적분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 5.4절 · 13번우리말 풀이

정육면체의 한 모서리 길이가 $s$ 에서 $2s$ 로 두 배가 될 때 겉넓이의 변화량을 나타내는 적분식을 쓰고, 그 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Write an integral that quantifies the change in the area of the surface of a cube when its side length doubles from s unit to 2s units and evaluate the integral.

풀이 보기

양의 변화율을 적분하면 그 양의 순변화량이 돼요.

1
겉넓이를 모서리 길이 $x$ 의 함수로 써요. 정육면체는 정사각형 6개로 이루어져 있으니 $S(x)=6x^2$ 이에요.
2
변화율을 구해요. 길이가 조금 늘어날 때 겉넓이가 늘어나는 비율은 도함수 $S'(x)=12x$ 예요.
3
순변화량 = 변화율의 정적분이에요. $\int_s^{2s}12x\,dx=\Big[6x^2\Big]_s^{2s}=6(2s)^2-6s^2=24s^2-6s^2=18s^2$
4
확인해요. 처음 겉넓이는 $6s^2$ , 나중 겉넓이는 $6(2s)^2=24s^2$ 이므로 차이는 $18s^2$ 로 같아요.

답

$\displaystyle\int_s^{2s}12x\,dx=18s^2$

자주 하는 실수

겉넓이를 부피 공식 $x^3$ 과 헷갈리거나 $6$ 을 곱하는 것을 잊어 $3s^2$ 같은 값을 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$18{s}^{2}=6{\int }_{s}^{2s}2xdx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 23번

# 속도와 거리활용보통

2.OpenStax 1권 · 5.4절 · 23번우리말 풀이

원 모양의 넓이 $A(t)$ 가 일정한 비율로 커지고 있습니다. 시각 $t=2$ 부터 $t=3$ 까지 넓이가 $4\pi$ 에서 $9\pi$ 로 늘어날 때, 이 시간 동안 반지름의 순변화량을 구하세요.

영어 원문 보기

The area $A(t)$ of a circular shape is growing at a constant rate. If the area increases from 4π units to 9π units between times $t=2$ and $t=3,$ find the net change in the radius during that time.

풀이 보기

반지름 변화량은 (나중 반지름) − (처음 반지름)이고, 반지름은 $r=\sqrt{A/\pi}$ 로 넓이에서 바로 알 수 있어요.

1
넓이와 반지름의 관계를 써요. 원의 넓이 $A=\pi r^2$ 이므로 $r=\sqrt{A/\pi}$ 예요.
2
처음과 나중의 반지름을 구해요. $t=2$ 에서 $A=4\pi$ 이므로 $r=2$ , $t=3$ 에서 $A=9\pi$ 이므로 $r=3$ 이에요.
3
순변화량을 계산해요. 변화율 $r'(t)$ 를 적분한 값이 순변화량이고, 이는 끝값 − 처음값과 같아요. $\int_2^3 r'(t)\,dt=r(3)-r(2)=3-2=1$
4
참고: 일정하게 커진다는 조건을 써 보면. 넓이가 일정한 비율로 커지므로 $A(t)=4\pi+5\pi(t-2)$ 이고 $r(t)=\sqrt{5t-6}$ 이에요. $r'(t)=\dfrac{5}{2\sqrt{5t-6}}$ 를 $2$ 에서 $3$ 까지 적분해도 $\big[\sqrt{5t-6}\big]_2^3=3-2=1$ 로 같아요.

답

반지름이 $1$ 만큼 증가해요(순변화량 $=1$ ).

자주 하는 실수

넓이 변화량 $5\pi$ 를 반지름 변화량으로 착각하는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

The net increase is 1 unit.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 4.1절 · 8번

# 속도와 거리활용보통

3.OpenStax 1권 · 5.4절 · 33번우리말 풀이

자동차가 브레이크를 밟을 때 낼 수 있는 최대 감속도는 마른 콘크리트에서 약 $7\,\text{m/s}^2$ , 젖은 아스팔트에서 약 $2.5\,\text{m/s}^2$ 입니다. $1\,\text{mph}$ 는 $0.447\,\text{m/s}$ 에 해당합니다. 브레이크를 밟은 순간부터 완전히 멈출 때까지 자동차가 달린 거리를 m 단위로 구하세요. 마른 콘크리트에서 처음 속도가 $67\,\text{mph}$ ( $30\,\text{m/s}$ )일 때와 $56\,\text{mph}$ ( $25\,\text{m/s}$ )일 때를 각각 구하고, 미끄러운 젖은 아스팔트에서도 같은 값을 구하세요.

