빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

면적분과 플럭스

곡면 위에서 스칼라 함수와 벡터장(플럭스)을 적분한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
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77문제 · 4 / 4쪽

61.APEX · 14.6절 · 4번대학 수준우리말 번역

S\mathcal{S}가 평면이고 F⃗\vec F가 항상 S\mathcal{S}에 평행하면, S\mathcal{S}를 가로지르는 F⃗\vec F의 플럭스는 _____이다.

영어 원문 보기

If S\mathcal{S} is a plane, and F⃗\vec F is always parallel to S\mathcal{S}, then the flux of F⃗\vec F across S\mathcal{S} will be _____.

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.6절 · 3번
# 면적분과 플럭스개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
62.APEX · 14.6절 · 5번대학 수준우리말 번역

5–6번 문제에서는 밀도가 δ\delta 인 얇은 판 모양의 재료를 나타내는 곡면 S\mathcal{S} 가 주어진다. 각 얇은 판의 질량을 구하세요.

S\mathcal{S} 는 −2≤x≤2-2\leq x\leq 2, −3≤y≤3-3\leq y\leq 3 에서 평면 f(x,y)=x+yf(x,y)=x+y 이고, δ(x,y,z)=z\delta(x,y,z) = z 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–6, a surface S\mathcal{S} that represents a thin sheet of material with density δ\delta is given. Find the mass of each thin sheet.

S\mathcal{S} is the plane f(x,y)=x+yf(x,y)=x+y on −2≤x≤2-2\leq x\leq 2, −3≤y≤3-3\leq y\leq 3, with δ(x,y,z)=z\delta(x,y,z) = z.

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2403240\sqrt{3}

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2403240\sqrt{3}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.3절 · 31번
# 면적분과 플럭스계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
63.APEX · 14.6절 · 6번대학 수준우리말 번역

5–6번 문제에서는 밀도가 δ\delta 인 얇은 판 모양의 재료를 나타내는 곡면 S\mathcal{S} 가 주어진다. 각 얇은 판의 질량을 구하세요.

S\mathcal{S} 는 단위구이고, δ(x,y,z)=x+y+z+10\delta(x,y,z) = x+y+z+10 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–6, a surface S\mathcal{S} that represents a thin sheet of material with density δ\delta is given. Find the mass of each thin sheet.

S\mathcal{S} is the unit sphere, with δ(x,y,z)=x+y+z+10\delta(x,y,z) = x+y+z+10.

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40π40\pi

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40π40\pi

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 53번
# 면적분과 플럭스계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
64.APEX · 14.6절 · 7번대학 수준우리말 번역

7–14번 문제에서는 곡면 S\mathcal{S} 와 벡터장 F⃗\vec F 가 주어진다. S\mathcal{S} 를 지나는 F⃗\vec F 의 플럭스를 계산하세요. (별도의 언급이 없는 한, S\mathcal{S} 가 닫힌 곡면이 아니면 n⃗\vec n 은 zz 성분이 양수가 되도록 택한다.)

S\mathcal{S} 는 0≤x≤10\leq x\leq 1, 1≤y≤41\leq y\leq 4 에서 평면 f(x,y)=3x+yf(x,y) = 3x+y 이고, F⃗=⟨x2,−z,2y⟩\vec F = \langle x^2,-z,2y\rangle 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a surface S\mathcal{S} and a vector field F⃗\vec F are given. Compute the flux of F⃗\vec F across S\mathcal{S}. (If S\mathcal{S} is not a closed surface, choose n⃗\vec n so that it has a positive zz-component, unless otherwise indicated.)

S\mathcal{S} is the plane f(x,y)=3x+yf(x,y) = 3x+y on 0≤x≤10\leq x\leq 1, 1≤y≤41\leq y\leq 4; F⃗=⟨x2,−z,2y⟩\vec F = \langle x^2,-z,2y\rangle.

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2424

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2424

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 9번
# 면적분과 플럭스계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
65.APEX · 14.6절 · 8번대학 수준우리말 번역

7–14번 문제에서는 곡면 S\mathcal{S} 와 벡터장 F⃗\vec F 가 주어진다. S\mathcal{S} 를 지나는 F⃗\vec F 의 플럭스를 계산하세요. (별도의 언급이 없는 한, S\mathcal{S} 가 닫힌 곡면이 아니면 n⃗\vec n 은 zz 성분이 양수가 되도록 택한다.)

S\mathcal{S} 는 꼭짓점이 (0,0)(0,0), (1,0)(1,0), (1,5)(1,5) 인 삼각형 위의 평면 f(x,y)=8−x−yf(x,y) = 8-x-y 이고, F⃗=⟨3,1,2⟩\vec F = \langle 3,1,2\rangle 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a surface S\mathcal{S} and a vector field F⃗\vec F are given. Compute the flux of F⃗\vec F across S\mathcal{S}. (If S\mathcal{S} is not a closed surface, choose n⃗\vec n so that it has a positive zz-component, unless otherwise indicated.)

S\mathcal{S} is the plane f(x,y)=8−x−yf(x,y) = 8-x-y over the triangle with vertices at (0,0)(0,0), (1,0)(1,0) and (1,5)(1,5); F⃗=⟨3,1,2⟩\vec F = \langle 3,1,2\rangle.

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1515

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1515

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 41번
# 면적분과 플럭스계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
66.APEX · 14.6절 · 9번대학 수준우리말 번역

7–14번 문제에서는 곡면 S\mathcal{S} 와 벡터장 F⃗\vec F 가 주어진다. S\mathcal{S} 를 지나는 F⃗\vec F 의 플럭스를 계산하세요. (별도의 언급이 없는 한, S\mathcal{S} 가 닫힌 곡면이 아니면 n⃗\vec n 은 zz 성분이 양수가 되도록 택한다.)

S\mathcal{S} 는 단위원판 위의 포물면 f(x,y)=x2+y2f(x,y) = x^2+y^2 이고, F⃗=⟨1,0,0⟩\vec F = \langle 1,0,0\rangle 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a surface S\mathcal{S} and a vector field F⃗\vec F are given. Compute the flux of F⃗\vec F across S\mathcal{S}. (If S\mathcal{S} is not a closed surface, choose n⃗\vec n so that it has a positive zz-component, unless otherwise indicated.)

S\mathcal{S} is the paraboloid f(x,y)=x2+y2f(x,y) = x^2+y^2 over the unit disk; F⃗=⟨1,0,0⟩\vec F = \langle 1,0,0\rangle.

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00

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 49번
# 면적분과 플럭스계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
67.APEX · 14.6절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–14에서 곡면 S\mathcal{S} 와 벡터장 F⃗\vec F 가 주어져 있다. S\mathcal{S} 를 지나는 F⃗\vec F 의 플럭스를 계산하라. (달리 지시가 없는 한, S\mathcal{S} 가 닫힌 곡면이 아니면 n⃗\vec n 은 zz 성분이 양수가 되도록 택한다.)

S\mathcal{S} 는 단위구면이고, F⃗=⟨y−z,z−x,x−y⟩\vec F = \langle y-z,z-x,x-y\rangle 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a surface S\mathcal{S} and a vector field F⃗\vec F are given. Compute the flux of F⃗\vec F across S\mathcal{S}. (If S\mathcal{S} is not a closed surface, choose n⃗\vec n so that it has a positive zz-component, unless otherwise indicated.)

