다변수함수와 등위곡선 연습문제

41.OpenStax 3권 · 4.1절 · 51번대학 수준우리말 번역

세 변수 함수에 대한 등위면을 구하고, 그것을 설명하세요.

$w(x,y,z)={x}^{2}+{y}^{2}-{z}^{2},c=4$

영어 원문 보기

Find the level surface for the functions of three variables and describe it.

$w(x,y,z)={x}^{2}+{y}^{2}-{z}^{2},c=4$

정답·풀이 보기

${x}^{2}+{y}^{2}-{z}^{2}=4$ , 일엽 쌍곡면

원본 교재 풀이(영어)

${x}^{2}+{y}^{2}-{z}^{2}=4,$ a hyperboloid of one sheet

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 53번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

42.OpenStax 3권 · 4.1절 · 52번대학 수준우리말 번역

세 변수 함수에 대한 등위면을 구하고, 그것을 설명하세요.

$w(x,y,z)=9{x}^{2}-4{y}^{2}+36{z}^{2},c=0$

영어 원문 보기

Find the level surface for the functions of three variables and describe it.

$w(x,y,z)=9{x}^{2}-4{y}^{2}+36{z}^{2},c=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 19번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

43.OpenStax 3권 · 4.1절 · 53번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 점 $P$ 를 지나는 $f$ 의 등위선의 방정식을 구하세요.

$f(x,y)=1-4{x}^{2}-{y}^{2},P(0,1)$

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the level curve of $f$ that contains the point $P.$

$f(x,y)=1-4{x}^{2}-{y}^{2},P(0,1)$

정답·풀이 보기

$4{x}^{2}+{y}^{2}=1,$

원본 교재 풀이(영어)

$4{x}^{2}+{y}^{2}=1,$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 49번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

44.OpenStax 3권 · 4.1절 · 54번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 점 $P$ 를 지나는 $f$ 의 등위곡선의 방정식을 구하세요.

$g(x,y)={y}^{2}\arctan \,x,P(1,2)$

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the level curve of $f$ that contains the point $P.$

$g(x,y)={y}^{2}\arctan \,x,P(1,2)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.1절 · 4번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

45.OpenStax 3권 · 4.1절 · 55번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 점 $P$ 를 지나는 $f$ 의 등위곡선의 방정식을 구하세요.

$g(x,y)={e}^{xy}({x}^{2}+{y}^{2}),P(1,0)$

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the level curve of $f$ that contains the point $P.$

$g(x,y)={e}^{xy}({x}^{2}+{y}^{2}),P(1,0)$

정답·풀이 보기

$1={e}^{xy}({x}^{2}+{y}^{2})$

원본 교재 풀이(영어)

$1={e}^{xy}({x}^{2}+{y}^{2})$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 27번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

46.OpenStax 3권 · 4.1절 · 56번대학 수준우리말 번역

$z\text{축}$ 을 따라 놓인 무한히 긴 대전된 도선 때문에 생기는 점 $(x,y,z)$ 에서의 전기장의 세기 $E$ 는 $E(x,y,z)=k/\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$ 로 주어진다. 여기서 $k$ 는 양의 상수이다. 간단히 하기 위해 $k=1$ 로 놓고 $E=10\,\text{및}\,E=100$ 일 때 등위면의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

The strength $E$ of an electric field at point $(x,y,z)$ resulting from an infinitely long charged wire lying along the $z\text{-axis}$ is given by $E(x,y,z)=k/\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}},$ where $k$ is a positive constant. For simplicity, let $k=1$ and find the equations of the level surfaces for $E=10\,\text{and}\,E=100.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.1절 · 3번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

47.OpenStax 3권 · 4.1절 · 59번대학 수준우리말 번역

앞선 문제를 참고하세요. $T=40^\circ \text{C 와}\,T=100^\circ \text{C}$ 에 대한 등위곡선을 구하고, 등위곡선이 무엇을 나타내는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Refer to the preceding problem. Find the level curves for $T=40^\circ \text{C and}\,T=100^\circ \text{C},$ and describe what the level curves represent.

정답·풀이 보기

${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{k}{40},$ ${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{k}{100}$ . 등위곡선은 반지름이 각각 $\sqrt{10k}/20$ 과 $\sqrt{k}/10$ 인 원을 나타낸다.

