다중적분의 응용(질량·질량중심) 연습문제

1.OpenStax 3권 · 5.6절 · 39번대학 수준우리말 번역

상수 밀도 $1$ 인 입체 $Q$ 가 구 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=16$ 의 안쪽, 구 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=1$ 의 바깥쪽에 놓여 있다. 이 입체의 질량중심이 입체 안에 위치하지 않음을 보이세요.

영어 원문 보기

The solid $Q$ of constant density $1$ is situated inside the sphere ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=16$ and outside the sphere ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=1.$ Show that the center of mass of the solid is not located within the solid.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 다중적분의 응용(질량·질량중심)증명·논술자동 분류

2.OpenStax 3권 · 5.6절 · 43번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 입체 $Q$ 의 질량이 삼중적분 $\int_{-1}^{1}\,\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\,\int_{0}^{1}{r}^{2}dr\,d\theta \,dz$ 로 주어진다. 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 다음 물음에 답하세요.

a. $Q$ 의 무게중심이 $xy\text{-평면}$ 위에 있음을 보이세요. b. $Q$ 의 그래프를 그리고 무게중심의 위치를 구하세요.

영어 원문 보기

[T] The solid $Q$ has the mass given by the triple integral $\int_{-1}^{1}\,\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\,\int_{0}^{1}{r}^{2}dr\,d\theta \,dz.$ Use a CAS to answer the following questions.

a. Show that the center of mass of $Q$ is located in the $xy\text{-plane.}$ b. Graph $Q$ and locate its center of mass.

정답·풀이 보기

a. $\overset{-}{x}=\frac{3\sqrt{2}}{2\pi },\overset{-}{y}=\frac{3\left(2-\sqrt{2}\right)}{2\pi },\overset{-}{z}=0;$ b. 입체 $Q$ 와 그 무게중심은 다음 그림과 같다.

제1사분면에 있는 원기둥의 쐐기 모양 부분으로, 높이는 2, 반지름은 1, 각은 약 45도이다. 점 (3 곱하기 2의 제곱근/(2 파이), 3 곱하기 (2 빼기 2의 제곱근)/(2 파이), 0)이 표시되어 있다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $\overset{-}{x}=\frac{3\sqrt{2}}{2\pi },\overset{-}{y}=\frac{3\left(2-\sqrt{2}\right)}{2\pi },\overset{-}{z}=0;$ b. the solid $Q$ and its center of mass are shown in the following figure.

A wedge from a cylinder in the first quadrant with height 2, radius 1, and angle roughly 45 degrees. A point is marked at (3 times the square root of 2/(2 pi), 3 times (2 minus the square root of 2)/(2 pi), 0).

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3.OpenStax 3권 · 5.6절 · 45번대학 수준우리말 번역

입체 $Q$ 는 평면 $x+y+z=3,$ $x=0,y=0$ , 그리고 $z=0$ 으로 둘러싸여 있다. 밀도는 $\rho (x,y,z)=x+ay$ 이고, 여기서 $a>0$ 이다. $a$ 의 값에 관계없이 이 입체의 질량중심이 평면 $z=\frac{3}{5}$ 위에 있음을 보이세요.

영어 원문 보기

The solid $Q$ is bounded by the planes $x+y+z=3,$ $x=0,y=0,$ and $z=0.$ Its density is $\rho (x,y,z)=x+ay,$ where $a>0.$ Show that the center of mass of the solid is located in the plane $z=\frac{3}{5}$ for any value of $a.$

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4.OpenStax 3권 · 5.6절 · 49번대학 수준우리말 번역

입체 $Q=\{(x,y,z)|0\le {x}^{2}+{y}^{2}\le 16,x\ge 0,y\ge 0,0\le z\le x\}$ 의 밀도는 $\rho (x,y,z)=k$ 이다. $xy\text{-plane}$ 에 대한 모멘트 ${M}_{xy}$ 가 $yz\text{-plane}$ 에 대한 모멘트 ${M}_{yz}$ 의 절반임을 보이세요.

