문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

반복적분과 직사각형 영역의 이중적분

직사각형 영역에서 이중적분을 반복적분으로 계산한다

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

6문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 3권 · 5.1절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, $m=4$ 와 $n=2$ 인 중점 규칙을 사용하여 곡면 $z=f(x,y)$ , 수직 평면 $x=1,$ $x=2,$ $y=1,$ $y=2$ , 그리고 수평 평면 $z=0$ 으로 둘러싸인 입체의 부피를 어림하세요.

$f(x,y)=4x+2y+8xy$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the midpoint rule with $m=4$ and $n=2$ to estimate the volume of the solid bounded by the surface $z=f(x,y),$ the vertical planes $x=1,$ $x=2,$ $y=1,$ and $y=2,$ and the horizontal plane $z=0.$

$f(x,y)=4x+2y+8xy$

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원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 7번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분활용자동 분류

2.OpenStax 3권 · 5.1절 · 2번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, $m=4$ 와 $n=2$ 인 중점 규칙을 사용하여 곡면 $z=f(x,y)$ , 수직 평면 $x=1,$ $x=2,$ $y=1,$ $y=2$ , 그리고 수평 평면 $z=0$ 으로 둘러싸인 입체의 부피를 어림하세요.

$f(x,y)=16{x}^{2}+\frac{y}{2}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the midpoint rule with $m=4$ and $n=2$ to estimate the volume of the solid bounded by the surface $z=f(x,y),$ the vertical planes $x=1,$ $x=2,$ $y=1,$ and $y=2,$ and the horizontal plane $z=0.$

$f(x,y)=16{x}^{2}+\frac{y}{2}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 7번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분활용자동 분류

3.OpenStax 3권 · 5.1절 · 49번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 함수 f는 이중적분으로 주어져 있습니다.

a. 함수 f의 명시적인 식을 구하세요. b. 곡면 $z=f(x,y)$ 아래쪽과 영역 R 위쪽에 있는 입체의 부피를 구하세요. c. R에서 함수 f의 평균값을 구하세요. d. 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 $z=f(x,y)$ 와 $z={f}_{\text{ave}}$ 의 그래프를 같은 좌표계에 그리세요.

[계산기 사용] $f(x,y)=\int_{0}^{y}\,\int_{0}^{x}(xs+yt)ds\,dt$ , 단, $(x,y)\in R=[0,1]\,\times \,[0,1]$

영어 원문 보기

In the following exercises, the function f is given in terms of double integrals.

a. Determine the explicit form of the function f. b. Find the volume of the solid under the surface $z=f(x,y)$ and above the region R. c. Find the average value of the function f on R. d. Use a computer algebra system (CAS) to plot $z=f(x,y)$ and $z={f}_{\text{ave}}$ in the same system of coordinates.

[T] $f(x,y)=\int_{0}^{y}\,\int_{0}^{x}(xs+yt)ds\,dt,$ where $(x,y)\in R=[0,1]\,\times \,[0,1]$

정답·풀이 보기

a. $f(x,y)=\frac{1}{2}xy({x}^{2}+{y}^{2})$ b. $V=\int_{0}^{1}\,\int_{0}^{1}f(x,y)dx\,dy=\frac{1}{8}$ c. ${f}_{\text{ave}}=\frac{1}{8};$

좌표공간에서 z 좌표가 1/8인 평면이 있고, 원점에서 시작하여 점 (1, 0.25, 0.125)에서 점 (0.25, 1, 0.125)까지 대략 이어지는 선을 따라 그 평면을 뚫고 올라가다가, 점 (1, 1, 1)까지 급격히 증가하는 또 다른 도형이 있다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $f(x,y)=\frac{1}{2}xy({x}^{2}+{y}^{2})$ b. $V=\int_{0}^{1}\,\int_{0}^{1}f(x,y)dx\,dy=\frac{1}{8}$ c. ${f}_{\text{ave}}=\frac{1}{8};$

In xyz space, a plane is formed at z = 1/8, and there is another shape that starts at the origin, increases through the plane in a line roughly running from (1, 0.25, 0.125) to (0.25, 1, 0.125), and then rapidly increases to (1, 1, 1).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 33번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분활용자동 분류

