적분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 4.10절 · 55번우리말 풀이

다음 문제에서 $F(0)=0$ 이라 할 때 함수의 부정적분을 구하세요.

[계산기 사용] $f(x)=\frac{1}{(x+1)^2}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the antiderivative of the function, assuming $F(0)=0.$

[T] $f(x)=\frac{1}{{(x+1)}^{2}}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

일반형 $F(x)=\cdots+C$ 를 먼저 구하고, 주어진 조건 $F(0)=0$ 으로 $C$ 를 정해요.

1
$f(x)=(x+1)^{-2}$ 로 써요. $x+1$ 을 한 덩어리로 보면 $\int(x+1)^{-2}dx=\frac{(x+1)^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{x+1}+C$ 예요. 미분해 보면 $\left(-\frac{1}{x+1}\right)'=\frac{1}{(x+1)^2}$ 로 맞아요.
2
이제 $F(0)=0$ 을 써요. $F(0)=-\frac{1}{0+1}+C=-1+C=0$ 이므로 $C=1$ 이에요.
3
따라서 $F(x)=-\frac{1}{x+1}+1$ 이에요.

답

$F(x)=-\frac{1}{x+1}+1$

자주 하는 실수

$\int (x+1)^{-2}dx$ 에서 부호를 놓쳐 $+\frac{1}{x+1}$ 로 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$F(x)=-\frac{1}{(x+1)}+1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.1절 · 2번

# 부정적분의 뜻과 계산계산보통

2.OpenStax 1권 · 5.2절 · 36번우리말 풀이

다음 문제에서 항등식 $\int_{-A}^{A}f(x)dx=\int_{-A}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{A}f(x)dx$ 를 이용하여 적분을 계산하세요.

$\int_{-\sqrt{\pi}}^{\sqrt{\pi}}\frac{t}{1+\cos t}\,dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the identity ${\int }_{-A}^{A}f(x)dx={\int }_{-A}^{0}f(x)dx+{\int }_{0}^{A}f(x)dx$ to compute the integrals.

${\int }_{-\sqrt{\pi }}^{\sqrt{\pi }}\frac{t}{1+\cos t}dt$

풀이 보기

구간이 $0$ 에 대해 대칭이고 피적분함수가 홀함수이면 적분값은 $0$ 이에요.

1
피적분함수를 $g(t)=\frac{t}{1+\cos t}$ 라 해요. 분모가 $0$ 이 되지 않는지 먼저 봐요. $|t|\le\sqrt\pi<\pi$ 이므로 $\cos t>-1$ 이고, $1+\cos t>0$ 이라 $g$ 는 구간 전체에서 연속이에요.
2
홀함수인지 확인해요. $g(-t)=\frac{-t}{1+\cos(-t)}=\frac{-t}{1+\cos t}=-g(t)$ 이므로 홀함수예요.
3
주어진 항등식으로 나누면 $\int_{-\sqrt\pi}^{\sqrt\pi}g\,dt=\int_{-\sqrt\pi}^{0}g\,dt+\int_{0}^{\sqrt\pi}g\,dt$ 예요. 앞의 적분에서 $t=-u$ 로 바꾸면 $\int_{-\sqrt\pi}^{0}g(t)dt=\int_0^{\sqrt\pi}g(-u)du=-\int_0^{\sqrt\pi}g(u)du$ 예요. 그래서 두 적분이 서로 부호만 다르게 상쇄되어 합은 $0$ 이에요.

답

$0$

자주 하는 실수

홀함수인지 확인하지 않고 $0$ 부터 $\sqrt\pi$ 까지 적분한 값의 두 배로 계산해요. 그건 짝함수일 때만 맞아요.

원본 교재 풀이(영어)

The integrand is odd; the integral is zero.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 72번

# 정적분의 뜻과 성질계산보통

3.OpenStax 1권 · 5.3절 · 14번우리말 풀이

다음 문제에서 미적분의 기본정리 1부를 이용하여 각 도함수를 구하세요.

$\frac{d}{dx}\int_{1}^{x^2}\frac{\sqrt t}{1+t}\,dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the Fundamental Theorem of Calculus, Part 1, to find each derivative.

$\frac{d}{dx}{\int }_{1}^{{x}^{2}}\frac{\sqrt{t}}{1+t}dt$

답 쓰고 채점

풀이 보기

위끝이 $x$ 가 아니라 $x^2$ 이므로 기본정리에 연쇄법칙을 함께 써요.

1
$G(u)=\int_1^u\frac{\sqrt t}{1+t}dt$ 라 하면, 기본정리 1부에서 $G'(u)=\frac{\sqrt u}{1+u}$ 예요. 구하는 식은 $G(x^2)$ 을 $x$ 로 미분한 것이에요.
2
연쇄법칙을 써요. $\frac{d}{dx}G(x^2)=G'(x^2)\cdot(x^2)'=\frac{\sqrt{x^2}}{1+x^2}\cdot2x$ 예요.
3
$\sqrt{x^2}=|x|$ 임에 주의해요. 그래서 결과는 $\frac{2x|x|}{1+x^2}$ 예요.

