빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

반복적분과 직사각형 영역의 이중적분

직사각형 영역에서 이중적분을 반복적분으로 계산한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

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23문제 · 1 / 2쪽

1.OpenStax 3권 · 5.1절 · 5번대학 수준우리말 번역

$m=n=2$ 인 중점 규칙을 사용하여 $\iint_{R}f(x,y)dA$ 의 값을 어림하세요. 여기서 $R=[8,10]\,\times \,[9,11]$ 에서 함수 f 의 값은 다음 표와 같다.


	y
x	9	9.5	10	10.5	11
8	9.8	5	6.7	5	5.6
8.5	9.4	4.5	8	5.4	3.4
9	8.7	4.6	6	5.5	3.4
9.5	6.7	6	4.5	5.4	6.7
10	6.8	6.4	5.5	5.7	6.8

영어 원문 보기

Use the midpoint rule with $m=n=2$ to estimate $\iint_{R}f(x,y)dA,$ where the values of the function f on $R=[8,10]\,\times \,[9,11]$ are given in the following table.


	y
x	9	9.5	10	10.5	11
8	9.8	5	6.7	5	5.6
8.5	9.4	4.5	8	5.4	3.4
9	8.7	4.6	6	5.5	3.4
9.5	6.7	6	4.5	5.4	6.7
10	6.8	6.4	5.5	5.7	6.8

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

21.3.

원본 교재 풀이(영어)

21.3.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 31번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

2.OpenStax 3권 · 5.1절 · 6번대학 수준우리말 번역

직사각형 $R=[0,2]\,\times \,[7,9]$ 에서 함수 f 의 값은 다음 표와 같습니다. $m=n=2$ 인 리만 합을 사용하여 이중적분 $\iint_{R}f(x,y)dA$ 를 어림하세요. 표본점은 R 의 각 작은 정사각형의 오른쪽 위 꼭짓점으로 선택하세요.


	${y}_{0}=7$	${y}_{1}=8$	${y}_{2}=9$
${x}_{0}=0$	10.22	10.21	9.85
${x}_{1}=1$	6.73	9.75	9.63
${x}_{2}=2$	5.62	7.83	8.21

영어 원문 보기

The values of the function f on the rectangle $R=[0,2]\,\times \,[7,9]$ are given in the following table. Estimate the double integral $\iint_{R}f(x,y)dA$ by using a Riemann sum with $m=n=2.$ Select the sample points to be the upper right corners of the subsquares of R.


	${y}_{0}=7$	${y}_{1}=8$	${y}_{2}=9$
${x}_{0}=0$	10.22	10.21	9.85
${x}_{1}=1$	6.73	9.75	9.63
${x}_{2}=2$	5.62	7.83	8.21

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 33번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

3.OpenStax 3권 · 5.1절 · 7번대학 수준우리말 번역

가로 4피트, 세로 4피트인 어린이용 수영장의 깊이를 1피트 간격으로 측정한 값이 다음 표와 같다.

a. $m=n=2$ 인 리만 합을 이용하여 수영장에 담긴 물의 부피를 어림하세요. 표본점은 $R=[0,4]\,\times \,[0,4]$ 에서 중점 규칙을 사용하여 선택하세요. b. 수영장의 평균 깊이를 근삿값으로 구하세요.


	y
x	0	1	2	3	4
0	1	1.5	2	2.5	3
1	1	1.5	2	2.5	3
2	1	1.5	1.5	2.5	3
3	1	1	1.5	2	2.5
4	1	1	1	1.5	2

영어 원문 보기

The depth of a children’s 4-ft by 4-ft swimming pool, measured at 1-ft intervals, is given in the following table.

a. Estimate the volume of water in the swimming pool by using a Riemann sum with $m=n=2.$ Select the sample points using the midpoint rule on $R=[0,4]\,\times \,[0,4].$ b. Approximate the average depth of the swimming pool.


	y
x	0	1	2	3	4
0	1	1.5	2	2.5	3
1	1	1.5	2	2.5	3
2	1	1.5	1.5	2.5	3
3	1	1	1.5	2	2.5
4	1	1	1	1.5	2

정답·풀이 보기

a. 28 ${\text{ft}}^{3}$ b. 1.75 ft.

