급수 심화 전체 연습문제

21.APEX · 8.5절 · 4번대학 수준우리말 번역

_____ 수렴하는 급수의 합은 항의 순서를 바꾸어 배열하면 달라질 수 있다.

영어 원문 보기

The sum of a _____ convergent series can be changed by rearranging the order of its terms.

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조건부

원본 교재 풀이(영어)

conditionally

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.5절 · 38번

# 교대급수개념 확인자동 분류

22.APEX · 8.6절 · 1번대학 수준우리말 번역

$x$ 의 값에 관계없이 $x^0=$ _____ 로 약속한다.

영어 원문 보기

We adopt the convention that $x^0=$ _____, regardless of the value of $x$ .

답 쓰고 채점

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1

원본 교재 풀이(영어)

1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.6절 · 4번

# 멱급수와 수렴 반경개념 확인자동 분류

23.APEX · 8.6절 · 2번대학 수준우리말 번역

수렴 반지름과 수렴 구간의 차이는 무엇인가요?

영어 원문 보기

What is the difference between the radius of convergence and the interval of convergence?

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수렴 반지름은 $x=c$ 를 중심으로 하는 거듭제곱급수가 $(c-R,c+R)$ 안의 모든 $x$ 의 값에 대해 수렴하도록 하는 값 $R$ 이다. 수렴 구간은 거듭제곱급수가 수렴하는 구간이며, $(c-R,c+R)$ 와는 양 끝점에서만 다를 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

The radius of convergence is a value $R$ such that a power series, centered at $x=c$ , converges for all values of $x$ in $(c-R,c+R)$ . The interval of convergence is an interval on which the power series converges; it may differ from $(c-R,c+R)$ only at the endpoints.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.6절 · 3번

# 멱급수와 수렴 반경개념 확인자동 분류

24.APEX · 8.6절 · 3번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 의 수렴 반지름이 5이면, $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n\cdot a_nx^{n-1}$ 의 수렴 반지름은 얼마인가요?

영어 원문 보기

If the radius of convergence of $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ is 5, what is the radius of convergence of $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n\cdot a_nx^{n-1}$ ?

답 쓰고 채점

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5

원본 교재 풀이(영어)

5

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.6절 · 1번

# 멱급수와 수렴 반경개념 확인자동 분류

25.APEX · 8.6절 · 4번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 의 수렴 반지름이 5이면, $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^na_nx^n$ 의 수렴 반지름은 얼마인가요?

영어 원문 보기

If the radius of convergence of $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ is 5, what is the radius of convergence of $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^na_nx^n$ ?

답 쓰고 채점

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5

원본 교재 풀이(영어)

5

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.5절 · 22번

# 멱급수와 수렴 반경개념 확인자동 분류

26.APEX · 8.7절 · 1번대학 수준우리말 번역

테일러 다항식과 매클로린 다항식의 차이는 무엇입니까?

영어 원문 보기

What is the difference between a Taylor polynomial and a Maclaurin polynomial?

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매클로린 다항식은 테일러 다항식의 특수한 경우이다. 테일러 다항식은 특정한 $x$ 값을 중심으로 하며, 그 $x$ 값이 0일 때 매클로린 다항식이 된다.

원본 교재 풀이(영어)

The Maclaurin polynomial is a special case of Taylor polynomials. Taylor polynomials are centered at a specific $x$ -value; when that $x$ -value is 0, it is a Maclauring polynomial.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.7절 · 3번

# 테일러 다항식과 오차개념 확인자동 분류

27.APEX · 8.7절 · 2번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 일반적으로 $n$ 이 커질수록 $p_n(x)$ 는 $f(x)$ 를 점점 더 잘 근사한다.

영어 원문 보기

T/F: In general, $p_n(x)$ approximates $f(x)$ better and better as $n$ gets larger.

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T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.7절 · 1번

# 테일러 다항식과 오차개념 확인자동 분류

28.APEX · 8.7절 · 3번대학 수준우리말 번역

어떤 함수 $f(x)$ 에 대하여 4차 매클로린 다항식이 $p_4(x) = 6+3x-4x^2+5x^3-7x^4$ 이다. $p_2(x)$ 는 무엇입니까?

영어 원문 보기

For some function $f(x)$ , the Maclaurin polynomial of degree 4 is $p_4(x) = 6+3x-4x^2+5x^3-7x^4$ . What is $p_2(x)$ ?

정답·풀이 보기

$p_2(x) = 6+3x-4x^2$ .

