다변수함수의 극한과 연속 연습문제

41.OpenStax 3권 · 4.2절 · 42번대학 수준우리말 번역

다음 두 문제에서 함수가 연속인 영역을 구하세요. 답을 설명하세요.

공간의 어떤 점에서 $g(x,y,z)={x}^{2}+{y}^{2}-2{z}^{2}$ 이 연속인가요?

영어 원문 보기

For the following two exercises, determine the region in which the function is continuous. Explain your answer.

At what points in space is $g(x,y,z)={x}^{2}+{y}^{2}-2{z}^{2}$ continuous?

정답·풀이 보기

공간의 모든 점 $P(x,y,z)$

원본 교재 풀이(영어)

All points $P(x,y,z)$ in space

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 40번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

42.OpenStax 3권 · 4.2절 · 43번대학 수준우리말 번역

다음 두 문제에서 함수가 연속인 영역을 구하세요. 답을 설명하세요.

공간의 어떤 점에서 $g(x,y,z)=\frac{1}{{x}^{2}+{z}^{2}-1}$ 이 연속인가요?

영어 원문 보기

For the following two exercises, determine the region in which the function is continuous. Explain your answer.

At what points in space is $g(x,y,z)=\frac{1}{{x}^{2}+{z}^{2}-1}$ continuous?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.2절 · 3번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

43.OpenStax 3권 · 4.2절 · 45번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] CAS를 사용하여 함수의 그래프를 그려 $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{-x{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{4}}$ 의 값을 구하세요. 경로 $x={y}^{2}$ 을 따라 극한을 해석적으로 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Evaluate $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{-x{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{4}}$ by plotting the function using a CAS. Determine analytically the limit along the path $x={y}^{2}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.1절 · 8번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

44.OpenStax 3권 · 4.2절 · 46번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용]

a. 컴퓨터 대수 시스템을 이용하여 $z=\sqrt{9-{x}^{2}-{y}^{2}}$ 의 등고선 지도를 그리세요. b. 등위곡선이 나타내는 도형의 이름은 무엇인가요? c. 등위곡선의 일반 방정식을 구하세요. d. $z?$ 의 최댓값은 얼마인가요? e. 이 함수의 정의역은 무엇인가요? f. 이 함수의 치역은 무엇인가요?

영어 원문 보기

[T]

a. Use a CAS to draw a contour map of $z=\sqrt{9-{x}^{2}-{y}^{2}}.$ b. What is the name of the geometric shape of the level curves? c. Give the general equation of the level curves. d. What is the maximum value of $z?$ e. What is the domain of the function? f. What is the range of the function?

정답·풀이 보기

a.

        ![반지름이 각각 3, 2.75, 2.5, 2.2, 1.75인 다섯 개의 동심원이 있다. 원과 원 사이의 영역은 색칠되어 있으며, 반지름이 3인 원과 2.75인 원 사이의 영역이 가장 짙은 색이다.](openstax/CNX_Calc_Figure_14_02_203.jpg)

        b. 등위곡선은 중심이  $(0,0)$  이고 반지름이  $9-c$  인 원이다. c.  ${x}^{2}+{y}^{2}=9-c$  d.  $z=3$  e.  $\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^{2}|{x}^{2}+{y}^{2}\le 9\}$  f.  $\{z|0\le z\le 3\}$

원본 교재 풀이(영어)

a.

        ![A series of five concentric circles, with radii 3, 2.75, 2.5, 2.2, and 1.75. The areas between the circles are colored, with the darkest color between the circles of radii 3 and 2.75.](openstax/CNX_Calc_Figure_14_02_203.jpg)

        b. The level curves are circles centered at  $(0,0)$  with radius  $9-c.$  c.  ${x}^{2}+{y}^{2}=9-c$  d.  $z=3$  e.  $\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^{2}|{x}^{2}+{y}^{2}\le 9\}$  f.  $\{z|0\le z\le 3\}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 52번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

45.OpenStax 3권 · 4.2절 · 48번대학 수준우리말 번역

극좌표를 사용하여 $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\sin \sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$ 을 구하세요. 로피탈의 정리를 이용하여 극한을 구할 수도 있습니다.

영어 원문 보기

Use polar coordinates to find $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\sin \sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}.$ You can also find the limit using L’Hôpital’s rule.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$1.0$

원본 교재 풀이(영어)

$1.0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 26번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

46.OpenStax 3권 · 4.2절 · 49번대학 수준우리말 번역

다음 두 문제에서, 함수가 연속인 영역을 구하세요. 답을 설명하세요.