답

$\frac{2x|x|}{1+x^2}$

자주 하는 실수

속함수의 미분 $2x$ 를 곱하지 않거나, $\sqrt{x^2}$ 를 $x$ 로 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$2x\frac{|x|}{1+{x}^{2}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 5.2절 · 5번

# 정적분으로 나타낸 함수계산보통

4.OpenStax 1권 · 5.4절 · 13번우리말 풀이

정육면체의 한 모서리 길이가 $s$ 에서 $2s$ 로 두 배가 될 때 겉넓이의 변화량을 나타내는 적분식을 쓰고, 그 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Write an integral that quantifies the change in the area of the surface of a cube when its side length doubles from s unit to 2s units and evaluate the integral.

풀이 보기

양의 변화율을 적분하면 그 양의 순변화량이 돼요.

1
겉넓이를 모서리 길이 $x$ 의 함수로 써요. 정육면체는 정사각형 6개로 이루어져 있으니 $S(x)=6x^2$ 이에요.
2
변화율을 구해요. 길이가 조금 늘어날 때 겉넓이가 늘어나는 비율은 도함수 $S'(x)=12x$ 예요.
3
순변화량 = 변화율의 정적분이에요. $\int_s^{2s}12x\,dx=\Big[6x^2\Big]_s^{2s}=6(2s)^2-6s^2=24s^2-6s^2=18s^2$
4
확인해요. 처음 겉넓이는 $6s^2$ , 나중 겉넓이는 $6(2s)^2=24s^2$ 이므로 차이는 $18s^2$ 로 같아요.

답

$\displaystyle\int_s^{2s}12x\,dx=18s^2$

자주 하는 실수

겉넓이를 부피 공식 $x^3$ 과 헷갈리거나 $6$ 을 곱하는 것을 잊어 $3s^2$ 같은 값을 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$18{s}^{2}=6{\int }_{s}^{2s}2xdx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 23번

# 속도와 거리활용보통

5.OpenStax 1권 · 5.4절 · 23번우리말 풀이

원 모양의 넓이 $A(t)$ 가 일정한 비율로 커지고 있습니다. 시각 $t=2$ 부터 $t=3$ 까지 넓이가 $4\pi$ 에서 $9\pi$ 로 늘어날 때, 이 시간 동안 반지름의 순변화량을 구하세요.

영어 원문 보기

The area $A(t)$ of a circular shape is growing at a constant rate. If the area increases from 4π units to 9π units between times $t=2$ and $t=3,$ find the net change in the radius during that time.

풀이 보기

반지름 변화량은 (나중 반지름) − (처음 반지름)이고, 반지름은 $r=\sqrt{A/\pi}$ 로 넓이에서 바로 알 수 있어요.

1
넓이와 반지름의 관계를 써요. 원의 넓이 $A=\pi r^2$ 이므로 $r=\sqrt{A/\pi}$ 예요.
2
처음과 나중의 반지름을 구해요. $t=2$ 에서 $A=4\pi$ 이므로 $r=2$ , $t=3$ 에서 $A=9\pi$ 이므로 $r=3$ 이에요.
3
순변화량을 계산해요. 변화율 $r'(t)$ 를 적분한 값이 순변화량이고, 이는 끝값 − 처음값과 같아요. $\int_2^3 r'(t)\,dt=r(3)-r(2)=3-2=1$
4
참고: 일정하게 커진다는 조건을 써 보면. 넓이가 일정한 비율로 커지므로 $A(t)=4\pi+5\pi(t-2)$ 이고 $r(t)=\sqrt{5t-6}$ 이에요. $r'(t)=\dfrac{5}{2\sqrt{5t-6}}$ 를 $2$ 에서 $3$ 까지 적분해도 $\big[\sqrt{5t-6}\big]_2^3=3-2=1$ 로 같아요.

답

반지름이 $1$ 만큼 증가해요(순변화량 $=1$ ).

자주 하는 실수

넓이 변화량 $5\pi$ 를 반지름 변화량으로 착각하는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

The net increase is 1 unit.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 4.1절 · 8번

# 속도와 거리활용보통

6.OpenStax 1권 · 5.4절 · 33번우리말 풀이

자동차가 브레이크를 밟을 때 낼 수 있는 최대 감속도는 마른 콘크리트에서 약 $7\,\text{m/s}^2$ , 젖은 아스팔트에서 약 $2.5\,\text{m/s}^2$ 입니다. $1\,\text{mph}$ 는 $0.447\,\text{m/s}$ 에 해당합니다. 브레이크를 밟은 순간부터 완전히 멈출 때까지 자동차가 달린 거리를 m 단위로 구하세요. 마른 콘크리트에서 처음 속도가 $67\,\text{mph}$ ( $30\,\text{m/s}$ )일 때와 $56\,\text{mph}$ ( $25\,\text{m/s}$ )일 때를 각각 구하고, 미끄러운 젖은 아스팔트에서도 같은 값을 구하세요.

영어 원문 보기

For a given motor vehicle, the maximum achievable deceleration from braking is approximately 7 m/sec² on dry concrete. On wet asphalt, it is approximately 2.5 m/sec². Given that 1 mph corresponds to 0.447 m/sec, find the total distance that a car travels in meters on dry concrete after the brakes are applied until it comes to a complete stop if the initial velocity is 67 mph (30 m/sec) or if the initial braking velocity is 56 mph (25 m/sec). Find the corresponding distances if the surface is slippery wet asphalt.