원본 교재 풀이(영어)

$p_2(x) = 6+3x-4x^2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 10번

# 테일러 다항식과 오차개념 확인자동 분류

29.APEX · 8.7절 · 4번대학 수준우리말 번역

어떤 함수 $f(x)$ 에 대하여 4차 매클로린 다항식이 $p_4(x) = 6+3x-4x^2+5x^3-7x^4$ 이다. $f\,'''(0)$ 은 무엇입니까?

영어 원문 보기

For some function $f(x)$ , the Maclaurin polynomial of degree 4 is $p_4(x) = 6+3x-4x^2+5x^3-7x^4$ . What is $f\,'''(0)$ ?

정답·풀이 보기

$f\,'''(0)=30$

원본 교재 풀이(영어)

$f\,'''(0)=30$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.7절 · 2번

# 테일러 다항식과 오차개념 확인자동 분류

30.APEX · 8.8절 · 1번대학 수준우리말 번역

테일러 다항식과 테일러 급수의 차이는 무엇입니까?

영어 원문 보기

What is the difference between a Taylor polynomial and a Taylor series?

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테일러 다항식은 유한한 개수의 항을 포함하는 다항식이다. 테일러 급수는 무한히 많은 항의 합인 급수이다.

원본 교재 풀이(영어)

A Taylor polynomial is a polynomial, containing a finite number of terms. A Taylor series is a series, the summation of an infinite number of terms.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.6절 · 47번

# 테일러·매클로린 급수개념 확인자동 분류

31.CLP-1 · 3.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

$f(x)=7x^2-3x+4$ 라 하자. $x$ 의 측정값이 $x_0 = 2$ 이지만 $x$ 의 실제 값은 $x_0+\Delta x$ 라 하자. 또한 측정 오차가 $\Delta x = 1$ 이라 하자. $x_0$ 에서 $x$ 가 $\Delta x$ 만큼 변할 때 $f(x)$ 의 변화량을 $\Delta y$ 라 하자. 즉, $\Delta y = f\left(x_0+\Delta x\right)-f(x_0)$ 이다.

다음이 참인지 거짓인지 판단하세요: $\Delta y = f'(2)(1)=25$

영어 원문 보기

Let $f(x)=7x^2-3x+4$ . Suppose we measure $x$ to be $x_0 = 2$ but that the real value of $x$ is $x_0+\Delta x$ . Suppose further that the error in our measurement is $\Delta x = 1$ . Let $\Delta y$ be the change in $f(x)$ corresponding to a change of $\Delta x$ in $x_0$ . That is, $\Delta y = f\left(x_0+\Delta x\right)-f(x_0)$ .

True or false: $\Delta y = f'(2)(1)=25$

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정답·풀이 보기

거짓이다. 선형 근사는 근삿값일 뿐이다. 선형 근사로부터 $\Delta y \approx f'(x_0)\Delta x=f'(2)(1)=25$ 를 얻는다. 그러나 $\Delta y$ 의 정의에 따르면 $\Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f(2+1)-f(2)=58-26=32$ 이다.

참고: 이 절의 계산은 실제 오차의 한계가 아니라 오차 한계의 추정임을 강조하기 위한 것이다. 우리가 말할 수 있는 것은 오차가 어떤 수보다 크지 않을 것이라고 추정한다는 것뿐이며, 그것을 보장하지는 않는다.

다음 절에서는 정확함이 보장되는 오차 한계를 소개할 것이다. 이는 대개 이 절의 추정보다 계산하기가 더 어렵다.

원본 교재 풀이(영어)

False. The linear approximation is an approximation. It tells us $\Delta y \approx f'(x_0)\Delta x=f'(2)(1)=25$ However, from our definition of $\Delta y$ , $\Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f(2+1)-f(2)=58-26=32$

Remark: this is to emphasize that the calculations in this subsection are estimations of error bounds, rather than actual error bounds. All we can say is that we estimate the error will be no more than some number–we don't guarantee it.

In the next subsection, we will introduce an error bound that is guaranteed to be accurate. It is usually harder to calculate than the estimations in this section.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 3번

# 테일러 다항식과 오차개념 확인기본자동 분류

32.CLP-1 · 3.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

$f(x)$ 가 함수이고 이를 $F(x)$ 로 근사했다고 하자. 또한 $f(10)=-3$ 이고 근삿값은 $F(10)=5$ 라고 하자. $R(x)=f(x)-F(x)$ 라 하자.

