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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 적분

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48문제 · 1 / 3쪽

1.OpenStax 1권 · 6.1절 · 13번우리말 풀이

다음 문제에서 방정식의 그래프를 그리고 두 곡선 사이 영역에 색칠하세요. xx축에 대해 적분하여 그 넓이를 구하세요.

y=∣x∣y=|x|와 y=x2y=x^2

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the equations and shade the area of the region between the curves. Determine its area by integrating over the x-axis.x\text{-axis}.

y=∣x∣ and y=x2y=|x|\,\text{and}\,y={x}^{2}

풀이 보기

교점으로 구간을 정하고, 그 구간에서 위쪽 식에서 아래쪽 식을 뺀 것을 적분해요. 좌우 대칭이면 한쪽만 구해 두 배 해요.

  1. 1

    그림에서 직선 모양의 y=∣x∣y=|x|가 위에, 포물선 y=x2y=x^2이 아래에 있고 둘로 둘러싸인 부분이 색칠된 영역이에요. 교점은 ∣x∣=x2|x|=x^2에서 x=−1, 0, 1x=-1,\,0,\,1이에요.

  2. 2

    두 그래프는 yy축에 대해 대칭이므로 0≤x≤10\le x\le1 부분의 넓이를 구해 두 배 해요. 이 구간에서 ∣x∣=x|x|=x이므로 (위)−(아래)는 x−x2x-x^2이에요.

  3. 3

    ∫01(x−x2) dx=[x22−x33]01=12−13=16\int_0^1(x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16

  4. 4

    두 배 하면 2⋅16=132\cdot\frac16=\frac13이에요.

답

13\frac13

자주 하는 실수

00부터 11까지만 구하고 두 배 하는 것을 잊어 16\frac16이라고 답해요.

원본 교재 풀이(영어)

This figure is has two graphs. They are the functions f(x)=x^2 and g(x)=absolute value of x. There are two shaded regions. The first region is in the second quadrant and is between g(x) above and f(x) below. The second region is in the first quadrant and is bounded above by g(x) and below by f(x).

13\frac{1}{3}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.1절 · 55번
# 두 곡선 사이의 넓이그래프·표 해석보통
2.OpenStax 1권 · 5.2절 · 11번우리말 번역

다음 연습문제에서, 삼각형과 원의 넓이 공식을 이용하고 x축 아래쪽의 넓이는 빼서, 그래프로 주어진 함수의 적분 값을 구하세요.

x축 위에 놓인 세 원의 위쪽 반원을 나타낸 그래프이다. 첫 번째 반원은 중심이 (1,0)이고 반지름이 1이다. 이 반원은 구간 (0,2)에서 함수 √(2x – x^2)에 해당한다. 두 번째 반원은 중심이 (4,0)이고 반지름이 2이다. 이 반원은 구간 (2,6)에서 함수 √(-12 + 8x – x^2)에 해당한다. 마지막 반원은 중심이 (9,0)이고 반지름이 3이다. 이 반원은 구간 (6,12)에서 함수 √(-72 + 18x – x^2)에 해당한다. 세 반원 모두 곡선 아래쪽이고 x축 위쪽인 영역이 색칠되어 있다.

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the integrals of the functions graphed using the formulas for areas of triangles and circles, and subtracting the areas below the x-axis.

A graph containing the upper half of three circles on the x axis. The first has center at (1,0) and radius one. It corresponds to the function sqrt(2x – x^2) over (0,2). The second has center at (4,0) and radius two. It corresponds to the function sqrt(-12 + 8x – x^2) over (2,6). The last has center at (9,0) and radius three. It corresponds to the function sqrt(-72 + 18x – x^2) over (6,12). All three semi circles are shaded – the area under the curve and above the x axis.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 1번
# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
3.OpenStax 1권 · 5.2절 · 12번우리말 번역

다음 연습문제에서, 그래프로 주어진 함수의 정적분을 삼각형과 원의 넓이 공식을 이용하여 구하되, xx축 아래쪽의 넓이는 빼서 계산하세요.

세 개의 이등변삼각형이 그려진 그래프로, 각각 구간 (0,2)에서 함수 1 - |x-1|, 구간 (2,4)에서 함수 2 - |x-4|, 구간 (6,12)에서 함수 3 - |x-9|에 해당한다. 첫 번째 삼각형의 꼭짓점은 (0,0), (2,0), (1,1)이다. 두 번째 삼각형의 꼭짓점은 (2,0), (6,0), (4,2)이다. 마지막 삼각형의 꼭짓점은 (6,0), (12,0), (9,3)이다. 세 삼각형 모두 색칠되어 있다.