풀이 보기

속도가 $v(t)=v_0-at$ 이니 멈추는 시각까지 속도를 적분하면 달린 거리가 나와요.

1
속도의 식을 세워요. 처음 속도 $v_0$ , 감속도 $a$ 이면 $v(t)=v_0-at$ 예요(속도가 일정하게 줄어요).
2
멈추는 시각을 구해요. $v(T)=0$ 에서 $T=\dfrac{v_0}{a}$ 예요.
3
거리는 속도의 정적분이에요. 속도가 음수가 되기 전(멈출 때까지)이라 순변화량과 실제 거리가 같아요. $D=\int_0^{T}(v_0-at)\,dt=\left[v_0t-\frac{a}{2}t^2\right]_0^{v_0/a}=\frac{v_0^2}{a}-\frac{v_0^2}{2a}=\frac{v_0^2}{2a}$
4
마른 콘크리트( $a=7$ )에 넣어요. $v_0=30$ 이면 $D=\dfrac{900}{14}\approx64.3$ , $v_0=25$ 이면 $D=\dfrac{625}{14}\approx44.6$ 이에요.
5
젖은 아스팔트( $a=2.5$ )에 넣어요. $v_0=30$ 이면 $D=\dfrac{900}{5}=180$ , $v_0=25$ 이면 $D=\dfrac{625}{5}=125$ 예요.

답

마른 콘크리트: $64.3\,\text{m}$ ( $30\,\text{m/s}$ ), $44.6\,\text{m}$ ( $25\,\text{m/s}$ ) / 젖은 아스팔트: $180\,\text{m}$ , $125\,\text{m}$

자주 하는 실수

속도를 두 배로 하면 제동 거리도 두 배라고 생각하기 쉬운데, 거리는 $v_0^2$ 에 비례해요.

원본 교재 풀이(영어)

In dry conditions, with initial velocity ${v}_{0}=30$ m/s, $D=64.3$ and, if ${v}_{0}=25,D=44.64.$ In wet conditions, if ${v}_{0}=30,$ and $D=180$ and if ${v}_{0}=25,D=125.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 13번

# 속도와 거리활용보통

7.OpenStax 1권 · 6.1절 · 5번우리말 풀이

다음 문제에서 $y$ 축 방향으로 적분하여 두 곡선 사이 영역의 넓이를 구하세요.

$x=y^2$ 과 $x=9$

두 그래프 x=y^2 과 x=9 이고, 두 그래프 사이 영역이 색칠되어 있어요. 영역은 가로 방향으로 놓여 있고 y 축과 직선 x=9 사이에 있어요.

영어 원문 보기

For the following exercises, determine the area of the region between the two curves by integrating over the $y\text{-axis}.$

$x={y}^{2}\,\text{and}\,x=9$

This figure is has two graphs. They are the equations x=y^2 and x=9. The region between the graphs is shaded. It is horizontal, between the y-axis and the line x=9.

답 쓰고 채점

풀이 보기

$x$ 가 $y$ 의 함수이니 $y$ 로 적분하고, (오른쪽 곡선 $-$ 왼쪽 곡선)을 더해요.

1
곡선이 $x=y^2$ 처럼 $x$ 를 $y$ 로 나타낸 꼴이라 $y$ 에 대해 적분하는 것이 편해요. 그림에서 영역은 왼쪽이 포물선 $x=y^2$ , 오른쪽이 직선 $x=9$ 예요.
2
적분 구간은 두 곡선이 만나는 곳이에요. $y^2=9$ 에서 $y=-3$ , $y=3$ 이에요.
3
가로 길이(오른쪽 $-$ 왼쪽)는 $9-y^2$ 이므로 $A=\int_{-3}^{3}(9-y^2)\,dy$ 예요.
4
계산해요. 피적분함수가 짝함수라 $2\int_0^3(9-y^2)\,dy$ 로 바꿀 수 있어요. $2\left[9y-\frac{y^3}{3}\right]_0^3=2(27-9)=36$

답

$36$

자주 하는 실수

위쪽·아래쪽 대신 오른쪽·왼쪽을 빼야 하는데 순서를 바꾸면 부호가 음수가 돼요. 넓이는 항상 양수예요.

원본 교재 풀이(영어)

$36$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.1절 · 13번

# 두 곡선 사이의 넓이계산보통

8.OpenStax 1권 · 6.1절 · 13번우리말 풀이

다음 문제에서 방정식의 그래프를 그리고 두 곡선 사이 영역에 색칠하세요. $x$ 축에 대해 적분하여 그 넓이를 구하세요.

$y=|x|$ 와 $y=x^2$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the equations and shade the area of the region between the curves. Determine its area by integrating over the $x\text{-axis}.$

$y=|x|\,\text{and}\,y={x}^{2}$

풀이 보기

교점으로 구간을 정하고, 그 구간에서 위쪽 식에서 아래쪽 식을 뺀 것을 적분해요. 좌우 대칭이면 한쪽만 구해 두 배 해요.

