대수 · 삼각함수 · 9강

삼각함수를 포함한 방정식과 부등식

Name: 대수 9강 삼각함수를 포함한 방정식과 부등식
Uploaded: 2026-10-27T23:47:49.396Z
Duration: 4 min 43 s
Description: 그래프와 단위원으로 삼각방정식·삼각부등식 풀기

그래프와 단위원으로 삼각방정식·삼각부등식 풀기

4:43 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 9.5절 연습문제 25 · 15 (Jay Abramson 외, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/algebra-and-trigonometry-2e). 문제를 우리말로 옮겼으며, 이 영상도 같은 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

방정식 $\sin x=k$ 의 해는 $y=\sin x$ 의 그래프와 직선 $y=k$ 의 교점의 $x$ 좌표입니다. 범위가 주어지면 그 범위 안의 교점만 찾습니다.

예: $0\le x<2\pi$ 에서 $\sin x=\frac{1}{2}$ 의 해는 $x=\frac{\pi}{6}$ , $\frac{5}{6}\pi$ . 부등식 $\cos x>\frac{1}{2}$ 의 해는 $0\le x<\frac{\pi}{3}$ 또는 $\frac{5}{3}\pi<x<2\pi$

$\sin^2x$ 와 $\cos x$ (또는 $\cos^2x$ 와 $\sin x$ )가 섞여 있으면 $\sin^2x+\cos^2x=1$ 로 한 가지로 바꾼 뒤, 치환해 이차방정식으로 풉니다(치환한 문자의 범위 $-1\le t\le1$ 에 주의). 예: $2\sin^2x+\cos x-1=0$ → $2\cos^2x-\cos x-1=0$ → $\cos x=-\frac{1}{2}$ 또는 $\cos x=1$

연습문제

원문 · OpenStax Algebra and Trigonometry · OpenStax Precalculus (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax Algebra and Trigonometry · 9.5절 · 45번우리말 풀이

구간 $[0,2\pi)$ 에서 방정식 $3\cos^{2}x-2\cos x-2=0$ 의 해를 정확한 값으로 구하세요. 인수분해가 안 되면 근의 공식을 쓰세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, solve exactly on the interval $[0,2\pi ).$ Use the quadratic formula if the equations do not factor.

$3\,{\cos }^{2}x-2\,\cos \,x-2=0$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$\cos x=t$ 로 보고 $3t^2-2t-2=0$ 을 먼저 푼 뒤, $-1\le t\le 1$ 인 값만 골라 각을 구해요.

1
$t=\cos x$ 로 바꿔요. $3t^{2}-2t-2=0$ 인데 인수분해가 잘 안 되니 근의 공식을 써요.
2
근의 공식. $t=\dfrac{2\pm\sqrt{4+24}}{6}=\dfrac{2\pm2\sqrt7}{6}=\dfrac{1\pm\sqrt7}{3}$
3
범위를 확인해요. $\cos x$ 는 $-1$ 이상 $1$ 이하예요. $\dfrac{1+\sqrt7}{3}\approx1.215>1$ 이라 해가 없고, $\dfrac{1-\sqrt7}{3}\approx-0.549$ 는 가능해요.
4
각을 구해요. $\cos x=\dfrac{1-\sqrt7}{3}$ 이 음수이므로 $x$ 는 제2사분면과 제3사분면에 하나씩 있어요. 제2사분면 해는 $x=\cos^{-1}\!\left(\dfrac{1-\sqrt7}{3}\right)\approx2.151$ 이고, 제3사분면 해는 $x=2\pi-\cos^{-1}\!\left(\dfrac{1-\sqrt7}{3}\right)\approx4.132$ 예요.

답

$x=\cos^{-1}\!\left(\dfrac{1-\sqrt7}{3}\right)$ 와 $x=2\pi-\cos^{-1}\!\left(\dfrac{1-\sqrt7}{3}\right)$ (근삿값 $2.151,\ 4.132$ )

자주 하는 실수

$\cos x=\dfrac{1+\sqrt7}{3}$ 도 풀려고 하는 실수가 많아요. 코사인 값이 $1$ 보다 크면 해가 없어요. 또 제3사분면 해를 빠뜨려 한 개만 쓰기 쉬워요.