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the integrals of the functions graphed using the formulas for areas of triangles and circles, and subtracting the areas below the x-axis.

A graph of three isosceles triangles corresponding to the functions 1 - |x-1| over (0,2), 2 - |x-4| over (2,4), and 3 - |x-9| over (6,12). The first triangle has endpoints at (0,0), (2,0), and (1,1). The second triangle has endpoints at (2,0), (6,0), and (4,2). The last has endpoints at (6,0), (12,0), and (9,3). All three are shaded.

정답·풀이 보기

1+2⋅2+3⋅3=141+2\cdot 2+3\cdot 3=14

원본 교재 풀이(영어)

1+2⋅2+3⋅3=141+2\cdot 2+3\cdot 3=14

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 64번
# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
4.OpenStax 1권 · 5.2절 · 13번우리말 번역

다음 연습문제에서, 삼각형과 원의 넓이 공식을 이용하고 x축 아래쪽 부분의 넓이를 빼서, 그래프로 주어진 함수의 적분을 구하세요.

세 부분으로 이루어진 그래프이다. 첫 번째는 중심이 (1, 0)이고 반지름이 1인 원의 위쪽 반원으로, 구간 (0,2)에서 함수 √(2x – x^2)에 해당한다. 두 번째는 꼭짓점이 (2, 0), (6, 0), (4, -2)인 삼각형으로, 구간 (2, 6)에서 함수 |x-4| - 2에 해당한다. 마지막은 중심이 (9, 0)이고 반지름이 3인 원의 위쪽 반원으로, 구간 (6,12)에서 함수 √(-72 + 18x – x^2)에 해당한다. 세 부분 모두 색칠되어 있다.

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the integrals of the functions graphed using the formulas for areas of triangles and circles, and subtracting the areas below the x-axis.

A graph with three parts. The first is the upper half of a circle with center at (1, 0) and radius 1, which corresponds to the function sqrt(2x – x^2) over (0,2). The second is a triangle with endpoints at (2, 0), (6, 0), and (4, -2), which corresponds to the function |x-4| - 2 over (2, 6). The last is the upper half of a circle with center at (9, 0) and radius 3, which corresponds to the function sqrt(-72 + 18x – x^2) over (6,12). All three are shaded.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 20번
# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
5.OpenStax 1권 · 5.2절 · 14번우리말 번역

다음 문제에서, 삼각형과 원의 넓이 공식을 이용하고 x축 아래쪽 부분의 넓이는 빼서, 그래프로 주어진 함수의 적분의 값을 구하세요.

색칠된 삼각형 세 개가 있는 그래프이다. 첫 번째는 꼭짓점이 (0, 0), (2, 0), (1, 1)이며 (0, 2)에서 함수 1 - |x-1|에 해당한다. 두 번째는 꼭짓점이 (2, 0), (6, 0), (4, -2)이며 (2, 6)에서 함수 |x-4| - 2에 해당한다. 세 번째는 꼭짓점이 (6, 0), (12, 0), (9, 3)이며 (6, 12)에서 함수 3 - |x-9|에 해당한다.

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the integrals of the functions graphed using the formulas for areas of triangles and circles, and subtracting the areas below the x-axis.

A graph of three shaded triangles. The first has endpoints at (0, 0), (2, 0), and (1, 1) and corresponds to the function 1 - |x-1| over (0, 2). The second has endpoints at (2, 0), (6, 0), and (4, -2) and corresponds to the function |x-4| - 2 over (2, 6). The third has endpoints at (6, 0), (12, 0), and (9, 3) and corresponds to the function 3 - |x-9| over (6, 12).

정답·풀이 보기

1−4+9=61-4+9=6

원본 교재 풀이(영어)

1−4+9=61-4+9=6

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 66번
# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
6.OpenStax 1권 · 5.2절 · 15번우리말 번역

다음 연습문제에서, 삼각형과 원의 넓이 공식을 이용하고 x축 아래쪽의 넓이를 빼서, 그래프로 주어진 함수의 적분의 값을 구하세요.