1
그림에서 직선 모양의 $y=|x|$ 가 위에, 포물선 $y=x^2$ 이 아래에 있고 둘로 둘러싸인 부분이 색칠된 영역이에요. 교점은 $|x|=x^2$ 에서 $x=-1,\,0,\,1$ 이에요.
2
두 그래프는 $y$ 축에 대해 대칭이므로 $0\le x\le1$ 부분의 넓이를 구해 두 배 해요. 이 구간에서 $|x|=x$ 이므로 (위)−(아래)는 $x-x^2$ 이에요.
3
$\int_0^1(x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16$
4
두 배 하면 $2\cdot\frac16=\frac13$ 이에요.

답

$\frac13$

자주 하는 실수

$0$ 부터 $1$ 까지만 구하고 두 배 하는 것을 잊어 $\frac16$ 이라고 답해요.

원본 교재 풀이(영어)

This figure is has two graphs. They are the functions f(x)=x^2 and g(x)=absolute value of x. There are two shaded regions. The first region is in the second quadrant and is between g(x) above and f(x) below. The second region is in the first quadrant and is bounded above by g(x) and below by f(x).

$\frac{1}{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.1절 · 55번

# 두 곡선 사이의 넓이그래프·표 해석보통

9.OpenStax 1권 · 6.1절 · 55번우리말 풀이

다음 문제에서 $x$ 에 대해 적분하는 방법과 $y$ 에 대해 적분하는 방법으로 두 곡선 사이의 넓이를 각각 구하세요. 한쪽 방법이 더 쉬운가요? 두 방법의 답은 같은가요?

$x=y^{2}-2$ 그리고 $x=2y$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the area between the curves by integrating with respect to $x$ and then with respect to $y.$ Is one method easier than the other? Do you obtain the same answer?

$x={y}^{2}-2\,\text{and}\,x=2y$

답 쓰고 채점

풀이 보기

곡선이 $x=(y$ 의 식 $)$ 꼴이면 $y$ 로 적분하는 것이 훨씬 간단해요(오른쪽 곡선 − 왼쪽 곡선).

1
교점을 구해요. $y^2-2=2y$ 에서 $y^2-2y-2=0$ 이므로 $y=1\pm\sqrt3$ 이에요. 이때 $x=2y$ 이니까 교점의 $x$ 좌표는 $2\pm2\sqrt3$ 이에요.
2
$y$ 에 대해 적분해요. 두 식이 모두 $x=\cdots$ 꼴이라 $y$ 를 변수로 보면 한 번에 계산돼요. $y=0$ 에서 직선은 $x=0$ , 포물선은 $x=-2$ 이므로 직선이 오른쪽이에요. $A=\int_{1-\sqrt3}^{1+\sqrt3}\left(2y-(y^2-2)\right)dy=\int_{1-\sqrt3}^{1+\sqrt3}(-y^2+2y+2)\,dy$
3
계산을 쉽게 하려고 $t=y-1$ 로 바꿔요. $-y^2+2y+2=3-(y-1)^2=3-t^2$ 이고 구간은 $-\sqrt3\le t\le\sqrt3$ 이에요. $A=\int_{-\sqrt3}^{\sqrt3}(3-t^2)\,dt=2\left[3t-\frac{t^3}{3}\right]_0^{\sqrt3}=2\left(3\sqrt3-\sqrt3\right)=4\sqrt3$
4
$x$ 에 대해 적분하면 어떨까요? 포물선은 $y=\pm\sqrt{x+2}$ 로 위·아래 두 줄기라서 구간을 둘로 나눠야 해요. $x_1=2-2\sqrt3$ , $x_2=2+2\sqrt3$ 라 하면 $A=\int_{-2}^{x_1}2\sqrt{x+2}\,dx+\int_{x_1}^{x_2}\left(\sqrt{x+2}-\frac{x}{2}\right)dx$
5
$u=x+2$ 로 계산해요. $u_1=4-2\sqrt3=(\sqrt3-1)^2$ , $u_2=4+2\sqrt3=(\sqrt3+1)^2$ 이므로 $u_1^{3/2}=6\sqrt3-10$ , $u_2^{3/2}=6\sqrt3+10$ 이에요. 그러면 $A=\frac43(6\sqrt3-10)+\frac23\big[(6\sqrt3+10)-(6\sqrt3-10)\big]-\frac{x_2^2-x_1^2}{4}$ 여기서 $\dfrac{x_2^2-x_1^2}{4}=\dfrac{(x_2-x_1)(x_2+x_1)}{4}=\dfrac{4\sqrt3\cdot4}{4}=4\sqrt3$ 이므로 $A=\left(8\sqrt3-\frac{40}{3}\right)+\frac{40}{3}-4\sqrt3=4\sqrt3$ $y$ 로 적분한 값과 같고, $y$ 로 적분하는 쪽이 훨씬 쉬워요.