극좌표를 사용하여 $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\cos ({x}^{2}+{y}^{2})$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

For the following two exercises, determine the region in which the function is continuous. Explain your answer.

Use polar coordinates to find $\lim_{(x,y)\to (0,0)}\cos ({x}^{2}+{y}^{2}).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.1절 · 11번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

47.OpenStax 3권 · 4.2절 · 50번대학 수준우리말 번역

다음 두 문제에서 함수가 연속인 영역을 구하세요. 답을 설명하세요.

$f(t)=1/t$ 이고 $g(x,y)=2x-5y$ 일 때, $f(g(x,y))$ 의 연속성을 논하세요.

영어 원문 보기

For the following two exercises, determine the region in which the function is continuous. Explain your answer.

Discuss the continuity of $f(g(x,y))$ where $f(t)=1/t$ and $g(x,y)=2x-5y.$

정답·풀이 보기

$f(g(x,y))$ 는 직선 $2x-5y=0$ 위에 있지 않은 모든 점 $(x,y)$ 에서 연속이다.

원본 교재 풀이(영어)

$f(g(x,y))$ is continuous at all points $(x,y)$ that are not on the line $2x-5y=0.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 46번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

48.OpenStax 3권 · 4.2절 · 51번대학 수준우리말 번역

다음 두 문제에서 함수가 연속인 영역을 구하세요. 답을 설명하세요.

$f(x,y)={x}^{2}-4y$ 일 때, $\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

For the following two exercises, determine the region in which the function is continuous. Explain your answer.

Given $f(x,y)={x}^{2}-4y,$ find $\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.2절 · 5번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

49.OpenStax 3권 · 4.2절 · 52번대학 수준우리말 번역

다음 두 문제에서 함수가 연속인 영역을 구하세요. 답을 설명하세요.

$f(x,y)={x}^{2}-4y$ 일 때, $\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h,y)-f(1,y)}{h}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

For the following two exercises, determine the region in which the function is continuous. Explain your answer.

Given $f(x,y)={x}^{2}-4y,$ find $\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h,y)-f(1,y)}{h}.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$2.0$

원본 교재 풀이(영어)

$2.0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 44번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

50.APEX · 12.2절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10에서 집합 $S$ 가 주어져 있다.

(a) 가능하면 $S$ 의 경계점 하나와 내부점 하나를 구하세요. (b) $S$ 가 열린집합인지, 닫힌집합인지, 둘 다 아닌지 답하세요. (c) $S$ 가 유계인지 유계가 아닌지 답하세요.

$\displaystyle S = \left\{(x,y)\,\left| \, \frac{(x-1)^2}{4}+\frac{(y-3)^2}{9}\leq 1\right.\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 7–10, a set $S$ is given.

(a) Give one boundary point and one interior point, when possible, of $S$ . (b) State whether $S$ is open, closed, or neither. (c) State whether $S$ is bounded or unbounded.

$\displaystyle S = \left\{(x,y)\,\left| \, \frac{(x-1)^2}{4}+\frac{(y-3)^2}{9}\leq 1\right.\right\}$

정답·풀이 보기

(a) 답은 다양하다.

내부점: $(1,3)$

경계점: $(3,3)$

(b) $S$ 는 닫힌집합이다

(c) $S$ 는 유계이다

원본 교재 풀이(영어)

(a) Answers will vary.

interior point: $(1,3)$

boundary point: $(3,3)$

(b) $S$ is a closed set

(c) $S$ is bounded

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.2절 · 4번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

51.APEX · 12.2절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10에서 집합 $S$ 가 주어졌습니다.

(a) 가능하다면 $S$ 의 경계점과 내부점을 각각 하나씩 구하세요. (b) $S$ 가 열린집합인지, 닫힌집합인지, 둘 다 아닌지 설명하세요. (c) $S$ 가 유계인지 비유계인지 설명하세요.

$\displaystyle S = \left\{(x,y)\,| \, y\neq x^2\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 7–10, a set $S$ is given.

(a) Give one boundary point and one interior point, when possible, of $S$ . (b) State whether $S$ is open, closed, or neither. (c) State whether $S$ is bounded or unbounded.

$\displaystyle S = \left\{(x,y)\,| \, y\neq x^2\right\}$

정답·풀이 보기

(a) 답은 여러 가지가 가능하다.

내부점: $(-5,28)$

경계점: $(3,9)$

(b) $S$ 는 열린집합이다.

(c) $S$ 는 유계가 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Answers will vary.

interior point: $(-5,28)$

boundary point: $(3,9)$

(b) $S$ is an open set

(c) $S$ is unbounded

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 46번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

52.APEX · 12.2절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10에서 집합 $S$ 가 주어졌습니다.