영어 원문 보기

For a given motor vehicle, the maximum achievable deceleration from braking is approximately 7 m/sec² on dry concrete. On wet asphalt, it is approximately 2.5 m/sec². Given that 1 mph corresponds to 0.447 m/sec, find the total distance that a car travels in meters on dry concrete after the brakes are applied until it comes to a complete stop if the initial velocity is 67 mph (30 m/sec) or if the initial braking velocity is 56 mph (25 m/sec). Find the corresponding distances if the surface is slippery wet asphalt.

풀이 보기

속도가 $v(t)=v_0-at$ 이니 멈추는 시각까지 속도를 적분하면 달린 거리가 나와요.

1
속도의 식을 세워요. 처음 속도 $v_0$ , 감속도 $a$ 이면 $v(t)=v_0-at$ 예요(속도가 일정하게 줄어요).
2
멈추는 시각을 구해요. $v(T)=0$ 에서 $T=\dfrac{v_0}{a}$ 예요.
3
거리는 속도의 정적분이에요. 속도가 음수가 되기 전(멈출 때까지)이라 순변화량과 실제 거리가 같아요. $D=\int_0^{T}(v_0-at)\,dt=\left[v_0t-\frac{a}{2}t^2\right]_0^{v_0/a}=\frac{v_0^2}{a}-\frac{v_0^2}{2a}=\frac{v_0^2}{2a}$
4
마른 콘크리트( $a=7$ )에 넣어요. $v_0=30$ 이면 $D=\dfrac{900}{14}\approx64.3$ , $v_0=25$ 이면 $D=\dfrac{625}{14}\approx44.6$ 이에요.
5
젖은 아스팔트( $a=2.5$ )에 넣어요. $v_0=30$ 이면 $D=\dfrac{900}{5}=180$ , $v_0=25$ 이면 $D=\dfrac{625}{5}=125$ 예요.

답

마른 콘크리트: $64.3\,\text{m}$ ( $30\,\text{m/s}$ ), $44.6\,\text{m}$ ( $25\,\text{m/s}$ ) / 젖은 아스팔트: $180\,\text{m}$ , $125\,\text{m}$

자주 하는 실수

속도를 두 배로 하면 제동 거리도 두 배라고 생각하기 쉬운데, 거리는 $v_0^2$ 에 비례해요.

원본 교재 풀이(영어)

In dry conditions, with initial velocity ${v}_{0}=30$ m/s, $D=64.3$ and, if ${v}_{0}=25,D=44.64.$ In wet conditions, if ${v}_{0}=30,$ and $D=180$ and if ${v}_{0}=25,D=125.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 13번

# 속도와 거리활용보통

4.OpenStax 1권 · 4.10절 · 40번우리말 번역

다음 연습문제에서 이계 도함수 또는 삼계 도함수가 주어졌을 때, 가능한 함수 $f$ 를 두 개 구하세요.

${f}^{''}(x)={x}^{2}+2$

영어 원문 보기

For the following exercises, find two possible functions $f$ given the second- or third-order derivatives.

${f}^{''}(x)={x}^{2}+2$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.10절 · 53번

# 부정적분의 뜻과 계산활용자동 분류

5.OpenStax 1권 · 4.10절 · 42번우리말 번역

다음 연습문제에서 이계 도함수 또는 삼계 도함수가 주어졌을 때, 가능한 함수 $f$ 를 두 개 구하세요.

${f}^{''}(x)=1+x$

영어 원문 보기

For the following exercises, find two possible functions $f$ given the second- or third-order derivatives.

${f}^{''}(x)=1+x$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 4.1절 · 20번

# 부정적분의 뜻과 계산활용자동 분류

6.OpenStax 1권 · 4.10절 · 43번우리말 번역

다음 연습문제에서 이계 또는 삼계 도함수가 주어졌을 때, 가능한 함수 $f$ 를 두 개 구하세요.

$f'''(x)=\cos x$

영어 원문 보기

For the following exercises, find two possible functions $f$ given the second- or third-order derivatives.

$f'''(x)=\cos x$

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 될 수 있다. 가능한 답의 하나는 $f(x)=-\sin x$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary; one possible answer is $f(x)=-\sin x$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.10절 · 23번

# 부정적분의 뜻과 계산활용자동 분류

7.OpenStax 1권 · 4.10절 · 44번우리말 번역

다음 연습문제에서 이계 또는 삼계 도함수가 주어졌을 때, 가능한 함수 $f$ 를 두 개 구하세요.

$f'''(x)=8{e}^{-2x}-\sin x$

영어 원문 보기

For the following exercises, find two possible functions $f$ given the second- or third-order derivatives.

