &=-\int \sin(s)\cdot (1-s^2) ~\mathrm{d}s \\ \text{We use integration by parts with $u=(1-s^2)$, $\mathrm{d}v=\sin s ~\mathrm{d}s$; $\mathrm{d}u=-2s~\mathrm{d}s$, and $v = -\cos s$.} \\ &=-\left[-(1-s^2)\cos s - \int 2s\cos s~ \mathrm{d}s\right] \\&= (1-s^2)\cos s + \int 2s\cos s~ \mathrm{d}s \\ \text{We integrate by parts again, with $u=2s$, $\mathrm{d}v=\cos s ~\mathrm{d}s$; $\mathrm{d}u=2~\mathrm{d}s$, and $v=\sin s$.} \\ &=(1-s^2)\cos s + 2s\sin s - \int 2\sin s~\mathrm{d}s \\&=(1-s^2)\cos s + 2s\sin s +2\cos s +C \\&=\sin^2 x\cdot\cos (\cos x) + 2\cos x\cdot\sin (\cos x) +2\cos (\cos x) +C \\&=(\sin^2x+2)\cos (\cos x) + 2\cos x\cdot\sin (\cos x) +C \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.8절 · 29번
# 삼각함수의 적분계산도전자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
478.CLP-2 · 1.8절 · 29번대학 수준우리말 번역

∫xsin⁡xcos⁡x dx\displaystyle\int x\sin x \cos x ~\mathrm{d}x 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate ∫xsin⁡xcos⁡x dx\displaystyle\int x\sin x \cos x ~\mathrm{d}x.

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

피적분함수가 다항식과 삼각함수의 곱이므로 부분적분으로 풀릴 것이라고 짐작할 수 있다. 이를 수행하는 방법은 여러 가지가 있다.

  • 풀이 1: 부분을 고르기 전에 항등식 sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x 를 이용하자.

∫xsin⁡xcos⁡xdx=12∫xsin⁡(2x)dx이제 u=x, dv=sin⁡(2x)dx 로 놓으면 du=dx 이고 v=−12cos⁡(2x) 이다. 부분적분을 이용하면:=12[−x2cos⁡(2x)+12∫cos⁡(2x)dx]=−x4cos⁡(2x)+18sin⁡(2x)+C=−x4(1−2sin⁡2x)+14sin⁡xcos⁡x+C=−x4+x2sin⁡2x+14sin⁡xcos⁡x+C\begin{aligned} \int x\sin x \cos x \mathrm{d}x&=\frac{1}{2}\int x \sin(2x)\mathrm{d}x \\ \text{이제 $u= x$, $\mathrm{d}v=\sin(2x)\mathrm{d}x$ 로 놓으면 $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$ 이고 $v=-\frac{1}{2}\cos (2x) $ 이다. 부분적분을 이용하면:} \\ &=\frac{1}{2}\left[-\frac{x}{2}\cos (2x) +\frac{1}{2} \int \cos (2x) \mathrm{d}x\right]\\ &=-\frac{x}{4}\cos (2x) +\frac{1}{8}\sin (2x) +C\\ &=-\frac{x}{4}(1-2\sin^2x) +\frac{1}{4}\sin x\cos x +C\\ &=-\frac{x}{4} + \frac{x}{2}\sin^2x+\frac{1}{4}\sin x \cos x +C \end{aligned}

  • 풀이 2: u=xu=x 로 놓으면 du=dx\mathrm{d}u=\mathrm{d}x 이므로 부분적분에 알맞아 보인다. u=xu=x 이면 dv=sin⁡xcos⁡xdx\mathrm{d}v = \sin x \cos x \mathrm{d}x 이다. vv 를 구하기 위해 치환 u=sin⁡xu=\sin x, du=cos⁡xdx\mathrm{d}u=\cos x \mathrm{d}x 를 쓸 수 있다.

v=∫sin⁡xcos⁡xdx=∫udu=12u2+C=12sin⁡2x+C따라서 v=12sin⁡2x 로 잡는다. 이제 처음의 적분에 부분적분을 적용할 수 있다.∫xsin⁡xcos⁡x dx=x2sin⁡2x−∫12sin⁡2xdx항등식 sin⁡2x=1−cos⁡(2x)2 를 적용한다.=x2sin⁡2x−14∫1−cos⁡(2x)dx=x2sin⁡2x−x4+18sin⁡(2x)+C=x2sin⁡2x−x4+14sin⁡xcos⁡x+C\begin{aligned} v=\int \sin x \cos x \mathrm{d}x&=\int u \mathrm{d}u = \frac{1}{2}u^2+C = \frac{1}{2}\sin^2 x +C \\ \text{따라서 $v = \frac{1}{2}\sin^2 x$ 로 잡는다. 이제 처음의 적분에 부분적분을 적용할 수 있다.} \\ \int x\sin x \cos x ~\mathrm{d}x&=\frac{x}{2}\sin^2 x - \int \frac{1}{2}\sin^2 x \mathrm{d}x \\ \text{항등식 $\sin^2x = \dfrac{1-\cos(2x)}{2}$ 를 적용한다.} \\ &=\frac{x}{2}\sin^2 x - \frac{1}{4}\int 1-\cos(2 x) \mathrm{d}x\\ &=\frac{x}{2}\sin^2 x - \frac{x}{4} +\frac{1}{8}\sin(2 x)+C\\ &=\frac{x}{2}\sin^2 x - \frac{x}{4} +\frac{1}{4}\sin x \cos x+C \end{aligned}

