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대수 · 수열 · 16강

수열의 귀납적 정의

첫째항과 이웃한 항 사이의 관계식으로 수열 정하기

4:45 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 13.1절 연습문제 27 / 13.2절 연습문제 29 (Jay Abramson 외, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/algebra-and-trigonometry-2e). 문제를 우리말로 옮겼으며, 이 영상도 같은 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

첫째항과 이웃한 항 사이의 관계식으로 수열을 정하는 것을 수열의 귀납적 정의라 합니다. 예: a1=1a_1=1, an+1=an+3a_{n+1}=a_n+3 → 1,4,7,10,⋯1, 4, 7, 10, \cdots

an+1=an+da_{n+1}=a_n+d이면 공차가 dd인 등차수열, an+1=rana_{n+1}=ra_n이면 공비가 rr인 등비수열입니다. 2an+1=an+an+22a_{n+1}=a_n+a_{n+2}이면 등차수열, an+12=anan+2a_{n+1}^2=a_na_{n+2} (모든 항이 00이 아님)이면 등비수열입니다.

nn에 1,2,3,⋯1, 2, 3, \cdots을 차례로 넣어 항을 구해 보면 규칙이 보입니다. an+1=an+f(n)a_{n+1}=a_n+f(n) 꼴은 an=a1+∑k=1n−1f(k)a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}f(k) (n≥2)(n\ge2)

연습문제

원문 · OpenStax Algebra and Trigonometry (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.1절 · 27번우리말 번역

다음 문제에서 수열의 처음 다섯 항을 쓰세요.

a1=3, an=(−3)an−1{a}_{1}=3,\,{a}_{n}=(-3){a}_{n-1}

영어 원문 보기

For the following exercises, write the first five terms of the sequence.

a1=3, an=(−3)an−1{a}_{1}=3,\,{a}_{n}=(-3){a}_{n-1}

정답·풀이 보기

처음 다섯 항: 3, −9, 27, −81, 2433,\,-9,\,27,\,-81,\,243

원본 교재 풀이(영어)

First five terms: 3, −9, 27, −81, 2433,\,-9,\,27,\,-81,\,243

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.1절 · 31번우리말 번역

다음 문제에서 수열의 처음 여덟 항을 쓰세요.

a1=124, a2=1, an=(2an−2)(3an−1){a}_{1}=\frac{1}{24},{\,\text{a}}_{2}=1,\,{a}_{n}=(2{a}_{n-2})(3{a}_{n-1})

다 풀었으면 정답 확인

124, 1,14, 32, 94, 814, 21878, 531,44116\frac{1}{24},\,1,\frac{1}{4},\,\frac{3}{2},\,\frac{9}{4},\,\frac{81}{4},\,\frac{2187}{8},\,\frac{531,441}{16}

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# 수열의 귀납적 정의계산자동 분류
2.OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.2절 · 29번우리말 번역

다음 연습문제에서, 각 등차수열의 점화식을 쓰세요.

a={17,26,35,...}a=\{17,26,35,...\}

영어 원문 보기

For the following exercises, write a recursive formula for each arithmetic sequence.

a={17,26,35,...}a=\{17,26,35,...\}

정답·풀이 보기

a1=17;an=an−1+9n≥2\begin{array}{cc}{a}_{1}=17; {a}_{n}={a}_{n-1}+9 & n\ge 2\end{array}

원본 교재 풀이(영어)

a1=17;an=an−1+9n≥2\begin{array}{cc}{a}_{1}=17; {a}_{n}={a}_{n-1}+9 & n\ge 2\end{array}

한 번 더 — 비슷한 문제Sundstrom, Mathematical Reasoning · 4.3절 · 12a번영어 원문

For the sequence a1,a2,…,an,…a_1 ,a_2 , \ldots ,a_n , \ldots , assume that a1=1a_1 = 1 and that for each n∈Nn \in \mathbb{N}, an+1=5+ana_{n + 1} = \sqrt {5 + a_n }.

Calculate, or approximate, a2a_2 through a6a_6.

다 풀었으면 정답 확인

a2=6a_2 = \sqrt{6}, a3=6+5≈2.729a_3 = \sqrt{\sqrt{6} + 5} \approx 2.729, a4≈2.780a_4 \approx 2.780, a5≈2.789a_5 \approx 2.789, a6≈2.791a_6 \approx 2.791

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# 수열의 귀납적 정의계산자동 분류
3.OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.3절 · 27번우리말 번역

다음 연습문제에서 각 등비수열의 점화식을 쓰세요.

an={10,−3,0.9,−0.27,...}{a}_{n}=\{10,-3,0.9,-0.27,...\}

영어 원문 보기

For the following exercises, write a recursive formula for each geometric sequence.

an={10,−3,0.9,−0.27,...}{a}_{n}=\{10,-3,0.9,-0.27,...\}

정답·풀이 보기

a1=10,an=−0.3an−1\begin{array}{cc}{a}_{1}=10, & {a}_{n}=-0.3{a}_{n-1}\end{array}

원본 교재 풀이(영어)

a1=10,an=−0.3an−1\begin{array}{cc}{a}_{1}=10, & {a}_{n}=-0.3{a}_{n-1}\end{array}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.3절 · 51번우리말 번역

점화식을 이용하여, 3번째 항이 200200인 등비수열의 예를 두 가지 드세요.

다 풀었으면 정답 확인

답은 다양하다. 예: a1=800,an=0.5an−1{\begin{array}{cc}{a}_{1}=800, & {a}_{n}=0.5a\end{array}}_{n-1} 그리고 a1=12.5,an=4an−1{\begin{array}{cc}{a}_{1}=12.5, & {a}_{n}=4a\end{array}}_{n-1}

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# 수열의 귀납적 정의계산자동 분류
4.OpenStax Algebra and Trigonometry · 13장 연습 시험 · 9번우리말 번역

등비수열 1, −12, 14, −18,…1,\,-\frac{1}{2},\,\frac{1}{4},\,-\frac{1}{8},\ldots 의 점화식을 쓰세요.

영어 원문 보기

Write a recursive formula for the geometric sequence 1, −12, 14, −18,…1,\,-\frac{1}{2},\,\frac{1}{4},\,-\frac{1}{8},\ldots

정답·풀이 보기

a1=1, an=−12⋅an−1{a}_{1}=1,\,{a}_{n}=-\frac{1}{2}\cdot {a}_{n}{}_{-1}

원본 교재 풀이(영어)

a1=1, an=−12⋅an−1{a}_{1}=1,\,{a}_{n}=-\frac{1}{2}\cdot {a}_{n}{}_{-1}

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Algebra and Trigonometry · 13장 연습 시험 · 1번우리말 번역

점화식 a=−14,an=2+an−12a=-14, {a}_{n}=\frac{2+{a}_{n-1}}{2} 로 정의된 수열의 처음 네 항을 쓰세요.

답 쓰고 채점
다 풀었으면 정답 확인

−14,−6,−2,0-14,-6,-2,0

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# 수열의 귀납적 정의계산자동 분류

「수열의 귀납적 정의」 문제 더 풀기 (86문제)

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