$f'''(x)=8{e}^{-2x}-\sin x$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 4.1절 · 1번

# 부정적분의 뜻과 계산활용자동 분류

8.OpenStax 1권 · 4.10절 · 47번우리말 번역

당신은 정지 상태에서 일정한 가속도 $12$ ft/sec² 으로 가속하며 고속도로에 합류하고 있다. 합류 속력인 시속 $60$ 마일에 도달하는 데 얼마나 걸리는지 구하세요.

영어 원문 보기

You are merging onto the freeway, accelerating from rest at a constant rate of $12$ ft/sec². How long does it take you to reach merging speed at $60$ mph?

답 쓰고 채점

초

정답·풀이 보기

$7.333$ sec

원본 교재 풀이(영어)

$7.333$ sec

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.10절 · 37번

# 부정적분의 뜻과 계산활용자동 분류

9.OpenStax 1권 · 4.10절 · 48번우리말 번역

이전 문제를 바탕으로, 자동차가 합류 속력에 도달하기까지 얼마나 멀리 이동하는지 구하세요.

영어 원문 보기

Based on the previous problem, how far does the car travel to reach merging speed?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.10절 · 13번

# 부정적분의 뜻과 계산활용자동 분류

10.OpenStax 1권 · 5.2절 · 81번우리말 번역

높이가 중점 $t=\frac{1}{2}$ 에서의 t 의 값과 같은 직사각형 하나의 넓이와 비교하여 ${\int }_{0}^{1}tdt$ 를 어림하세요. 이 중점을 이용한 어림값은 실제 값 ${\int }_{0}^{1}tdt$ 와 비교하면 어떠한지 설명하세요.

영어 원문 보기

Estimate ${\int }_{0}^{1}tdt$ by comparison with the area of a single rectangle with height equal to the value of t at the midpoint $t=\frac{1}{2}.$ How does this midpoint estimate compare with the actual value ${\int }_{0}^{1}tdt?$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 37번

# 정적분의 뜻과 성질활용자동 분류

11.OpenStax 1권 · 5.3절 · 1번우리말 번역

변하는 속력 ${v}_{1}(t)$ 와 ${v}_{2}(t)$ 로 달리는 두 선수를 생각합니다. 두 주자는 정확히 같은 시각에 경주를 시작하고 끝냅니다. 두 주자가 어느 한 순간에는 반드시 같은 속력으로 달리고 있어야 하는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Consider two athletes running at variable speeds ${v}_{1}(t)$ and ${v}_{2}(t).$ The runners start and finish a race at exactly the same time. Explain why the two runners must be going the same speed at some point.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.4절 · 30번

# 미적분의 기본정리활용자동 분류

12.OpenStax 1권 · 5.3절 · 63번우리말 번역

평형 위치로부터 스프링에 매달린 질량의 변위는 단순 조화 운동 방정식 $x(t)=A\cos (\omega t-\phi )$ 를 만족한다. 여기서 $\phi$ 는 위상 상수, ω 는 각진동수, A 는 진폭이다. 이 질량의 평균 속도, 평균 속력(속도의 크기), 평균 변위, 평형 위치로부터의 평균 거리(변위의 크기)를 구하세요.

영어 원문 보기

The displacement from rest of a mass attached to a spring satisfies the simple harmonic motion equation $x(t)=A\cos (\omega t-\phi ),$ where $\phi$ is a phase constant, ω is the angular frequency, and A is the amplitude. Find the average velocity, the average speed (magnitude of velocity), the average displacement, and the average distance from rest (magnitude of displacement) of the mass.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 20번

# 미적분의 기본정리활용자동 분류

13.OpenStax 1권 · 5.4절 · 10번우리말 번역

한 변의 길이가 $a>0$ 인 정오각형의 넓이는 pa² 이고, 여기서 $p=\frac{1}{4}\sqrt{5\left( 5+2\sqrt{5} \right)}$ 입니다. 미국 워싱턴 DC에 있는 펜타곤은 안쪽 변의 길이가 360 ft 이고 바깥쪽 변의 길이가 920 ft 입니다. 이 치수에 따라 펜타곤 지붕의 넓이를 나타내는 적분을 쓰고, 이 넓이의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

The area of a regular pentagon with side length $a>0$ is pa² with $p=\frac{1}{4}\sqrt{5\left( 5+2\sqrt{5} \right)}.$ The Pentagon in Washington, DC, has inner sides of length 360 ft and outer sides of length 920 ft. Write an integral to express the area of the roof of the Pentagon according to these dimensions and evaluate this area.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 21번

# 정적분의 뜻과 성질활용자동 분류

14.OpenStax 1권 · 5.4절 · 11번우리말 번역

정십이면체는 넓이가 모두 같은 12개의 오각형으로 이루어진 겉면을 가진 플라톤 입체입니다. 각 오각형의 한 변의 길이가 1 단위에서 2 단위로 두 배가 될 때, 정십이면체의 겉넓이는 얼마나 증가하는지 구하세요.