(a) 가능하다면 $S$ 의 경계점과 내부점을 각각 하나씩 구하세요. (b) $S$ 가 열린집합인지, 닫힌집합인지, 둘 다 아닌지 설명하세요. (c) $S$ 가 유계인지 비유계인지 설명하세요.

$\displaystyle S = \left\{(x,y)\,| \, x^2+y^2=1\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 7–10, a set $S$ is given.

(a) Give one boundary point and one interior point, when possible, of $S$ . (b) State whether $S$ is open, closed, or neither. (c) State whether $S$ is bounded or unbounded.

$\displaystyle S = \left\{(x,y)\,| \, x^2+y^2=1\right\}$

정답·풀이 보기

(a) 답은 여러 가지가 가능하다.

내부점: 없다.

경계점: $(0,-1)$

(b) $S$ 는 경계점으로만 이루어진 닫힌집합이다.

(c) $S$ 는 유계이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Answers will vary.

interior point: none

boundary point: $(0,-1)$

(b) $S$ is a closed set, consisting only of boundary points

(c) $S$ is bounded

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 22번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

53.APEX · 12.2절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10에서 집합 $S$ 가 주어졌습니다.

(a) 가능하다면 $S$ 의 경계점과 내부점을 각각 하나씩 구하세요. (b) $S$ 가 열린집합인지, 닫힌집합인지, 둘 다 아닌지 설명하세요. (c) $S$ 가 유계인지 비유계인지 설명하세요.

$\displaystyle S=\{ (x,y) | y>\sin x\}$

영어 원문 보기

In Exercises 7–10, a set $S$ is given.

(a) Give one boundary point and one interior point, when possible, of $S$ . (b) State whether $S$ is open, closed, or neither. (c) State whether $S$ is bounded or unbounded.

$\displaystyle S=\{ (x,y) | y>\sin x\}$

정답·풀이 보기

(a) 답은 여러 가지가 가능하다.

내부점: $(0,1)$

경계점: $(0,0)$

(b) $S$ 는 경계점을 모두 포함하는 닫힌집합이다.

(c) $S$ 는 유계가 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Answers will vary.

Interior point: $(0,1)$

Boundary point: $(0,0)$

(b) $S$ is a closed set, containing all of its boundary points.

(c) $S$ is unbounded.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 12번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

54.APEX · 12.2절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서 다음 물음에 답하세요.

(a) 주어진 함수의 정의역 $D$ 를 구하세요. (b) $D$ 가 열린집합인지 닫힌집합인지 설명하세요. (c) $D$ 가 유계인지 비유계인지 설명하세요.

$\displaystyle f(x,y) = \sqrt{9-x^2-y^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14:

(a) Find the domain $D$ of the given function. (b) State whether $D$ is an open or closed set. (c) State whether $D$ is bounded or unbounded.

$\displaystyle f(x,y) = \sqrt{9-x^2-y^2}$

정답·풀이 보기

(a) $D = \left\{(x,y)\, |\, 9-x^2-y^2\geq 0\right\}$ 이다. (b) $D$ 는 닫힌집합이다. (c) $D$ 는 유계이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $D = \left\{(x,y)\, |\, 9-x^2-y^2\geq 0\right\}$ . (b) $D$ is a closed set. (c) $D$ is bounded.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 24번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

55.APEX · 12.2절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서 다음 물음에 답하세요.

(a) 주어진 함수의 정의역 $D$ 를 구하세요. (b) $D$ 가 열린집합인지 닫힌집합인지 답하세요. (c) $D$ 가 유계인지 비유계인지 설명하세요.

$\displaystyle f(x,y) = \sqrt{y-x^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14:

(a) Find the domain $D$ of the given function. (b) State whether $D$ is an open or closed set. (c) State whether $D$ is bounded or unbounded.

$\displaystyle f(x,y) = \sqrt{y-x^2}$

정답·풀이 보기

(a) $D = \left\{(x,y)\, |\, y\geq x^2\right\}$ 이다. (b) $D$ 는 닫힌집합이다. (c) $D$ 는 유계가 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $D = \left\{(x,y)\, |\, y\geq x^2\right\}$ . (b) $D$ is a closed set. (c) $D$ is unbounded.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 40번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

56.APEX · 12.2절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서 다음을 하세요.

(a) 주어진 함수의 정의역 $D$ 를 구하세요. (b) $D$ 가 열린집합인지 닫힌집합인지 말하세요. (c) $D$ 가 유계인지 비유계인지 말하세요.

$\displaystyle f(x,y) = \frac{1}{\sqrt{y-x^2}}$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14:

(a) Find the domain $D$ of the given function. (b) State whether $D$ is an open or closed set. (c) State whether $D$ is bounded or unbounded.