원본 교재 풀이(영어)

${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{k}{40},$ ${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{k}{100}.$ The level curves represent circles of radii $\sqrt{10k}/20$ and $\sqrt{k}/10$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.1절 · 6번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

48.APEX · 12.1절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–14에서 다변수함수의 정의역과 치역을 구하세요.

$f(x,y) = x^2+y^2+2$

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, give the domain and range of the multivariable function.

$f(x,y) = x^2+y^2+2$

정답·풀이 보기

정의역: $\mathbb{R}^2$

치역: $z\geq 2$

원본 교재 풀이(영어)

domain: $\mathbb{R}^2$

range: $z\geq 2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 19번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

49.APEX · 12.1절 · 8번대학 수준우리말 번역

7–14번 문제에서 다변수 함수의 정의역과 치역을 구하세요.

$f(x,y) = x+2y$

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, give the domain and range of the multivariable function.

$f(x,y) = x+2y$

정답·풀이 보기

정의역: $\mathbb{R}^2$

치역: $\mathbb{R}$

원본 교재 풀이(영어)

domain: $\mathbb{R}^2$

range: $\mathbb{R}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.1절 · 4번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

50.APEX · 12.1절 · 9번대학 수준우리말 번역

7–14번 문제에서 다변수 함수의 정의역과 치역을 구하세요.

$f(x,y) = x-2y$

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, give the domain and range of the multivariable function.

$f(x,y) = x-2y$

정답·풀이 보기

정의역: $\mathbb{R}^2$

치역: $\mathbb{R}$

원본 교재 풀이(영어)

domain: $\mathbb{R}^2$

range: $\mathbb{R}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 9번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

51.APEX · 12.1절 · 10번대학 수준우리말 번역

7–14번 문제에서 다변수 함수의 정의역과 치역을 구하세요.

$\displaystyle f(x,y) = \frac{1}{x+2y}$

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, give the domain and range of the multivariable function.

$\displaystyle f(x,y) = \frac{1}{x+2y}$

정답·풀이 보기

정의역: $x\neq 2y$ ; 집합 기호로는 $\{(x,y)\,|\, x\neq 2y\}$

치역: $z\neq 0$

원본 교재 풀이(영어)

domain: $x\neq 2y$ ; in set notation, $\{(x,y)\,|\, x\neq 2y\}$

range: $z\neq 0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.1절 · 1번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

52.APEX · 12.1절 · 11번대학 수준우리말 번역

7–14번 문제에서 다변수 함수의 정의역과 치역을 구하세요.

$\displaystyle f(x,y) = \frac{1}{x^2+y^2+1}$

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, give the domain and range of the multivariable function.

$\displaystyle f(x,y) = \frac{1}{x^2+y^2+1}$

정답·풀이 보기

정의역: $\mathbb{R}^2$

치역: $0<z\leq 1$

원본 교재 풀이(영어)

domain: $\mathbb{R}^2$

range: $0<z\leq 1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 21번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

53.APEX · 12.1절 · 12번대학 수준우리말 번역

7–14번 문제에서 다변수 함수의 정의역과 치역을 구하세요.

$\displaystyle f(x,y) = \sin x\cos y$

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, give the domain and range of the multivariable function.

$\displaystyle f(x,y) = \sin x\cos y$

정답·풀이 보기

정의역: $\mathbb{R}^2$

치역: $-1\leq z\leq 1$

원본 교재 풀이(영어)

domain: $\mathbb{R}^2$

range: $-1\leq z\leq 1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 37번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

54.APEX · 12.1절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–14에서, 다변수함수의 정의역과 치역을 구하세요.

$\displaystyle f(x,y) = \sqrt{9-x^2-y^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, give the domain and range of the multivariable function.

$\displaystyle f(x,y) = \sqrt{9-x^2-y^2}$

정답·풀이 보기

정의역: $\{(x,y)\,|\, x^2+y^2\leq 9\}$ , 즉 정의역은 원점을 중심으로 하고 반지름이 3인 원과 그 내부이다.

치역: $0\leq z\leq 3$

원본 교재 풀이(영어)

domain: $\{(x,y)\,|\, x^2+y^2\leq 9\}$ , i.e., the domain is the circle and interior of a circle centered at the origin with radius 3.

range: $0\leq z\leq 3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 25번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

55.APEX · 12.1절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–14에서, 다변수함수의 정의역과 치역을 구하세요.