세 부분이 색칠된 그래프이다. 첫 번째는 중심이 (1, 0)이고 반지름이 1인 원의 위쪽 절반이다. 이것은 구간 (0, 2)에서 함수 (2x – x^2)의 제곱근에 해당한다. 두 번째는 중심이 (4, 0)이고 반지름이 2인 원의 아래쪽 절반이며, 구간 (2, 6)에서 함수 (-12 + 8x – x^2)의 제곱근에 음의 부호를 붙인 것에 해당한다. 마지막은 중심이 (9, 0)이고 반지름이 3인 원의 위쪽 절반이다. 이것은 구간 (6, 12)에서 함수 (-72 + 18x – x^2)의 제곱근에 해당한다.

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the integrals of the functions graphed using the formulas for areas of triangles and circles, and subtracting the areas below the x-axis.

A graph with three shaded parts. The first is the upper half of a circle with center at (1, 0) and radius one. It corresponds to the function sqrt(2x – x^2) over (0, 2). The second is the lower half of a circle with center at (4, 0) and radius two, which corresponds to the function -sqrt(-12 + 8x – x^2) over (2, 6). The last is the upper half of a circle with center at (9, 0) and radius three. It corresponds to the function sqrt(-72 + 18x – x^2) over (6, 12).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 54번
# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
7.OpenStax 1권 · 5.2절 · 16번우리말 번역

다음 연습문제에서, 삼각형과 원의 넓이 공식을 이용하고 x축 아래쪽의 넓이는 빼서, 그래프로 나타낸 함수의 적분의 값을 구하세요.

색칠된 부분이 세 개인 그래프이다. 첫 번째는 꼭짓점이 (0, 0), (2, 0), (1, 1)인 삼각형으로, 제1사분면에서 구간 (0, 2)에서의 함수 1 - |x-1|에 해당한다. 두 번째는 중심이 (4, 0)이고 반지름이 2인 원의 아랫반쪽으로, 구간 (2, 6)에서의 함수 –(−12 + 8x – x^2의 제곱근)에 해당한다. 마지막은 꼭짓점이 (6, 0), (12, 0), (9, 3)인 삼각형으로, 구간 (6, 12)에서의 함수 3 - |x-9|에 해당한다.

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the integrals of the functions graphed using the formulas for areas of triangles and circles, and subtracting the areas below the x-axis.

A graph with three shaded parts. The first is a triangle with endpoints at (0, 0), (2, 0), and (1, 1), which corresponds to the function 1 - |x-1| over (0, 2) in quadrant 1. The second is the lower half of a circle with center at (4, 0) and radius two, which corresponds to the function –sqrt(-12 + 8x – x^2) over (2, 6). The last is a triangle with endpoints at (6, 0), (12, 0), and (9, 3), which corresponds to the function 3 - |x-9| over (6, 12).

정답·풀이 보기

1−2π+9=10−2π1-2\pi +9=10-2\pi

원본 교재 풀이(영어)

1−2π+9=10−2π1-2\pi +9=10-2\pi

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 60번
# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
8.OpenStax 1권 · 5.2절 · 37번우리말 번역

다음 연습문제에서, f(x)f(x) 와 x축 사이의 부호 있는 넓이의 합을 구하세요.

∫13(2−x)dx{\int }_{1}^{3}(2-x)dx (힌트: f 의 그래프를 보세요.)

영어 원문 보기

In the following exercises, find the net signed area between f(x)f(x) and the x-axis.

∫13(2−x)dx{\int }_{1}^{3}(2-x)dx (Hint: Look at the graph of f.)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 58번
# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
9.OpenStax 1권 · 5.2절 · 38번우리말 번역

다음 연습문제에서, f(x)f(x) 와 x축 사이의 부호 있는 넓이의 합을 구하세요.

∫24(x−3)3dx{\int }_{2}^{4}{(x-3)}^{3}dx (힌트: f 의 그래프를 보세요.)

영어 원문 보기

In the following exercises, find the net signed area between f(x)f(x) and the x-axis.

∫24(x−3)3dx{\int }_{2}^{4}{(x-3)}^{3}dx (Hint: Look at the graph of f.)

정답·풀이 보기

피적분함수는 x=3x=3 에 대해 반대칭이다. 적분값은 0이다.