S\mathcal{S} is the unit sphere; F⃗=⟨y−z,z−x,x−y⟩\vec F = \langle y-z,z-x,x-y\rangle.

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00

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.3절 · 42번
# 면적분과 플럭스계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
68.APEX · 14.6절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–14에서 곡면 S\mathcal{S} 와 벡터장 F⃗\vec F 가 주어져 있다. S\mathcal{S} 를 지나는 F⃗\vec F 의 플럭스를 계산하라. (달리 지시가 없는 한, S\mathcal{S} 가 닫힌 곡면이 아니면 n⃗\vec n 은 zz 성분이 양수가 되도록 택한다.)

S\mathcal{S} 는 공간에서 꼭짓점이 (0,0,0)(0,0,0), (1,0,0)(1,0,0), (1,0,1)(1,0,1), (0,0,1)(0,0,1) 인 정사각형이고(n⃗\vec n 은 yy 성분이 양수가 되도록 택한다), F⃗=⟨0,−z,y⟩\vec F = \langle 0,-z,y\rangle 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a surface S\mathcal{S} and a vector field F⃗\vec F are given. Compute the flux of F⃗\vec F across S\mathcal{S}. (If S\mathcal{S} is not a closed surface, choose n⃗\vec n so that it has a positive zz-component, unless otherwise indicated.)

S\mathcal{S} is the square in space with corners at (0,0,0)(0,0,0), (1,0,0)(1,0,0), (1,0,1)(1,0,1) and (0,0,1)(0,0,1) (choose n⃗\vec n such that it has a positive yy-component); F⃗=⟨0,−z,y⟩\vec F = \langle 0,-z,y\rangle.

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−1/2-1/2

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−1/2-1/2

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.3절 · 10번
# 면적분과 플럭스계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
69.APEX · 14.6절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–14에서 곡면 S\mathcal{S} 와 벡터장 F⃗\vec F 가 주어져 있다. S\mathcal{S} 를 지나는 F⃗\vec F 의 플럭스를 계산하세요. (달리 지시가 없는 한, S\mathcal{S} 가 닫힌 곡면이 아니면 n⃗\vec n 은 zz 성분이 양수가 되도록 택한다.)

S\mathcal{S} 는 yy-zz 평면 위에서 중심이 (0,1,1)(0,1,1) 이고 반지름이 1인 원판이고(n⃗\vec n 은 xx 성분이 양수가 되도록 택한다), F⃗=⟨y,z,x⟩\vec F = \langle y,z,x\rangle 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a surface S\mathcal{S} and a vector field F⃗\vec F are given. Compute the flux of F⃗\vec F across S\mathcal{S}. (If S\mathcal{S} is not a closed surface, choose n⃗\vec n so that it has a positive zz-component, unless otherwise indicated.)

S\mathcal{S} is the disk in the yy-zz plane with radius 1, centered at (0,1,1)(0,1,1) (choose n⃗\vec n such that it has a positive xx-component); F⃗=⟨y,z,x⟩\vec F = \langle y,z,x\rangle.

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π\pi

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π\pi

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 21번
# 면적분과 플럭스계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
70.APEX · 14.6절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–14에서 곡면 S\mathcal{S} 와 벡터장 F⃗\vec F 가 주어져 있다. S\mathcal{S} 를 지나는 F⃗\vec F 의 플럭스를 계산하세요. (달리 지시가 없는 한, S\mathcal{S} 가 닫힌 곡면이 아니면 n⃗\vec n 은 zz 성분이 양수가 되도록 택한다.)

S\mathcal{S} 는 닫힌 곡면으로, 경계가 xx-yy 평면 위의 타원 x225+y29=1\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}9 = 1 인 S1\mathcal{S}_1 과 타원포물면 f(x,y)=1−x225−y29f(x,y) = 1-\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}9 의 일부인 S2\mathcal{S}_2 로 이루어져 있다(그래프 참조). F⃗=⟨5,2,3⟩\vec F = \langle 5,2,3\rangle 이다.

그림

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a surface S\mathcal{S} and a vector field F⃗\vec F are given. Compute the flux of F⃗\vec F across S\mathcal{S}. (If S\mathcal{S} is not a closed surface, choose n⃗\vec n so that it has a positive zz-component, unless otherwise indicated.)

S\mathcal{S} is the closed surface composed of S1\mathcal{S}_1, whose boundary is the ellipse in the xx-yy plane described by x225+y29=1\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}9 = 1 and S2\mathcal{S}_2, part of the elliptical paraboloid f(x,y)=1−x225−y29f(x,y) = 1-\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}9 (see graph); F⃗=⟨5,2,3⟩\vec F = \langle 5,2,3\rangle.

figure

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00이다. S1\mathcal{S}_1 을 지나는 플럭스는 −45π-45\pi 이고 S2\mathcal{S}_2 를 지나는 플럭스는 45π45\pi 이다.

원본 교재 풀이(영어)

00; the flux over S1\mathcal{S}_1 is −45π-45\pi and the flux over S2\mathcal{S}_2 is 45π45\pi.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.6절 · 4번
# 면적분과 플럭스그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
71.APEX · 14.6절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–14번에서 곡면 S\mathcal{S} 와 벡터장 F⃗\vec F 가 주어져 있다. S\mathcal{S} 를 지나는 F⃗\vec F 의 플럭스를 계산하세요. (S\mathcal{S} 가 닫힌 곡면이 아닌 경우, 달리 지시하지 않는 한 n⃗\vec n 은 zz성분이 양수가 되도록 택한다.)

S\mathcal{S} 는 단위구면의 일부인 S1\mathcal{S}_1 과 평면 z=1/2z=1/2 의 일부인 S2\mathcal{S}_2 로 이루어진 닫힌 곡면이고(그래프 참조), F⃗=⟨x,−y,z⟩\vec F = \langle x,-y,z\rangle 이다.

그림

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a surface S\mathcal{S} and a vector field F⃗\vec F are given. Compute the flux of F⃗\vec F across S\mathcal{S}. (If S\mathcal{S} is not a closed surface, choose n⃗\vec n so that it has a positive zz-component, unless otherwise indicated.)

S\mathcal{S} is the closed surface composed of S1\mathcal{S}_1, part of the unit sphere and S2\mathcal{S}_2, part of the plane z=1/2z=1/2 (see graph); F⃗=⟨x,−y,z⟩\vec F = \langle x,-y,z\rangle.

figure

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9π/89\pi/8; S1\mathcal{S}_1 에서의 플럭스는 3π/43\pi/4 이고(π/3≤u≤π\pi/3\leq u\leq \pi, 0≤v≤2π0\leq v\leq 2\pi 에서 r⃗(u,v)=⟨sin⁡ucos⁡v,sin⁡usin⁡v,cos⁡u⟩\vec r(u,v) = \langle \sin u\cos v,\sin u\sin v,\cos u\rangle 를 사용한다), S2\mathcal{S}_2 에서의 플럭스는 3π/83\pi/8 이다(0≤u≤2π0\leq u\leq 2\pi, 0≤v≤10\leq v\leq 1 에서 r⃗(u,v)=⟨v3cos⁡(u)/2,v3sin⁡(u)/2,1/2⟩\vec r(u,v) = \langle v\sqrt{3}\cos (u)/2, v\sqrt{3}\sin(u)/2,1/2\rangle 를 사용한다.