  • 풀이 3: u=xsin⁡xu=x\sin x, dv=cos⁡xdx\mathrm{d}v=\cos x \mathrm{d}x 로 놓으면 du=(xcos⁡x+sin⁡x)dx\mathrm{d}u = (x\cos x + \sin x)\mathrm{d}x 이고 v=sin⁡xv = \sin x 이다.

∫xsin⁡xcos⁡xdx=xsin⁡2x−∫sin⁡x(xcos⁡x+sin⁡x)dx=xsin⁡2x−∫xsin⁡xcos⁡xdx−∫sin⁡2xdx두 번째 적분에 항등식 sin⁡2x=1−cos⁡(2x)2 를 적용한다.=xsin⁡2x−∫xsin⁡xcos⁡xdx−∫1−cos⁡(2x)2dx=xsin⁡2x−∫xsin⁡xcos⁡xdx−x2+14sin⁡(2x)+C따라서 다음 등식을 얻는다.∫xsin⁡xcos⁡xdx=xsin⁡2x−∫xsin⁡xcos⁡xdx−x2+14sin⁡(2x)+C2∫xsin⁡xcos⁡xdx=xsin⁡2x−x2+14sin⁡(2x)+C∫xsin⁡xcos⁡xdx=x2sin⁡2x−x4+18sin⁡(2x)+C2=x2sin⁡2x−x4+14sin⁡xcos⁡x+C2\begin{aligned} \int x\sin x \cos x \mathrm{d}x&=x\sin^2 x - \int \sin x(x\cos x + \sin x)\mathrm{d}x\\ &=x\sin^2 x - \int x \sin x \cos x\mathrm{d}x - \int \sin^2 x\mathrm{d}x \\ \text{두 번째 적분에 항등식 $\sin^2 x = \dfrac{1-\cos(2x)}{2}$ 를 적용한다.} \\ &=x\sin^2 x - \int x \sin x \cos x\mathrm{d}x - \int \dfrac{1-\cos(2x)}{2}\mathrm{d}x \\&=x\sin^2 x - \int x \sin x \cos x\mathrm{d}x - \frac{x}{2} +\frac{1}{4}\sin(2x)+C \\ \text{따라서 다음 등식을 얻는다.} \\ \int x\sin x \cos x \mathrm{d}x&=x\sin^2 x - \int x \sin x \cos x\mathrm{d}x - \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin(2x)+C\\ 2\int x\sin x \cos x \mathrm{d}x&=x\sin^2 x - \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin(2x)+C\\ \int x\sin x \cos x \mathrm{d}x&=\frac{x}{2}\sin^2 x - \frac{x}{4} + \frac{1}{8}\sin(2x)+\frac{C}{2}\\ &=\frac{x}{2}\sin^2 x - \frac{x}{4} + \frac{1}{4}\sin x\cos x+\frac{C}{2} \end{aligned}

CC 는 (−∞,∞)(-\infty,\infty) 의 어떤 값이든 가질 수 있는 임의의 상수이므로 C2\frac{C}{2} 도 (−∞,∞)(-\infty,\infty) 의 어떤 값이든 가질 수 있는 임의의 상수이다. 따라서 C2\frac{C}{2} 를 CC 로 바꾸어 써도 된다.

원본 교재 풀이(영어)

Since the integrand is the product of polynomial and trigonometric functions, we suspect it might yield to integration by parts. There are a number of ways this can be accomplished.

  • Solution 1: Before we choose parts, let's use the identity sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x.

∫xsin⁡xcos⁡xdx=12∫xsin⁡(2x)dxNow let u=x, dv=sin⁡(2x)dx; du=dx, and v=−12cos⁡(2x). Using integration by parts:=12[−x2cos⁡(2x)+12∫cos⁡(2x)dx]=−x4cos⁡(2x)+18sin⁡(2x)+C=−x4(1−2sin⁡2x)+14sin⁡xcos⁡x+C=−x4+x2sin⁡2x+14sin⁡xcos⁡x+C\begin{aligned} \int x\sin x \cos x \mathrm{d}x&=\frac{1}{2}\int x \sin(2x)\mathrm{d}x \\ \text{Now let $u= x$, $\mathrm{d}v=\sin(2x)\mathrm{d}x$; $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x$, and $v=-\frac{1}{2}\cos (2x) $. Using integration by parts:} \\ &=\frac{1}{2}\left[-\frac{x}{2}\cos (2x) +\frac{1}{2} \int \cos (2x) \mathrm{d}x\right]\\ &=-\frac{x}{4}\cos (2x) +\frac{1}{8}\sin (2x) +C\\ &=-\frac{x}{4}(1-2\sin^2x) +\frac{1}{4}\sin x\cos x +C\\ &=-\frac{x}{4} + \frac{x}{2}\sin^2x+\frac{1}{4}\sin x \cos x +C \end{aligned}