영어 원문 보기

A dodecahedron is a Platonic solid with a surface that consists of 12 pentagons, each of equal area. By how much does the surface area of a dodecahedron increase as the side length of each pentagon doubles from 1 unit to 2 units?

정답·풀이 보기

p 를 이전 연습문제에서와 같이 두면, 12개의 오각형 각각의 넓이는 2p 에서 4p 단위로 증가하므로 정십이면체의 넓이의 순증가량은 36p 단위이다.

원본 교재 풀이(영어)

With p as in the previous exercise, each of the 12 pentagons increases in area from 2p to 4p units so the net increase in the area of the dodecahedron is 36p units.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 17번

# 정적분의 뜻과 성질활용자동 분류

15.OpenStax 1권 · 5.4절 · 12번우리말 번역

정이십면체는 20개의 정삼각형으로 이루어진 겉면을 가진 플라톤 입체입니다. 각 삼각형의 한 변의 길이가 a 단위에서 2a 단위로 두 배가 될 때, 정이십면체의 겉넓이는 얼마나 증가하는지 구하세요.

영어 원문 보기

An icosahedron is a Platonic solid with a surface that consists of 20 equilateral triangles. By how much does the surface area of an icosahedron increase as the side length of each triangle doubles from a unit to 2a units?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 60번

# 정적분의 뜻과 성질활용자동 분류

16.OpenStax 1권 · 5.4절 · 14번우리말 번역

정육면체의 한 모서리의 길이가 s 단위에서 2s 단위로 두 배가 될 때, 정육면체의 부피의 증가량을 나타내는 적분을 쓰고 그 적분의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Write an integral that quantifies the increase in the volume of a cube when the side length doubles from s unit to 2s units and evaluate the integral.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 30번

# 정적분의 뜻과 성질활용자동 분류

17.OpenStax 1권 · 5.4절 · 15번우리말 번역

구의 반지름이 R 단위에서 2R 단위로 두 배가 될 때, 구의 겉넓이의 증가량을 나타내는 적분을 쓰고 그 적분의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Write an integral that quantifies the increase in the surface area of a sphere as its radius doubles from R unit to 2R units and evaluate the integral.

정답·풀이 보기

$12\pi {R}^{2}=8\pi {\int }_{R}^{2R}rdr$

원본 교재 풀이(영어)

$12\pi {R}^{2}=8\pi {\int }_{R}^{2R}rdr$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 25번

# 정적분의 뜻과 성질활용자동 분류

18.OpenStax 1권 · 5.4절 · 16번우리말 번역

구의 반지름이 R 단위에서 2R 단위로 두 배가 될 때, 구의 부피의 증가량을 나타내는 적분을 쓰고 그 적분의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Write an integral that quantifies the increase in the volume of a sphere as its radius doubles from R unit to 2R units and evaluate the integral.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 19번

# 정적분의 뜻과 성질활용자동 분류

19.OpenStax 1권 · 5.4절 · 17번우리말 번역

입자가 속도 $v(t)=4-2t$ 로 직선을 따라 움직인다고 하자. 여기서 $0\le t\le 2$ 이고 단위는 미터/초이다. 시각 t 에서의 변위와 $t=2$ 까지 이동한 총 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose that a particle moves along a straight line with velocity $v(t)=4-2t,$ where $0\le t\le 2$ (in meters per second). Find the displacement at time t and the total distance traveled up to $t=2.$

정답·풀이 보기

$d(t)={\int }_{0}^{t}v(s)ds=4t-{t}^{2}$ 이다. 총 이동 거리는 $d(2)=4\,\text{m}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$d(t)={\int }_{0}^{t}v(s)ds=4t-{t}^{2}.$ The total distance is $d(2)=4\,\text{m}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 27번

# 정적분의 뜻과 성질활용자동 분류

20.OpenStax 1권 · 5.4절 · 18번우리말 번역

입자가 속도 $v(t)={t}^{2}-3t-18$ 로 직선을 따라 움직인다고 하자. 여기서 $0\le t\le 6$ 이고 단위는 미터/초이다. 시각 t 에서의 변위와 $t=6$ 까지 이동한 총 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose that a particle moves along a straight line with velocity defined by $v(t)={t}^{2}-3t-18,$ where $0\le t\le 6$ (in meters per second). Find the displacement at time t and the total distance traveled up to $t=6.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 72번

# 정적분의 뜻과 성질활용자동 분류

적분 전체 문제