$\displaystyle f(x,y) = \frac1{\sqrt{x^2+y^2-9}}$

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, give the domain and range of the multivariable function.

$\displaystyle f(x,y) = \frac1{\sqrt{x^2+y^2-9}}$

정답·풀이 보기

정의역: $\{(x,y)\,|\, x^2+y^2\geq 9\}$ , 즉 정의역은 원점을 중심으로 하고 반지름이 3인 원의 외부이다(원 자체는 포함하지 않는다).

치역: $0< z< \infty$ , 또는 $(0,\infty)$

원본 교재 풀이(영어)

domain: $\{(x,y)\,|\, x^2+y^2\geq 9\}$ , i.e., the domain is the exterior of the circle (not including the circle itself) centered at the origin with radius 3.

range: $0< z< \infty$ , or $(0,\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 39번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

56.APEX · 12.1절 · 23번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서 다음 세 변수 함수의 정의역과 치역을 구하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = \frac{x}{x+2y-4z}$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, give the domain and range of the functions of three variables.

$\displaystyle f(x,y,z) = \frac{x}{x+2y-4z}$

정답·풀이 보기

정의역: $x+2y-4z\neq 0$ ; 정의역에 속하지 않는 $\mathbb{R}^3$ 의 점들의 집합은 원점을 지나는 평면을 이룬다.

치역: $\mathbb{R}$

원본 교재 풀이(영어)

domain: $x+2y-4z\neq 0$ ; the set of points in $\mathbb{R}^3$ NOT in the domain form a plane through the origin.

range: $\mathbb{R}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 37번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

57.APEX · 12.1절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서 다음 세 변수 함수의 정의역과 치역을 구하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = \frac{1}{1-x^2-y^2-z^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, give the domain and range of the functions of three variables.

$\displaystyle f(x,y,z) = \frac{1}{1-x^2-y^2-z^2}$

정답·풀이 보기

정의역: $x^2+y^2+z^2\neq 1$ ; 정의역에 속하지 않는 $\mathbb{R}^3$ 의 점들의 집합은 반지름이 1인 구를 이룬다.

치역: $(-\infty,0)\cup[1,\infty)$

원본 교재 풀이(영어)

domain: $x^2+y^2+z^2\neq 1$ ; the set of points in $\mathbb{R}^3$ NOT in the domain form a sphere of radius 1.

range: $(-\infty,0)\cup[1,\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 27번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

58.APEX · 12.1절 · 25번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서 다음 세 변수 함수의 정의역과 치역을 구하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = \sqrt{z-x^2+y^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, give the domain and range of the functions of three variables.

$\displaystyle f(x,y,z) = \sqrt{z-x^2+y^2}$

정답·풀이 보기

정의역: $z\geq x^2-y^2$ ; 쌍곡포물면 $z=x^2-y^2$ 위의 점과 그 위쪽에 있는 $\mathbb{R}^3$ 의 점들의 집합이다.

치역: $[0,\infty)$

원본 교재 풀이(영어)

domain: $z\geq x^2-y^2$ ; the set of points in $\mathbb{R}^3$ above (and including) the hyperbolic paraboloid $z=x^2-y^2$ .

range: $[0,\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 39번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

59.APEX · 12.1절 · 26번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서 다음 세 변수 함수의 정의역과 치역을 구하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = z^2\sin x\cos y$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, give the domain and range of the functions of three variables.

$\displaystyle f(x,y,z) = z^2\sin x\cos y$

정답·풀이 보기

정의역: $\mathbb{R}^3$

치역: $\mathbb{R}$

원본 교재 풀이(영어)

domain: $\mathbb{R}^3$

range: $\mathbb{R}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 29번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

60.APEX · 12.1절 · 27번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30에서 다음 세 변수 함수의 등위면을 설명하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2$

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, describe the level surfaces of the given functions of three variables.

$\displaystyle f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2$

정답·풀이 보기

등위면은 원점을 중심으로 하고 반지름이 $\sqrt{c}$ 인 구이다.

원본 교재 풀이(영어)

The level surfaces are spheres, centered at the origin, with radius $\sqrt{c}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 11번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류