  • Solution 2: If we let u=xu=x, then du=dx\mathrm{d}u=\mathrm{d}x, and this seems desirable for integration by parts. If u=xu=x, then dv=sin⁡xcos⁡xdx\mathrm{d}v = \sin x \cos x \mathrm{d}x. To find vv we can use the substitution u=sin⁡xu=\sin x, du=cos⁡xdx\mathrm{d}u=\cos x \mathrm{d}x.

v=∫sin⁡xcos⁡xdx=∫udu=12u2+C=12sin⁡2x+CSo, we take v=12sin⁡2x. Now we can apply integration by parts to our original integral.∫xsin⁡xcos⁡x dx=x2sin⁡2x−∫12sin⁡2xdxApply the identity sin⁡2x=1−cos⁡(2x)2.=x2sin⁡2x−14∫1−cos⁡(2x)dx=x2sin⁡2x−x4+18sin⁡(2x)+C=x2sin⁡2x−x4+14sin⁡xcos⁡x+C\begin{aligned} v=\int \sin x \cos x \mathrm{d}x&=\int u \mathrm{d}u = \frac{1}{2}u^2+C = \frac{1}{2}\sin^2 x +C \\ \text{So, we take $v = \frac{1}{2}\sin^2 x$. Now we can apply integration by parts to our original integral.} \\ \int x\sin x \cos x ~\mathrm{d}x&=\frac{x}{2}\sin^2 x - \int \frac{1}{2}\sin^2 x \mathrm{d}x \\ \text{Apply the identity $\sin^2x = \dfrac{1-\cos(2x)}{2}$.} \\ &=\frac{x}{2}\sin^2 x - \frac{1}{4}\int 1-\cos(2 x) \mathrm{d}x\\ &=\frac{x}{2}\sin^2 x - \frac{x}{4} +\frac{1}{8}\sin(2 x)+C\\ &=\frac{x}{2}\sin^2 x - \frac{x}{4} +\frac{1}{4}\sin x \cos x+C \end{aligned}

  • Solution 3: Let u=xsin⁡xu=x\sin x and dv=cos⁡xdx\mathrm{d}v=\cos x \mathrm{d}x; then du=(xcos⁡x+sin⁡x)dx\mathrm{d}u = (x\cos x + \sin x)\mathrm{d}x and v=sin⁡xv = \sin x.

∫xsin⁡xcos⁡xdx=xsin⁡2x−∫sin⁡x(xcos⁡x+sin⁡x)dx=xsin⁡2x−∫xsin⁡xcos⁡xdx−∫sin⁡2xdxApply the identity sin⁡2x=1−cos⁡(2x)2 to the second integral.=xsin⁡2x−∫xsin⁡xcos⁡xdx−∫1−cos⁡(2x)2dx=xsin⁡2x−∫xsin⁡xcos⁡xdx−x2+14sin⁡(2x)+CSo, we have the equation∫xsin⁡xcos⁡xdx=xsin⁡2x−∫xsin⁡xcos⁡xdx−x2+14sin⁡(2x)+C2∫xsin⁡xcos⁡xdx=xsin⁡2x−x2+14sin⁡(2x)+C∫xsin⁡xcos⁡xdx=x2sin⁡2x−x4+18sin⁡(2x)+C2=x2sin⁡2x−x4+14sin⁡xcos⁡x+C2\begin{aligned} \int x\sin x \cos x \mathrm{d}x&=x\sin^2 x - \int \sin x(x\cos x + \sin x)\mathrm{d}x\\ &=x\sin^2 x - \int x \sin x \cos x\mathrm{d}x - \int \sin^2 x\mathrm{d}x \\ \text{Apply the identity $\sin^2 x = \dfrac{1-\cos(2x)}{2}$ to the second integral.} \\ &=x\sin^2 x - \int x \sin x \cos x\mathrm{d}x - \int \dfrac{1-\cos(2x)}{2}\mathrm{d}x \\&=x\sin^2 x - \int x \sin x \cos x\mathrm{d}x - \frac{x}{2} +\frac{1}{4}\sin(2x)+C \\ \text{So, we have the equation} \\ \int x\sin x \cos x \mathrm{d}x&=x\sin^2 x - \int x \sin x \cos x\mathrm{d}x - \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin(2x)+C\\ 2\int x\sin x \cos x \mathrm{d}x&=x\sin^2 x - \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin(2x)+C\\ \int x\sin x \cos x \mathrm{d}x&=\frac{x}{2}\sin^2 x - \frac{x}{4} + \frac{1}{8}\sin(2x)+\frac{C}{2}\\ &=\frac{x}{2}\sin^2 x - \frac{x}{4} + \frac{1}{4}\sin x\cos x+\frac{C}{2} \end{aligned}