원본 교재 풀이(영어)

The integrand is antisymmetric with respect to x=3.x=3. The integral is zero.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 35번
# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
10.OpenStax 1권 · 5.2절 · 82번우리말 번역

주어진 sin⁡(2πx)\sin (2\pi x) 의 그래프를 보고 다음을 설명하세요.

a. ∫01sin⁡(2πt)dt=0{\int }_{0}^{1}\sin (2\pi t)dt=0 인 이유를 설명하세요. b. 일반적으로 임의의 a 의 값에 대해 ∫aa+1sin⁡(2πt)dt=0{\int }_{a}^{a+1}\sin (2\pi t)dt=0 인 이유를 설명하세요. (0, 2) 에서 함수 f(x) = sin(2pi*x) 의 그래프이다. 구간 (.7, 1) 에서는 곡선 위쪽과 x축 아래쪽 사이가, 구간 (1,1.5) 에서는 곡선 아래쪽과 x축 위쪽 사이가, 구간 (1.5, 1.7) 에서는 곡선 위쪽과 x축 아래쪽 사이가 색칠되어 있다. 이 그래프는 (0,1) 에서 t = ½ 에 대해 반대칭이다.

영어 원문 보기

From the graph of sin⁡(2πx)\sin (2\pi x) shown:

a. Explain why ∫01sin⁡(2πt)dt=0.{\int }_{0}^{1}\sin (2\pi t)dt=0. b. Explain why, in general, ∫aa+1sin⁡(2πt)dt=0{\int }_{a}^{a+1}\sin (2\pi t)dt=0 for any value of a. A graph of the function f(x) = sin(2pi*x) over (0, 2). The function is shaded over (.7, 1) above the curve and below to x axis, over (1,1.5) under the curve and above the x axis, and over (1.5, 1.7) above the curve and under the x axis. The graph is antisymmetric with respect o t = ½ over (0,1).

정답·풀이 보기

a. 그래프는 [0,1][0,1] 에서 t=12t=\frac{1}{2} 에 대해 반대칭이므로 평균값이 0이다. b. a 의 값이 무엇이든 [a,a+1][a,a+1] 에서의 그래프는 [0,1][0,1] 에서의 그래프를 평행이동한 것이므로, 축 위쪽과 아래쪽의 순넓이가 변하지 않아 평균값은 여전히 0이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. The graph is antisymmetric with respect to t=12t=\frac{1}{2} over [0,1],[0,1], so the average value is zero. b. For any value of a, the graph between [a,a+1][a,a+1] is a shift of the graph over [0,1],[0,1], so the net areas above and below the axis do not change and the average remains zero.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 80번
# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
11.OpenStax 1권 · 5.3절 · 17번우리말 번역

여기에 y=∫0xf(t)dty={\int }_{0}^{x}f(t)dt 의 그래프가 나와 있습니다. 단, f 는 구간별 상수함수입니다.

점 (0, 0), (1, 3), (2, 2), (3, 0), (4, 3), (5, 3), (6, 2)를 지나는 선분들로 이루어진 함수의 그래프이다. 함수의 그래프 아래쪽과 x축 위쪽 사이의 영역에 색이 칠해져 있다.

a. f 가 양수인 구간은 어디입니까? 음수인 구간은 어디입니까? 0과 같은 구간이 있다면 어디입니까? b. f 의 최댓값과 최솟값은 각각 얼마입니까? c. f 의 평균값은 얼마입니까?

영어 원문 보기

The graph of y=∫0xf(t)dt,y={\int }_{0}^{x}f(t)dt, where f is a piecewise constant function, is shown here.

A function with linear segments which goes through the points (0, 0), (1, 3), (2, 2), (3, 0), (4, 3), (5, 3), and (6, 2). The area under the function and above the x axis is shaded.

a. Over which intervals is f positive? Over which intervals is it negative? Over which intervals, if any, is it equal to zero? b. What are the maximum and minimum values of f? c. What is the average value of f?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 49번
# 미적분의 기본정리그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
12.OpenStax 1권 · 5.3절 · 18번우리말 번역

y=∫0xf(t)dty={\int }_{0}^{x}f(t)dt 의 그래프가 여기에 나와 있다. 여기서 f 는 구간별 상수 함수이다.

선분으로 이루어진 함수의 그래프가 점 (0, 0), (1, -1), (2, 1), (3, 1), (4, -2), (5, -2), (6, 0)을 지난다. 구간 (0, 1.5)와 (3.25, 6)에서 함수의 그래프 위쪽이면서 x축 아래쪽인 영역에 색이 칠해져 있다. 구간 (1.5, 3.25)에서 함수의 그래프 아래쪽이면서 x축 위쪽인 영역에 색이 칠해져 있다.

a. f 가 양수인 구간을 구하세요. 음수인 구간을 구하세요. 0인 구간이 있다면 구하세요. b. f 의 최댓값과 최솟값을 구하세요. c. f 의 평균값을 구하세요.

