문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

다변수함수와 등위곡선

두·세 변수 함수의 정의역, 그래프, 등위곡선·등위면을 알아본다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

89문제 · 5 / 5쪽

81.APEX · 12.1절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–22번에서, 주어진 함수와 $c$ 값에 대해 등위곡선을 말로 설명하고 그래프를 그리세요.

$\displaystyle f(x,y) = x^2+4y^2$ ; $c = 1,2,3,4$

영어 원문 보기

In Exercises 15–22, describe in words and sketch the level curves for the function and given $c$ values.

$\displaystyle f(x,y) = x^2+4y^2$ ; $c = 1,2,3,4$

정답·풀이 보기

등위곡선은 $\frac{x^2}{c}+\frac{y^2}{c/4}=1$ 꼴의 타원이다. 즉 $a=\sqrt{c}$ 이고 $b=\sqrt{c}/2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Level curves are ellipses of the form $\frac{x^2}{c}+\frac{y^2}{c/4}=1$ , i.e., $a=\sqrt{c}$ and $b=\sqrt{c}/2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.1절 · 1번

# 다변수함수와 등위곡선그래프·표 해석자동 분류

82.APEX · 12.1절 · 23번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서 다음 세 변수 함수의 정의역과 치역을 구하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = \frac{x}{x+2y-4z}$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, give the domain and range of the functions of three variables.

$\displaystyle f(x,y,z) = \frac{x}{x+2y-4z}$

정답·풀이 보기

정의역: $x+2y-4z\neq 0$ ; 정의역에 속하지 않는 $\mathbb{R}^3$ 의 점들의 집합은 원점을 지나는 평면을 이룬다.

치역: $\mathbb{R}$

원본 교재 풀이(영어)

domain: $x+2y-4z\neq 0$ ; the set of points in $\mathbb{R}^3$ NOT in the domain form a plane through the origin.

range: $\mathbb{R}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 37번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

83.APEX · 12.1절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서 다음 세 변수 함수의 정의역과 치역을 구하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = \frac{1}{1-x^2-y^2-z^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, give the domain and range of the functions of three variables.

$\displaystyle f(x,y,z) = \frac{1}{1-x^2-y^2-z^2}$

정답·풀이 보기

정의역: $x^2+y^2+z^2\neq 1$ ; 정의역에 속하지 않는 $\mathbb{R}^3$ 의 점들의 집합은 반지름이 1인 구를 이룬다.

치역: $(-\infty,0)\cup[1,\infty)$

원본 교재 풀이(영어)

domain: $x^2+y^2+z^2\neq 1$ ; the set of points in $\mathbb{R}^3$ NOT in the domain form a sphere of radius 1.

range: $(-\infty,0)\cup[1,\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 27번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

84.APEX · 12.1절 · 25번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서 다음 세 변수 함수의 정의역과 치역을 구하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = \sqrt{z-x^2+y^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, give the domain and range of the functions of three variables.

$\displaystyle f(x,y,z) = \sqrt{z-x^2+y^2}$

정답·풀이 보기

정의역: $z\geq x^2-y^2$ ; 쌍곡포물면 $z=x^2-y^2$ 위의 점과 그 위쪽에 있는 $\mathbb{R}^3$ 의 점들의 집합이다.

치역: $[0,\infty)$

원본 교재 풀이(영어)

domain: $z\geq x^2-y^2$ ; the set of points in $\mathbb{R}^3$ above (and including) the hyperbolic paraboloid $z=x^2-y^2$ .

range: $[0,\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 39번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

85.APEX · 12.1절 · 26번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서 다음 세 변수 함수의 정의역과 치역을 구하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = z^2\sin x\cos y$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, give the domain and range of the functions of three variables.

$\displaystyle f(x,y,z) = z^2\sin x\cos y$

정답·풀이 보기

정의역: $\mathbb{R}^3$

치역: $\mathbb{R}$

원본 교재 풀이(영어)

domain: $\mathbb{R}^3$

range: $\mathbb{R}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 29번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

86.APEX · 12.1절 · 27번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30에서 다음 세 변수 함수의 등위면을 설명하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2$

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, describe the level surfaces of the given functions of three variables.

$\displaystyle f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2$

정답·풀이 보기

등위면은 원점을 중심으로 하고 반지름이 $\sqrt{c}$ 인 구이다.

원본 교재 풀이(영어)

The level surfaces are spheres, centered at the origin, with radius $\sqrt{c}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 11번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

87.APEX · 12.1절 · 28번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30에서 주어진 세 변수 함수의 등위면을 설명하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = z-x^2+y^2$

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, describe the level surfaces of the given functions of three variables.

$\displaystyle f(x,y,z) = z-x^2+y^2$

정답·풀이 보기

등위면은 $z=x^2-y^2+c$ 꼴의 쌍곡포물면이며, 각각 $c$ 만큼 위아래로 평행이동한 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

The level surfaces are hyperbolic paraboloids of the form $z=x^2-y^2+c$ ; each is shifted up/down by $c$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 53번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

88.APEX · 12.1절 · 29번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30에서 주어진 세 변수 함수의 등위면을 설명하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = \frac{x^2+y^2}{z}$

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, describe the level surfaces of the given functions of three variables.

$\displaystyle f(x,y,z) = \frac{x^2+y^2}{z}$

정답·풀이 보기

등위면은 $z=\frac{x^2}{c}+\frac{y^2}{c}$ 꼴의 포물면이며, $c$ 가 클수록 포물면이 더 “넓어진다”.

원본 교재 풀이(영어)

The level surfaces are paraboloids of the form $z=\frac{x^2}{c}+\frac{y^2}{c}$ ; the larger $c$ , the “wider” the paraboloid.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.1절 · 4번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류

89.APEX · 12.1절 · 30번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30에서 주어진 세 변수 함수의 등위면을 설명하세요.

$\displaystyle f(x,y,z) = \frac{z}{x-y}$

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, describe the level surfaces of the given functions of three variables.

$\displaystyle f(x,y,z) = \frac{z}{x-y}$

정답·풀이 보기

등위면은 $cx-cy-z=0$ 꼴의 원점을 지나는 평면, 즉 법선벡터가 $\left\langle c,-c,-1\right\rangle$ 인 원점을 지나는 평면이다.

원본 교재 풀이(영어)

The level surfaces are planes through the origin of the form $cx-cy-z=0$ , that is, planes through the origin with normal vector $\left\langle c,-c,-1\right\rangle$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.1절 · 5번

# 다변수함수와 등위곡선계산자동 분류