원본 교재 풀이(영어)

9π/89\pi/8; the flux over S1\mathcal{S}_1 is 3π/43\pi/4 (use r⃗(u,v)=⟨sin⁡ucos⁡v,sin⁡usin⁡v,cos⁡u⟩\vec r(u,v) = \langle \sin u\cos v,\sin u\sin v,\cos u\rangle on π/3≤u≤π\pi/3\leq u\leq \pi, 0≤v≤2π0\leq v\leq 2\pi) and the flux over S2\mathcal{S}_2 is 3π/83\pi/8 (use r⃗(u,v)=⟨v3cos⁡(u)/2,v3sin⁡(u)/2,1/2⟩\vec r(u,v) = \langle v\sqrt{3}\cos (u)/2, v\sqrt{3}\sin(u)/2,1/2\rangle for 0≤u≤2π0\leq u\leq 2\pi, 0≤v≤10\leq v\leq 1.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 31번
# 면적분과 플럭스그래프·표 해석자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
72.CLP-4 · 3.3절 · 10번대학 수준우리말 번역

반구 z=a2−x2−y2z=\sqrt{a^2-x^2-y^2} 중에서 원기둥 (x−a2)2+y2=(a2)2\big(x-\frac{a}{2}\big)^2+y^2=\big(\frac{a}{2}\big)^2 의 내부에 놓인 부분의 겉넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the surface area of that part of the hemisphere z=a2−x2−y2z=\sqrt{a^2-x^2-y^2} which lies within the cylinder (x−a2)2+y2=(a2)2\big(x-\frac{a}{2}\big)^2+y^2=\big(\frac{a}{2}\big)^2.

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반구의 일부분의 겉넓이를 구하려고 한다. 반구 위에서

z=f(x,y)=a2−x2−y2fx(x,y)=−xa2−x2−y2fy(x,y)=−ya2−x2−y2\begin{aligned} z=f(x,y)=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\qquad f_x(x,y)=-\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\qquad f_y(x,y)=-\frac{y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} \end{aligned}

이므로

dS=1+fx(x,y)2+fy(x,y)2 dx dy=1+x2a2−x2−y2+y2a2−x2−y2 dx dy=a2a2−x2−y2 dx dy\begin{aligned} \mathrm{d}S&=\sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2-x^2-y^2}+\frac{y^2}{a^2-x^2-y^2}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\ &=\sqrt{\frac{a^2}{a^2-x^2-y^2}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}

이다. 극좌표로 나타내면 dS=aa2−r2 r dr dθ\mathrm{d}S=\frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}}\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta 이다. 원기둥 x2−ax+y2=0x^2-ax+y^2=0 의 내부에 있는 반구 부분의 겉넓이를 구하려고 하는데, 이 원기둥의 방정식은 극좌표로 r2−arcos⁡θ=0r^2-ar\cos\theta=0 곧 r=acos⁡θr=a\cos\theta 가 된다. 적분 영역의 위쪽 절반을 아래에 그렸다.

그림

따라서

Surface Area=2∫0π/2dθ∫0acos⁡θdr raa2−r2=2a∫0π/2dθ [−a2−r2 ]0acos⁡θ=2a∫0π/2dθ [a−asin⁡θ]=2a2[θ+cos⁡θ]0π/2=a2[π−2]\begin{aligned} {\rm Surface\ Area} &= 2\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_0^{a\cos\theta}\mathrm{d}r\ r \frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}} = 2a\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ \Big[-\sqrt{a^2-r^2}\,\Big]_0^{a\cos\theta} \\ &= 2a\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ \big[a-a\sin\theta\big] \\ &= 2a^2\Big[\theta+\cos\theta\Big]_0^{\pi/2} =a^2[\pi-2] \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

We are to find the surface area of part of a hemisphere. On the hemisphere

z=f(x,y)=a2−x2−y2fx(x,y)=−xa2−x2−y2fy(x,y)=−ya2−x2−y2\begin{aligned} z=f(x,y)=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\qquad f_x(x,y)=-\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\qquad f_y(x,y)=-\frac{y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} \end{aligned}

so that

dS=1+fx(x,y)2+fy(x,y)2 dx dy=1+x2a2−x2−y2+y2a2−x2−y2 dx dy=a2a2−x2−y2 dx dy\begin{aligned} \mathrm{d}S&=\sqrt{1+f_x(x,y)^2+f_y(x,y)^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2-x^2-y^2}+\frac{y^2}{a^2-x^2-y^2}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\ &=\sqrt{\frac{a^2}{a^2-x^2-y^2}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \end{aligned}

In polar coordinates, this is dS=aa2−r2 r dr dθ\mathrm{d}S=\frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}}\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta. We are to find the surface area of the part of the hemisphere that is inside the cylinder, x2−ax+y2=0x^2-ax+y^2=0, which in polar coordinates becomes r2−arcos⁡θ=0r^2-ar\cos\theta=0 or r=acos⁡θr=a\cos\theta. The top half of the domain of integration is sketched below.

figure

So the

Surface Area=2∫0π/2dθ∫0acos⁡θdr raa2−r2=2a∫0π/2dθ [−a2−r2 ]0acos⁡θ=2a∫0π/2dθ [a−asin⁡θ]=2a2[θ+cos⁡θ]0π/2=a2[π−2]\begin{aligned} {\rm Surface\ Area} &= 2\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_0^{a\cos\theta}\mathrm{d}r\ r \frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}} = 2a\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ \Big[-\sqrt{a^2-r^2}\,\Big]_0^{a\cos\theta} \\ &= 2a\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\ \big[a-a\sin\theta\big] \\ &= 2a^2\Big[\theta+\cos\theta\Big]_0^{\pi/2} =a^2[\pi-2] \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 3번
# 면적분과 플럭스활용보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
73.CLP-4 · 3.3절 · 13번대학 수준우리말 번역

반지름이 aa인 구 껍질이 원점에 중심을 두고 있다. 이 구에서 제1팔분공간에 놓인 부분의 무게중심(즉, 밀도가 상수일 때의 질량중심)을 구하세요.