Since CC is an arbitrary constant that can take any number in (−∞,∞)(-\infty,\infty), also C2\frac{C}{2} is an arbitrary constant that can take any number in (−∞,∞)(-\infty,\infty), so we're free to rename C2\frac{C}{2} to CC.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.2절 · 57번
# 삼각함수의 적분계산도전자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
479.CLP-2 · 1.9절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 각 적분에 대해, 적분의 값을 구하는 데 가장 유리한 치환을 고르세요.

(a) ∫2x29x2−16 dx\displaystyle \int \frac{2x^2}{\sqrt{9x^2-16}} \, \mathrm{d}x (b) ∫x4−31−4x2 dx\displaystyle \int \frac{x^4-3}{\sqrt{1-4x^2}} \, \mathrm{d}x (c) ∫(25+x2)−5/2 dx\displaystyle \int {(25+x^2)}^{-5/2} \, \mathrm{d}x

영어 원문 보기

For each of the following integrals, choose the substitution that is most beneficial for evaluating the integral.

(a) ∫2x29x2−16 dx\displaystyle \int \frac{2x^2}{\sqrt{9x^2-16}} \, \mathrm{d}x (b) ∫x4−31−4x2 dx\displaystyle \int \frac{x^4-3}{\sqrt{1-4x^2}} \, \mathrm{d}x (c) ∫(25+x2)−5/2 dx\displaystyle \int {(25+x^2)}^{-5/2} \, \mathrm{d}x

정답·풀이 보기

교재에는 알맞은 치환을 고르는 방법을 정리한 표가 있지만, 이 문제에서는 치환을 고르는 논리를 설명한다.

사용할 수 있는 삼각함수 항등식은 다음과 같다.

1−sin⁡2θ=cos⁡2θtan⁡2θ+1=sec⁡2θsec⁡2θ−1=tan⁡2θ각각 다음과 같은 꼴이다:상수 − 함수함수 + 상수함수 − 상수\begin{aligned} &1-\sin^2\theta=\cos^2\theta & &\tan^2 \theta +1 = \sec^2 \theta & &\sec^2 \theta - 1 =\tan^2 \theta \\ \text{각각 다음과 같은 꼴이다:} \\ &\text{상수 } - \text{ 함수} &&\text{함수 } + \text{ 상수} & &\text{함수 } - \text{ 상수} \end{aligned}

제곱근을 없애려면, 제곱근 안의 식과 같은 꼴의 삼각함수 항등식이 나오도록 치환을 선택해야 한다.

(a) 이 문제에는 삼각함수를 쓰지 않는 뚜렷한 치환이 없으므로, 분모의 제곱근을 없애기 위해 삼각치환을 사용한다. 제곱근 안은 함수 9x2−169x^2-16 이고, 이는 (함수) −- (상수) 꼴이다. 이 꼴은 삼각함수 항등식 sec⁡2θ−1=tan⁡2θ\sec^2 \theta - 1 = \tan^2 \theta 와 맞는다. xx 는 필요한 대로 정할 수 있지만, 상수 16 은 같은 방식으로 조절할 수 없다. 그래서 치환이 성립하도록 항등식을 다른 꼴로 바꾸어 양변에 16 을 곱하면 다음과 같다.

 16sec⁡2θ−16=16tan⁡2θ우리가 원하는 것은 다음이 되게 하는 치환이다.9x2−16=16sec⁡2θ−16따라서,9x2=16sec⁡2θx=43sec⁡θ이 치환을 사용하면,9x2−16=16sec⁡2θ−16=16tan⁡2θ=4∣tan⁡θ∣\begin{aligned} ~16\sec^2\theta - 16 &= 16\tan^2\theta \\ \text{우리가 원하는 것은 다음이 되게 하는 치환이다.} \\ 9x^2-16&=16\sec^2\theta - 16\\ \text{따라서,}\qquad 9x^2&=16\sec^2\theta\\ x &= \frac{4}{3}\sec\theta \\ \text{이 치환을 사용하면,} \\ \sqrt{9x^2-16}&=\sqrt{16\sec^2\theta-16}\\ &=\sqrt{16\tan^2\theta}\\ &=4|\tan\theta| \end{aligned}

따라서 제곱근이 없어졌다.

