빌드라인 스쿨

대수 · 삼각함수 · 7강

삼각함수의 뜻과 관계

단위원으로 정의한 삼각함수, 부호와 관계식

4:55 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 7.3절 연습문제 53 · 7.4절 연습문제 39 (Jay Abramson 외, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/algebra-and-trigonometry-2e). 문제를 우리말로 옮겼으며, 이 영상도 같은 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

동경 OPOP가 나타내는 일반각의 크기를 θ\theta, 원점 OO를 중심으로 하고 반지름의 길이가 rr인 원과 동경 OPOP의 교점을 P(x,y)P(x,y)라 하면 sin⁡θ=yr\sin\theta=\frac{y}{r}, cos⁡θ=xr\cos\theta=\frac{x}{r}, tan⁡θ=yx\tan\theta=\frac{y}{x} (x≠0)(x\neq0). 단위원(r=1r=1)에서는 P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta,\sin\theta)입니다.

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}, sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1

부호는 동경이 있는 사분면으로 정합니다: 제1사분면은 모두 ++, 제2사분면은 sin⁡θ\sin\theta만 ++, 제3사분면은 tan⁡θ\tan\theta만 ++, 제4사분면은 cos⁡θ\cos\theta만 ++

예: sin⁡θ+cos⁡θ=12\sin\theta+\cos\theta=\frac{1}{2}이면 양변을 제곱해 1+2sin⁡θcos⁡θ=141+2\sin\theta\cos\theta=\frac{1}{4}, sin⁡θcos⁡θ=−38\sin\theta\cos\theta=-\frac{3}{8}

연습문제

원문 · OpenStax Algebra and Trigonometry · OpenStax Precalculus (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax Algebra and Trigonometry · 7.4절 · 1번우리말 번역

구간 [0,2π)[0,2\pi ) 에서 라디안으로 나타낸 각의 사인 값과 코사인 값이 같아질 수 있나요? 그렇다면 어디에서 같아지나요?

영어 원문 보기

On an interval of [0,2π),[0,2\pi ), can the sine and cosine values of a radian measure ever be equal? If so, where?

정답·풀이 보기

예, 기준각이 π4\frac{\pi }{4} 이고 각의 동경이 제1사분면과 제3사분면에 있을 때이다. 따라서 x=π4,5π4x=\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4} 일 때 사인 값과 코사인 값이 같다.

원본 교재 풀이(영어)

Yes, when the reference angle is π4\frac{\pi }{4} and the terminal side of the angle is in quadrants I and III. Thus, a x=π4,5π4,x=\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}, the sine and cosine values are equal.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Algebra and Trigonometry · 7.4절 · 3번우리말 번역

제2사분면에 있는 임의의 각에 대해, 그 각의 사인 값을 안다면 코사인 값을 어떻게 구할 수 있나요?

다 풀었으면 정답 확인

피타고라스 정리 x2+y2=1{x}^{2}+{y}^{2}=1 의 yy 에 그 각의 사인 값을 대입한다. xx 에 대해 풀고 음의 해를 택한다.

이 문제로 이어서 풀기
# 삼각함수의 뜻과 관계계산자동 분류
2.OpenStax Algebra and Trigonometry · 9.3절 · 39번우리말 번역

다음 문제에서 식의 지수가 1보다 크지 않도록 다시 쓰세요.

cos⁡2(6x){\cos }^{2}(6x)

영어 원문 보기

For the following exercises, rewrite the expression with an exponent no higher than 1.

cos⁡2(6x){\cos }^{2}(6x)

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

1+cos⁡(12x)2\frac{1+\cos (12x)}{2}

원본 교재 풀이(영어)

1+cos⁡(12x)2\frac{1+\cos (12x)}{2}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Precalculus · 5.2절 · 11번우리말 번역

다음 문제에서, 각 삼각함수의 정확한 값을 구하세요.

sin⁡ π3\sin \,\frac{\pi }{3}

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

32\frac{\sqrt{3}}{2}

이 문제로 이어서 풀기
# 삼각함수의 뜻과 관계계산자동 분류
3.OpenStax Precalculus · 5.3절 · 1번우리말 번역

구간 [0,2π)[0,2\pi ) 에서 라디안으로 나타낸 각의 사인 값과 코사인 값이 같아질 수 있나요? 같아질 수 있다면 어디에서 그런가요?

영어 원문 보기

On an interval of [0,2π),[0,2\pi ), can the sine and cosine values of a radian measure ever be equal? If so, where?

정답·풀이 보기

예, 기준각이 π4\frac{\pi }{4} 이고 각의 동경이 제1사분면과 제3사분면에 있을 때이다. 따라서 x=π4,5π4x=\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4} 에서 사인 값과 코사인 값이 같다.