영어 원문 보기

The graph of y=∫0xf(t)dt,y={\int }_{0}^{x}f(t)dt, where f is a piecewise constant function, is shown here.

A graph of a function with linear segments that goes through the points (0, 0), (1, -1), (2, 1), (3, 1), (4, -2), (5, -2), and (6, 0). The area over the function but under the x axis over the interval (0, 1.5) and (3.25, 6) is shaded. The area under the function but over the x axis over the interval (1.5, 3.25) is shaded.

a. Over which intervals is f positive? Over which intervals is it negative? Over which intervals, if any, is it equal to zero? b. What are the maximum and minimum values of f? c. What is the average value of f?

정답·풀이 보기

a. f 는 (1,2)(1,2) 와 (5,6)(5,6) 에서 양수이고, (0,1)(0,1) 과 (3,4)(3,4) 에서 음수이며, (2,3)(2,3) 과 (4,5)(4,5) 에서 0이다. b. 최댓값은 2이고 최솟값은 −3이다. c. 평균값은 0이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. f is positive over (1,2)(1,2) and (5,6),(5,6), negative over (0,1)(0,1) and (3,4),(3,4), and zero over (2,3)(2,3) and (4,5).(4,5). b. The maximum value is 2 and the minimum is −3. c. The average value is 0.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.3절 · 58번
# 미적분의 기본정리그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
13.OpenStax 1권 · 5.3절 · 19번우리말 번역

y=∫0xℓ(t)dty={\int }_{0}^{x}\ell (t)dt 의 그래프가 여기에 나와 있다. 여기서 ℓ 은 구간별로 정의된 일차함수이다.

함수의 그래프가 점 (0, 0), (1, -1), (2, 1), (3, 3), (4, 3.5), (5, 4), (6, 2)를 지난다. 구간 (0, 1.8)에서 함수의 그래프 위쪽이면서 x축 아래쪽인 영역에 색이 칠해져 있고, 함수의 그래프 아래쪽이면서 x축 위쪽인 영역에도 색이 칠해져 있다.

a. ℓ 이 양수인 구간을 구하세요. 음수인 구간을 구하세요. 0인 구간이 있다면 구하세요. b. ℓ 이 증가하는 구간을 구하세요. 감소하는 구간을 구하세요. 상수인 구간이 있다면 구하세요. c. ℓ 의 평균값을 구하세요.

영어 원문 보기

The graph of y=∫0xℓ(t)dt,y={\int }_{0}^{x}\ell (t)dt, where ℓ is a piecewise linear function, is shown here.

A graph of a function which goes through the points (0, 0), (1, -1), (2, 1), (3, 3), (4, 3.5), (5, 4), and (6, 2). The area over the function and under the x axis over (0, 1.8) is shaded, and the area under the function and over the x axis is shaded.

a. Over which intervals is ℓ positive? Over which intervals is it negative? Over which, if any, is it zero? b. Over which intervals is ℓ increasing? Over which is it decreasing? Over which, if any, is it constant? c. What is the average value of ℓ?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.3절 · 50번
# 미적분의 기본정리그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
14.OpenStax 1권 · 5.3절 · 20번우리말 번역

y=∫0xℓ(t)dty={\int }_{0}^{x}\ell (t)dt 의 그래프가 여기에 나와 있다. 여기서 ℓ 은 구간별로 정의된 일차함수이다.

함수의 그래프가 점 (0, 0), (1, 1), (2, 0), (3, -1), (4.5, 0), (5, 1), (6, 2)를 지난다. 구간 (0, 2)와 (4.5, 6)에서 함수의 그래프 아래쪽이면서 x축 위쪽인 영역에 색이 칠해져 있다. 구간 (2, 2.5)에서 함수의 그래프 위쪽이면서 x축 아래쪽인 영역에 색이 칠해져 있다.

a. ℓ 이 양수인 구간을 구하세요. 음수인 구간을 구하세요. 0인 구간이 있다면 구하세요. b. ℓ 이 증가하는 구간을 구하세요. 감소하는 구간을 구하세요. 상수인 구간이 있다면 구하세요. c. ℓ 의 평균값을 구하세요.