(b) 이 문제에는 삼각함수를 쓰지 않는 뚜렷한 치환이 없으므로, 분모의 제곱근을 없애기 위해 삼각치환을 사용한다. 제곱근 안은 함수 1−4x21-4x^2 이고, 이는 (상수) −- (함수) 꼴이다. 이 꼴은 삼각함수 항등식 1−sin⁡2θ=cos⁡2θ1-\sin^2\theta = \cos^2\theta 와 맞는다. 우리가 원하는 것은 다음이 되게 하는 치환이다.

1−4x2=1−sin⁡2θ따라서,4x2=sin⁡2θx=12sin⁡θ이 치환을 사용하면,1−4x2=1−sin⁡2θ=cos⁡2θ=∣cos⁡θ∣\begin{aligned} 1-4x^2&=1-\sin^2\theta\\ \text{따라서,}\qquad 4x^2&=\sin^2\theta\\ x &= \frac{1}{2}\sin\theta \\ \text{이 치환을 사용하면,} \\ \sqrt{1-4x^2}&=\sqrt{1-\sin^2\theta}\\ &=\sqrt{\cos^2\theta}\\ &=|\cos\theta| \end{aligned}

따라서 제곱근이 없어졌다. ∣cos⁡θ∣|\cos\theta| 에서 절댓값 기호는 필요하지 않은데, −12≤x≤12-\frac{1}{2}\le x\le\frac{1}{2} 일 때 θ=arcsin⁡(2x)\theta=\arcsin(2x) 는 −π2-\frac{\pi}{2} 와 π2\frac{\pi}{2} 사이의 값이고, 그러한 θ\theta 에 대해 cos⁡(θ)≥0\cos(\theta)\ge 0 이기 때문이다.

(c) 이 문제에는 삼각함수를 쓰지 않는 뚜렷한 치환이 없으므로, 분수 거듭제곱을 없애기 위해 삼각치환을 사용한다. (즉, 제곱근을 없애려는 것이다.) 거듭제곱의 밑은 함수 25+x225+x^2 이고, 이는 (상수) ++ (함수) 꼴이다. 이 꼴은 삼각함수 항등식 tan⁡2θ+1=sec⁡2θ\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta 와 맞는다. xx 는 필요한 대로 정할 수 있지만, 상수 25 는 같은 방식으로 조절할 수 없다. 그래서 치환이 성립하도록 항등식을 다른 꼴로 바꾸어 양변에 25 를 곱하면 다음과 같다.

25tan⁡2θ+25=25sec⁡2θ우리가 원하는 것은 다음이 되게 하는 치환이다.25+x2=25tan⁡2θ+25따라서,x2=25tan⁡2θx=5tan⁡θ이 치환을 사용하면,(25+x2)−5/2=(25+25tan⁡2θ)−5/2=(25sec⁡2θ)−5/2=(5∣sec⁡θ∣)−5\begin{aligned} 25\tan^2 \theta + 25 &= 25\sec^2 \theta \\ \text{우리가 원하는 것은 다음이 되게 하는 치환이다.} \\ 25+x^2&=25\tan^2\theta+25\\ \text{따라서,}\qquad x^2&=25\tan^2\theta\\ x &= 5\tan\theta \\ \text{이 치환을 사용하면,} \\ (25+x^2)^{-5/2}&=(25+25\tan^2\theta)^{-5/2}\\ &=(25\sec^2\theta)^{-5/2}\\ &=(5|\sec\theta|)^{-5} \end{aligned}

따라서 제곱근이 없어졌다. ∣sec⁡θ∣|\sec\theta| 에서 절댓값 기호는 필요하지 않은데, −∞<x<∞-\infty< x<\infty 일 때 θ=arctan⁡(x/5)\theta=\arctan(x/5) 는 −π2-\frac{\pi}{2} 와 π2\frac{\pi}{2} 사이의 값이고, 그러한 θ\theta 에 대해 sec⁡(θ)≥0\sec(\theta)\ge 0 이기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

In the text, there is a template for choosing an appropriate substitution, but for this problem we will explain the logic of the choices.

The trig identities that we can use are:

1−sin⁡2θ=cos⁡2θtan⁡2θ+1=sec⁡2θsec⁡2θ−1=tan⁡2θThey have the following forms:constant − functionfunction + constantfunction − constant\begin{aligned} &1-\sin^2\theta=\cos^2\theta & &\tan^2 \theta +1 = \sec^2 \theta & &\sec^2 \theta - 1 =\tan^2 \theta \\ \text{They have the following forms:} \\ &\text{constant } - \text{ function} &&\text{function } + \text{ constant} & &\text{function } - \text{ constant} \end{aligned}

In order to cancel out the square root, we should choose a substitution that will match the argument under the square root with the trig identity of the corresponding form.