영어 원문 보기

A spherical shell of radius aa is centred at the origin. Find the centroid (i.e. the centre of mass with constant density) of the part of the sphere that lies in the first octant.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

대칭성에 의해 무게중심 (xˉ,yˉ,zˉ)(\bar x,\bar y,\bar z)는 xˉ=yˉ=zˉ\bar x=\bar y=\bar z를 만족한다. 구면좌표를 이용하여 구를 매개변수로 나타내면 다음과 같다.

r(θ,φ)=asin⁡φcos⁡θ ı^+asin⁡φsin⁡θ ȷ^+acos⁡φ k^\mathbf{r}(\theta,\varphi) = a\sin\varphi\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +a\sin\varphi\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +a\cos\varphi\,\hat{\mathbf{k}}

그러면

∂r∂θ=−asin⁡φsin⁡θ ı^+asin⁡φcos⁡θ ȷ^∂r∂φ=acos⁡φcos⁡θ ı^+acos⁡φsin⁡θ ȷ^−asin⁡φ k^\begin{aligned} \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} =-a\sin\varphi\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\sin\varphi\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\qquad \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi} =a\cos\varphi\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\cos\varphi\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} -a\sin\varphi\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이므로

∂r∂θ×∂r∂φ=det⁡[ı^ȷ^k^−asin⁡φsin⁡θasin⁡φcos⁡θ0acos⁡φcos⁡θacos⁡φsin⁡θ−asin⁡φ]=−a2sin⁡2φcos⁡θ ı^−a2sin⁡2φsin⁡θ ȷ^−a2sin⁡φcos⁡φ k^  ⟹  dS=∣∂r∂θ×∂r∂φ∣ dθ dφ=a2sin⁡φ dθ dφ\begin{aligned} \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}\times\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi} &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ -a\sin\varphi\sin\theta & a\sin\varphi\cos\theta & 0 \\ a\cos\varphi\cos\theta & a\cos\varphi\sin\theta & -a\sin\varphi \end{matrix}\right] \\ &=-a^2\sin^2\varphi\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-a^2\sin^2\varphi\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} -a^2\sin\varphi\cos\varphi\,\hat{\mathbf{k}}\\ \implies \mathrm{d}S&=\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}\times\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi}\right| \,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi =a^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi \end{aligned}

제1팔분공간에 있는 구면 부분의 겉넓이는 184πa2=πa22\frac{1}{8}4\pi a^2=\frac{\pi a^2}{2} 이므로

xˉ=yˉ=zˉ=∬Sz dS∬S dS=1πa2/2∫0π/2dθ∫0π/2dφ (a2sin⁡φ)(acos⁡φ⏞z)=2aππ2∫0π/2dφ sin⁡φcos⁡φ=a[12sin⁡2φ]0π/2=a2\begin{aligned} \bar x=\bar y=\bar z &=\frac{\iint _S z\,\mathrm{d}S}{\iint _S\,\mathrm{d}S} =\frac{1}{\pi a^2/2}\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi \ (a^2\sin\varphi)(\overbrace{a\cos\varphi}^{z}) \\ &=\frac{2a}{\pi}\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi \ \sin\varphi\cos\varphi =a\bigg[\frac{1}{2}\sin^2\varphi\bigg]_0^{\pi/2} =\frac{a}{2} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

By symmetry, the centroid (xˉ,yˉ,zˉ)(\bar x,\bar y,\bar z) obeys xˉ=yˉ=zˉ\bar x=\bar y=\bar z. Parametrize the sphere using spherical coordinates.

r(θ,φ)=asin⁡φcos⁡θ ı^+asin⁡φsin⁡θ ȷ^+acos⁡φ k^\mathbf{r}(\theta,\varphi) = a\sin\varphi\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +a\sin\varphi\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +a\cos\varphi\,\hat{\mathbf{k}}

Then

∂r∂θ=−asin⁡φsin⁡θ ı^+asin⁡φcos⁡θ ȷ^∂r∂φ=acos⁡φcos⁡θ ı^+acos⁡φsin⁡θ ȷ^−asin⁡φ k^\begin{aligned} \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} =-a\sin\varphi\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\sin\varphi\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\qquad \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi} =a\cos\varphi\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\cos\varphi\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} -a\sin\varphi\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

so that

∂r∂θ×∂r∂φ=det⁡[ı^ȷ^k^−asin⁡φsin⁡θasin⁡φcos⁡θ0acos⁡φcos⁡θacos⁡φsin⁡θ−asin⁡φ]=−a2sin⁡2φcos⁡θ ı^−a2sin⁡2φsin⁡θ ȷ^−a2sin⁡φcos⁡φ k^  ⟹  dS=∣∂r∂θ×∂r∂φ∣ dθ dφ=a2sin⁡φ dθ dφ\begin{aligned} \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}\times\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi} &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ -a\sin\varphi\sin\theta & a\sin\varphi\cos\theta & 0 \\ a\cos\varphi\cos\theta & a\cos\varphi\sin\theta & -a\sin\varphi \end{matrix}\right] \\ &=-a^2\sin^2\varphi\cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-a^2\sin^2\varphi\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} -a^2\sin\varphi\cos\varphi\,\hat{\mathbf{k}}\\ \implies \mathrm{d}S&=\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}\times\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \varphi}\right| \,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi =a^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi \end{aligned}

As the surface area of the part of the sphere in the first octant is 184πa2=πa22\frac{1}{8}4\pi a^2=\frac{\pi a^2}{2}

xˉ=yˉ=zˉ=∬Sz dS∬S dS=1πa2/2∫0π/2dθ∫0π/2dφ (a2sin⁡φ)(acos⁡φ⏞z)=2aππ2∫0π/2dφ sin⁡φcos⁡φ=a[12sin⁡2φ]0π/2=a2\begin{aligned} \bar x=\bar y=\bar z &=\frac{\iint _S z\,\mathrm{d}S}{\iint _S\,\mathrm{d}S} =\frac{1}{\pi a^2/2}\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi \ (a^2\sin\varphi)(\overbrace{a\cos\varphi}^{z}) \\ &=\frac{2a}{\pi}\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi \ \sin\varphi\cos\varphi =a\bigg[\frac{1}{2}\sin^2\varphi\bigg]_0^{\pi/2} =\frac{a}{2} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.3절 · 10번
# 면적분과 플럭스계산보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
74.CLP-4 · 3.3절 · 14번대학 수준우리말 번역

원기둥 x2+y2=2ayx^2+y^2=2ay 에서 z2=x2+y2z^2=x^2+y^2 의 바깥쪽에 놓인 부분의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the area of that part of the cylinder x2+y2=2ayx^2+y^2=2ay lying outside z2=x2+y2z^2=x^2+y^2.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

원기둥좌표계에서

x=rcos⁡θy=rsin⁡θz=zx=r\cos\theta\qquad y=r\sin\theta\qquad z=z

이 좌표계에서 원기둥의 방정식 x2+y2=2ayx^2+y^2=2ay 는

r2=2arsin⁡θ또는r=2asin⁡θr^2=2ar\sin\theta\qquad\text{또는}\qquad r=2a\sin\theta

가 된다. 즉 r=f(θ)r=f(\theta) 이고 f(θ)=2asin⁡θf(\theta) =2a\sin\theta 이다. 원기둥을 r(θ,z)=x(θ,z) ı^+y(θ,z) ȷ^+z(θ,z) k^\mathbf{r}(\theta,z) = x(\theta,z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + y(\theta,z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + z(\theta,z)\,\hat{\mathbf{k}} 로 매개화하면 다음과 같다.

x(θ,z)=f(θ)cos⁡θ=2asin⁡θcos⁡θ=asin⁡2θy(θ,z)=f(θ)sin⁡θ=2asin⁡θsin⁡θ=a(1−cos⁡2θ)z(θ,z)=z\begin{aligned} x(\theta,z)&=f(\theta)\cos\theta=2a\sin\theta\cos\theta=a\sin2\theta\\ y(\theta,z)&=f(\theta)\sin\theta=2a\sin\theta\sin\theta=a(1-\cos2\theta)\\ z(\theta,z)&=z \end{aligned}

이 매개화에서

∂r∂θ=2acos⁡2θ ı^+2asin⁡2θ ȷ^∂r∂z=k^  ⟹  ∂r∂θ×∂r∂z=−2acos⁡2θ ȷ^+2asin⁡2θ ı^  ⟹  dS=∣∂r∂θ×∂r∂z∣ dθ dz=2a dθ dz\begin{aligned} \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}=2a\cos2\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+2a\sin2\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\qquad \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z}=\hat{\mathbf{k}} &\implies \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}\times\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} =-2a\cos2\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2a\sin2\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} \\ &\implies \mathrm{d}S=\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}\times\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z}\right|\, \mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z =2a\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z \end{aligned}

이제 적분 구간을 정해야 한다. 아래 왼쪽 그림은 원기둥을 위에서 본 모습이다.