영어 원문 보기

The solid $Q=\{(x,y,z)|0\le {x}^{2}+{y}^{2}\le 16,x\ge 0,y\ge 0,0\le z\le x\}$ has the density $\rho (x,y,z)=k.$ Show that the moment ${M}_{xy}$ about the $xy\text{-plane}$ is half of the moment ${M}_{yz}$ about the $yz\text{-plane}.$

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5.OpenStax 3권 · 5.6절 · 51번대학 수준우리말 번역

$Q$ 를 제1팔분공간에 있고, 원뿔 ${x}^{2}+{y}^{2}=9{(z-1)}^{2}$ 의 안쪽, 평면 $z=0$ 의 위쪽에 있는 상수 밀도 $k$ ( $k>0$ ) 의 입체라 하자. $xy\text{-plane}$ 에 대한 모멘트 ${M}_{xy}$ 가 $yz\text{-plane}$ 에 대한 모멘트 ${M}_{yz}$ 와 같음을 보이세요.

영어 원문 보기

Let $Q$ be a solid of constant density $k,$ where $k>0,$ that is located in the first octant, inside the circular cone ${x}^{2}+{y}^{2}=9{(z-1)}^{2},$ and above the plane $z=0.$ Show that the moment ${M}_{xy}$ about the $xy\text{-plane}$ is the same as the moment ${M}_{yz}$ about the $yz\text{-plane}.$

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6.OpenStax 3권 · 5.6절 · 56번대학 수준우리말 번역

입체 $Q$ 의 부피가 $\iint_{D}\int_{a}^{b}dz\,dA$ 로 주어진다. 여기서 $D$ 는 입체를 $xy\text{-평면}$ 에 사영한 영역이고 $a<b$ 는 실수이며, 밀도는 변수 $z$ 에 의존하지 않는다. 이 입체의 무게중심이 평면 $z=\frac{a+b}{2}$ 위에 있음을 보이세요.

영어 원문 보기

A solid $Q$ has a volume given by $\iint_{D}\int_{a}^{b}dz\,dA,$ where $D$ is the projection of the solid onto the $xy\text{-plane}$ and $a<b$ are real numbers, and its density does not depend on the variable $z.$ Show that its center of mass lies in the plane $z=\frac{a+b}{2}.$

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.6절 · 29번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)증명·논술자동 분류

7.OpenStax 3권 · 5.6절 · 57번대학 수준우리말 번역

원기둥 ${x}^{2}+{z}^{2}={a}^{2}$ 과 두 평면 $y=b$ , $y=c$ 로 둘러싸인 입체를 생각하자. 여기서 $a>0$ 이고 $b<c$ 는 실수이다. $Q$ 의 밀도는 $\rho (x,y,z)=f'(y)$ 로 주어지며, $f$ 는 미분가능한 함수이고 그 도함수는 $(b,c)$ 에서 연속이다. $f(b)=f(c)$ 이면 $Q$ 의 $xz\text{-평면}$ 에 대한 관성 모멘트가 0임을 보이세요.

영어 원문 보기

Consider the solid enclosed by the cylinder ${x}^{2}+{z}^{2}={a}^{2}$ and the planes $y=b$ and $y=c,$ where $a>0$ and $b<c$ are real numbers. The density of $Q$ is given by $\rho (x,y,z)=f'(y),$ where $f$ is a differential function whose derivative is continuous on $(b,c).$ Show that if $f(b)=f(c),$ then the moment of inertia about the $xz\text{-plane}$ of $Q$ is null.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.4절 · 1번

# 다중적분의 응용(질량·질량중심)증명·논술자동 분류

8.OpenStax 3권 · 5.6절 · 59번대학 수준우리말 번역

원점을 중심으로 하고 밀도가 $\rho (x,y,z)={e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}-{z}^{2}}$ 인 단위 구의 $yz\text{-평면,}$ $xz\text{-평면,}$ $xy\text{-평면}$ 에 대한 관성모멘트 ${I}_{x},{I}_{y},\text{그리고}\,{I}_{z}$ 가 각각 서로 같음을 보이세요. 답은 반올림하여 소수 둘째 자리까지 나타내세요.

