적분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 5장 복습 · 2번우리말 번역

단원 복습 문제

참 또는 거짓. 증명 또는 반례로 답을 뒷받침하세요. 모든 함수 $f$ 와 $g$ 는 각각의 정의역에서 연속이라고 가정합니다.

${\int }_{a}^{b}f{(x)}^{2}dx={\int }_{a}^{b}f(x)dx{\int }_{a}^{b}f(x)dx$

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False. Justify your answer with a proof or a counterexample. Assume all functions $f$ and $g$ are continuous over their domains.

${\int }_{a}^{b}f{(x)}^{2}dx={\int }_{a}^{b}f(x)dx{\int }_{a}^{b}f(x)dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 22번

# 미적분의 기본정리개념 확인자동 분류

2.OpenStax 1권 · 5장 복습 · 3번우리말 번역

단원 복습 문제

참 또는 거짓. 증명 또는 반례로 답을 뒷받침하세요. 모든 함수 $f$ 와 $g$ 는 각각의 정의역에서 연속이라고 가정합니다.

모든 $x\in [a,b]$ 에 대해 $f(x)\le g(x)$ 이면 ${\int }_{a}^{b}f(x)\le {\int }_{a}^{b}g(x)$ 이다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False. Justify your answer with a proof or a counterexample. Assume all functions $f$ and $g$ are continuous over their domains.

If $f(x)\le g(x)$ for all $x\in [a,b],$ then ${\int }_{a}^{b}f(x)\le {\int }_{a}^{b}g(x).$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

참

원본 교재 풀이(영어)

True

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5장 복습 · 1번

# 미적분의 기본정리개념 확인자동 분류

3.OpenStax 1권 · 5장 복습 · 4번우리말 번역

단원 복습 문제

참 또는 거짓. 증명 또는 반례로 답을 뒷받침하세요. 모든 함수 $f$ 와 $g$ 는 각각의 정의역에서 연속이라고 가정합니다.

모든 연속함수는 부정적분(원시함수)을 갖는다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False. Justify your answer with a proof or a counterexample. Assume all functions $f$ and $g$ are continuous over their domains.

All continuous functions have an antiderivative.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 25번

# 미적분의 기본정리개념 확인자동 분류

4.APEX · 5.1절 · 1번우리말 번역

"부정적분"이라는 용어를 자신의 말로 정의하세요.

영어 원문 보기

Define the term “antiderivative” in your own words.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.1절 · 6번

# 부정적분의 뜻과 계산개념 확인자동 분류

5.APEX · 5.1절 · 2번우리말 번역

$f(x)$ 의 "그" 부정적분이라고 말하는 것과 $f(x)$ 의 "하나의" 부정적분이라고 말하는 것 중 어느 쪽이 더 정확한가요?

영어 원문 보기

Is it more accurate to refer to “the” antiderivative of $f(x)$ or “an” antiderivative of $f(x)$ ?

정답·풀이 보기

“an”

원본 교재 풀이(영어)

“an”

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.1절 · 3번

# 부정적분의 뜻과 계산개념 확인자동 분류

6.APEX · 5.1절 · 3번우리말 번역

자신의 말로 $f(x)$ 의 부정적분을 정의하세요.

영어 원문 보기

Use your own words to define the indefinite integral of $f(x)$ .

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.1절 · 1번

# 부정적분의 뜻과 계산개념 확인자동 분류

7.APEX · 5.1절 · 4번우리말 번역

빈칸을 채우세요: "역연산은 _____ 일을 _____ 순서로 한다."

영어 원문 보기

Fill in the blanks: “Inverse operations do the _____ things in the _____ order.”

정답·풀이 보기

반대; 반대

원본 교재 풀이(영어)

opposite; opposite

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.1절 · 5번

# 부정적분의 뜻과 계산개념 확인자동 분류

8.APEX · 5.1절 · 5번우리말 번역

"초깃값 문제"란 무엇인가요?

영어 원문 보기

What is an “initial value problem”?

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.1절 · 8번

# 부정적분의 뜻과 계산개념 확인자동 분류

9.APEX · 5.1절 · 6번우리말 번역

위치 함수의 도함수는 _____ 함수이다.

영어 원문 보기

The derivative of a position function is a _____ function.