그림

그림

그림에서 0≤θ≤π0\le\theta\le\pi 임을 알 수 있다. 원뿔 z2=x2+y2=r2z^2=x^2+y^2=r^2 (즉 z=±rz=\pm r) 과 원기둥 r=2asin⁡θr=2a\sin\theta 는 z2=r2=4a2sin⁡2θz^2=r^2=4a^2\sin^2\theta 에서 만난다. 따라서 각각의 고정된 θ\theta 에 대해 zz 는 −2asin⁡θ-2a\sin\theta 에서 z=+2asin⁡θz=+2a\sin\theta 까지 변한다. (위 오른쪽 그림을 보라. θ\theta 가 상수인 단면을 나타낸 것이다.) 마지막으로,

Area=∫∣z∣≤2asin⁡θ2a dθ dz=2a∫0π ⁣ ⁣dθ∫−2asin⁡θ2asin⁡θ ⁣ ⁣ ⁣dz=8a2∫0π ⁣ ⁣dθ sin⁡θ=8a2[−cos⁡θ]0π=16a2\begin{aligned} {\rm Area} &= \int_{|z|\le 2a\sin\theta}2a\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z =2a\int_0^\pi \!\!\mathrm{d}\theta\int_{-2a\sin\theta}^{2a\sin\theta} \!\!\!\mathrm{d}z =8a^2\int_0^\pi \!\!\mathrm{d}\theta\ \sin\theta =8a^2\Big[-\cos\theta\Big]_0^\pi \\ &=16a^2 \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

In cylindrical coordinates

x=rcos⁡θy=rsin⁡θz=zx=r\cos\theta\qquad y=r\sin\theta\qquad z=z

In these coordinates the equation, x2+y2=2ayx^2+y^2=2ay, of the cylinder becomes

r2=2arsin⁡θorr=2asin⁡θr^2=2ar\sin\theta\qquad\text{or}\qquad r=2a\sin\theta

That is, r=f(θ)r=f(\theta) with f(θ)=2asin⁡θf(\theta) =2a\sin\theta. Parametrize the cylinder by r(θ,z)=x(θ,z) ı^+y(θ,z) ȷ^+z(θ,z) k^\mathbf{r}(\theta,z) = x(\theta,z)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + y(\theta,z)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + z(\theta,z)\,\hat{\mathbf{k}} with

x(θ,z)=f(θ)cos⁡θ=2asin⁡θcos⁡θ=asin⁡2θy(θ,z)=f(θ)sin⁡θ=2asin⁡θsin⁡θ=a(1−cos⁡2θ)z(θ,z)=z\begin{aligned} x(\theta,z)&=f(\theta)\cos\theta=2a\sin\theta\cos\theta=a\sin2\theta\\ y(\theta,z)&=f(\theta)\sin\theta=2a\sin\theta\sin\theta=a(1-\cos2\theta)\\ z(\theta,z)&=z \end{aligned}

Under this parametrization,

∂r∂θ=2acos⁡2θ ı^+2asin⁡2θ ȷ^∂r∂z=k^  ⟹  ∂r∂θ×∂r∂z=−2acos⁡2θ ȷ^+2asin⁡2θ ı^  ⟹  dS=∣∂r∂θ×∂r∂z∣ dθ dz=2a dθ dz\begin{aligned} \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}=2a\cos2\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+2a\sin2\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\qquad \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z}=\hat{\mathbf{k}} &\implies \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}\times\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} =-2a\cos2\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2a\sin2\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} \\ &\implies \mathrm{d}S=\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}\times\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z}\right|\, \mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z =2a\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z \end{aligned}

We still have to determine the limits of integration. The figure on the left below provides a top view of the cylinder.

figure

figure

From it we see that 0≤θ≤π0\le\theta\le\pi. The cone z2=x2+y2=r2z^2=x^2+y^2=r^2 (i.e. z=±rz=\pm r) and the cylinder r=2asin⁡θr=2a\sin\theta intersect at z2=r2=4a2sin⁡2θz^2=r^2=4a^2\sin^2\theta. So, for each fixed θ\theta, zz runs from −2asin⁡θ-2a\sin\theta to z=+2asin⁡θz=+2a\sin\theta. (See the figure on the right above. It shows a constant θ\theta cross-section.) Finally,

Area=∫∣z∣≤2asin⁡θ2a dθ dz=2a∫0π ⁣ ⁣dθ∫−2asin⁡θ2asin⁡θ ⁣ ⁣ ⁣dz=8a2∫0π ⁣ ⁣dθ sin⁡θ=8a2[−cos⁡θ]0π=16a2\begin{aligned} {\rm Area} &= \int_{|z|\le 2a\sin\theta}2a\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z =2a\int_0^\pi \!\!\mathrm{d}\theta\int_{-2a\sin\theta}^{2a\sin\theta} \!\!\!\mathrm{d}z =8a^2\int_0^\pi \!\!\mathrm{d}\theta\ \sin\theta =8a^2\Big[-\cos\theta\Big]_0^\pi \\ &=16a^2 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 7번
# 면적분과 플럭스활용보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
75.CLP-4 · 3.3절 · 21번대학 수준우리말 번역

(a) 꼭짓점이 점 (0,0,3)(0, 0, 3) 에 있고, 밑면이 xyxy평면 위의 원 x2+y2=4x^2 + y^2 = 4 인 원뿔의 곡면 SS 의 매개변수화를 구하세요. 원뿔의 옆면만 SS 에 속하고, 밑면은 속하지 않습니다. 매개변수의 정의역을 반드시 포함하세요. (b) (a)의 곡면 SS 의 질량중심의 zz좌표를 구하세요.

영어 원문 보기

(a) Find a parametrization of the surface SS of the cone whose vertex is at the point (0,0,3)(0, 0, 3), and whose base is the circle x2+y2=4x^2 + y^2 = 4 in the xyxy-plane. Only the cone surface belongs to SS, not the base. Be careful to include the domain for the parameters. (b) Find the zz-coordinate of the centre of mass of the surface SS from (a).