답

$4\sqrt{3}$ (두 방법의 답은 같고, $y$ 로 적분하는 방법이 더 쉬움)

자주 하는 실수

$x$ 로 적분할 때 포물선의 위·아래 줄기를 구분하지 않고 한 번에 적분하는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

$4\sqrt{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.1절 · 57번

# 두 곡선 사이의 넓이계산보통

10.CLP-2 · 1.3절 · 20번우리말 번역

$\displaystyle\int_0^2 \big(x^3+\sin x)\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int_0^2 \big(x^3+\sin x)\,\mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

미적분학의 기본정리에 의해

$\begin{aligned} \int_0^2 \big(x^3+\sin x)\,\mathrm{d}x &=\left[\frac{x^4}{4}-\cos x\right]_0^2\\ &=\left(\frac{2^4}{4}-\cos 2\right)-\left(0 -\cos 0\right) \\ &= 4-\cos2+1=5-\cos2. \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

By the Fundamental Theorem of Calculus,

$\begin{aligned} \int_0^2 \big(x^3+\sin x)\,\mathrm{d}x &=\left[\frac{x^4}{4}-\cos x\right]_0^2\\ &=\left(\frac{2^4}{4}-\cos 2\right)-\left(0 -\cos 0\right) \\ &= 4-\cos2+1=5-\cos2. \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5장 복습 · 19번

# 미적분의 기본정리계산보통자동 분류

11.CLP-2 · 1.3절 · 22번우리말 번역

$\displaystyle\int \dfrac{1}{1+25x^2}\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \dfrac{1}{1+25x^2}\mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

피적분함수는 $\dfrac{1}{1+x^2}$ 과 비슷한데, 이는 아크탄젠트의 도함수이다. 실제로 다음이 성립한다.

$\begin{aligned}\displaystyle\int \dfrac{1}{1+25x^2}\mathrm{d}x &= \int \dfrac{1}{1+(5x)^2}\mathrm{d}x. \\ \text{ 따라서 부정적분을 처음에는 다음과 같이 추측해 볼 수 있다. } \\ F(x) &\stackrel{?}{=} \arctan(5x). \\ \text{ 그런데 연쇄법칙 때문에 } \\ F'(x) &= \dfrac{5}{1+(5x)^2}. \\ \text{ 분자를 ``고치기" 위해 두 번째로 추측한다: } \\ F(x) &= \frac{1}{5}\arctan(5x)\\ F'(x) &= \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{5}{1+(5x)^2}\right) = \dfrac{1}{1+25x^2}\\ \text{따라서,}\qquad \displaystyle\int \dfrac{1}{1+25x^2}\mathrm{d}x&=\frac{1}{5}\arctan(5x)+C. \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The integrand is similar to $\dfrac{1}{1+x^2}$ , which is the derivative of arctangent. Indeed, we have

$\begin{aligned}\displaystyle\int \dfrac{1}{1+25x^2}\mathrm{d}x &= \int \dfrac{1}{1+(5x)^2}\mathrm{d}x. \\ \text{ So, a reasonable first guess for the antiderivative might be } \\ F(x) &\stackrel{?}{=} \arctan(5x). \\ \text{ However, because of the chain rule, } \\ F'(x) &= \dfrac{5}{1+(5x)^2}. \\ \text{ In order to ``fix" the numerator, we make a second guess: } \\ F(x) &= \frac{1}{5}\arctan(5x)\\ F'(x) &= \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{5}{1+(5x)^2}\right) = \dfrac{1}{1+25x^2}\\ \text{So,}\qquad \displaystyle\int \dfrac{1}{1+25x^2}\mathrm{d}x&=\frac{1}{5}\arctan(5x)+C. \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 20번

# 미적분의 기본정리계산보통자동 분류

12.CLP-2 · 1.3절 · 23번우리말 번역

$\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{2-x^2}}\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{2-x^2}}\mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

피적분함수는 $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 와 비슷하다. 부정적분을 추측하기 위해 분모에서 $\sqrt{2}$ 를 묶어 내자:

$\begin{aligned} \displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{2-x^2}}\mathrm{d}x&= \displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{2\left(1-\frac{x^2}{2}\right)}}\mathrm{d}x\\ &=\displaystyle\int \dfrac{1}{ \sqrt{2}\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}}\mathrm{d}x\\ &= \int\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{1}{ \sqrt{1-\left(\dfrac{x}{\sqrt2}\right)^2}}\mathrm{d}x\\ \\ \text{이 시점에서 부정적분이 $F(x) = \arcsin\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}}\right)$ 와 같은 꼴일 것이라고 추측할 수 있다. 이 가능성을 확인하기 위해 미분하여 무엇을 얻는지 보자.} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\arcsin\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}}\right)\right\}&=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}}\right)^2}} \\ \text{이것은 우리가 원하는 바로 그 식이다! 따라서} \\ \int \dfrac{1}{\sqrt{2-x^2}}\mathrm{d}x&=\arcsin\left(\dfrac{x}{\sqrt2}\right)+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The integrand is similar to $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ . In order to formulate a guess for the antiderivative, let's factor out $\sqrt{2}$ from the denominator:

$\begin{aligned} \displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{2-x^2}}\mathrm{d}x&= \displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{2\left(1-\frac{x^2}{2}\right)}}\mathrm{d}x\\ &=\displaystyle\int \dfrac{1}{ \sqrt{2}\sqrt{1-\frac{x^2}{2}}}\mathrm{d}x\\ &= \int\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{1}{ \sqrt{1-\left(\dfrac{x}{\sqrt2}\right)^2}}\mathrm{d}x\\ \\ \text{At this point, we might guess that our antiderivative is something like $F(x) = \arcsin\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}}\right)$. To explore this possibility, we can differentiate, and see what we get.} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\arcsin\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}}\right)\right\}&=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}}\right)^2}} \\ \text{This is exactly what we want! So,} \\ \int \dfrac{1}{\sqrt{2-x^2}}\mathrm{d}x&=\arcsin\left(\dfrac{x}{\sqrt2}\right)+C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 22번