원본 교재 풀이(영어)

a. 28 ${\text{ft}}^{3}$ b. 1.75 ft.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 5번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

4.OpenStax 3권 · 5.1절 · 8번대학 수준우리말 번역

땅에 판 3-ft × 3-ft 구덩이의 깊이를 1-ft 간격으로 측정한 값이 다음 표와 같다.

a. 표본점을 R 의 부분 정사각형의 왼쪽 위 꼭짓점으로 하고 $m=n=3$ 인 리만 합을 이용하여 구덩이의 부피를 어림하세요. b. 구덩이의 평균 깊이를 어림하세요.


	y
x	0	1	2	3
0	6	6.5	6.4	6
1	6.5	7	7.5	6.5
2	6.5	6.7	6.5	6
3	6	6.5	5	5.6

영어 원문 보기

The depth of a 3-ft by 3-ft hole in the ground, measured at 1-ft intervals, is given in the following table.

a. Estimate the volume of the hole by using a Riemann sum with $m=n=3$ and the sample points to be the upper left corners of the subsquares of R. b. Approximate the average depth of the hole.


	y
x	0	1	2	3
0	6	6.5	6.4	6
1	6.5	7	7.5	6.5
2	6.5	6.7	6.5	6
3	6	6.5	5	5.6

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.1절 · 2번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

5.OpenStax 3권 · 5.1절 · 9번대학 수준우리말 번역

함수 f 의 등위곡선 $f(x,y)=k$ 가 다음 그래프와 같다. 여기서 k 는 상수이다.

a. $m=n=2$ 로 중점 규칙을 적용하여 이중적분 $\iint_{R}f(x,y)dA$ 의 값을 어림하세요. 여기서 $R=[0.2,1]\,\times \,[0,0.8]$ 이다. b. R 에서 함수 f 의 평균값을 어림하세요. k = −1, −½, −¼, −1/8, 0, 1/8, ¼, ½, 1 로 표시된 일련의 곡선이다. k = 0 으로 표시된 선은 직선 y = x 를 따르는 점근선 역할을 한다. 곡선들은 (y축을 따라) 1, 0.7, 0.5, 0.38, 0, (x축을 따라) 0.38, 0.5, 0.7, 1 에서 시작하며, 바깥쪽에 있는 곡선일수록 점근선을 향해 덜 급격하게 휜다.

영어 원문 보기

The level curves $f(x,y)=k$ of the function f are given in the following graph, where k is a constant.

a. Apply the midpoint rule with $m=n=2$ to estimate the double integral $\iint_{R}f(x,y)dA,$ where $R=[0.2,1]\,\times \,[0,0.8].$ b. Estimate the average value of the function f on R. A series of curves marked k = negative 1, negative ½, negative ¼, negative 1/8, 0, 1/8, ¼, ½, and 1. The line marked k = 0 serves as an asymptote along the line y = x. The lines originate at (along the y axis) 1, 0.7, 0.5, 0.38, 0, (along the x axis) 0.38, 0.5, 0.7, and 1, with the further out lines curving less dramatically toward the asymptote.

정답·풀이 보기

a. $0.112$ b. ${f}_{\text{ave}}\simeq 0.175$ ; 여기서 $f(0.4,0.2)\simeq 0.1,$ $f(0.2,0.6)\simeq -0.2,$ $f(0.8,0.2)\simeq 0.6$ , 그리고 $f(0.8,0.6)\simeq 0.2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $0.112$ b. ${f}_{\text{ave}}\simeq 0.175;$ here $f(0.4,0.2)\simeq 0.1,$ $f(0.2,0.6)\simeq -0.2,$ $f(0.8,0.2)\simeq 0.6,$ and $f(0.8,0.6)\simeq 0.2.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 3번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