영어 원문 보기

Show that the moments of inertia ${I}_{x},{I}_{y},\text{and}\,{I}_{z}$ about the $yz\text{-plane,}$ $xz\text{-plane,}$ and $xy\text{-plane,}$ respectively, of the unit ball centered at the origin whose density is $\rho (x,y,z)={e}^{-{x}^{2}-{y}^{2}-{z}^{2}}$ are the same. Round your answer to two decimal places.

정답·풀이 보기

${I}_{x}={I}_{y}={I}_{z}\simeq 0.84$

원본 교재 풀이(영어)

${I}_{x}={I}_{y}={I}_{z}\simeq 0.84$

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9.CLP-3 · 3.3절 · 10번대학 수준우리말 번역

$a$ , $b$ , $c$ 를 양수라 하고, $T$ 를 꼭짓점이 $(-a,0)$ , $(b,0)$ , $(0,c)$ 인 삼각형이라 하자.

(a) $T$ 위에서 밀도가 상수라고 가정할 때, $T$ 의 질량중심을 구하세요. (b) $T$ 의 중선은 $T$ 의 한 꼭짓점과 그 대변의 중점을 잇는 선분이다. 임의의 삼각형의 세 중선은 한 점에서 만난다는 것은 잘 알려진 사실이며, 이 점을 $T$ 의 무게중심이라 한다. $T$ 의 무게중심이 $T$ 의 질량중심임을 보이세요.

영어 원문 보기

Let $a$ , $b$ and $c$ be positive numbers, and let $T$ be the triangle whose vertices are $(-a,0)$ , $(b,0)$ and $(0,c)$ .

(a) Assuming that the density is constant on $T$ , find the center of mass of $T$ . (b) The medians of $T$ are the line segments which join a vertex of $T$ to the midpoint of the opposite side. It is a well known fact that the three medians of any triangle meet at a point, which is known as the centroid of $T$ . Show that the centroid of $T$ is its centre of mass.

정답·풀이 보기

(a) $(-a,0)$ 에서 $(0,c)$ 까지의 삼각형의 변은 그 두 점을 지나는 직선이다. $x=-a$ 일 때 $y=0$ 이므로, 이 직선의 방정식은 어떤 상수 $K$ 에 대해 $y=K(x+a)$ 꼴이어야 한다. $x=0$ 일 때 $y=c$ 이므로 상수 $K=\frac{c}{a}$ 이다. 따라서 방정식은 $y=\frac{c}{a}(x+a)$ 이고, 이는 방정식 $cx-ay=-ac$ 와 같다. 마찬가지로 $(b,0)$ 에서 $(0,c)$ 까지의 삼각형의 변의 방정식은 $y=\frac{c}{b}(b-x)$ 이다. 삼각형의 넓이는 $A=\frac{1}{2}(a+b)c$ 이다. 질량중심 $(\bar x,\bar y)$ 는 다음과 같다.

$\begin{aligned} \bar x=\frac{1}{A}\iint _T x\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y\qquad \bar y=\frac{1}{A}\iint _T y\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{aligned}$

이 적분들을 계산하기 위해 그림과 같이 삼각형을 세로 띠로 나눈다.