# 미적분의 기본정리계산보통자동 분류

13.CLP-2 · 1.3절 · 24번우리말 번역

$\displaystyle\int \tan^2 x \ \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \tan^2 x \ \mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$\int \sec^2 x\ \mathrm{d}x = \tan x +C$ 이고 $\sec^2x = \tan^2 x + 1$ 이므로

$\begin{aligned} \int \tan^2 x\ \mathrm{d}x &= \int \sec^2x - 1 \ \mathrm{d}x\\ &=\int \sec^2 x \ \mathrm{d}x - \int 1 \ \mathrm{d}x\\ &=\tan x - x + C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We know that $\int \sec^2 x\ \mathrm{d}x = \tan x +C$ , and $\sec^2x = \tan^2 x + 1$ , so

$\begin{aligned} \int \tan^2 x\ \mathrm{d}x &= \int \sec^2x - 1 \ \mathrm{d}x\\ &=\int \sec^2 x \ \mathrm{d}x - \int 1 \ \mathrm{d}x\\ &=\tan x - x + C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 23번

# 미적분의 기본정리계산보통자동 분류

14.CLP-2 · 1.3절 · 25번우리말 번역

$\displaystyle\int 3 \sin x \cos x \ \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int 3 \sin x \cos x \ \mathrm{d}x$ .

정답·풀이 보기

풀이 1: 이 식은 언뜻 익숙한 함수의 도함수처럼 보이지는 않지만, 익숙한 삼각함수 항등식의 절반처럼 보인다. $2\sin x \cos x = \sin(2x)$ .

$\begin{aligned} \int 3 \sin x \cos x \ \mathrm{d}x&=\int \frac{3}{2}\cdot 2\sin x \cos x \ \mathrm{d}x\\ &=\int \frac{3}{2} \sin(2x)\ \mathrm{d}x \\ \text{따라서 부정적분이 $-\cos(2x)$ 와 비슷한 꼴일 것이라고 짐작할 수 있다. 상수만 정하면 된다.} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{-\cos(2x)\}&=2\sin(2x)\\ \text{따라서,}\qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{-\frac{3}{4}\cos(2x)\right\}&=\frac{3}{2}\sin(2x)\\ \text{그러므로,}\qquad \int 3\sin x \cos x\ \mathrm{d}x&=-\frac{3}{4}\cos(2x)+C \end{aligned}$

풀이 2: $\cos x$ 가 $\sin x$ 의 도함수이므로, 피적분함수가 연쇄 법칙에서 나온 식처럼 보인다는 점을 알아챌 수 있다. 이를 이용하여 부정적분을 구할 수 있다.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sin^2 x\right\}&=2\sin x \cos x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{3}{2}\sin^2 x\right\}&=3\sin x \cos x\\ \text{따라서,}\qquad \int 3\sin x \cos x \ \mathrm{d}x&=\frac{3}{2}\sin^2 x+C \end{aligned}$

이 두 답은 서로 다르게 보인다. 항등식 $\cos(2x)=1 - 2 \sin^2(x)$ 을 이용하면 두 답이 같음을 알 수 있다.

$\begin{aligned} -\frac{3}{4}\cos(2x)+C&= -\frac{3}{4}\left(1-2\sin^2x\right)+C\\ &=\frac{3}{2}\sin^2 x + \left(C-\frac{3}{4}\right) \end{aligned}$

여기서 $\frac{3}{4}$ 은 중요하지 않다. $C$ 는 $-\infty$ 와 $+\infty$ 사이의 어떤 값이든 가질 수 있는 상수를 나타낸다는 것을 기억하자. 따라서 $C-\frac{3}{4}$ 도 $-\infty$ 와 $+\infty$ 사이의 어떤 값이든 가질 수 있는 상수일 뿐이다. 우리가 구한 두 답은 상수만큼 차이가 나므로 서로 같다.

원본 교재 풀이(영어)

Solution 1: This might not obviously look like the derivative of anything familiar, but it does look like half of a familiar trig identity: $2\sin x \cos x = \sin(2x)$ .

$\begin{aligned} \int 3 \sin x \cos x \ \mathrm{d}x&=\int \frac{3}{2}\cdot 2\sin x \cos x \ \mathrm{d}x\\ &=\int \frac{3}{2} \sin(2x)\ \mathrm{d}x \\ \text{So, we might guess that the antiderivative is something like $-\cos(2x)$. We only need to figure out the constants.} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{-\cos(2x)\}&=2\sin(2x)\\ \text{So,}\qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{-\frac{3}{4}\cos(2x)\right\}&=\frac{3}{2}\sin(2x)\\ \text{Therefore,}\qquad \int 3\sin x \cos x\ \mathrm{d}x&=-\frac{3}{4}\cos(2x)+C \end{aligned}$

Solution 2: You might notice that the integrand looks like it came from the chain rule, since $\cos x$ is the derivative of $\sin x$ . Using this observation, we can work out the antideriative:

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\sin^2 x\right\}&=2\sin x \cos x\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{3}{2}\sin^2 x\right\}&=3\sin x \cos x\\ \text{So,}\qquad \int 3\sin x \cos x \ \mathrm{d}x&=\frac{3}{2}\sin^2 x+C \end{aligned}$