(a) There's not an obvious non-trig substitution for evaluating this problem, so we want a trigonometric substitution to get rid of the square root in the denominator. Under the square root is the function 9x2−169x^2-16, which has the form (function) −- (constant). This form matches the trig identity sec⁡2θ−1=tan⁡2θ\sec^2 \theta - 1 = \tan^2 \theta. We can set xx to be whatever we need it to be, but we don't have the same control over the constant, 16. So, to make the substitution work, we use a different form of the trig identity: multiplying both sides by 16, we get

 16sec⁡2θ−16=16tan⁡2θWhat we want is a substitution that gives us9x2−16=16sec⁡2θ−16So,9x2=16sec⁡2θx=43sec⁡θUsing this substitution,9x2−16=16sec⁡2θ−16=16tan⁡2θ=4∣tan⁡θ∣\begin{aligned} ~16\sec^2\theta - 16 &= 16\tan^2\theta \\ \text{What we want is a substitution that gives us} \\ 9x^2-16&=16\sec^2\theta - 16\\ \text{So,}\qquad 9x^2&=16\sec^2\theta\\ x &= \frac{4}{3}\sec\theta \\ \text{Using this substitution,} \\ \sqrt{9x^2-16}&=\sqrt{16\sec^2\theta-16}\\ &=\sqrt{16\tan^2\theta}\\ &=4|\tan\theta| \end{aligned}

So, we eliminated the square root.

(b) There's not an obvious non-trig substitution for evaluating this problem, so we want a trigonometric substitution to get rid of the square root in the denominator. Under the square root is the function 1−4x21-4x^2, which has the form (constant) −- (function). This form matches the trig identity 1−sin⁡2θ=cos⁡2θ1-\sin^2\theta = \cos^2\theta. What we want is a substitution that gives us

1−4x2=1−sin⁡2θSo,4x2=sin⁡2θx=12sin⁡θUsing this substitution,1−4x2=1−sin⁡2θ=cos⁡2θ=∣cos⁡θ∣\begin{aligned} 1-4x^2&=1-\sin^2\theta\\ \text{So,}\qquad 4x^2&=\sin^2\theta\\ x &= \frac{1}{2}\sin\theta \\ \text{Using this substitution,} \\ \sqrt{1-4x^2}&=\sqrt{1-\sin^2\theta}\\ &=\sqrt{\cos^2\theta}\\ &=|\cos\theta| \end{aligned}

So, we eliminated the square root. We remark that the absolute value signs are not needed in ∣cos⁡θ∣|\cos\theta|, because, for −12≤x≤12-\frac{1}{2}\le x\le\frac{1}{2}, we have θ=arcsin⁡(2x)\theta=\arcsin(2x) between −π2-\frac{\pi}{2} and π2\frac{\pi}{2}, and cos⁡(θ)≥0\cos(\theta)\ge 0 for those θ\theta's.

(c) There's not an obvious non-trig substitution for evaluating this problem, so we want a trigonometric substitution to get rid of the fractional power. (That is, we want to eliminate the square root.) The function under the power is 25+x225+x^2, which has the form (constant) ++ (function). This form matches the trig identity tan⁡2θ+1=sec⁡2θ\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta. We can set xx to be whatever we need it to be, but we don't have the same control over the constant, 25. So, to make the substitution work, we use a different form of the trig identity: multiplying both sides by 25, we get

25tan⁡2θ+25=25sec⁡2θWhat we want is a substitution that gives us25+x2=25tan⁡2θ+25So,x2=25tan⁡2θx=5tan⁡θUsing this substitution,(25+x2)−5/2=(25+25tan⁡2θ)−5/2=(25sec⁡2θ)−5/2=(5∣sec⁡θ∣)−5\begin{aligned} 25\tan^2 \theta + 25 &= 25\sec^2 \theta \\ \text{What we want is a substitution that gives us} \\ 25+x^2&=25\tan^2\theta+25\\ \text{So,}\qquad x^2&=25\tan^2\theta\\ x &= 5\tan\theta \\ \text{Using this substitution,} \\ (25+x^2)^{-5/2}&=(25+25\tan^2\theta)^{-5/2}\\ &=(25\sec^2\theta)^{-5/2}\\ &=(5|\sec\theta|)^{-5} \end{aligned}

So, we eliminated the square root. We remark that the absolute value signs are not needed in ∣sec⁡θ∣|\sec\theta|, because, for −∞<x<∞-\infty< x<\infty, we have θ=arctan⁡(x/5)\theta=\arctan(x/5) between −π2-\frac{\pi}{2} and π2\frac{\pi}{2}, and sec⁡(θ)≥0\sec(\theta)\ge 0 for those θ\theta's.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.9절 · 16번
# 삼각치환계산기본자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
480.CLP-2 · 1.9절 · 3번대학 수준우리말 번역

이 문제의 각 부분에서 θ\theta 는 구간 [0,π/2]\left[ 0,\pi/2\right] 에 속하는 각이라고 가정하세요.