원본 교재 풀이(영어)

Yes, when the reference angle is π4\frac{\pi }{4} and the terminal side of the angle is in quadrants I and III. Thus, at x=π4,5π4,x=\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}, the sine and cosine values are equal.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Algebra and Trigonometry · 7.3절 · 71번우리말 번역

다음 연습문제에서, 단위원 위의 주어진 점을 이용하여 tt 의 사인 값과 코사인 값을 구하세요.

각 t 가 그려진 원의 그래프이다. 각의 동경과 원의 둘레가 만나는 점은 (0.803,-0.596이다.

다 풀었으면 정답 확인

sin⁡t=−0.596, cos⁡t=0.803\sin t=-0.596,\,\cos t=0.803

이 문제로 이어서 풀기
# 삼각함수의 뜻과 관계계산자동 분류
OpenStax Precalculus 2e CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
4.OpenStax Precalculus · 7.3절 · 37번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 항등식을 증명하세요.

1+cos⁡(2θ)sin⁡(2θ)tan⁡2θ=tan⁡ θ\frac{1+\cos (2\theta )}{\sin (2\theta )}{\tan }^{2}\theta =\tan \,\theta

영어 원문 보기

For the following exercises, prove the identity given.

1+cos⁡(2θ)sin⁡(2θ)tan⁡2θ=tan⁡ θ\frac{1+\cos (2\theta )}{\sin (2\theta )}{\tan }^{2}\theta =\tan \,\theta

정답·풀이 보기

sin⁡(2θ)1+cos⁡(2θ)tan⁡2θ=2sin⁡(θ)cos⁡(θ)1+cos⁡2θ−sin⁡2θtan⁡2θ=2sin⁡(θ)cos⁡(θ)2cos⁡2θtan⁡2θ=sin⁡(θ)cos⁡ θtan⁡2θ=tan⁡θtan⁡2θ=tan⁡3 θ\begin{array}{c}\frac{\sin (2\theta )}{1+\cos (2\theta )}{\tan }^{2}\theta =\frac{2\sin (\theta )\cos (\theta )}{1+{\cos }^{2}\theta -{\sin }^{2}\theta }{\tan }^{2}\theta = \\ \frac{2\sin (\theta )\cos (\theta )}{2{\cos }^{2}\theta }{\tan }^{2}\theta =\frac{\sin (\theta )}{\cos \,\theta }{\tan }^{2}\theta = \\ \tan \theta {\tan }^{2}\theta ={\tan }^{3}\,\theta \end{array}

원본 교재 풀이(영어)

sin⁡(2θ)1+cos⁡(2θ)tan⁡2θ=2sin⁡(θ)cos⁡(θ)1+cos⁡2θ−sin⁡2θtan⁡2θ=2sin⁡(θ)cos⁡(θ)2cos⁡2θtan⁡2θ=sin⁡(θ)cos⁡ θtan⁡2θ=tan⁡θtan⁡2θ=tan⁡3 θ\begin{array}{c}\frac{\sin (2\theta )}{1+\cos (2\theta )}{\tan }^{2}\theta =\frac{2\sin (\theta )\cos (\theta )}{1+{\cos }^{2}\theta -{\sin }^{2}\theta }{\tan }^{2}\theta = \\ \frac{2\sin (\theta )\cos (\theta )}{2{\cos }^{2}\theta }{\tan }^{2}\theta =\frac{\sin (\theta )}{\cos \,\theta }{\tan }^{2}\theta = \\ \tan \theta {\tan }^{2}\theta ={\tan }^{3}\,\theta \end{array}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Algebra and Trigonometry · 9.4절 · 41번우리말 번역

다음 문제에서 합을 두 함수의 곱으로, 또는 곱을 두 함수의 합으로 고쳐 쓰세요. 답은 사인과 코사인으로 나타내세요. 그런 다음 최종 답의 값을 구하여 반올림하여 소수 넷째 자리까지 나타내세요.

cos⁡(44∘)−cos⁡(22∘)\cos (44^\circ )-\cos (22^\circ )

다 풀었으면 정답 확인

−2 sin⁡(33∘)sin⁡(11∘),−0.2078-2\,\sin (33^\circ )\sin (11^\circ ),-0.2078

이 문제로 이어서 풀기
# 삼각함수의 뜻과 관계증명·논술자동 분류
OpenStax Precalculus 2e CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)

「삼각함수의 뜻과 관계」 문제 더 풀기 (926문제)

이 강의에서 틀린 곳 알려 주기