6.OpenStax 3권 · 5.1절 · 10번대학 수준우리말 번역

함수 f 의 등위곡선 $f(x,y)=k$ 가 다음 그래프에 주어져 있다. 여기서 k 는 상수이다.

a. $m=n=2$ 로 중점법칙을 적용하여 이중적분 $\iint_{R}f(x,y)dA$ 를 어림하세요. 여기서 $R=[0.1,0.5]\,\times \,[0.1,0.5]$ 이다. b. $R$ 에서 함수 f 의 평균값을 어림하세요. 제1사분면에 그려진 사분원들의 모임으로, 각각 k = 1/32, 1/16, 1/8, ¼, ½, ¾, 1로 표시되어 있다. 이 사분원들의 반지름은 차례대로 0. 17, 0.25, 0.35, 0.5, 0.71, 0.87, 1이다.

영어 원문 보기

The level curves $f(x,y)=k$ of the function f are given in the following graph, where k is a constant.

a. Apply the midpoint rule with $m=n=2$ to estimate the double integral $\iint_{R}f(x,y)dA,$ where $R=[0.1,0.5]\,\times \,[0.1,0.5].$ b. Estimate the average value of the function f on R. A series of quarter circles drawn in the first quadrant marked k = 1/32, 1/16, 1/8, ¼, ½, ¾, and 1. The quarter circles have radii 0. 17, 0.25, 0.35, 0.5, 0.71, 0.87, and 1, respectively.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 21번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

7.OpenStax 3권 · 5.1절 · 11번대학 수준우리말 번역

곡면 $z=\sqrt{4-{y}^{2}}$ 아래쪽과 직사각형 영역 $R=[0,2]\,\times \,[0,2]$ 위쪽에 놓인 입체가 다음 그래프에 나타나 있다. 대응하는 입체의 부피를 구하여 이중적분 $\iint_{R}f(x,y)dA$ 의 값을 구하세요. 여기서 $f(x,y)=\sqrt{4-{y}^{2}}$ 이다.

중심이 x축 위에 있고 반지름이 2인 사분원기둥이다. 그림과 같이 높이는 2이다.

영어 원문 보기

The solid lying under the surface $z=\sqrt{4-{y}^{2}}$ and above the rectangular region $R=[0,2]\,\times \,[0,2]$ is illustrated in the following graph. Evaluate the double integral $\iint_{R}f(x,y)dA,$ where $f(x,y)=\sqrt{4-{y}^{2}},$ by finding the volume of the corresponding solid.

A quarter cylinder with center along the x axis and with radius 2. It has height 2 as shown.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$2\pi .$

원본 교재 풀이(영어)

$2\pi .$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.1절 · 4번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

8.OpenStax 3권 · 5.1절 · 12번대학 수준우리말 번역

평면 $z=y+4$ 아래에 있고 직사각형 영역 $R=[0,2]\,\times \,[0,4]$ 위에 있는 입체가 다음 그래프에 나타나 있습니다. 대응하는 입체의 부피를 구하여 이중적분 $\iint_{R}f(x,y)dA$ 의 값을 구하세요. 단, $f(x,y)=y+4$ 입니다.

<span class= $xyz$ $x yz$ 공간에서, y = 0, x = 0, y = 4, x = 2, … z = 0 으로 주어진 면들로 둘러싸인 도형이 만들어져 있다. 이 도형의 윗면은 y축을 따라 z = 4에서 시작하여, y = 4로 이루어진 면에서 z = 8까지 이어지는 평면이다." loading="lazy" decoding="async">

영어 원문 보기

The solid lying under the plane $z=y+4$ and above the rectangular region $R=[0,2]\,\times \,[0,4]$ is illustrated in the following graph. Evaluate the double integral $\iint_{R}f(x,y)dA,$ where $f(x,y)=y+4,$ by finding the volume of the corresponding solid.