영어 원문 보기

The graph of y=∫0xℓ(t)dt,y={\int }_{0}^{x}\ell (t)dt, where ℓ is a piecewise linear function, is shown here.

A graph of a function that goes through the points (0, 0), (1, 1), (2, 0), (3, -1), (4.5, 0), (5, 1), and (6, 2). The area under the function and over the x axis over the intervals (0, 2) and (4.5, 6) is shaded. The area over the function and under the x axis over the interval (2, 2.5) is shaded.

a. Over which intervals is ℓ positive? Over which intervals is it negative? Over which, if any, is it zero? b. Over which intervals is ℓ increasing? Over which is it decreasing? Over which intervals, if any, is it constant? c. What is the average value of ℓ?

정답·풀이 보기

a. ℓ 은 (0,1)(0,1) 과 (3,6)(3,6) 에서 양수이고, (1,3)(1,3) 에서 음수이다. b. (0,1)(0,1) 과 (3,5)(3,5) 에서 증가하고, (1,3)(1,3) 과 (5,6)(5,6) 에서 상수이다. c. 평균값은 13\frac{1}{3} 이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. ℓ is positive over (0,1)(0,1) and (3,6),(3,6), and negative over (1,3).(1,3). b. It is increasing over (0,1)(0,1) and (3,5),(3,5), and it is constant over (1,3)(1,3) and (5,6).(5,6). c. Its average value is 13.\frac{1}{3}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 10번
# 미적분의 기본정리그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
15.OpenStax 1권 · 5.3절 · 59번우리말 번역

케플러의 제1법칙에 따르면 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 따라 움직인다. 행성 궤도에서 태양에 가장 가까운 점을 근일점(지구의 경우 현재 1월 3일경에 지난다)이라 하고, 가장 먼 점을 원일점(지구의 경우 현재 7월 4일경에 지난다)이라 한다. 케플러의 제2법칙에 따르면 행성은 같은 시간 동안 타원 궤도에서 같은 넓이를 쓸고 지나간다. 따라서 다음 그림에 표시된 두 호는 같은 시간 동안 쓸고 지나간 것이다. 지구는 일 년 중 언제 궤도에서 가장 빠르게 움직이나요? 언제 가장 느리게 움직이나요?

초점 하나가 표시된 가로로 놓인 타원이다. 초점의 바로 왼쪽과 타원의 반대쪽에 길이가 같은 두 호가 표시되어 있다. 초점과 두 호의 양 끝점으로 이루어진 부채꼴 모양의 부분은 각각 파란색으로 칠해져 있다.

영어 원문 보기

Kepler’s first law states that the planets move in elliptical orbits with the Sun at one focus. The closest point of a planetary orbit to the Sun is called the perihelion (for Earth, it currently occurs around January 3) and the farthest point is called the aphelion (for Earth, it currently occurs around July 4). Kepler’s second law states that planets sweep out equal areas of their elliptical orbits in equal times. Thus, the two arcs indicated in the following figure are swept out in equal times. At what time of year is Earth moving fastest in its orbit? When is it moving slowest?

A horizontal ellipse with one focus marked. Two equal arcs are marked to the direct left of the focus and on the other side of the ellipse. The wedges formed by the focus and the endpoints of both arcs are shaded in blue.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5장 복습 · 9번
# 미적분의 기본정리그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
16.OpenStax 1권 · 5.4절 · 27번우리말 번역

다음 표는 어느 도시에서 평상시 하루 24시간 동안 시간대별로 사용한 전력을 기가와트 단위로 나타낸 것이다. 전력은 에너지가 소비되는 비율이며, 1시는 자정부터 오전 1시까지에 해당한다.

시간 전력 시간 전력
1 28 13 48
2 25 14 49
3 24 15 49
4 23 16 50
5 24 17 50
6 27 18 50
7 29 19 46
8 32 20 43
9 34 21 42
10 39 22 40
11 42 23 37
12 46 24 34

이 도시가 평상시 하루 24시간 동안 소비하는 에너지의 총량을 기가와트시(gW-h) 단위로 구하세요.

영어 원문 보기

The following table lists the electrical power in gigawatts—the rate at which energy is consumed—used in a certain city for different hours of the day, in a typical 24-hour period, with hour 1 corresponding to midnight to 1 a.m.

Hour Power Hour Power
1 28 13 48
2 25 14 49
3 24 15 49
4 23 16 50
5 24 17 50
6 27 18 50
7 29 19 46
8 32 20 43
9 34 21 42
10 39 22 40
11 42 23 37
12 46 24 34

Find the total amount of energy in gigawatt-hours (gW-h) consumed by the city in a typical 24-hour period.

