빌드라인 스쿨

대수 · 수열 · 12강

등차수열

등차수열의 일반항과 합, 등차중항

4:29 · 한국어 자막 있음(재생기 메뉴) · 연습문제 원문: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 13.2절 연습문제 23 (Jay Abramson 외, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/algebra-and-trigonometry-2e) / OpenStax, Intermediate Algebra 2e, 12.2절 연습문제 39 (Lynn Marecek, Andrea Honeycutt Mathis, CC BY-NC-SA 4.0, https://openstax.org/details/books/intermediate-algebra-2e). 문제를 우리말로 옮겼으며, 이 영상도 같은 조건(CC BY-NC-SA 4.0)으로 공개합니다.

핵심 정리

첫째항이 aa, 공차가 dd인 등차수열의 일반항: an=a+(n−1)da_n=a+(n-1)d

세 수 aa, bb, cc가 이 순서로 등차수열을 이루면 2b=a+c2b=a+c이고, bb를 aa와 cc의 등차중항이라 합니다.

첫째항부터 제nn항까지의 합: Sn=n(a+l)2=n{2a+(n−1)d}2S_n=\frac{n(a+l)}{2}=\frac{n\{2a+(n-1)d\}}{2} (ll은 제nn항). 예: 1+3+5+⋯+99=50×(1+99)2=25001+3+5+\cdots+99=\frac{50\times(1+99)}{2}=2500

연습문제

원문 · OpenStax Algebra and Trigonometry · OpenStax Intermediate Algebra (CC BY-NC-SA 4.0)

1.OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.2절 · 23번우리말 풀이

등차수열에서 a11=11, a21=16a_{11}=11,\ a_{21}=16 일 때, 첫째항 a1a_1 을 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, find the first term given two terms from an arithmetic sequence.

Find the first term or a1{a}_{1} of an arithmetic sequence if a11=11{a}_{11}=11 and a21=16.{a}_{21}=16.

풀이 보기

등차수열에서 두 항의 차는 (항 번호의 차)×\times(공차)예요. 공차를 먼저 구하고 거꾸로 첫째항까지 가요.

  1. 1

    공차를 구해요. a21−a11=10da_{21}-a_{11}=10d 이므로 16−11=10d16-11=10d, 즉 d=510=12d=\dfrac{5}{10}=\dfrac12 이에요.

  2. 2

    첫째항을 구해요. a11=a1+10da_{11}=a_1+10d 이므로 a1=11−10⋅12=11−5=6a_1=11-10\cdot\dfrac12=11-5=6 이에요.

  3. 3

    확인해요. a21=6+20⋅12=16a_{21}=6+20\cdot\dfrac12=16 으로 맞아요.

답

a1=6a_1=6

자주 하는 실수

a11=a1+11da_{11}=a_1+11d 처럼 n−1n-1 대신 nn 을 곱하는 실수가 많아요. 11번째 항은 공차를 1010 번 더한 거예요.

원본 교재 풀이(영어)

a1=6{a}_{1}=6

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 12.2절 · 2번우리말 번역

첫째항이 5이고 공차가 d=−6d=-6 인 수열의 첫 다섯 항을 쓰세요.

다 풀었으면 정답 확인

첫째항에서 시작하여 공차를 더한다. 그 결과에 다시 공차를 더하여 다음 항을 구하고, 이를 계속 반복한다.

a1a2a3a4a555+(−6)−1+(−6)−7+(−6)−13+(−6)−1−7−13−19\begin{array}{ccccccccccccccc}{a}_{1} & & & {a}_{2} & & & {a}_{3} & & & {a}_{4} & & & {a}_{5} & & \\ 5 & & & 5+(-6) & & & -1+(-6) & & & -7+(-6) & & & -13+(-6) \\ & & & -1 & & & -7 & & & -13 & & & -19\end{array}

수열은 5,−1,−7,−13,−19, …5,-1,-7,-13,-19,\,\ldots 이다.

이 문제로 이어서 풀기
# 등차수열계산기본
2.OpenStax Intermediate Algebra · 12.2절 · 5번우리말 번역

수열이 등차수열인지 판단하기

다음 문제에서 각 수열이 등차수열인지 판단하고, 등차수열이면 공차를 구하세요.

8,5,2,−1,−4,−7, …8,5,2,-1,-4,-7,\,\ldots

영어 원문 보기

Determine if a Sequence is Arithmetic

In the following exercises, determine if each sequence is arithmetic, and if so, indicate the common difference.

8,5,2,−1,−4,−7, …8,5,2,-1,-4,-7,\,\ldots

정답·풀이 보기

이 수열은 공차가 d=−3d=-3 인 등차수열이다.

원본 교재 풀이(영어)

The sequence is arithmetic with common difference d=−3.d=-3.

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 12.2절 · 29번우리말 번역

네 번째 항은 −6-6 이고 열다섯 번째 항은 27 입니다.

다 풀었으면 정답 확인

a1=−15,{a}_{1}=-15, d=3d=3. 일반항은 an=3n−18{a}_{n}=3n-18 이다.