정답·풀이 보기

속도

원본 교재 풀이(영어)

velocity

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.1절 · 7번

# 부정적분의 뜻과 계산개념 확인자동 분류

10.APEX · 5.1절 · 7번우리말 번역

가속도 함수의 부정적분은 _____ 함수이다.

영어 원문 보기

The antiderivative of an acceleration function is a _____ function.

정답·풀이 보기

속도

원본 교재 풀이(영어)

velocity

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.1절 · 4번

# 부정적분의 뜻과 계산개념 확인자동 분류

11.APEX · 5.1절 · 8번우리말 번역

$F(x)$ 가 $f(x)$ 의 부정적분이고 $G(x)$ 가 $g(x)$ 의 부정적분일 때, $f(x)+g(x)$ 의 부정적분을 구하세요.

영어 원문 보기

If $F(x)$ is an antiderivative of $f(x)$ , and $G(x)$ is an antiderivative of $g(x)$ , give an antiderivative of $f(x)+g(x)$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$F(x)+G(x)$

원본 교재 풀이(영어)

$F(x)+G(x)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.10절 · 17번

# 부정적분의 뜻과 계산개념 확인자동 분류

12.APEX · 5.2절 · 1번우리말 번역

"부호 있는 넓이의 총합"이란 무엇인지 설명하세요.

영어 원문 보기

What is “total signed area”?

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.2절 · 3번

# 정적분의 뜻과 성질개념 확인자동 분류

13.APEX · 5.2절 · 2번우리말 번역

"변위"란 무엇입니까?

영어 원문 보기

What is “displacement”?

정답·풀이 보기

답은 학생마다 다를 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 18번

# 정적분의 뜻과 성질개념 확인자동 분류

14.APEX · 5.2절 · 3번우리말 번역

$\displaystyle \int_3^3 \sin x\ dx$ 의 값은 얼마입니까?

영어 원문 보기

What is $\displaystyle \int_3^3 \sin x\ dx$ ?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

0

원본 교재 풀이(영어)

0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.2절 · 2번

# 정적분의 뜻과 성질개념 확인자동 분류

15.APEX · 5.2절 · 4번우리말 번역

$\displaystyle \int_0^1(2x+3)\ dx + \int_1^2 (2x+3)\ dx$ 와 값이 같은 정적분 하나를 쓰세요.

영어 원문 보기

Give a single definite integral that has the same value as

$\displaystyle \int_0^1(2x+3)\ dx + \int_1^2 (2x+3)\ dx$ .

정답·풀이 보기

$\int 0^2 (2x+3)\ dx$

원본 교재 풀이(영어)

$\int 0^2 (2x+3)\ dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.2절 · 18번

# 정적분의 뜻과 성질개념 확인자동 분류

16.APEX · 5.4절 · 1번우리말 번역

정적분과 부정적분은 서로 어떤 관계가 있는지 설명하세요.

영어 원문 보기

How are definite and indefinite integrals related?

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.4절 · 29번

# 미적분의 기본정리개념 확인자동 분류

17.APEX · 5.4절 · 2번우리말 번역

정적분의 값을 구할 때 적분상수로 가장 흔히 사용하는 값은 무엇인지 구하세요.

영어 원문 보기

What constant of integration is most commonly used when evaluating definite integrals?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

0

원본 교재 풀이(영어)

0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.4절 · 1번

# 미적분의 기본정리개념 확인자동 분류

18.APEX · 5.4절 · 3번우리말 번역

참/거짓: $f$ 가 연속함수이면 $\displaystyle F(x) = \int_a^x f(t)\ dt$ 도 연속함수이다.

영어 원문 보기

T/F: If $f$ is a continuous function, then $\displaystyle F(x) = \int_a^x f(t)\ dt$ is also a continuous function.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.4절 · 2번

# 미적분의 기본정리개념 확인자동 분류

19.APEX · 5.4절 · 4번우리말 번역

정적분은 "곡선 아래의 넓이"를 구하는 데 쓸 수 있습니다. 정적분의 다른 용도를 두 가지 드세요.

영어 원문 보기

The definite integral can be used to find “the area under a curve.” Give two other uses for definite integrals.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.4절 · 3번

# 미적분의 기본정리개념 확인자동 분류

20.CLP-2 · 1.2절 · 3번우리말 번역

다음 각 명제가 참인지 거짓인지 판단하세요. 거짓이면 반례를 제시하고, 참이면 간단히 이유를 설명하세요.