4.OpenStax 3권 · 5.1절 · 50번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 함수 f 는 이중적분으로 주어져 있다.

a. 함수 f 의 명시적인 식을 구하세요. b. 곡면 $z=f(x,y)$ 아래이면서 영역 R 위에 있는 입체의 부피를 구하세요. c. R 에서 함수 f 의 평균값을 구하세요. d. 컴퓨터 대수 시스템(CAS)을 사용하여 $z=f(x,y)$ 와 $z={f}_{\text{ave}}$ 를 같은 좌표계에 그리세요.

[계산기 사용] $f(x,y)=\int_{0}^{x}\,\int_{0}^{y}[\cos (s)+\cos (t)]dt\,ds$ , 여기서 $(x,y)\in R=[0,3]\,\times \,[0,3]$ 이다.

영어 원문 보기

In the following exercises, the function f is given in terms of double integrals.

a. Determine the explicit form of the function f. b. Find the volume of the solid under the surface $z=f(x,y)$ and above the region R. c. Find the average value of the function f on R. d. Use a computer algebra system (CAS) to plot $z=f(x,y)$ and $z={f}_{\text{ave}}$ in the same system of coordinates.

[T] $f(x,y)=\int_{0}^{x}\,\int_{0}^{y}[\cos (s)+\cos (t)]dt\,ds,$ where $(x,y)\in R=[0,3]\,\times \,[0,3]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 5번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분활용자동 분류

5.OpenStax 3권 · 5.1절 · 55번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 함수 ${f}_{n}$ 이 주어져 있다. 여기서 $n\ge 1$ 은 자연수이다.

a. 곡면 $z={f}_{n}(x,y)$ 아래쪽과 영역 R 위쪽에 있는 입체 ${S}_{n}$ 의 부피를 구하세요. b. n 이 한없이 커질 때 입체 ${S}_{n}$ 의 부피의 극한을 구하세요.

${f}_{n}(x,y)={x}^{n}+{y}^{n}+xy,(x,y)\in R=[0,1]\,\times \,[0,1]$

영어 원문 보기

In the following exercises, the functions ${f}_{n}$ are given, where $n\ge 1$ is a natural number.

a. Find the volume of the solids ${S}_{n}$ under the surfaces $z={f}_{n}(x,y)$ and above the region R. b. Determine the limit of the volumes of the solids ${S}_{n}$ as n increases without bound.

${f}_{n}(x,y)={x}^{n}+{y}^{n}+xy,(x,y)\in R=[0,1]\,\times \,[0,1]$

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(a)

(b)

정답·풀이 보기

a. $\frac{2}{n+1}+\frac{1}{4}$ b. $\frac{1}{4}$

원본 교재 풀이(영어)

a. $\frac{2}{n+1}+\frac{1}{4}$ b. $\frac{1}{4}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 29번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분활용자동 분류

6.OpenStax 3권 · 5.1절 · 56번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 함수 ${f}_{n}$ 이 주어져 있다. 여기서 $n\ge 1$ 은 자연수이다.

a. 곡면 $z={f}_{n}(x,y)$ 아래쪽과 영역 R 위쪽에 있는 입체 ${S}_{n}$ 의 부피를 구하세요. b. n 이 한없이 커질 때 입체 ${S}_{n}$ 의 부피의 극한을 구하세요.

${f}_{n}(x,y)=\frac{1}{{x}^{n}}+\frac{1}{{y}^{n}},(x,y)\in R=[1,2]\,\times \,[1,2]$

영어 원문 보기

In the following exercises, the functions ${f}_{n}$ are given, where $n\ge 1$ is a natural number.

a. Find the volume of the solids ${S}_{n}$ under the surfaces $z={f}_{n}(x,y)$ and above the region R. b. Determine the limit of the volumes of the solids ${S}_{n}$ as n increases without bound.

${f}_{n}(x,y)=\frac{1}{{x}^{n}}+\frac{1}{{y}^{n}},(x,y)\in R=[1,2]\,\times \,[1,2]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 49번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분활용자동 분류