$\displaystyle f(x,y) = \frac{1}{\sqrt{y-x^2}}$

정답·풀이 보기

(a) $D = \left\{(x,y)\, |\, y> x^2\right\}$ 이다. (b) $D$ 는 열린집합이다. (c) $D$ 는 비유계이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $D = \left\{(x,y)\, |\, y> x^2\right\}$ . (b) $D$ is an open set. (c) $D$ is unbounded.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 44번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

57.APEX · 12.2절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서 다음을 하세요.

(a) 주어진 함수의 정의역 $D$ 를 구하세요. (b) $D$ 가 열린집합인지 닫힌집합인지 말하세요. (c) $D$ 가 유계인지 비유계인지 말하세요.

$\displaystyle f(x,y) = \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14:

(a) Find the domain $D$ of the given function. (b) State whether $D$ is an open or closed set. (c) State whether $D$ is bounded or unbounded.

$\displaystyle f(x,y) = \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$

정답·풀이 보기

(a) $D = \left\{(x,y)\, |\, (x,y)\neq (0,0) \right\}$ 이다. (b) $D$ 는 열린집합이다. (c) $D$ 는 비유계이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $D = \left\{(x,y)\, |\, (x,y)\neq (0,0) \right\}$ . (b) $D$ is an open set. (c) $D$ is unbounded.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 22번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

58.APEX · 12.2절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–20에서 극한이 주어져 있다. 주어진 경로를 따라 극한값을 구한 다음, 이 결과가 왜 주어진 극한이 존재하지 않음을 보여 주는지 말하세요.

$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$

(a) 경로 $y=0$ 을 따라. (b) 경로 $x=0$ 을 따라.

영어 원문 보기

In Exercises 15–20, a limit is given. Evaluate the limit along the paths given, then state why these results show the given limit does not exist.

$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$

(a) Along the path $y=0$ . (b) Along the path $x=0$ .

정답·풀이 보기

(a) $y=0$ 을 따라 극한은 1이다. (b) $x=0$ 을 따라 극한은 $-1$ 이다.

위의 극한이 서로 같지 않으므로 극한은 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Along $y=0$ , the limit is 1. (b) Along $x=0$ , the limit is $-1$ .

Since the above limits are not equal, the limit does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 12.2절 · 4번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

59.APEX · 12.2절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–20에서 극한이 주어져 있다. 주어진 경로를 따라 극한값을 구한 다음, 이 결과가 왜 주어진 극한이 존재하지 않음을 보여 주는지 말하세요.

$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x+y}{x-y}$

(a) 경로 $y=mx$ 를 따라.

영어 원문 보기

In Exercises 15–20, a limit is given. Evaluate the limit along the paths given, then state why these results show the given limit does not exist.

$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x+y}{x-y}$

(a) Along the path $y=mx$ .

정답·풀이 보기

(a) $y=mx$ 를 따라 극한은 $\frac{m+1}{m-1}$ 이다.

위의 극한은 어떤 $m$ 을 사용하느냐에 따라 달라지므로 각 극한이 서로 다르고, 따라서 전체 극한은 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Along $y=mx$ , the limit is $\frac{m+1}{m-1}$ .

Since the above limit varies according to what $m$ is used, each limit is different, meaning the overall limit does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 46번

# 다변수함수의 극한과 연속계산자동 분류

60.APEX · 12.2절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–20에서 극한이 주어져 있다. 주어진 경로를 따라 극한값을 구한 다음, 이 결과가 왜 주어진 극한이 존재하지 않음을 보여 주는지 말하세요.

$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy-y^2}{y^2+x}$

(a) 경로 $y=mx$ 를 따라. (b) 경로 $x=0$ 을 따라.

영어 원문 보기

In Exercises 15–20, a limit is given. Evaluate the limit along the paths given, then state why these results show the given limit does not exist.

$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy-y^2}{y^2+x}$

(a) Along the path $y=mx$ . (b) Along the path $x=0$ .

정답·풀이 보기

(a) $y=mx$ 를 따라 극한은 모든 $m$ 에 대해 $\displaystyle \frac{mx(1-m)}{m^2x+1}=0$ 이다. (b) $x=0$ 을 따라 극한은 $-1$ 이다.

위의 극한이 서로 같지 않으므로 극한은 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Along $y=mx$ , the limit is $\displaystyle \frac{mx(1-m)}{m^2x+1}=0$ for all $m$ . (b) Along $x=0$ , the limit is $-1$ .

Since the above limits are not equal, the limit does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.2절 · 8번

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