These two answers look different. Using the identity $\cos(2x)=1 - 2 \sin^2(x)$ , we reconcile them:

$\begin{aligned} -\frac{3}{4}\cos(2x)+C&= -\frac{3}{4}\left(1-2\sin^2x\right)+C\\ &=\frac{3}{2}\sin^2 x + \left(C-\frac{3}{4}\right) \end{aligned}$

The $\frac{3}{4}$ here is not significant. Remember that $C$ is used to designate a constant that can take any value between $-\infty$ and $+\infty$ . So $C-\frac{3}{4}$ is also just a constant that can take any value between $-\infty$ and $+\infty$ . As the two answers we found differ by a constant, they are equivalent.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 24번

# 미적분의 기본정리계산보통자동 분류

15.CLP-2 · 1.3절 · 26번우리말 번역

$\displaystyle\int \cos^2 x \ \mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int \cos^2 x \ \mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

어떤 함수의 도함수가 $\cos^2 x$ 인지는 바로 알기 어렵지만, 항등식 $\cos^2 x = \dfrac{1+\cos(2x)}{2}$ 를 이용하면 상황을 조금 더 분명하게 할 수 있다:

$\begin{aligned} \int \cos^2 x \ \mathrm{d}x&=\int \frac{1}{2}\cdot \left(1+\cos(2x)\right)\ \mathrm{d}x\\ &=\int \frac{1}{2}\ \mathrm{d}x + \int \frac{1}{2}\cos(2x)\ \mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{2}x + C+ \int \frac{1}{2}\cos(2x)\ \mathrm{d}x \\ \text{나머지 적분에 대해서는 $F(x) = \sin(2x)$ 와 같은 꼴을 짐작해 볼 수 있다. 알맞은 상수를 찾아보자:} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \sin(2x) \right\}&=2\cos(2x)\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \frac{1}{4}\sin(2x) \right\}&=\frac{1}{2}\cos(2x)\\ \text{따라서,}\qquad \int \frac{1}{2}\cos(2x)\ \mathrm{d}x &=\frac{1}{4}\sin(2x)+C\\ \text{그러므로,}\qquad \int \cos^2 x \ \mathrm{d}x&=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin(2x)+C \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

It's not immediately obvious which function has $\cos^2 x$ as its derivative, but we can make the situation a little clearer by using the identity $\cos^2 x = \dfrac{1+\cos(2x)}{2}$ :

$\begin{aligned} \int \cos^2 x \ \mathrm{d}x&=\int \frac{1}{2}\cdot \left(1+\cos(2x)\right)\ \mathrm{d}x\\ &=\int \frac{1}{2}\ \mathrm{d}x + \int \frac{1}{2}\cos(2x)\ \mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{2}x + C+ \int \frac{1}{2}\cos(2x)\ \mathrm{d}x \\ \text{For the remaining integral, we might guess something like $F(x) = \sin(2x)$. Let's figure out the appropriate constant:} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \sin(2x) \right\}&=2\cos(2x)\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{ \frac{1}{4}\sin(2x) \right\}&=\frac{1}{2}\cos(2x)\\ \text{So,}\qquad \int \frac{1}{2}\cos(2x)\ \mathrm{d}x &=\frac{1}{4}\sin(2x)+C\\ \text{Therefore,}\qquad \int \cos^2 x \ \mathrm{d}x&=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin(2x)+C \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 25번

# 미적분의 기본정리계산보통자동 분류

16.CLP-2 · 1.3절 · 27번우리말 번역

만약

$F(x)=\int_0^x \log(2+\sin t)\,\mathrm{d}t\quad\text{그리고}\quad G(y)=\int^0_y \log(2+\sin t)\,\mathrm{d}t$

이면, $F'\big(\frac{\pi}{2}\big)$ 와 $G'\big(\frac{\pi}{2}\big)$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

If

$F(x)=\int_0^x \log(2+\sin t)\,\mathrm{d}t\quad\text{and}\quad G(y)=\int^0_y \log(2+\sin t)\,\mathrm{d}t$

find $F'\big(\frac{\pi}{2}\big)$ and $G'\big(\frac{\pi}{2}\big)$ .

정답·풀이 보기

미적분의 기본정리 제1부에 의해,

$\begin{aligned} F'(x)&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_0^x \log(2+\sin t)\,\mathrm{d}t &&=\log(2+\sin x) \\ G'(y)&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\bigg[- \int_0^y \log(2+\sin t)\,\mathrm{d}t\bigg] &&=-\log(2+\sin y) \\ \end{aligned}$

따라서,

$F'\Big(\frac{\pi}{2}\Big)=\log 3\qquad G'\Big(\frac{\pi}{2}\Big)=-\log(3)$

원본 교재 풀이(영어)

By the Fundamental Theorem of Calculus Part 1,

$\begin{aligned} F'(x)&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_0^x \log(2+\sin t)\,\mathrm{d}t &&=\log(2+\sin x) \\ G'(y)&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\bigg[- \int_0^y \log(2+\sin t)\,\mathrm{d}t\bigg] &&=-\log(2+\sin y) \\ \end{aligned}$

So,

$F'\Big(\frac{\pi}{2}\Big)=\log 3\qquad G'\Big(\frac{\pi}{2}\Big)=-\log(3)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 26번

# 미적분의 기본정리계산보통자동 분류

17.CLP-2 · 1.3절 · 28번우리말 번역

$f(x)=\displaystyle\int_1^x 100(t^2-3t+2)e^{-t^2}\ \mathrm{d}t$ 라고 하자. $f$ 가 증가하는 구간을 모두 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=\displaystyle\int_1^x 100(t^2-3t+2)e^{-t^2}\ \mathrm{d}t$ . Find the interval(s) on which $f$ is increasing.