정답·풀이 보기

(a) zz 가 상수인 (수평) 단면은 각각 zz축을 중심으로 하는 원이다. 반지름은 z=0z=0 일 때 22 에서 z=3z=3 일 때 00 까지 일차적으로 변한다. 따라서 높이 zz 에서의 반지름은 23(3−z)\frac{2}{3}(3-z) 이고, 다음을 사용할 수 있다.

r(θ,z)=23(3−z)cos⁡θ ı^+23(3−z)sin⁡θ ȷ^+z k^0≤θ<2π,0≤z≤3\begin{aligned} \mathbf{r}(\theta,z) = \frac{2}{3}(3-z)\cos\theta\ \hat{\boldsymbol{\imath}} +\frac{2}{3}(3-z)\sin\theta\ \hat{\boldsymbol{\jmath}} +z\,\hat{\mathbf{k}}\qquad 0\le\theta<2\pi,\quad 0\le z\le 3 \end{aligned}

이것이 매개변수화이다.

(b) 대칭성에 의해 질량중심은 zz축 위에 있다. 어차피 zz좌표만 구하면 된다. 질량중심의 zz좌표는 원뿔 위에서 zz 의 가중평균이다. 밀도가 주어지지 않았으므로 상수라고 가정한다. 밀도를 11 로 잡을 수 있으므로, 질량중심의 zz좌표는 ∬Sz dS/∬SdS\iint _S z\,\mathrm{d}S/ \iint _S \mathrm{d}S 이다.

∂r∂θ=(−23(3−z)sin⁡θ , 23(3−z)cos⁡θ , 0)∂r∂z=(−23cos⁡θ , −23sin⁡θ , 1)∂r∂θ×∂r∂z=(23(3−z)cos⁡θ , 23(3−z)sin⁡θ , 49(3−z))\begin{aligned} \tfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta} &=\big(-\tfrac{2}{3}(3-z)\sin\theta\,,\, \tfrac{2}{3}(3-z)\cos\theta\,,\, 0 \big) \\ \tfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial z} &=\big(-\tfrac{2}{3}\cos\theta\,,\, -\tfrac{2}{3}\sin\theta\,,\, 1 \big) \\ \tfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta} \times \tfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial z} &=\big(\tfrac{2}{3}(3-z)\cos\theta\,,\, \tfrac{2}{3}(3-z)\sin\theta\,,\, \tfrac{4}{9}(3-z)\big) \end{aligned}

이므로, 이 매개변수화에 대한 겉넓이 요소는 다음과 같다.

dS=∣∂r∂θ×∂r∂z∣dθdz=23(3−z)∣(cos⁡θ , sin⁡θ , 23)∣dθdz=2139(3−z)dθdz\begin{aligned} \mathrm{d}S &= \big|\tfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta}\times \tfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial z} \big|\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z =\tfrac{2}{3}(3-z)\big|(\cos\theta\,,\,\sin\theta\,,\,\tfrac{2}{3}\big)\big| \mathrm{d}\theta\mathrm{d}z \\ &=\tfrac{2\sqrt{13}}{9}(3-z) \mathrm{d}\theta\mathrm{d}z \end{aligned}

따라서 원뿔의 겉넓이 ∬SdS\iint _S \mathrm{d}S 는 다음과 같다.

∫03dz∫02πdθ 2139(3−z)=4139π∫03dz (3−z)=−2139π(3−z)2∣03=213π\begin{aligned} \int_0^3\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ \tfrac{2\sqrt{13}}{9}(3-z) &=\tfrac{4\sqrt{13}}{9}\pi\int_0^3\mathrm{d}z\ (3-z) =-\tfrac{2\sqrt{13}}{9}\pi(3-z)^2\Big|_0^3 \\ &=2\sqrt{13}\pi \end{aligned}

그리고 질량중심의 zz좌표는 다음과 같다.

zˉ=1213π∫03dz∫02πdθ 2139(3−z)z=29∫03dz (3z−z2)=29[3z22−z33]03=29276=1\begin{aligned} \bar z &=\frac{1}{2\sqrt{13}\pi} \int_0^3\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ \tfrac{2\sqrt{13}}{9}(3-z) z =\frac{2}{9}\int_0^3\mathrm{d}z\ (3z-z^2) =\frac{2}{9}{\Big[\frac{3z^2}{2}-\frac{z^3}{3}\Big]}_0^3 \\ &=\frac{2}{9}\frac{27}{6} =1 \end{aligned}

이는 원뿔의 절반 높이보다 조금 낮은 값인데, 원뿔이 “아래쪽이 무겁기” 때문에 타당하다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Each (horizontal) constant zz cross-section is a circle centred on the zz-axis. The radius varies linearly from 22, when z=0z=0 to 00, when z=3z=3. So the radius at height zz is 23(3−z)\frac{2}{3}(3-z) and we can use

r(θ,z)=23(3−z)cos⁡θ ı^+23(3−z)sin⁡θ ȷ^+z k^0≤θ<2π,0≤z≤3\begin{aligned} \mathbf{r}(\theta,z) = \frac{2}{3}(3-z)\cos\theta\ \hat{\boldsymbol{\imath}} +\frac{2}{3}(3-z)\sin\theta\ \hat{\boldsymbol{\jmath}} +z\,\hat{\mathbf{k}}\qquad 0\le\theta<2\pi,\quad 0\le z\le 3 \end{aligned}

as the parametrization.

(b) By symmetry the centre of mass will lie on the zz-axis. We are only asked for the zz-coordinate anyway. The zz-coordinate of the centre of mass is the weighted average of zz over the cone. Since a density has not been specified, we assume that it is a constant. We may take the density to be 11, so the zz-coordinate of the centre of mass is ∬Sz dS/∬SdS\iint _S z\,\mathrm{d}S/ \iint _S \mathrm{d}S.

Since

∂r∂θ=(−23(3−z)sin⁡θ , 23(3−z)cos⁡θ , 0)∂r∂z=(−23cos⁡θ , −23sin⁡θ , 1)∂r∂θ×∂r∂z=(23(3−z)cos⁡θ , 23(3−z)sin⁡θ , 49(3−z))\begin{aligned} \tfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta} &=\big(-\tfrac{2}{3}(3-z)\sin\theta\,,\, \tfrac{2}{3}(3-z)\cos\theta\,,\, 0 \big) \\ \tfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial z} &=\big(-\tfrac{2}{3}\cos\theta\,,\, -\tfrac{2}{3}\sin\theta\,,\, 1 \big) \\ \tfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta} \times \tfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial z} &=\big(\tfrac{2}{3}(3-z)\cos\theta\,,\, \tfrac{2}{3}(3-z)\sin\theta\,,\, \tfrac{4}{9}(3-z)\big) \end{aligned}

the element of surface area for this parametrization is

dS=∣∂r∂θ×∂r∂z∣dθdz=23(3−z)∣(cos⁡θ , sin⁡θ , 23)∣dθdz=2139(3−z)dθdz\begin{aligned} \mathrm{d}S &= \big|\tfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta}\times \tfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial z} \big|\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z =\tfrac{2}{3}(3-z)\big|(\cos\theta\,,\,\sin\theta\,,\,\tfrac{2}{3}\big)\big| \mathrm{d}\theta\mathrm{d}z \\ &=\tfrac{2\sqrt{13}}{9}(3-z) \mathrm{d}\theta\mathrm{d}z \end{aligned}

