빌드라인 스쿨

대수 · 삼각함수 · 10강

사인법칙과 코사인법칙

삼각형의 변과 각, 외접원의 반지름, 넓이

4:42 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 10.1절 연습문제 33 · 10.2절 연습문제 7 (Jay Abramson 외, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/algebra-and-trigonometry-2e). 문제를 우리말로 옮겼으며, 이 영상도 같은 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

사인법칙: 삼각형 ABCABC의 외접원의 반지름을 RR이라 하면 asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R

코사인법칙: a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2=b^2+c^2-2bc\cos A, 곧 cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} (다른 변도 같은 꼴)

삼각형의 넓이: S=12bcsin⁡A=12casin⁡B=12absin⁡CS=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C

연습문제

원문 · OpenStax Algebra and Trigonometry (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax Algebra and Trigonometry · 10.2절 · 11번우리말 풀이

삼각형에서 각 α,β,γ\alpha,\beta,\gamma 의 맞은편 변을 각각 a,b,ca,b,c 라 해요. γ=113∘, b=10, c=32\gamma=113^\circ,\ b=10,\ c=32 일 때 모르는 변 aa 를 소수 첫째 자리까지 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, assume α\alpha is opposite side a,βa,\beta is opposite side b,b, and γ\gamma is opposite side c.c. If possible, solve each triangle for the unknown side. Round to the nearest tenth.

γ=113∘,b=10,c=32\gamma =113^\circ ,b=10,c=32

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풀이 보기

각 γ\gamma 와 그 맞은편 변 cc 가 주어졌으니 코사인법칙 c2=a2+b2−2abcos⁡γc^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma 에서 aa 에 대한 이차방정식을 세워요.

  1. 1

    코사인법칙을 써요. c2=a2+b2−2abcos⁡γc^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma 에 넣으면 322=a2+102−2⋅a⋅10cos⁡113∘32^{2}=a^{2}+10^{2}-2\cdot a\cdot 10\cos 113^\circ 예요.

  2. 2

    수치를 넣어 정리해요. cos⁡113∘≈−0.39073\cos 113^\circ\approx -0.39073 이므로 −20acos⁡113∘≈+7.8146a-20a\cos113^\circ\approx +7.8146a 예요. 그래서 1024=a2+100+7.8146a1024=a^2+100+7.8146a, 즉 a2+7.8146a−924=0a^{2}+7.8146a-924=0 이에요.

  3. 3

    근의 공식으로 풀어요. a=−7.8146±7.81462+4⋅9242=−7.8146±3757.072a=\dfrac{-7.8146\pm\sqrt{7.8146^{2}+4\cdot 924}}{2}=\dfrac{-7.8146\pm\sqrt{3757.07}}{2} 이고 3757.07≈61.295\sqrt{3757.07}\approx 61.295 이에요.

  4. 4

    길이는 양수만 써요. a=−7.8146+61.2952≈26.74≈26.7a=\dfrac{-7.8146+61.295}{2}\approx 26.74\approx 26.7 (음수 근은 버려요).

  5. 5

    확인해요. 사인법칙으로도 sin⁡β=10sin⁡113∘32≈0.2876\sin\beta=\dfrac{10\sin113^\circ}{32}\approx0.2876, β≈16.7∘\beta\approx16.7^\circ 이고 α≈50.3∘\alpha\approx50.3^\circ 가 되어 a=32sin⁡αsin⁡113∘≈26.7a=\dfrac{32\sin\alpha}{\sin113^\circ}\approx26.7 로 같아요.

답

a≈26.7a\approx 26.7

자주 하는 실수

cos⁡113∘\cos113^\circ 가 음수라는 걸 놓치면 −20acos⁡113∘-20a\cos113^\circ 의 부호가 반대가 되어 근이 달라져요. 둔각의 코사인은 음수예요.

