빌드라인 스쿨

대수 · 수열 · 14강

수열의 합과 시그마

합의 기호 Σ의 성질, 자연수의 거듭제곱의 합

4:53 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: OpenStax, Intermediate Algebra 2e, 12.2절 연습문제 45 (Lynn Marecek, Andrea Honeycutt Mathis, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/intermediate-algebra-2e) / OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 13.4절 연습문제 41 (Jay Abramson 외, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/algebra-and-trigonometry-2e). 문제를 우리말로 옮겼으며, 이 영상도 같은 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

∑k=1nak=a1+a2+⋯+an\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+\cdots+a_n. ∑k=1n(ak±bk)=∑k=1nak±∑k=1nbk\sum_{k=1}^{n}(a_k\pm b_k)=\sum_{k=1}^{n}a_k\pm\sum_{k=1}^{n}b_k, ∑k=1ncak=c∑k=1nak\sum_{k=1}^{n}ca_k=c\sum_{k=1}^{n}a_k, ∑k=1nc=cn\sum_{k=1}^{n}c=cn (cc는 상수)

∑k=1nk=n(n+1)2,∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6,∑k=1nk3={n(n+1)2}2\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2},\quad\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\quad\sum_{k=1}^{n}k^3=\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2

주의: ∑akbk\sum a_kb_k는 ∑ak×∑bk\sum a_k\times\sum b_k와 다릅니다. 예: ∑k=110(2k+1)=2×55+10=120\sum_{k=1}^{10}(2k+1)=2\times55+10=120

연습문제

원문 · OpenStax Intermediate Algebra · OpenStax Algebra and Trigonometry (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax Intermediate Algebra · 12.2절 · 45번우리말 풀이

다음 합을 구하세요.

∑i=135(−6i−2)\displaystyle\sum_{i=1}^{35}(-6i-2)

영어 원문 보기

In the following exercises, find each sum.

∑i=135(−6i−2)\sum_{i=1}^{35}(-6i-2)

답 쓰고 채점
풀이 보기

시그마는 항별로 나눌 수 있어요. ∑i=1ni=n(n+1)2\sum_{i=1}^n i=\dfrac{n(n+1)}2, 상수 cc 를 nn 번 더하면 cncn 이에요.

  1. 1

    나눠요. ∑(−6i−2)=−6∑i=135i−∑i=1352\sum(-6i-2)=-6\sum_{i=1}^{35}i-\sum_{i=1}^{35}2 예요.

  2. 2

    자연수의 합을 구해요. ∑i=135i=35⋅362=630\sum_{i=1}^{35}i=\dfrac{35\cdot36}{2}=630 이에요.

  3. 3

    상수의 합을 구해요. 22 를 3535 번 더하니까 7070 이에요.

  4. 4

    합쳐요. −6×630−70=−3780−70=−3850-6\times630-70=-3780-70=-3850 이에요.

답

−3850-3850

자주 하는 실수

상수 −2-2 를 한 번만 빼고 3535 번 더하는 것을 잊으면 −3782-3782 가 나와요.

원본 교재 풀이(영어)

−3,850-3,850

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.4절 · 55번

무한등비급수의 합이 첫째항의 55 배예요. 이 급수의 공비는 얼마인가요?

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

r=45r=\dfrac{4}{5}

자세한 풀이 보고 이어서 풀기
# 수열의 합과 시그마계산보통
2.OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.4절 · 55번우리말 풀이

무한등비급수의 합이 첫째항의 55 배예요. 이 급수의 공비는 얼마인가요?

영어 원문 보기

The sum of an infinite geometric series is five times the value of the first term. What is the common ratio of the series?

답 쓰고 채점
풀이 보기

첫째항 aa, 공비 rr (∣r∣<1|r|<1) 인 무한등비급수의 합은 S=a1−rS=\dfrac{a}{1-r} 이에요. 이 값이 5a5a 가 되도록 놓아요.

  1. 1

    식을 세워요. 합 S=a1−rS=\dfrac{a}{1-r} 이 첫째항 aa 의 55 배이므로 a1−r=5a\dfrac{a}{1-r}=5a 예요.

  2. 2

    aa 를 약분해요. 첫째항 a≠0a\ne0 이므로 양변을 aa 로 나누면 11−r=5\dfrac{1}{1-r}=5 예요.

  3. 3

    rr 을 구해요. 1−r=151-r=\dfrac15 이므로 r=1−15=45r=1-\dfrac15=\dfrac45 예요.

  4. 4

    수렴 조건을 확인해요. ∣r∣=45<1|r|=\dfrac45<1 이라서 합이 실제로 존재해요. 검산하면 a1−45=5a\dfrac{a}{1-\frac45}=5a 가 돼요.

답

r=45r=\dfrac{4}{5}

자주 하는 실수

a1−r=5a\dfrac{a}{1-r}=5a 에서 1−r=51-r=5 로 잘못 뒤집어 r=−4r=-4 가 되는 실수가 있어요. −4-4 는 ∣r∣<1|r|<1 도 만족하지 않아서 바로 틀린 걸 알 수 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

r=45r=\frac{4}{5}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.4절 · 1번우리말 번역

nn번째 부분합이란 무엇인가요?

다 풀었으면 정답 확인

nn번째 부분합은 수열의 첫째 항부터 nn번째 항까지의 합이다.

이 문제로 이어서 풀기
# 수열의 합과 시그마개념 확인도전
3.OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.4절 · 7번우리말 번역

다음 문제에서 합에 대한 각 설명을 합의 기호(시그마)를 사용하여 나타내세요.

n=0n=0 부터 n=4n=4 까지 5n5n 의 합

영어 원문 보기

For the following exercises, express each description of a sum using summation notation.

The sum from of n=0n=0 to n=4n=4 of 5n5n

정답·풀이 보기

∑n=045n\sum_{n=0}^{4}5n

원본 교재 풀이(영어)

∑n=045n\sum_{n=0}^{4}5n

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.4절 · 5번우리말 번역

연금이란 무엇인가요?

다 풀었으면 정답 확인

연금은 일정한 복리 이자가 붙는, 정기적으로 같은 금액을 지급하는 일련의 지급이다.

이 문제로 이어서 풀기
# 수열의 합과 시그마계산자동 분류
4.OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.4절 · 41번우리말 번역

다음 연습문제에서 등비급수의 첫 nn 항의 합 공식을 이용하여 부분합을 구하세요.

∑n=110−2⋅(12)n−1\sum_{n=1}^{10}-2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}

영어 원문 보기

For the following exercises, use the formula for the sum of the first nn terms of a geometric series to find the partial sum.

∑n=110−2⋅(12)n−1\sum_{n=1}^{10}-2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}

정답·풀이 보기

S10=−1023256{S}_{10}=-\frac{1023}{256}

원본 교재 풀이(영어)

S10=−1023256{S}_{10}=-\frac{1023}{256}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.4절 · 51번우리말 번역

∑k=06ak=189\sum_{k=0}^{6}{a}_{k}=189 가 되도록 ak{a}_{k} 에 대한 일반항 공식을 쓰세요. 이 급수는 등차급수라고 가정합니다.

다 풀었으면 정답 확인

ak=30−k{a}_{k}=30-k

이 문제로 이어서 풀기
# 수열의 합과 시그마계산자동 분류

「수열의 합과 시그마」 문제 더 풀기 (72문제)

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