In xyz space, a shape is created with sides given by y = 0, x = 0, y = 4, x = 2, z = 0, and the plane the runs from z = 4 along the y axis to z = 8 along the plane formed by y = 4.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 29번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

9.OpenStax 3권 · 5.1절 · 53번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 함수 $f(x,y)={e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}}$ 를 생각하세요. 단, $(x,y)\in R=[-1,1]\,\times \,[-1,1].$

a. 중점 규칙을 $m=n=2,4,\ldots ,\,10$ 으로 하여 이중적분 $I=\iint_{R}{e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}}dA$ 의 값을 어림하세요. 답은 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요. b. $m=n=2$ 일 때, 영역 R 에서 함수 f 의 평균값을 구하세요. 답은 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요. c. 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여, 부피가 $\iint_{R}{e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}}dA$ 로 주어지는 입체와 평면 $z={f}_{\text{ave}}$ 의 그래프를 같은 좌표계에 그리세요.

영어 원문 보기

[T] Consider the function $f(x,y)={e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}},$ where $(x,y)\in R=[-1,1]\,\times \,[-1,1].$

a. Use the midpoint rule with $m=n=2,4,\ldots ,\,10$ to estimate the double integral $I=\iint_{R}{e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}}dA.$ Round your answers to the nearest hundredths. b. For $m=n=2,$ find the average value of f over the region R. Round your answer to the nearest hundredths. c. Use a CAS to graph in the same coordinate system the solid whose volume is given by $\iint_{R}{e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}}dA$ and the plane $z={f}_{\text{ave}}.$

정답·풀이 보기

a. $m=n=2$ 일 때, $I=4{e}^{-0.5}\approx 2.43$ b. ${f}_{\text{ave}}={e}^{-0.5}\simeq 0.61;$

c.

x축, y축, z축으로 이루어진 좌표공간에 z = 0.61 인 평면이 있고, 또 다른 도형이 있다. 이 도형은 대략 (0, 0, 0.92) 에서 최댓값을 가지며, 모든 가장자리를 따라 값이 감소하여 점 (±1, ±1, 0.12) 에 이른다.

원본 교재 풀이(영어)

a. For $m=n=2,$ $I=4{e}^{-0.5}\approx 2.43$ b. ${f}_{\text{ave}}={e}^{-0.5}\simeq 0.61;$

c.

In xyz space, a plane is formed at z = 0.61, and there is another shape with maximum roughly at (0, 0, 0.92), which decreases along all the sides to the points (plus or minus 1, plus or minus 1, 0.12).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 35번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

10.OpenStax 3권 · 5.1절 · 54번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 함수 $f(x,y)=\sin ({x}^{2})\cos ({y}^{2})$ 를 생각하세요. 여기서 $(x,y)\in R=[-1,1]\,\times \,[-1,1]$ 입니다.

a. $m=n=2,4,\ldots ,\,10$ 으로 중점 규칙을 사용하여 이중적분 $I=\iint_{R}\sin ({x}^{2})\cos ({y}^{2})dA$ 의 값을 어림하세요. 답은 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요. b. $m=n=2$ 일 때, 영역 R 에서 f 의 평균값을 구하세요. 답은 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요. c. CAS를 사용하여 같은 좌표계에 $\iint_{R}\sin ({x}^{2})\cos ({y}^{2})dA$ 로 부피가 주어지는 입체와 평면 $z={f}_{\text{ave}}$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

[T] Consider the function $f(x,y)=\sin ({x}^{2})\cos ({y}^{2}),$ where $(x,y)\in R=[-1,1]\,\times \,[-1,1].$

a. Use the midpoint rule with $m=n=2,4,\ldots ,\,10$ to estimate the double integral $I=\iint_{R}\sin ({x}^{2})\cos ({y}^{2})dA.$ Round your answers to the nearest hundredths. b. For $m=n=2,$ find the average value of f over the region R. Round your answer to the nearest hundredths. c. Use a CAS to graph in the same coordinate system the solid whose volume is given by $\iint_{R}\sin ({x}^{2})\cos ({y}^{2})dA$ and the plane $z={f}_{\text{ave}}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 53번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

11.OpenStax 3권 · 5.1절 · 59번대학 수준우리말 번역

등온선 지도는 주어진 시점에 주어진 기간 동안 같은 온도를 갖는 점들을 이은 도표이다. 앞의 연습문제를 이용하고 $m=n=2$ 인 중점 규칙을 적용하여, 다음 그림에 주어진 영역의 평균 온도를 구하세요.