원본 교재 풀이(영어)

26.7

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Algebra and Trigonometry · 10.1절 · 27번우리말 번역

다음 연습 문제에서 주어진 측정값을 가진 삼각형의 넓이를 구하세요. 각 답을 반올림하여 소수 첫째 자리까지 나타내세요.

a=5,c=6,β= 35∘a=5,c=6,\beta =\,35^\circ

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다 풀었으면 정답 확인

8.68.6

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# 사인법칙과 코사인법칙계산도전
2.OpenStax Algebra and Trigonometry · 10.1절 · 21번우리말 번역

다음 문제에서 α\alpha 의 대변이 a,βa,\beta 의 대변이 bb, 그리고 γ\gamma 의 대변이 cc 라 할 때, 삼각형이 존재하지 않는지, 1개인지, 2개인지 판단하세요. 그런 다음 가능하다면 각 삼각형을 푸세요. 각 답을 반올림하여 소수 첫째 자리까지 나타내세요.

b=13,c=5,γ= 10∘b=13,c=5,\gamma =\,10^\circ

영어 원문 보기

For the following exercises, assume α\alpha is opposite side a,βa,\beta is opposite side b,b, and γ\gamma is opposite side c.c. Determine whether there is no triangle, one triangle, or two triangles. Then solve each triangle, if possible. Round each answer to the nearest tenth.

b=13,c=5,γ= 10∘b=13,c=5,\gamma =\,10^\circ

정답·풀이 보기

삼각형 2개, α≈143.2∘,β≈26.8∘,a≈17.3\alpha \approx 143.2^\circ ,\beta \approx 26.8^\circ ,a\approx 17.3 또는 α′≈16.8∘,β′≈153.2∘,a′≈8.3{\alpha }^{'}\approx 16.8^\circ ,{\beta }^{'}\approx 153.2^\circ ,{a}^{'}\approx 8.3

원본 교재 풀이(영어)

two triangles, α≈143.2∘,β≈26.8∘,a≈17.3\alpha \approx 143.2^\circ ,\beta \approx 26.8^\circ ,a\approx 17.3 or α′≈16.8∘,β′≈153.2∘,a′≈8.3{\alpha }^{'}\approx 16.8^\circ ,{\beta }^{'}\approx 153.2^\circ ,{a}^{'}\approx 8.3

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Algebra and Trigonometry · 10.1절 · 31번우리말 번역

다음 연습 문제에서 변 xx 의 길이를 구하세요. 반올림하여 소수 첫째 자리까지 나타내세요.

50도인 각과 그 대변의 길이가 10인 삼각형이다. 또 다른 각은 70도이고, 그 대변의 길이는 x 이다.

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12.312.3

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# 사인법칙과 코사인법칙계산자동 분류
3.OpenStax Algebra and Trigonometry · 10.1절 · 75번우리말 번역

버뮤다 삼각지대는 버뮤다, 플로리다, 푸에르토리코를 잇는 대서양의 해역입니다. 플로리다에서 버뮤다까지의 거리가 1030마일, 푸에르토리코에서 버뮤다까지의 거리가 980마일, 이 두 거리가 이루는 각이 62° 일 때, 버뮤다 삼각지대의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

The Bermuda triangle is a region of the Atlantic Ocean that connects Bermuda, Florida, and Puerto Rico. Find the area of the Bermuda triangle if the distance from Florida to Bermuda is 1030 miles, the distance from Puerto Rico to Bermuda is 980 miles, and the angle created by the two distances is 62°.

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제곱마일
정답·풀이 보기

445,624 제곱마일

원본 교재 풀이(영어)

445,624 square miles

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Algebra and Trigonometry · 10.1절 · 1번우리말 번역

삼각형의 높이를 설명하세요.

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높이는 임의의 꼭짓점에서 그 반대편 변, 또는 반대편 변을 포함하는 직선까지 90°의 각으로 그은 선분이다.

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# 사인법칙과 코사인법칙활용자동 분류
4.OpenStax Algebra and Trigonometry · 10.2절 · 53번우리말 번역

평행사변형의 두 변의 길이가 11피트와 17피트입니다. 긴 대각선의 길이는 22피트입니다. 짧은 대각선의 길이를 구하세요.

영어 원문 보기

The sides of a parallelogram are 11 feet and 17 feet. The longer diagonal is 22 feet. Find the length of the shorter diagonal.

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18.3

원본 교재 풀이(영어)

18.3

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Algebra and Trigonometry · 10.2절 · 35번우리말 번역

다음 문제에서 변 xx 의 길이를 구하세요. 반올림하여 소수 첫째 자리까지 나타내세요.

삼각형이다. 한 각의 크기는 65도이고, 그 대변의 길이는 x이다. 나머지 두 변의 길이는 30과 23이다.

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29.1

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# 사인법칙과 코사인법칙활용자동 분류

「사인법칙과 코사인법칙」 문제 더 풀기 (164문제)

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