(a) sin⁡θ=120\sin\theta=\dfrac{1}{20} 이면 cos⁡θ\cos\theta 의 값은 얼마인가요? (b) tan⁡θ=7\tan\theta=7 이면 csc⁡θ\csc\theta 의 값은 얼마인가요? (c) sec⁡θ=x−12\sec\theta=\dfrac{\sqrt{x-1}}{2} 이면 tan⁡θ\tan\theta 의 값은 얼마인가요?

영어 원문 보기

In each part of this question, assume θ\theta is an angle in the interval [0,π/2]\left[ 0,\pi/2\right].

(a) If sin⁡θ=120\sin\theta=\dfrac{1}{20}, what is cos⁡θ\cos\theta ? (b) If tan⁡θ=7\tan\theta=7, what is csc⁡θ\csc\theta ? (c) If sec⁡θ=x−12\sec\theta=\dfrac{\sqrt{x-1}}{2}, what is tan⁡θ\tan\theta ?

답 쓰고 채점
(a)
(b)
(c)
정답·풀이 보기

(a) sin⁡θ=120\sin\theta=\dfrac{1}{20} 이고 θ\theta 가 0과 π/2\pi/2 사이에 있으면, 각 θ\theta 를 가지고 반대쪽 변의 길이가 1, 빗변의 길이가 20인 직각삼각형을 그릴 수 있다. 피타고라스 정리에 의해 밑변의 길이는 202−12=399\sqrt{20^2-1^2}=\sqrt{399} 이다. 따라서 cos⁡θ=adjhyp=39920\cos\theta = \dfrac{\mathrm{adj}}{\mathrm{hyp}}=\dfrac{\sqrt{399}}{20} 이다.

그림

여기서 간단히 “타당성” 검사를 해 볼 수 있다. 120\frac{1}{20} 은 0에 꽤 가까우므로 θ\theta 도 0에 꽤 가까울 것이고, 따라서 cos⁡θ\cos \theta 는 1에 꽤 가까워야 한다. 실제로 그렇다. 39920≈40020=2020=1\dfrac{\sqrt{399}}{20}\approx \dfrac{\sqrt{400}}{20}=\dfrac{20}{20}=1 이다.

다른 방법으로, 항등식을 이용하여 이 문제를 풀 수도 있다.

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1(120)2+cos⁡2θ=1cos⁡θ=±1−1400=±39920Since 0≤θ≤π2, cos⁡θ≥0, socos⁡θ=39920\begin{aligned} \sin^2 \theta + \cos^2 \theta &=1\\ \left(\frac{1}{20}\right)^2+ \cos^2 \theta &=1\\ \cos\theta &= \pm\sqrt{1-\frac{1}{400}}=\pm\frac{\sqrt{399}}{20} \\ \text{Since $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$, $\cos\theta \geq 0$, so} \\ \cos\theta &= \frac{\sqrt{399}}{20} \end{aligned} (b) tan⁡θ=7\tan\theta=7 이고 θ\theta 가 0과 π/2\pi/2 사이에 있으면, 각 θ\theta 를 가지고 반대쪽 변의 길이가 7, 밑변의 길이가 1인 직각삼각형을 그릴 수 있다. 피타고라스 정리에 의해 빗변의 길이는 72+12=50=52\sqrt{7^2+1^2} = \sqrt{50}=5\sqrt{2} 이다. 따라서 csc⁡θ=hypopp=527\csc\theta = \dfrac{\mathrm{hyp}}{\mathrm{opp}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{7} 이다.

그림

이번에도 간단히 타당성을 검사해 볼 수 있다. 7은 1보다 훨씬 크므로, 우리가 생각하는 삼각형은 위의 표준적인 그림의 삼각형과는 별로 닮지 않았다. 밑변이 짧고 높이가 꽤 높은 삼각형이다. 따라서 반대쪽 변과 빗변의 길이는 꽤 비슷하다. 실제로 527≈7.071\dfrac{5\sqrt{2}}{7}\approx 7.071 이므로 이 크기는 타당해 보인다. (c) sec⁡θ=x−12\sec\theta=\dfrac{\sqrt{x-1}}{2} 이고 θ\theta 가 0과 π/2\pi/2 사이에 있으면, 각 θ\theta 를 가지고 빗변의 길이가 x−1\sqrt{x-1}, 밑변의 길이가 2인 직각삼각형을 그릴 수 있다. 피타고라스 정리에 의해 반대쪽 변의 길이는 x−12−22=x−1−4=x−5\sqrt{\sqrt{x-1}^2 - 2^2} = \sqrt{x-1-4}=\sqrt{x-5} 이다. 따라서 tan⁡θ=oppadj=x−52\tan\theta = \dfrac{\mathrm{opp}}{\mathrm{adj}}=\dfrac{\sqrt{x-5}}{2} 이다.