화씨 온도(도)로 표면 온도를 나타낸 등고선 지도이다. 이 지도에 중점 규칙을 적용하면 값이 71, 72, 40, 43인 직사각형들이 얻어진다.

영어 원문 보기

An isotherm map is a chart connecting points having the same temperature at a given time for a given period of time. Use the preceding exercise and apply the midpoint rule with $m=n=2$ to find the average temperature over the region given in the following figure.

A contour map showing surface temperature in degrees Fahrenheit. Given the map, the midpoint rule would give rectangles with values 71, 72, 40, and 43.

정답·풀이 보기

$56.5^\circ$ F; 여기서 $f\left({x}_{1}^{*},{y}_{1}^{*}\right)=71,$ $f\left({x}_{2}^{*},{y}_{1}^{*}\right)=72,$ $f\left({x}_{1}^{*},{y}_{2}^{*}\right)=40,$ $f\left({x}_{2}^{*},{y}_{2}^{*}\right)=43$ 이고, ${x}_{i}^{*}$ 와 ${y}_{j}^{*}$ 는 각각 $[a,b]$ 와 $[c,d]$ 의 분할에서 나뉜 부분 구간의 중점이다.

원본 교재 풀이(영어)

$56.5^\circ$ F; here $f\left({x}_{1}^{*},{y}_{1}^{*}\right)=71,$ $f\left({x}_{2}^{*},{y}_{1}^{*}\right)=72,$ $f\left({x}_{1}^{*},{y}_{2}^{*}\right)=40,$ $f\left({x}_{2}^{*},{y}_{2}^{*}\right)=43,$ where ${x}_{i}^{*}$ and ${y}_{j}^{*}$ are the midpoints of the subintervals of the partitions of $[a,b]$ and $[c,d],$ respectively.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.1절 · 2번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

12.APEX · 13.1절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–16에서 평면 영역 $R$ 의 그래프가 주어져 있습니다. $R$ 의 넓이를 나타내는, 적분 순서가 $dy\ dx$ 인 경우와 $dx\ dy$ 인 경우의 반복적분을 각각 쓰세요. 반복적분 중 하나의 값을 구하여 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 11–16, a graph of a planar region $R$ is given. Give the iterated integrals, with both orders of integration $dy\ dx$ and $dx\ dy$ , that give the area of $R$ . Evaluate one of the iterated integrals to find the area.

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_1^4\int_{-2}^1\ dy\ dx$ 그리고 $\displaystyle \int_{-2}^1\int_1^4\ dx\ dy$ .

넓이 $R = 9u^2$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_1^4\int_{-2}^1\ dy\ dx$ and $\displaystyle \int_{-2}^1\int_1^4\ dx\ dy$ .

area of $R = 9u^2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.1절 · 2번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

13.APEX · 13.1절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–16에서는 평면 영역 $R$ 의 그래프가 주어져 있습니다. $R$ 의 넓이를 나타내는 반복적분을 적분 순서 $dy\ dx$ 와 $dx\ dy$ 두 가지로 각각 나타내세요. 반복적분 중 하나의 값을 구하여 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 11–16, a graph of a planar region $R$ is given. Give the iterated integrals, with both orders of integration $dy\ dx$ and $dx\ dy$ , that give the area of $R$ . Evaluate one of the iterated integrals to find the area.

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_1^4\int_{1}^{\frac23x+\frac13}\ dy\ dx$ 와 $\displaystyle \int_{1}^3\int_{\frac32y-\frac12}^4\ dx\ dy$ 이다.

