문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

미분 전체 문제

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유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

6문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 3.1절 · 1번우리말 풀이

다음 문제에서는 $Q=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 를 써서 각 함수 $y=f(x)$ 의 $x_1$ 과 $x_2$ 사이 할선의 기울기를 구하세요.

$f(x)=4x+7;\ x_1=2,\ x_2=5$

영어 원문 보기

For the following exercises, use $Q=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ to find the slope of the secant line between the values ${x}_{1}$ and ${x}_{2}$ for each function $y=f(x).$

$f(x)=4x+7;{x}_{1}=2,{x}_{2}=5$

답 쓰고 채점

풀이 보기

할선의 기울기는 두 점 사이의 평균변화율, 즉 $\dfrac{y\text{의 변화량}}{x\text{의 변화량}}$ 이에요.

1
두 점의 $y$ 값을 구해요. $f(2)=4\cdot2+7=15$ , $f(5)=4\cdot5+7=27$ 이에요.
2
기울기 공식에 넣어요.

$\frac{f(5)-f(2)}{5-2}=\frac{27-15}{3}=\frac{12}{3}=4$
3
확인해요. 일차함수의 그래프는 직선이라 어느 두 점을 잡아도 기울기가 같아요. 계수 $4$ 와 같은 값이 나온 것이 맞아요.

답

$4$

자주 하는 실수

분자와 분모를 빼는 순서를 서로 다르게 해서 부호가 틀려요.

원본 교재 풀이(영어)

$4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 5번

# 평균변화율과 미분계수계산기본

2.OpenStax 1권 · 3.1절 · 5번우리말 풀이

다음 문제에서 $Q=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 를 이용해, 각 함수 $y=f(x)$ 에서 $x_1$ 과 $x_2$ 사이의 할선의 기울기를 구하세요.

$f(x)=\frac{4}{3x-1};\ x_1=1,\ x_2=3$

영어 원문 보기

For the following exercises, use $Q=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ to find the slope of the secant line between the values ${x}_{1}$ and ${x}_{2}$ for each function $y=f(x).$

$f(x)=\frac{4}{3x-1};{x}_{1}=1,{x}_{2}=3$

답 쓰고 채점

풀이 보기

두 점을 지나는 할선의 기울기는 두 점의 $y$ 좌표 차를 $x$ 좌표 차로 나눈 평균변화율이에요.

1
두 점의 함숫값을 구해요. $f(1)=\dfrac{4}{3-1}=2$ , $f(3)=\dfrac{4}{9-1}=\dfrac{1}{2}$ 예요. 따라서 두 점은 $(1,2)$ , $\left(3,\tfrac12\right)$ 이에요.
2
기울기 공식에 넣어요. $Q=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{\frac12-2}{2}=\frac{-\frac32}{2}=-\frac34$

답

$-\dfrac{3}{4}$

자주 하는 실수

분모 $3x-1$ 에 $x$ 를 넣을 때 $3\cdot 3-1=8$ 을 $3\cdot 3-1=6$ 처럼 계산 실수하는 경우가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{3}{4}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 37번

# 평균변화율과 미분계수계산기본

3.OpenStax 1권 · 3.3절 · 8번우리말 풀이

다음 문제에서 각 함수의 $f'(x)$ 를 구하세요.

$f(x)=x^2\left(\frac{2}{x^2}+\frac{5}{x^3}\right)$

영어 원문 보기

For the following exercises, find ${f}^{'}(x)$ for each function.

$f(x)={x}^{2}\left(\frac{2}{{x}^{2}}+\frac{5}{{x}^{3}}\right)$

풀이 보기

곱의 미분법을 쓰기 전에 식을 먼저 정리하면 훨씬 간단해져요.

1
식부터 정리해요. 곱의 미분법을 바로 써도 되지만, 괄호를 풀면 훨씬 쉬워요. $x^2$ 를 각 항에 곱하면 $f(x)=x^2\cdot\frac{2}{x^2}+x^2\cdot\frac{5}{x^3}=2+\frac{5}{x}\quad(x\neq 0)$
2
미분하기 좋은 꼴로 써요. $\dfrac{5}{x}=5x^{-1}$ 이므로 $f(x)=2+5x^{-1}$ 이에요.
3
항별로 미분해요. 상수 $2$ 의 도함수는 $0$ , $5x^{-1}$ 의 도함수는 $5\cdot(-1)x^{-2}=-5x^{-2}$ 예요. 그러므로 $f'(x)=-\frac{5}{x^2}$

답

$f'(x)=-\dfrac{5}{x^2}$

자주 하는 실수

지수가 음수일 때 $x^{-1}$ 의 도함수를 $-x^{0}$ 으로 잘못 계산해요. 지수에서 1을 빼면 $x^{-2}$ 가 돼요.

원본 교재 풀이(영어)

${f}^{'}(x)=\frac{-5}{{x}^{2}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 38번

# 다항함수의 미분법계산기본

4.CLP-1 · 2.2절 · 4번우리말 번역

$f(x) = x^3$ 이 $x = 0$ 에서 미분가능하다는 것이 무엇을 뜻하는지 극한을 이용하여 서술하세요.