이 문제로 이어서 풀기
# 등차수열계산자동 분류
3.OpenStax Intermediate Algebra · 12.2절 · 39번우리말 번역

다음 문제에서 일반항이 주어진 등차수열의 첫째항부터 제50항까지의 합을 구하세요.

an=−3n+5{a}_{n}=-3n+5

영어 원문 보기

In the following exercises, find the sum of the first 50 terms of the arithmetic sequence whose general term is given.

an=−3n+5{a}_{n}=-3n+5

정답·풀이 보기

–3,575

원본 교재 풀이(영어)

–3,575

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Intermediate Algebra · 12.2절 · 5번우리말 번역

다섯째 항이 19이고 열한째 항이 37인 수열의 첫째항과 공차를 구하세요. 일반항의 식을 구하세요.

다 풀었으면 정답 확인

두 항의 값을 알고 있으므로 일반항의 식을 이용하여 연립방정식을 세울 수 있다.
등차수열의 제n항을 나타내는 식 a_n = a_1 + (n-1)d 이다. 여기서 a_n 은 제n항, a_1 은 첫째항, n 은 항의 번호, d 는 공차이다.
a5{a}_{5} 와 a11{a}_{11} 의 값을 알고 있으므로 n=5n=5 와 n=11n=11 을 이용한다. 등차수열의 특정한 항을 나타내는 두 방정식을 보여 주는 그림이다. 첫 번째 식 a_5 = a_1 + (5 - 1)d 는 제5항(a_5)을 나타낸다. 두 번째 식 a_11 = a_1 + (11 - 1)d 는 제11항(a_11)을 나타낸다. 두 식에서 a_1 은 수열의 첫째항, d 는 공차를 뜻한다.
a5=19{a}_{5}=19 와 a11=37{a}_{11}=37 을 대입한다. 등차수열의 첫째항(a_1)과 공차(d)를 구하는 데 쓰이는 두 일차방정식의 연립방정식 19 = a_1 + (5 - 1)d 와 37 = a_1 + (11 - 1)d 이다. 주요 숫자는 빨간색으로 강조되어 있다.
간단히 한다. 두 일차방정식으로 이루어진 연립방정식이 왼쪽에 중괄호로 묶여 있다. 첫 번째 방정식은 19 = a1 + 4d 이고 두 번째 방정식은 37 = a1 + 10d 이다.
위의 방정식에 −1-1 을 곱하여 a1{a}_{1} 항을 소거할 준비를 한다. 두 방정식을 더한다. 연립일차방정식을 푸는 소거법을 보여 주는 그림이다. 두 방정식을 더하면 'a1' 이 소거되어 18 = 6d 가 되고, 이어서 d = 3 이 된다.
d=3d=3 을 첫 번째 방정식에 다시 대입한다. 방정식 19 = a₁ + 4 • 3 이 나타나 있으며, 곱셈 점과 숫자 3은 빨간색이다.
a1{a}_{1} 에 대해 푼다. 두 줄로 나타낸 수학 방정식이다. 첫 번째 줄은 19 = a 아래첨자 1 + 12 이고, 두 번째 줄은 해인 7 = a 아래첨자 1 이다.
a1=7{a}_{1}=7 과 d=3d=3 을 일반항의 식에 이용한다. 등차수열의 제n항을 나타내는 식 a_n = a_1 + (n-1)d 를 보여 주는 그림이다.
값을 대입한다. 수식 a_n = 7 + (n - 1)3 을 보여 주는 그림이다. 이는 등차수열을 나타내며, a_n 은 제n항, 7은 첫째항, 3은 공차이다.
간단히 한다. \quad 식을 간단히 하는 과정을 보여 주는 두 줄의 방정식이다. a_n = 7 + 3n - 3 을 간단히 하면 a_n = 3n + 4 가 된다.
첫째항은 a1=7{a}_{1}=7 이다. 공차는 d=3d=3 이다.
수열의 일반항은 an=3n+4{a}_{n}=3n+4 이다.
이 문제로 이어서 풀기
# 등차수열계산자동 분류
4.OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.2절 · 45번우리말 번역

다음 연습문제에서 각 등차수열의 일반항을 식으로 쓰세요.

a={−5,95,195,...}a=\{-5,95,195,...\}

영어 원문 보기

For the following exercises, write an explicit formula for each arithmetic sequence.

a={−5,95,195,...}a=\{-5,95,195,...\}

정답·풀이 보기

an=−105+100n{a}_{n}=-105+100n

원본 교재 풀이(영어)

an=−105+100n{a}_{n}=-105+100n

한 번 더 — 비슷한 문제OpenStax Algebra and Trigonometry · 13.2절 · 51번우리말 번역

다음 문제에서 각 등차수열의 일반항을 구하세요.

a={0,13,23,...}a=\{0,\frac{1}{3},\frac{2}{3},...\}

다 풀었으면 정답 확인

an=13n−13{a}_{n}=\frac{1}{3}n-\frac{1}{3}

이 문제로 이어서 풀기
# 등차수열계산자동 분류

「등차수열」 문제 더 풀기 (138문제)

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