So the surface area, ∬SdS\iint _S \mathrm{d}S, of the cone is

∫03dz∫02πdθ 2139(3−z)=4139π∫03dz (3−z)=−2139π(3−z)2∣03=213π\begin{aligned} \int_0^3\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ \tfrac{2\sqrt{13}}{9}(3-z) &=\tfrac{4\sqrt{13}}{9}\pi\int_0^3\mathrm{d}z\ (3-z) =-\tfrac{2\sqrt{13}}{9}\pi(3-z)^2\Big|_0^3 \\ &=2\sqrt{13}\pi \end{aligned}

and the zz-coordinate of the centre of mass is

zˉ=1213π∫03dz∫02πdθ 2139(3−z)z=29∫03dz (3z−z2)=29[3z22−z33]03=29276=1\begin{aligned} \bar z &=\frac{1}{2\sqrt{13}\pi} \int_0^3\mathrm{d}z\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ \tfrac{2\sqrt{13}}{9}(3-z) z =\frac{2}{9}\int_0^3\mathrm{d}z\ (3z-z^2) =\frac{2}{9}{\Big[\frac{3z^2}{2}-\frac{z^3}{3}\Big]}_0^3 \\ &=\frac{2}{9}\frac{27}{6} =1 \end{aligned}

This is a little less than half way up the cone, which is reasonable since the cone is “bottom heavy”.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.6절 · 4번
# 면적분과 플럭스계산보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
76.CLP-4 · 3.3절 · 31번대학 수준우리말 번역

벡터장

F=r∣r∣=x ı^+y ȷ^+z k^x2+y2+z2\mathbf{F} = \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|} = \frac{x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}

의 순 바깥쪽 플럭스를, 원점을 중심으로 하는 반지름 11 인 구와 반지름 22 인 구 사이 영역의 경계면에 대해 구하세요.

영어 원문 보기

Compute the net outward flux of the vector field

F=r∣r∣=x ı^+y ȷ^+z k^x2+y2+z2\mathbf{F} = \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|} = \frac{x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}

across the boundary of the region between the spheres of radius 11 and radius 22 centred at the origin.

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다음과 같이 놓는다.

V={ (x,y,z) ∣ 1≤x2+y2+z2≤4 }V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 1\le x^2+y^2+z^2\le 4\ \big\}

VV 의 경계는 두 부분으로 이루어진다. 하나는 원점을 중심으로 하는 반지름 22 인 구 S2S_2 로, (바깥쪽) 법선벡터는 n^=r∣r∣=r2\hat{\mathbf{n}}=\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}=\frac{\mathbf{r}}{2} 이다. 다른 하나는 원점을 중심으로 하는 반지름 11 인 구 S1S_1 로, (안쪽) 법선벡터는 n^=−r\hat{\mathbf{n}} = -\mathbf{r} 이다. 따라서

∬∂VF⋅n^ dS=∬S2r∣r∣⋅r2 dS−∬S1r∣r∣⋅r dS=∬S2dS−∬S1dS=4π(2)2−4π(1)2=12π\begin{aligned} \iint _{\partial V} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\iint _{S_2} \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}\cdot\frac{\mathbf{r}}{2}\,\mathrm{d}S -\iint _{S_1} \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}\cdot\mathbf{r}\,\mathrm{d}S \\ &=\iint _{S_2} \mathrm{d}S -\iint _{S_1} \mathrm{d}S \\ &=4\pi(2)^2 -4\pi(1)^2 \\ &=12\pi \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

Write

V={ (x,y,z) ∣ 1≤x2+y2+z2≤4 }V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 1\le x^2+y^2+z^2\le 4\ \big\}

The boundary of VV consists of two parts — the sphere, S2S_2, of radius 22, centred on the origin, with (outward) normal n^=r∣r∣=r2\hat{\mathbf{n}}=\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}=\frac{\mathbf{r}}{2}, and the sphere S1S_1 of radius 11, centred on the origin, with (inward) normal n^=−r\hat{\mathbf{n}} = -\mathbf{r}, So,

∬∂VF⋅n^ dS=∬S2r∣r∣⋅r2 dS−∬S1r∣r∣⋅r dS=∬S2dS−∬S1dS=4π(2)2−4π(1)2=12π\begin{aligned} \iint _{\partial V} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\iint _{S_2} \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}\cdot\frac{\mathbf{r}}{2}\,\mathrm{d}S -\iint _{S_1} \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}\cdot\mathbf{r}\,\mathrm{d}S \\ &=\iint _{S_2} \mathrm{d}S -\iint _{S_1} \mathrm{d}S \\ &=4\pi(2)^2 -4\pi(1)^2 \\ &=12\pi \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.3절 · 21번
# 면적분과 플럭스계산보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
77.CLP-4 · 3.3절 · 42번대학 수준우리말 번역

S\mathcal{S} 를 곡면 (x+y+1)2+z2=4(x+y+1)^2+z^2=4 중 제1팔분공간에 놓인 부분이라 하자. S\mathcal{S} 를 통과하는 F\mathbf{F} 의 아래쪽 방향 플럭스를 구하세요. 여기서 F=xy ı^+(z−xy) ȷ^\mathbf{F}=xy\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+(z-xy)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}

영어 원문 보기

Let S\mathcal{S} be the part of the surface (x+y+1)2+z2=4(x+y+1)^2+z^2=4 which lies in the first octant. Find the flux of F\mathbf{F} downwards through S\mathcal{S} where F=xy ı^+(z−xy) ȷ^\mathbf{F}=xy\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+(z-xy)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}

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먼저 다음을 관찰하자.

  • (x+y+1)2≥0(x+y+1)^2\ge 0 이므로, (x+y+1)2+z2=4(x+y+1)^2+z^2=4 위의 모든 점은 ∣z∣≤2|z|\le 2 이다. 그리고,
  • ∣z0∣≤2|z_0|\le 2 일 때, 곡면 (x+y+1)2+z2=4(x+y+1)^2+z^2=4 는 수평면 z=z0z=z_0 와 (x+y+1)2=4−z02(x+y+1)^2 = 4-z_0^2 에서 만난다. 즉 두 직선 x+y=±4−z02−1x+y=\pm\sqrt{4-z_0^2}-1, z=z0z=z_0 에서 만난다.
  • 직선 x+y=±4−z02−1x+y=\pm\sqrt{4-z_0^2}-1, z=z0z=z_0 가 제1팔분공간과 만나는 것은 z0≥0z_0\ge0 이고 ±4−z02−1≥0\pm\sqrt{4-z_0^2}-1\ge 0 일 때, 그리고 그때에 한한다.
  • 따라서 x+y=−4−z02−1x+y=-\sqrt{4-z_0^2}-1, z=z0z=z_0 는 제1팔분공간과 절대 만나지 않고,
  • x+y=4−z02−1x+y=\sqrt{4-z_0^2}-1, z=z0z=z_0 가 제1팔분공간과 만나는 것은 0≤z0≤30\le z_0\le \sqrt{3} 일 때, 그리고 그때에 한한다.
  • z0=0z_0=0 일 때, 직선 x+y=4−z02−1x+y=\sqrt{4-z_0^2}-1, z=z0z=z_0 는 x+y=1x+y=1, z=0z=0 이다.
  • z0=3z_0=\sqrt{3} 일 때, 직선 x+y=4−z02−1x+y=\sqrt{4-z_0^2}-1, z=z0z=z_0 는 x+y=0x+y=0, z=2z=2 이다.
  • 그러므로 (x,y,z)(x,y,z) 가 S\mathcal{S} 위를 움직일 때, (x,y)(x,y) 는 삼각형 x≥0x\ge0, y≥0y\ge 0, x+y≤1x+y\le 1 위를 움직인다.