(a) $\displaystyle\int_{-3}^{-2} f(x) \mathrm{d}x=-\displaystyle\int_{3}^{2} f(x) \mathrm{d}x$ . (b) $f(x)$ 가 기함수이면 $\displaystyle \int_{-3}^{-2} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_2^3 f(x)\,\mathrm{d}x$ 이다. (c) $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\cdot g(x) ~\mathrm{d}x =\int_{0}^{1} f(x) ~\mathrm{d}x \cdot \int_{0}^{1} g(x) ~\mathrm{d}x$ .

영어 원문 보기

Decide whether each of the following statements is true or false. If false, provide a counterexample. If true, provide a brief justification.

(a) $\displaystyle\int_{-3}^{-2} f(x) \mathrm{d}x=-\displaystyle\int_{3}^{2} f(x) \mathrm{d}x$ . (b) If $f(x)$ is an odd function, then $\displaystyle \int_{-3}^{-2} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_2^3 f(x)\,\mathrm{d}x$ . (c) $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\cdot g(x) ~\mathrm{d}x =\int_{0}^{1} f(x) ~\mathrm{d}x \cdot \int_{0}^{1} g(x) ~\mathrm{d}x$ .

정답·풀이 보기

(a) 거짓이다. 예를 들어

$\begin{aligned} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{$x<0$일 때} \\ 1 & \text{$x\ge0$일 때} \end{cases} \end{aligned}$

이면 $\int_{-3}^{-2} f(x) \mathrm{d}x=0$ 이고 $-\int_{3}^{2} f(x) \mathrm{d}x=\int^{3}_{2} f(x) \mathrm{d}x=1$ 이다.

(b) 거짓이다. 예를 들어 $f(x)=x$ 이면 $\int_{-3}^{-2} f(x)\,\mathrm{d}x$ 는 음수이고 $\int_2^3 f(x)\,\mathrm{d}x$ 는 양수이므로 둘은 같을 수 없다.

(c) 거짓이다. 예를 들어 함수

$\begin{aligned} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{$x<\frac{1}{2}$일 때} \\ 1 & \text{$x\ge\frac{1}{2}$일 때} \end{cases} &&\text{그리고}&&g(x) = \begin{cases} 0 & \text{$x\ge \frac{1}{2}$일 때} \\ 1 & \text{$x<\frac{1}{2}$일 때} \end{cases} \end{aligned}$

을 생각하자.

그러면 모든 $x$ 에 대해 $f(x)\cdot g(x)=0$ 이므로 $\int_0^1 f(x)\cdot g(x) \mathrm{d}x=0$ 이다. 그러나 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{2}$ 이고 $\int_0^1 g(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{2}$ 이므로 $\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x \cdot \int_0^1 g(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{4}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) False. For example if

$\begin{aligned} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{for $x<0$} \\ 1 & \text{for $x\ge0$} \end{cases} \end{aligned}$

then $\int_{-3}^{-2} f(x) \mathrm{d}x=0$ and $-\int_{3}^{2} f(x) \mathrm{d}x=\int^{3}_{2} f(x) \mathrm{d}x=1$ .

(b) False. For example, if $f(x)=x$ , then $\int_{-3}^{-2} f(x)\,\mathrm{d}x$ is negative while $\int_2^3 f(x)\,\mathrm{d}x$ is positive, so they cannot be the same.

(c) False. For example, consider the functions

$\begin{aligned} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{for $x<\frac{1}{2}$} \\ 1 & \text{for $x\ge\frac{1}{2}$} \end{cases} &&\text{and}&&g(x) = \begin{cases} 0 & \text{for $x\ge \frac{1}{2}$} \\ 1 & \text{for $x<\frac{1}{2}$} \end{cases} \end{aligned}$

Then $f(x)\cdot g(x)=0$ for all $x$ , so $\int_0^1 f(x)\cdot g(x) \mathrm{d}x=0$ . However, $\int_0^1 f(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{2}$ and $\int_0^1 g(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{2}$ , so $\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x \cdot \int_0^1 g(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{4}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 4번

# 정적분의 뜻과 성질개념 확인기본자동 분류

적분 전체 문제