영역의 넓이 $R = 3u^2$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_1^4\int_{1}^{\frac23x+\frac13}\ dy\ dx$ and $\displaystyle \int_{1}^3\int_{\frac32y-\frac12}^4\ dx\ dy$ .

area of $R = 3u^2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 15번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

14.APEX · 13.1절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–16에서 평면 영역 $R$ 의 그래프가 주어져 있습니다. $R$ 의 넓이를 나타내는 반복적분을 적분 순서 $dy\ dx$ 와 $dx\ dy$ 의 두 가지로 각각 구하세요. 반복적분 중 하나의 값을 구하여 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 11–16, a graph of a planar region $R$ is given. Give the iterated integrals, with both orders of integration $dy\ dx$ and $dx\ dy$ , that give the area of $R$ . Evaluate one of the iterated integrals to find the area.

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_2^4\int_{x-1}^{7-x}\ dy\ dx$ 이다. 순서 $dx\ dy$ 에서는 $x$ 가 서로 다른 두 함수로 위로 유계이므로 반복적분이 두 개 필요하다. 따라서 다음과 같다. $\int_{1}^3\int_{2}^{y+1}\ dx\ dy+\int_{3}^5\int_{2}^{7-y}\ dx\ dy.$

넓이 $R = 4u^2$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_2^4\int_{x-1}^{7-x}\ dy\ dx$ . The order $dx\ dy$ needs two iterated integrals as $x$ is bounded above by two different functions. This gives: $\int_{1}^3\int_{2}^{y+1}\ dx\ dy+\int_{3}^5\int_{2}^{7-y}\ dx\ dy.$

area of $R = 4u^2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.1절 · 3번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

15.APEX · 13.1절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–16에서 평면 영역 $R$ 의 그래프가 주어져 있습니다. 적분 순서 $dy\ dx$ 와 $dx\ dy$ 를 모두 사용하여 $R$ 의 넓이를 나타내는 반복적분을 각각 쓰세요. 두 반복적분 중 하나의 값을 구하여 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 11–16, a graph of a planar region $R$ is given. Give the iterated integrals, with both orders of integration $dy\ dx$ and $dx\ dy$ , that give the area of $R$ . Evaluate one of the iterated integrals to find the area.

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_0^{12}\int_{-\sqrt{3x}}^{\sqrt{3x}}\ dy\ dx$ 그리고 $\displaystyle \int_{-6}^6\int_{y^2/3}^{12}\ dx\ dy$

넓이 $R = 96u^2$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_0^{12}\int_{-\sqrt{3x}}^{\sqrt{3x}}\ dy\ dx$ and $\displaystyle \int_{-6}^6\int_{y^2/3}^{12}\ dx\ dy$

area of $R = 96u^2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.1절 · 1번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

16.APEX · 13.1절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–16에서 평면 영역 $R$ 의 그래프가 주어져 있습니다. 적분 순서가 $dy\ dx$ 인 경우와 $dx\ dy$ 인 경우 모두에 대해, $R$ 의 넓이를 나타내는 반복적분을 구하세요. 반복적분 중 하나의 값을 구하여 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 11–16, a graph of a planar region $R$ is given. Give the iterated integrals, with both orders of integration $dy\ dx$ and $dx\ dy$ , that give the area of $R$ . Evaluate one of the iterated integrals to find the area.

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_0^{1}\int_{x^4}^{\sqrt{x}}\ dy\ dx$ 와 $\displaystyle \int_{0}^1\int_{y^2}^{\sqrt[4]{y}}\ dx\ dy$

넓이 $R = 7/15u^2$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_0^{1}\int_{x^4}^{\sqrt{x}}\ dy\ dx$ and $\displaystyle \int_{0}^1\int_{y^2}^{\sqrt[4]{y}}\ dx\ dy$

area of $R = 7/15u^2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 25번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

17.APEX · 13.1절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–16에서 평면 영역 $R$ 의 그래프가 주어져 있습니다. 적분 순서가 $dy\ dx$ 인 경우와 $dx\ dy$ 인 경우 모두에 대해, $R$ 의 넓이를 나타내는 반복적분을 쓰세요. 반복적분 중 하나의 값을 구하여 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 11–16, a graph of a planar region $R$ is given. Give the iterated integrals, with both orders of integration $dy\ dx$ and $dx\ dy$ , that give the area of $R$ . Evaluate one of the iterated integrals to find the area.