그림

항등식을 이용하여 이 문제를 풀 수도 있다. sec⁡θ\sec\theta 가 존재하므로 θ≠π2\theta \neq \frac{\pi}{2} 임에 주의한다.

tan⁡2θ+1=sec⁡2θtan⁡2θ+1=(x−12)2=x−14tan⁡θ=±x−14−1=±x−52Since 0≤θ<π2, tan⁡θ≥0, sotan⁡θ=x−52\begin{aligned} \tan^2\theta+1&=\sec^2\theta\\ \tan^2\theta+1&=\left(\frac{\sqrt{x-1}}{2}\right)^2=\frac{x-1}{4}\\ \tan\theta &= \pm\sqrt{\frac{x-1}{4}-1} = \pm\frac{\sqrt{x-5}}{2} \\ \text{Since $0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}$, $\tan\theta \geq 0$, so} \\ \tan\theta &= \frac{\sqrt{x-5}}{2} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

(a) If sin⁡θ=120\sin\theta=\dfrac{1}{20} and θ\theta is between 0 and π/2\pi/2, then we can draw a right triangle with angle θ\theta that has opposite side length 1, and hypotenuse length 20. By the Pythagorean Theorem, the adjacent side has length 202−12=399\sqrt{20^2-1^2}=\sqrt{399}. So, cos⁡θ=adjhyp=39920\cos\theta = \dfrac{\mathrm{adj}}{\mathrm{hyp}}=\dfrac{\sqrt{399}}{20}.

figure

We can do a quick “reasonableness" check here: 120\frac{1}{20} is pretty close to 0, so we might expect θ\theta to be pretty close to 0, and so cos⁡θ\cos \theta should be pretty close to 1. Indeed it is: 39920≈40020=2020=1\dfrac{\sqrt{399}}{20}\approx \dfrac{\sqrt{400}}{20}=\dfrac{20}{20}=1.

Alternately, we can solve this problem using identities.

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1(120)2+cos⁡2θ=1cos⁡θ=±1−1400=±39920Since 0≤θ≤π2, cos⁡θ≥0, socos⁡θ=39920\begin{aligned} \sin^2 \theta + \cos^2 \theta &=1\\ \left(\frac{1}{20}\right)^2+ \cos^2 \theta &=1\\ \cos\theta &= \pm\sqrt{1-\frac{1}{400}}=\pm\frac{\sqrt{399}}{20} \\ \text{Since $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$, $\cos\theta \geq 0$, so} \\ \cos\theta &= \frac{\sqrt{399}}{20} \end{aligned} (b) If tan⁡θ=7\tan\theta=7 and θ\theta is between 0 and π/2\pi/2, then we can draw a right triangle with angle θ\theta that has opposite side length 7 and adjacent side length 1. By the Pythagorean Theorem, the hypotenuse has length 72+12=50=52\sqrt{7^2+1^2} = \sqrt{50}=5\sqrt{2}. So, csc⁡θ=hypopp=527\csc\theta = \dfrac{\mathrm{hyp}}{\mathrm{opp}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{7}.

figure

Again, we can do a quick reasonableness check. Since 7 is much larger than 1, the triangle we're thinking of doesn't look much like the triangle in our standardized picture above: it's really quite tall, with a small base. So, the opposite side and hypotenuse are pretty close in length. Indeed, 527≈7.071\dfrac{5\sqrt{2}}{7}\approx 7.071, so this dimension seems reasonable. (c) If sec⁡θ=x−12\sec\theta=\dfrac{\sqrt{x-1}}{2} and θ\theta is between 0 and π/2\pi/2, then we can draw a right triangle with angle θ\theta that has hypotenuse length x−1\sqrt{x-1} and adjacent side length 2. By the Pythagorean Theorem, the opposite side has length x−12−22=x−1−4=x−5\sqrt{\sqrt{x-1}^2 - 2^2} = \sqrt{x-1-4}=\sqrt{x-5}. So, tan⁡θ=oppadj=x−52\tan\theta = \dfrac{\mathrm{opp}}{\mathrm{adj}}=\dfrac{\sqrt{x-5}}{2}.

figure

We can also solve this using identities. Note that since sec⁡θ\sec\theta exists, θ≠π2\theta \neq \frac{\pi}{2}.

tan⁡2θ+1=sec⁡2θtan⁡2θ+1=(x−12)2=x−14tan⁡θ=±x−14−1=±x−52Since 0≤θ<π2, tan⁡θ≥0, sotan⁡θ=x−52\begin{aligned} \tan^2\theta+1&=\sec^2\theta\\ \tan^2\theta+1&=\left(\frac{\sqrt{x-1}}{2}\right)^2=\frac{x-1}{4}\\ \tan\theta &= \pm\sqrt{\frac{x-1}{4}-1} = \pm\frac{\sqrt{x-5}}{2} \\ \text{Since $0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}$, $\tan\theta \geq 0$, so} \\ \tan\theta &= \frac{\sqrt{x-5}}{2} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.3절 · 20번
# 삼각치환계산기본자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)