정답·풀이 보기

하루 총 전력 소비량은 시간별 전력 소비율의 합으로 어림하며, 그 값은 911 gW-h이다.

원본 교재 풀이(영어)

The total daily power consumption is estimated as the sum of the hourly power rates, or 911 gW-h.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 15번
# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
17.OpenStax 1권 · 5.4절 · 28번우리말 번역

시간당 평균 가정용 전력 사용량(단위: 100와트)이 다음 표에 주어져 있습니다.

시간 전력 시간 전력
1 8 13 12
2 6 14 13
3 5 15 14
4 4 16 15
5 5 17 17
6 6 18 19
7 7 19 18
8 8 20 17
9 9 21 16
10 10 22 16
11 10 23 13
12 11 24 11

a. 하루 동안 사용한 평균 총 에너지를 킬로와트시(kWh) 단위로 구하세요. b. 석탄 1톤이 1842 kWh를 생산한다면, 평균적인 가정에서 석탄 1톤을 태우는 데 얼마나 걸리는지 구하세요. c. 이 자료가 p(t)=11.5−7.5sin⁡(πt12)p(t)=11.5-7.5\sin \left(\frac{\pi t}{12}\right) 꼴의 그래프에 들어맞을 수 있는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

The average residential electrical power use (in hundreds of watts) per hour is given in the following table.

Hour Power Hour Power
1 8 13 12
2 6 14 13
3 5 15 14
4 4 16 15
5 5 17 17
6 6 18 19
7 7 19 18
8 8 20 17
9 9 21 16
10 10 22 16
11 10 23 13
12 11 24 11

a. Compute the average total energy used in a day in kilowatt-hours (kWh). b. If a ton of coal generates 1842 kWh, how long does it take for an average residence to burn a ton of coal? c. Explain why the data might fit a plot of the form p(t)=11.5−7.5sin⁡(πt12).p(t)=11.5-7.5\sin \left(\frac{\pi t}{12}\right).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 4번
# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
18.OpenStax 1권 · 5.4절 · 30번우리말 번역

다음 표의 자료는 2012년 투르 드 프랑스 1구간에서 피터 사간이 낸 평균 출력을 15분 간격마다 어림하는 데 쓰입니다.

평균 출력

시간(분) 와트 시간(분) 와트
15 200 165 170
30 180 180 220
45 190 195 140
60 230 210 225
75 240 225 170
90 210 240 210
105 210 255 200
120 220 270 220
135 210 285 250
150 150 300 400

출처: 스포츠엑서사이즈엔지니어링닷컴

1W = 1 J/s 임을 이용하여, 사용한 순에너지를 킬로줄 단위로 어림하세요.

영어 원문 보기

The data in the following table are used to estimate the average power output produced by Peter Sagan for each 15-min interval of Stage 1 of the 2012 Tour de France.

Average Power Output

Minutes Watts Minutes Watts
15 200 165 170
30 180 180 220
45 190 195 140
60 230 210 225
75 240 225 170
90 210 240 210
105 210 255 200
120 220 270 220
135 210 285 250
150 150 300 400

Source: sportsexercisengineering.com

Estimate the net energy used in kilojoules, noting that 1W = 1 J/s.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 40번
# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
19.OpenStax 1권 · 5.4절 · 38번우리말 번역

[계산기 사용] 다음 표는 과세 소득에 따른 2013년 연방 소득세 일람표입니다.

과세 소득에 따른 연방 소득세

과세 소득 범위 세금은 … … 초과 금액에 대해
$0–$8925 10% $0
$8925–$36,250 $892.50 + 15% $8925
$36,250–$87,850 $4,991.25 + 25% $36,250
$87,850–$183,250 $17,891.25 + 28% $87,850
$183,250–$398,350 $44,603.25 + 33% $183,250
$398,350–$400,000 $115,586.25 + 35% $398,350
> $400,000 $116,163.75 + 39.6% $400,000

출처: http://www.irs.gov/pub/irs-prior/i1040tt--2013.pdf.

스티브가 방금 $10,000의 급여 인상을 받았다고 합시다. 인상 전 스티브의 연봉이 $40,000이었다면 이 인상액 중 연방세를 내고 남는 금액은 얼마인지 구하세요. 인상 전 연봉이 $90,000이었다면 얼마인지, $385,000이었다면 얼마인지도 구하세요.