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_0^{2}\int_{x^3}^{4{x}}\ dy\ dx$ 와 $\displaystyle \int_{0}^8\int_{y/4}^{\sqrt[3]{y}}\ dx\ dy$

넓이 $R = 4u^2$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_0^{2}\int_{x^3}^{4{x}}\ dy\ dx$ and $\displaystyle \int_{0}^8\int_{y/4}^{\sqrt[3]{y}}\ dx\ dy$

area of $R = 4u^2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 27번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

18.APEX · 13.1절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–22에서 주어진 반복적분은 $x$ - $y$ 평면에서 영역 $R$ 의 넓이를 계산하는 것이다. 영역 $R$ 을 그리고, 적분 순서를 반대로 하여 $R$ 의 넓이를 나타내는 반복적분을 쓰세요.

$\displaystyle \int_{-2}^2\int_0^{4-x^2} \ dy \ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 17–22, iterated integrals are given that compute the area of a region $R$ in the $x$ - $y$ plane. Sketch the region $R$ , and give the iterated integral(s) that give the area of $R$ with the opposite order of integration.

$\displaystyle \int_{-2}^2\int_0^{4-x^2} \ dy \ dx$

정답·풀이 보기

넓이 $R = \displaystyle \int_{0}^{4}\int_{-\sqrt{4-y}}^{\sqrt{4-y}}\ dx\ dy$

원본 교재 풀이(영어)

area of $R = \displaystyle \int_{0}^{4}\int_{-\sqrt{4-y}}^{\sqrt{4-y}}\ dx\ dy$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 21번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

19.APEX · 13.1절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–22에서는 $x$ - $y$ 평면 위의 영역 $R$ 의 넓이를 계산하는 반복적분이 주어져 있습니다. 영역 $R$ 을 그리고, 적분 순서를 반대로 하여 $R$ 의 넓이를 나타내는 반복적분을 구하세요.

$\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{5-5x}^{5-5x^2} \ dy \ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 17–22, iterated integrals are given that compute the area of a region $R$ in the $x$ - $y$ plane. Sketch the region $R$ , and give the iterated integral(s) that give the area of $R$ with the opposite order of integration.

$\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{5-5x}^{5-5x^2} \ dy \ dx$

정답·풀이 보기

넓이 $R = \displaystyle \int_0^5\int_{1-y/5}^{\sqrt{1-y/5}} \ dx \ dy$

원본 교재 풀이(영어)

area of $R = \displaystyle \int_0^5\int_{1-y/5}^{\sqrt{1-y/5}} \ dx \ dy$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 7번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

20.APEX · 13.1절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–22에서는 $x$ - $y$ 평면에 있는 영역 $R$ 의 넓이를 계산하는 반복적분이 주어져 있다. 영역 $R$ 을 그리고, 적분 순서를 반대로 하여 $R$ 의 넓이를 나타내는 반복적분을 구하세요.

$\displaystyle \int_{-2}^2\int_{0}^{2\sqrt{4-y^2}} \ dx \ dy$

영어 원문 보기

In Exercises 17–22, iterated integrals are given that compute the area of a region $R$ in the $x$ - $y$ plane. Sketch the region $R$ , and give the iterated integral(s) that give the area of $R$ with the opposite order of integration.

$\displaystyle \int_{-2}^2\int_{0}^{2\sqrt{4-y^2}} \ dx \ dy$

정답·풀이 보기

넓이 $R = \displaystyle \int_0^4\int_{-\sqrt{4-x^2/4}}^{\sqrt{4-x^2/4}} \ dy \ dx$

원본 교재 풀이(영어)

area of $R = \displaystyle \int_0^4\int_{-\sqrt{4-x^2/4}}^{\sqrt{4-x^2/4}} \ dy \ dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 19번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류