정답·풀이 보기

미적분의 기본정리 제1부분에 의해,

$f'(x) = 100(x^2-3x+2)e^{-x^2} = 100(x-1)(x-2)e^{-x^2}$

$f'(x)>0$ 일 때마다 $f(x)$ 는 증가하고 $100 e^{-x^2}$ 은 항상 $0$ 보다 엄밀하게 크므로, $f(x)$ 가 증가하는 것은 $(x-1)(x-2)>0$ 일 때, 그리고 그때에 한한다. 이는 $(x-1)$ 과 $(x-2)$ 의 부호가 같을 때, 그리고 그때에 한해 성립한다. $x>2$ 이면 둘 다 양수이고 $x<1$ 이면 둘 다 음수이다. 따라서 $f(x)$ 는 $-\infty<x<1$ 일 때와 $2<x<\infty$ 일 때 증가한다.

참고: 미적분의 기본정리를 쓰지 않아도, $f(x)$ 는 1부터 $x$ 까지 곡선 아래의 넓이이므로, 곡선이 $x$ 축 위에 있을 때는 (양의 넓이를 더하므로) $f(x)$ 가 증가하고, 곡선이 $x$ 축 아래에 있을 때는 (음의 넓이를 더하므로) 감소한다.

원본 교재 풀이(영어)

By the Fundamental Theorem of Calculus Part 1,

$f'(x) = 100(x^2-3x+2)e^{-x^2} = 100(x-1)(x-2)e^{-x^2}$

As $f(x)$ is increasing whenever $f'(x)>0$ and $100 e^{-x^2}$ is always strictly bigger than $0$ , we have $f(x)$ increasing if and only if $(x-1)(x-2)>0$ , which is the case if and only if $(x-1)$ and $(x-2)$ are of the same sign. Both are positive when $x>2$ and both are negative when $x<1$ . So $f(x)$ is increasing when $-\infty<x<1$ and when $2<x<\infty$ .

Remark: even without the Fundamental Theorem of Calculus, since $f(x)$ is the area under a curve from 1 to $x$ , $f(x)$ is increasing when the curve is above the $x$ -axis (because we're adding positive area), and it's decreasing when the curve is below the $x$ -axis (because we're adding negative area).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 27번

# 미적분의 기본정리계산보통자동 분류

18.CLP-2 · 1.3절 · 34번우리말 번역

$x^2=1+\displaystyle\int_1^x f(t)\ \mathrm{d}t$ 일 때, $f(x)$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

Find $f(x)$ if $x^2=1+\displaystyle\int_1^x f(t)\ \mathrm{d}t$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$x^2=1+\int_1^x f(t)\ \mathrm{d}t$ 의 양변에 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ 를 적용하면, 미적분의 기본정리 제1부에 의해 $2x=f(x)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Applying $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ to both sides of $x^2=1+\int_1^x f(t)\ \mathrm{d}t$ gives, by the Fundamental Theorem of Calculus Part 1, $2x=f(x)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 35번

# 미적분의 기본정리계산보통자동 분류

19.CLP-2 · 1.3절 · 35번우리말 번역

$f$ 가 연속함수이고 $x \sin(\pi x) = \displaystyle\int_0^x f(t)\, \mathrm{d}t$ 일 때, $f(4)$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

If $x \sin(\pi x) = \displaystyle\int_0^x f(t)\, \mathrm{d}t$ where $f$ is a continuous function, find $f(4)$ .

정답·풀이 보기

$x \sin(\pi x) = \int_0^x f(t)\, \mathrm{d}t$ 의 양변에 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ 를 적용한다. 그러면 미적분의 기본정리 제1부에 의해

$\begin{aligned} &&f(x) =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_0^x f(t)\, \mathrm{d}t&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big\{x \sin(\pi x)\big\} \\ \implies&& f(x) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big\{x \sin(\pi x)\big\} =\sin(\pi x)+\pi x\cos(\pi x) \\ \implies&& f(4)&= \sin(4\pi)+4\pi\cos(4\pi)=4\pi \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Apply $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ to both sides of $x \sin(\pi x) = \int_0^x f(t)\, \mathrm{d}t$ . Then, by the Fundamental Theorem of Calculus Part 1,

$\begin{aligned} &&f(x) =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_0^x f(t)\, \mathrm{d}t&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big\{x \sin(\pi x)\big\} \\ \implies&& f(x) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big\{x \sin(\pi x)\big\} =\sin(\pi x)+\pi x\cos(\pi x) \\ \implies&& f(4)&= \sin(4\pi)+4\pi\cos(4\pi)=4\pi \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 28번

# 미적분의 기본정리계산보통자동 분류

적분 전체 문제