영어 원문 보기

[T] The following table lists the 2013 schedule of federal income tax versus taxable income.

Federal Income Tax Versus Taxable Income

Taxable Income Range The Tax Is … … Of the Amount Over
$0–$8925 10% $0
$8925–$36,250 $892.50 + 15% $8925
$36,250–$87,850 $4,991.25 + 25% $36,250
$87,850–$183,250 $17,891.25 + 28% $87,850
$183,250–$398,350 $44,603.25 + 33% $183,250
$398,350–$400,000 $115,586.25 + 35% $398,350
> $400,000 $116,163.75 + 39.6% $400,000

Source: http://www.irs.gov/pub/irs-prior/i1040tt--2013.pdf.

Suppose that Steve just received a $10,000 raise. How much of this raise is left after federal taxes if Steve’s salary before receiving the raise was $40,000? If it was $90,000? If it was $385,000?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 15번
# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
20.OpenStax 1권 · 5.4절 · 39번우리말 번역

[계산기 사용] 다음 표는 어느 고속도로의 서비스 수준에 관한 가상의 자료이다.

고속도로 속력 범위 (mph) 차선당 시간당 차량 수 밀도 범위 (차량/mi)
> 60 < 600 < 10
60–57 600–1000 10–20
57–54 1000–1500 20–30
54–46 1500–1900 30–45
46–30 1900**–**2100 45–70
<30 불안정 70–200

a. 차선당 시간당 차량 수를 x축에, 고속도로 속력을 y축에 나타내세요. b. 혼잡도(차선당 시간당 차량 수)가 600에서 1000까지, 1000에서 1500까지, 1500에서 2100까지 증가할 때, 혼잡도 한 단위 증가에 따른 속력(시간당 마일)의 평균 감소량을 각각 계산하세요. 시간당 마일의 감소량은 차선당 시간당 차량 수의 증가량에 대해 선형적으로 의존하는지 판단하세요. c. 마일당 분(시간당 마일의 역수의 60배)을 차선당 시간당 차량 수의 함수로 나타내세요. 이 함수는 선형인지 판단하세요.

영어 원문 보기

[T] The following table provides hypothetical data regarding the level of service for a certain highway.

Highway Speed Range (mph) Vehicles per Hour per Lane Density Range (vehicles/mi)
> 60 < 600 < 10
60–57 600–1000 10–20
57–54 1000–1500 20–30
54–46 1500–1900 30–45
46–30 1900**–**2100 45–70
<30 Unstable 70–200

a. Plot vehicles per hour per lane on the x-axis and highway speed on the y-axis. b. Compute the average decrease in speed (in miles per hour) per unit increase in congestion (vehicles per hour per lane) as the latter increases from 600 to 1000, from 1000 to 1500, and from 1500 to 2100. Does the decrease in miles per hour depend linearly on the increase in vehicles per hour per lane? c. Plot minutes per mile (60 times the reciprocal of miles per hour) as a function of vehicles per hour per lane. Is this function linear?

정답·풀이 보기

a.

주어진 자료를 나타낸 그래프로, 600에서 2200까지 대체로 위로 볼록한 모양으로 감소한다.

b. 600과 1000 사이에서 차선당 시간당 차량 수에 대한 평균 감소량은 −0.0075이다. 1000과 1500 사이에서는 차선당 시간당 차량 수당 −0.006이고, 1500과 2100 사이에서는 차선당 시간당 차량 수당 −0.04이다. c.

주어진 자료의 그래프로, 시간당 차량 수가 2000에 가까워질수록 마일당 분이 급격히 증가함을 보여 준다.

그래프는 비선형이며, 차선당 시간당 차량 수가 2000에 가까워질수록 마일당 분이 급격히 증가한다.

원본 교재 풀이(영어)

a.

A plot of the given data, which decreases in a roughly concave down manner from 600 to 2200.

b. Between 600 and 1000 the average decrease in vehicles per hour per lane is −0.0075. Between 1000 and 1500 it is −0.006 per vehicles per hour per lane, and between 1500 and 2100 it is −0.04 vehicles per hour per lane. c.

A graph of given data, showing that minutes per mile increases dramatically as wehicles per hour reaches 2000.

The graph is nonlinear, with minutes per mile increasing dramatically as vehicles per hour per lane reach 2000.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 41번
# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)