$\begin{aligned} \bar x&=\frac{1}{A}\iint _T x\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &=\frac{1}{A}\bigg(\int_{-a}^0 \mathrm{d}x\int_0^{c+{c\over a}x}\mathrm{d}y\ x +\int_0^b \mathrm{d}x\int_0^{c-{c\over b}x}\mathrm{d}y\ x\bigg)\\ &=\frac{1}{A}\bigg(\int_{-a}^0 \mathrm{d}x\ x\left(c+\frac{c}{a}x\right) +\int_0^b \mathrm{d}x\ x\left(c-\frac{c}{b}x\right)\bigg)\\ &=\frac{1}{A}\left(\left[\frac{1}{2} cx^2+\frac{c}{3a}x^3\right]_{-a}^0 +\left[\frac{1}{2} cx^2-\frac{c}{3b}x^3\right]_0^b\right) \\ &=2\frac{\frac{1}{2} c(b^2-a^2)+\frac{c}{3}(a^2-b^2)}{(a+b)c} =\frac{1}{3}(b-a)\\ \bar y&=\frac{1}{A}\iint _T y\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &=\frac{1}{A}\bigg(\int_{-a}^0 \mathrm{d}x\int_0^{c+{c\over a}x}\mathrm{d}y\ y +\int_0^b \mathrm{d}x\int_0^{c-{c\over b}x}\mathrm{d}y\ y\bigg)\\ &=\frac{1}{A}\bigg(\int_{-a}^0 \mathrm{d}x\ \frac{1}{2}\left(c+\frac{c}{a}x\right)^2 +\int_0^b \mathrm{d}x\ \frac{1}{2}\left(c-\frac{c}{b}x\right)^2\bigg)\\ &=\frac{1}{A}\left(\frac{a}{6c}\left[c+\frac{c}{a}x\right]^3\bigg|_{-a}^0 -\frac{b}{6c}\left(c-\frac{c}{b}x\right)^3\bigg|_0^b\, \right) \\ &=2\frac{\frac{ac^2}{6}+\frac{bc^2}{6}}{(a+b)c} =\frac{c}{3} \end{aligned}$

(b) $(-a,0)$ 의 대변의 중점은 $\frac{1}{2}\big[(b,0)+(0,c)\big]=\frac{1}{2}(b,c)$ 이다. $(-a,0)$ 에서 $\frac{1}{2}(b,c)$ 로 향하는 벡터는 $\frac{1}{2}\left< b,c\right>-\left<-a,0\right> =\left< a+\frac{b}{2},\frac{c}{2}\right>$ 이다. 따라서 이 두 점을 잇는 직선의 벡터 매개변수 방정식은 다음과 같다.

$\mathbf{r}(t)=\left< -a,0\right>+t\left< a+\frac{1}{2} b\,,\,\frac{1}{2} c\right>$

다음이 성립하므로 점 $(\bar x,\bar y)$ 는 이 직선 위에 있다.

$\mathbf{r}\left(\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{1}{3}(b-a)\,,\,\frac{c}{3}\right) =(\bar x,\bar y)$

마찬가지로 $(b,0)$ 의 대변의 중점은 $\frac{1}{2}(-a,c)$ 이다. 이 두 점을 잇는 직선의 벡터 매개변수 방정식은 다음과 같다.

$\mathbf{r}(t)=\left< b,0\right> +t\left<-b-\frac{1}{2} a\,,\,\frac{1}{2} c\right>$

다음이 성립하므로 점 $(\bar x,\bar y)$ 는 이 직선 위에도 있다.

$\mathbf{r}\left(\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{1}{3}(b-a),\frac{c}{3}\right) =(\bar x,\bar y)$

$(\bar x,\bar y)$ 가 세 번째 중선 위에 있는지 확인할 필요는 사실 없지만, 어쨌든 확인해 보자. $(0,c)$ 의 대변의 중점은 $\frac{1}{2}(b-a,0)$ 이다. 이 두 점을 잇는 직선의 벡터 매개변수 방정식은 다음과 같다.

$\mathbf{r}(t)=\left< 0,c\right>+t\left<\frac{b}{2}-\frac{a}{2},-c\right>$

다음이 성립하므로 점 $(\bar x,\bar y)$ 는 이 중선 위에도 있다.

$\mathbf{r}\left(\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{1}{3}(b-a),\frac{c}{3}\right) =(\bar x,\bar y)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The side of the triangle from $(-a,0)$ to $(0,c)$ is straight line that passes through those two points. As $y=0$ when $x=-a$ , the line must have an equation of the form $y=K(x+a)$ for some constant $K$ . Since $y=c$ when $x=0$ , the constant $K=\frac{c}{a}$ . So that the equation is $y=\frac{c}{a}(x+a)$ . has equation $cx-ay=-ac$ . Similarly the side of the triangle from $(b,0)$ to $(0,c)$ has equation $y=\frac{c}{b}(b-x)$ . The triangle has area $A=\frac{1}{2}(a+b)c$ . It has centre of mass $(\bar x,\bar y)$ with

$\begin{aligned} \bar x=\frac{1}{A}\iint _T x\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y\qquad \bar y=\frac{1}{A}\iint _T y\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{aligned}$