영어 원문 보기

State, in terms of a limit, what it means for $f(x) = x^3$ to be differentiable at $x = 0$ .

정답·풀이 보기

정의에 따라 극한 $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)-f(0)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h^3-0}{h}$ 이 존재하면 $f(x) = x^3$ 은 $x = 0$ 에서 미분가능하다.

원본 교재 풀이(영어)

By definition, $f(x) = x^3$ is differentiable at $x = 0$ if the limit $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)-f(0)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h^3-0}{h}$ exists.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.2절 · 12번

# 도함수의 뜻계산기본자동 분류

5.CLP-1 · 2.6절 · 1번우리말 번역

다음 계산에서 틀린 곳을 찾아 바로잡으세요.

$\begin{aligned} f(x)&=\frac{2x}{x+1}\\ f'(x)&=\frac{2(x+1)+2x}{(x+1)^2}\\ &=\frac{2(x+1)}{(x+1)^2}\\ &=\frac{2}{x+1} \end{aligned}$

영어 원문 보기

Spot and correct the error(s) in the following calculation.

$\begin{aligned} f(x)&=\frac{2x}{x+1}\\ f'(x)&=\frac{2(x+1)+2x}{(x+1)^2}\\ &=\frac{2(x+1)}{(x+1)^2}\\ &=\frac{2}{x+1} \end{aligned}$

정답·풀이 보기

몫의 미분법에서는 덧셈이 아니라 뺄셈이 들어간다. 또한 $2(x+1)+2x$ 는 $2(x+1)$ 과 같지 않다.

올바른 계산은 다음과 같다.

$\begin{aligned} f(x)&=\frac{2x}{x+1}\\ f'(x)&=\frac{2(x+1) -2x}{(x+1)^2}\\ &=\frac{2}{(x+1)^2} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

In the quotient rule, there is a minus, not a plus. Also, $2(x+1)+2x$ is not the same as $2(x+1)$ .

The correct version is:

$\begin{aligned} f(x)&=\frac{2x}{x+1}\\ f'(x)&=\frac{2(x+1) -2x}{(x+1)^2}\\ &=\frac{2}{(x+1)^2} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.6절 · 15번

# 다항함수의 미분법계산기본자동 분류

6.CLP-1 · 2.13절 · 4번우리말 번역

다음 성질을 만족하는 함수 $f(x)$ 를 하나 제시하세요.

$f(x)$ 는 열린구간 $0<x<10$ 에서 미분가능하다.
$f(0)=0$ , $f(10)=10$

그러나 모든 $c \in (0,10)$ 에 대해 $f'(c)=0$ 이다.

영어 원문 보기

Give a function $f(x)$ with the properties that:

$f(x)$ is differentiable on the open interval $0<x<10$
$f(0)=0$ , $f(10)=10$

but for all $c \in (0,10)$ , $f'(c)=0$ .

정답·풀이 보기

$f(x)$ 가 모든 $x \in (0,10)$ 에서 미분가능하므로 $f(x)$ 는 모든 $x \in (0,10)$ 에서 연속이기도 하다. 만약 $f(x)$ 가 닫힌구간 $[0,10]$ 에서 연속이라면 평균값 정리에 의해 어떤 $c \in (0,10)$ 에 대해 $f'(x)=\dfrac{f(10)-f(0)}{10-0}=1$ 이 보장된다. 그러나 이 경우는 그렇지 않다. 따라서 $f(x)$ 는 모든 $x \in (0,10)$ 에서는 연속이지만, 모든 $x \in [0,10]$ 에서는 연속이 아니어야 한다.

$c \in (0,10)$ 에서 $f'(c)=0$ 이므로 $f$ 는 그 구간에서 상수함수이다. 따라서 $f(x)$ 는 다음과 같은 함수이다.

여기서 상수함수의 높이는 어떤 값이어도 된다.

따라서 가능한 답 중 하나는 $f(x) = \left\{\begin{array}{lr} 0&x \neq 10\\ 10&x=10 \end{array}\right.$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $f(x)$ is differentiable for all $x \in (0,10)$ , then $f(x)$ is also continuous for all $x \in (0,10)$ . If $f(x)$ were continuous on the closed interval $[0,10]$ , then the MVT would guarantee $f'(x)=\dfrac{f(10)-f(0)}{10-0}=1$ for some $c \in (0,10)$ ; however, this is not the case. So, it must be that $f(x)$ is continuous for all $x \in (0,10)$ , but not for all $x \in [0,10]$ .

Since $f'(c)=0$ for $c \in (0,10)$ , that means $f$ is constant on that interval. So, $f(x)$ is a function like this:

where the height of the constant function can be anything.

So, one possible answer is $f(x) = \left\{\begin{array}{lr} 0&x \neq 10\\ 10&x=10 \end{array}\right.$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 5번

# 롤의 정리와 평균값 정리계산기본자동 분류