G(x,y,z)=(x+y+1)2+z2G(x,y,z)=(x+y+1)^2+z^2 이라 하자. 그러면 n^ dS=±∇G∇G⋅k^ dxdy=±2(x+y+1)ı^+2(x+y+1)ȷ^+2zk^2z dxdy\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S=\pm\frac{{ \boldsymbol{\nabla} } G}{{ \boldsymbol{\nabla} } G\cdot\hat{\mathbf{k}}}\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y =\pm\frac{2(x+y+1)\hat{\boldsymbol{\imath}}+2(x+y+1)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2z\hat{\mathbf{k}}}{2z}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y 아래쪽 법선을 택하려면 음의 부호가 필요하므로

F⋅n^ dS=−[xy ı^+(z−xy) ȷ^]⋅[(x+y+1)ı^+(x+y+1)ȷ^+zk^z] dxdy=−1z[xy(x+y+1)+(z−xy)(x+y+1)] dxdy=−1z[z(x+y+1)] dxdy=−(x+y+1) dxdy\begin{aligned} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=-\big[xy\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+(z-xy)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big]\cdot \Big[\frac{(x+y+1)\hat{\boldsymbol{\imath}}+(x+y+1)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z\hat{\mathbf{k}}}{z}\Big]\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ &=-\frac{1}{z}\big[xy(x+y+1)+(z-xy)(x+y+1)\big]\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ &=-\frac{1}{z}\big[z(x+y+1)\big]\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ &=-(x+y+1)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{aligned}

적분 정의역은 x≥0, y≥0, x+y≤1x\ge 0,\ y\ge 0,\ x+y\le 1 이므로

∬SF⋅n^ dS=−∫01dx∫01−xdy (x+y+1)=−∫01dx [(1+x)(1−x)+12(1−x)2]=−∫01dx [32−x−12x2]=−[32−12−16]=−56\begin{aligned} \iint _\mathcal{S}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=-\int_0^1 \mathrm{d}x\int_0^{1-x} \mathrm{d}y \ (x+y+1) =-\int_0^1 \mathrm{d}x\ \Big[(1+x)(1-x)+\frac{1}{2}(1-x)^2\Big]\\ &=-\int_0^1 \mathrm{d}x\ \Big[\frac{3}{2}-x-\frac{1}{2} x^2\Big] =-\Big[\frac{3}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\Big] =-\frac{5}{6} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

First observe that,

  • because (x+y+1)2≥0(x+y+1)^2\ge 0, all points on (x+y+1)2+z2=4(x+y+1)^2+z^2=4 have ∣z∣≤2|z|\le 2 and that,
  • for ∣z0∣≤2|z_0|\le 2, the surface (x+y+1)2+z2=4(x+y+1)^2+z^2=4 intersects the horizontal plane z=z0z=z_0 on (x+y+1)2=4−z02(x+y+1)^2 = 4-z_0^2, i.e. on the two lines x+y=±4−z02−1x+y=\pm\sqrt{4-z_0^2}-1, z=z0z=z_0.
  • The line x+y=±4−z02−1x+y=\pm\sqrt{4-z_0^2}-1, z=z0z=z_0 intersects the first octant if and only if z0≥0z_0\ge0 and ±4−z02−1≥0\pm\sqrt{4-z_0^2}-1\ge 0.
  • Thus x+y=−4−z02−1x+y=-\sqrt{4-z_0^2}-1, z=z0z=z_0 never intersects the first octant and
  • x+y=4−z02−1x+y=\sqrt{4-z_0^2}-1, z=z0z=z_0 intersects the first octant if and only if 0≤z0≤30\le z_0\le \sqrt{3}.
  • When z0=0z_0=0, the line x+y=4−z02−1x+y=\sqrt{4-z_0^2}-1, z=z0z=z_0 is x+y=1x+y=1, z=0z=0.
  • When z0=3z_0=\sqrt{3}, the line x+y=4−z02−1x+y=\sqrt{4-z_0^2}-1, z=z0z=z_0 is x+y=0x+y=0, z=2z=2.
  • So as (x,y,z)(x,y,z) runs over S\mathcal{S}, (x,y)(x,y) runs over the triangle x≥0x\ge0, y≥0y\ge 0, x+y≤1x+y\le 1.

Let G(x,y,z)=(x+y+1)2+z2G(x,y,z)=(x+y+1)^2+z^2. Then n^ dS=±∇G∇G⋅k^ dxdy=±2(x+y+1)ı^+2(x+y+1)ȷ^+2zk^2z dxdy\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S=\pm\frac{{ \boldsymbol{\nabla} } G}{{ \boldsymbol{\nabla} } G\cdot\hat{\mathbf{k}}}\ \mathrm{d}x\mathrm{d}y =\pm\frac{2(x+y+1)\hat{\boldsymbol{\imath}}+2(x+y+1)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+2z\hat{\mathbf{k}}}{2z}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y For the downward normal, we need the minus sign, so

F⋅n^ dS=−[xy ı^+(z−xy) ȷ^]⋅[(x+y+1)ı^+(x+y+1)ȷ^+zk^z] dxdy=−1z[xy(x+y+1)+(z−xy)(x+y+1)] dxdy=−1z[z(x+y+1)] dxdy=−(x+y+1) dxdy\begin{aligned} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=-\big[xy\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+(z-xy)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big]\cdot \Big[\frac{(x+y+1)\hat{\boldsymbol{\imath}}+(x+y+1)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z\hat{\mathbf{k}}}{z}\Big]\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ &=-\frac{1}{z}\big[xy(x+y+1)+(z-xy)(x+y+1)\big]\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ &=-\frac{1}{z}\big[z(x+y+1)\big]\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ &=-(x+y+1)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{aligned}

The domain of integration is x≥0, y≥0, x+y≤1x\ge 0,\ y\ge 0,\ x+y\le 1, so

∬SF⋅n^ dS=−∫01dx∫01−xdy (x+y+1)=−∫01dx [(1+x)(1−x)+12(1−x)2]=−∫01dx [32−x−12x2]=−[32−12−16]=−56\begin{aligned} \iint _\mathcal{S}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=-\int_0^1 \mathrm{d}x\int_0^{1-x} \mathrm{d}y \ (x+y+1) =-\int_0^1 \mathrm{d}x\ \Big[(1+x)(1-x)+\frac{1}{2}(1-x)^2\Big]\\ &=-\int_0^1 \mathrm{d}x\ \Big[\frac{3}{2}-x-\frac{1}{2} x^2\Big] =-\Big[\frac{3}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\Big] =-\frac{5}{6} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.3절 · 31번
# 면적분과 플럭스계산도전자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)