To evaluate the integrals we'll decompose the triangle into vertical strips as in the figure

$\begin{aligned} \bar x&=\frac{1}{A}\iint _T x\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &=\frac{1}{A}\bigg(\int_{-a}^0 \mathrm{d}x\int_0^{c+{c\over a}x}\mathrm{d}y\ x +\int_0^b \mathrm{d}x\int_0^{c-{c\over b}x}\mathrm{d}y\ x\bigg)\\ &=\frac{1}{A}\bigg(\int_{-a}^0 \mathrm{d}x\ x\left(c+\frac{c}{a}x\right) +\int_0^b \mathrm{d}x\ x\left(c-\frac{c}{b}x\right)\bigg)\\ &=\frac{1}{A}\left(\left[\frac{1}{2} cx^2+\frac{c}{3a}x^3\right]_{-a}^0 +\left[\frac{1}{2} cx^2-\frac{c}{3b}x^3\right]_0^b\right) \\ &=2\frac{\frac{1}{2} c(b^2-a^2)+\frac{c}{3}(a^2-b^2)}{(a+b)c} =\frac{1}{3}(b-a)\\ \bar y&=\frac{1}{A}\iint _T y\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ &=\frac{1}{A}\bigg(\int_{-a}^0 \mathrm{d}x\int_0^{c+{c\over a}x}\mathrm{d}y\ y +\int_0^b \mathrm{d}x\int_0^{c-{c\over b}x}\mathrm{d}y\ y\bigg)\\ &=\frac{1}{A}\bigg(\int_{-a}^0 \mathrm{d}x\ \frac{1}{2}\left(c+\frac{c}{a}x\right)^2 +\int_0^b \mathrm{d}x\ \frac{1}{2}\left(c-\frac{c}{b}x\right)^2\bigg)\\ &=\frac{1}{A}\left(\frac{a}{6c}\left[c+\frac{c}{a}x\right]^3\bigg|_{-a}^0 -\frac{b}{6c}\left(c-\frac{c}{b}x\right)^3\bigg|_0^b\, \right) \\ &=2\frac{\frac{ac^2}{6}+\frac{bc^2}{6}}{(a+b)c} =\frac{c}{3} \end{aligned}$

(b) The midpoint of the side opposite $(-a,0)$ is $\frac{1}{2}\big[(b,0)+(0,c)\big]=\frac{1}{2}(b,c)$ . The vector from $(-a,0)$ to $\frac{1}{2}(b,c)$ is $\frac{1}{2}\left< b,c\right>-\left<-a,0\right> =\left< a+\frac{b}{2},\frac{c}{2}\right>$ . So the line joining these two points has vector parametric equation

$\mathbf{r}(t)=\left< -a,0\right>+t\left< a+\frac{1}{2} b\,,\,\frac{1}{2} c\right>$

The point $(\bar x,\bar y)$ lies on this line since

$\mathbf{r}\left(\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{1}{3}(b-a)\,,\,\frac{c}{3}\right) =(\bar x,\bar y)$

Similarly, the midpoint of the side opposite $(b,0)$ is $\frac{1}{2}(-a,c)$ . The line joining these two points has vector parametric equation

$\mathbf{r}(t)=\left< b,0\right> +t\left<-b-\frac{1}{2} a\,,\,\frac{1}{2} c\right>$

The point $(\bar x,\bar y)$ lies on this line too, since

$\mathbf{r}\left(\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{1}{3}(b-a),\frac{c}{3}\right) =(\bar x,\bar y)$

It is not really necessary to check that $(\bar x,\bar y)$ lies on the third median, but let's do it anyway. The midpoint of the side opposite $(0,c)$ is $\frac{1}{2}(b-a,0)$ . The line joining these two points has vector parametric equation

$\mathbf{r}(t)=\left< 0,c\right>+t\left<\frac{b}{2}-\frac{a}{2},-c\right>$

The point $(\bar x,\bar y)$ lies on this median too, since

$\mathbf{r}\left(\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{1}{3}(b-a),\frac{c}{3}\right) =(\bar x,\bar y)$

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