원본 교재 풀이(영어)

${\cos }^{-1}\left(\frac{1}{3}\left(1-\sqrt{7}\right)\right)$ , $2\pi -{\cos }^{-1}\left(\frac{1}{3}\left(1-\sqrt{7}\right)\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Algebra and Trigonometry · 9장 복습 · 45번우리말 번역

다음 문제에서 구간 $[0,2\pi )$ 에서 정확한 해를 모두 구하세요.

$\frac{1}{{\sec }^{2}x}+2+{\sin }^{2}x+4\,{\cos }^{2}x=0$

다 풀었으면 정답 확인

해가 없다

이 문제로 이어서 풀기

# 삼각함수를 포함한 방정식과 부등식계산도전

2.OpenStax Algebra and Trigonometry · 8.3절 · 37번우리말 번역

다음 문제에서 기준 삼각형을 이용하여 식의 정확한 값을 $x$ 에 대한 식으로 구하세요.

$\tan ({\sin }^{-1}(x-1))$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the exact value of the expression in terms of $x$ with the help of a reference triangle.

$\tan ({\sin }^{-1}(x-1))$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{x-1}{\sqrt{-{x}^{2}+2x}}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{x-1}{\sqrt{-{x}^{2}+2x}}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Precalculus · 7.5절 · 65번우리말 번역

다음 문제에서 구간 $[0,2\pi )$ 에서 정확한 해를 구하세요. 삼각함수 항등식을 사용할 수 있는지 살펴보세요.

${\cos }^{3}t=\cos \,t$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2}$

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# 삼각함수를 포함한 방정식과 부등식계산자동 분류

3.OpenStax Algebra and Trigonometry · 9.5절 · 65번우리말 번역

다음 문제에서 구간 $[0,2\pi )$ 에서의 정확한 해를 구하세요. 삼각함수 항등식을 이용할 수 있는지 살펴보세요.

${\cos }^{3}t=\cos \,t$

영어 원문 보기

For the following exercises, find exact solutions on the interval $[0,2\pi ).$ Look for opportunities to use trigonometric identities.

${\cos }^{3}t=\cos \,t$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2}$

원본 교재 풀이(영어)

$0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Algebra and Trigonometry · 9.5절 · 17번우리말 번역

다음 연습문제에서 $[0,2\pi )$ 에서 정확하게 푸세요.

$2\,\sin (3\theta )=1$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$\frac{\pi }{18},\frac{5\pi }{18},\frac{13\pi }{18},\frac{17\pi }{18},\frac{25\pi }{18},\frac{29\pi }{18}$

이 문제로 이어서 풀기

# 삼각함수를 포함한 방정식과 부등식계산자동 분류

4.OpenStax Precalculus · 7.5절 · 49번우리말 번역

다음 연습문제에서 구간 $[0,2\pi )$ 에서 정확하게 푸세요. 방정식이 인수분해되지 않으면 근의 공식을 사용하세요.

$-{\tan }^{2}x-\tan \,x-2=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, solve exactly on the interval $[0,2\pi ).$ Use the quadratic formula if the equations do not factor.

$-{\tan }^{2}x-\tan \,x-2=0$

정답·풀이 보기

해가 없다.

원본 교재 풀이(영어)

There are no solutions.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Precalculus · 7.5절 · 79번우리말 번역

다음 문제에서 방정식을 대수적으로 푼 다음, 계산기를 사용하여 구간 $[0,2\pi )$ 에서의 값을 구하세요. 반올림하여 소수 넷째 자리까지 나타내세요.

${\tan }^{2}x-\sec \,x=1$

답 쓰고 채점

다 풀었으면 정답 확인

$1.0472,3.1416,5.2360$

이 문제로 이어서 풀기

# 삼각함수를 포함한 방정식과 부등식계산자동 분류

「삼각함수를 포함한 방정식과 부등식」 문제 더 풀기 (310문제)

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