(a) 참 또는 거짓: $|R(10)| \leq 7$ (b) 참 또는 거짓: $|R(10)| \leq 8$ (c) 참 또는 거짓: $|R(10)| \leq 9$ (d) 참 또는 거짓: $|R(10)| \leq 100$

영어 원문 보기

Suppose $f(x)$ is a function that we approximated by $F(x)$ . Further, suppose $f(10)=-3$ , while our approximation was $F(10)=5$ . Let $R(x)=f(x)-F(x)$ .

(a) True or false: $|R(10)| \leq 7$ (b) True or false: $|R(10)| \leq 8$ (c) True or false: $|R(10)| \leq 9$ (d) True or false: $|R(10)| \leq 100$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

(d)

정답·풀이 보기

주어진 정보에서 $|R(10)|=|f(10)-F(10)|=|-3-5|=|-8|=8$ 이므로 (a)는 거짓이고(8은 7보다 작거나 같지 않으므로), (b), (c), (d)는 참이다.

참고: $R(x)$ 는 근사에서 생기는 오차이다. 본문에서 언급했듯이 $R$ 을 정확히 아는 경우는 거의 없지만, 그 한계(상한)는 제시할 수 있다. 가장 정밀한 한계가 필요한 것은 아니며, 계산하기 쉬운 적당한 한계면 충분하다. 실제 함수와 근사를 다룬다면 $|R(10)|=8$ 임은 모를 수도 있지만, 그것이 많아야 9라는 것을 안다면 꽤 괜찮은 근사이다.

이 절에서는 계산하기 쉬운 한계를 얻기 위해 단순화하는 가정을 자주 하게 된다. 하지만 지나치게 하지는 말아야 한다. 절대오차가 많아야 100이라는 말은 참이지만, 이 진술은 한계로서는 별로 도움이 되지 않을 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

From the given information, $|R(10)|=|f(10)-F(10)|=|-3-5|=|-8|=8$ So, (a) is false (since 8 is not less than or equal to 7), while (b), (c), and (d) are true.

Remark: $R(x)$ is the error in our approximation. As mentioned in the text, we almost never know $R$ exactly, but we can give a bound. We don't need the tightest bound–just a reasonable one that is easy to calculate. If we were dealing with real functions and approximations, we might not know that $|R(10)|=8$ , but if we knew it was at most 9, that would be a pretty decent approximation.

Often in this section, we will make simplifying assumptions to get a bound that is easy to calculate. But, don't go overboard! It is a true statement to say that our absolute error is at most 100, but this statement would probably not be very helpful as a bound.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 3번

# 테일러 다항식과 오차개념 확인기본자동 분류

33.CLP-2 · 3.3절 · 15번대학 수준우리말 번역

다음 각 명제가 참인지 거짓인지 판단하세요. 거짓이면 반례를 제시하고, 참이면 간단히 이유를 설명하세요.

(a) $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$ 이면 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ 은 수렴한다. (b) $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$ 이면 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n\mathstrut} a_n$ 은 수렴한다. (c) $0\le a_n \le b_n$ 이고 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$ 이 발산하면 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ 도 발산한다.

영어 원문 보기

Decide whether each of the following statements is true or false. If false, provide a counterexample. If true provide a brief justification.

(a) If $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$ , then $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ converges. (b) If $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$ , then $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n\mathstrut} a_n$ converges. (c) If $0\le a_n \le b_n$ and $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$ diverges, then $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ diverges.

정답·풀이 보기

(a) 일반적으로 거짓이다. 조화급수 $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ 은 $p=1$ 인 $p$ -급수 판정법에 의해 발산한다.

(b) 주의해야 한다. $a_n$ 이 양수라는 조건은 주어지지 않았다. 따라서 이 명제는 일반적으로 거짓이다. $a_n =(-1)^n\frac{1}{n}$ 이면 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n\mathstrut} a_n$ 은 다시 조화급수 $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ 이 되고, 이 급수는 발산한다.

(c) 일반적으로 거짓이다. 예를 들어 $a_n=0$ , $b_n=1$ 로 놓으면 된다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) In general false. The harmonic series $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ diverges by the $p$ –test with $p=1$ .

(b) Be careful. You were not told that the $a_n$ 's are positive. So this is false in general. If $a_n =(-1)^n\frac{1}{n}$ , then $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n\mathstrut} a_n$ is again the harmonic series $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$ , which diverges.

(c) In general false. Take, for example, $a_n=0$ and $b_n=1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.3절 · 16번

# 비교 판정법개념 확인기본자동 분류

급수 심화 전체 문제