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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

미분 전체 문제

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유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

328문제 · 1 / 17쪽

1.OpenStax 1권 · 3.1절 · 1번우리말 풀이

다음 문제에서는 Q=f(x)−f(a)x−aQ=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} 를 써서 각 함수 y=f(x)y=f(x) 의 x1x_1 과 x2x_2 사이 할선의 기울기를 구하세요.

f(x)=4x+7; x1=2, x2=5f(x)=4x+7;\ x_1=2,\ x_2=5

영어 원문 보기

For the following exercises, use Q=f(x)−f(a)x−aQ=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} to find the slope of the secant line between the values x1{x}_{1} and x2{x}_{2} for each function y=f(x).y=f(x).

f(x)=4x+7;x1=2,x2=5f(x)=4x+7;{x}_{1}=2,{x}_{2}=5

답 쓰고 채점
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할선의 기울기는 두 점 사이의 평균변화율, 즉 y의 변화량x의 변화량\dfrac{y\text{의 변화량}}{x\text{의 변화량}} 이에요.

  1. 1

    두 점의 yy 값을 구해요. f(2)=4⋅2+7=15f(2)=4\cdot2+7=15, f(5)=4⋅5+7=27f(5)=4\cdot5+7=27 이에요.

  2. 2

    기울기 공식에 넣어요.

    f(5)−f(2)5−2=27−153=123=4\frac{f(5)-f(2)}{5-2}=\frac{27-15}{3}=\frac{12}{3}=4

  3. 3

    확인해요. 일차함수의 그래프는 직선이라 어느 두 점을 잡아도 기울기가 같아요. 계수 44 와 같은 값이 나온 것이 맞아요.

답

44

자주 하는 실수

분자와 분모를 빼는 순서를 서로 다르게 해서 부호가 틀려요.

원본 교재 풀이(영어)

44

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 5번
# 평균변화율과 미분계수계산기본
2.OpenStax 1권 · 3.1절 · 5번우리말 풀이

다음 문제에서 Q=f(x)−f(a)x−aQ=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} 를 이용해, 각 함수 y=f(x)y=f(x) 에서 x1x_1 과 x2x_2 사이의 할선의 기울기를 구하세요.

f(x)=43x−1; x1=1, x2=3f(x)=\frac{4}{3x-1};\ x_1=1,\ x_2=3

영어 원문 보기

For the following exercises, use Q=f(x)−f(a)x−aQ=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} to find the slope of the secant line between the values x1{x}_{1} and x2{x}_{2} for each function y=f(x).y=f(x).

f(x)=43x−1;x1=1,x2=3f(x)=\frac{4}{3x-1};{x}_{1}=1,{x}_{2}=3

답 쓰고 채점
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두 점을 지나는 할선의 기울기는 두 점의 yy 좌표 차를 xx 좌표 차로 나눈 평균변화율이에요.

  1. 1

    두 점의 함숫값을 구해요. f(1)=43−1=2f(1)=\dfrac{4}{3-1}=2, f(3)=49−1=12f(3)=\dfrac{4}{9-1}=\dfrac{1}{2} 예요. 따라서 두 점은 (1,2)(1,2), (3,12)\left(3,\tfrac12\right) 이에요.

  2. 2

    기울기 공식에 넣어요. Q=f(3)−f(1)3−1=12−22=−322=−34Q=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{\frac12-2}{2}=\frac{-\frac32}{2}=-\frac34

답

−34-\dfrac{3}{4}

자주 하는 실수

분모 3x−13x-1 에 xx 를 넣을 때 3⋅3−1=83\cdot 3-1=8 을 3⋅3−1=63\cdot 3-1=6 처럼 계산 실수하는 경우가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

−34-\frac{3}{4}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 37번
# 평균변화율과 미분계수계산기본
3.OpenStax 1권 · 3.1절 · 13번우리말 풀이

다음 함수에 대해

a. mtan⁡=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hm_{\tan}=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} 를 써서 접선의 기울기 mtan⁡=f′(a)m_{\tan}=f'(a) 를 구하세요. b. x=ax=a 에서 ff 의 접선의 방정식을 구하세요.

f(x)=x2+x, a=1f(x)=x^{2}+x,\ a=1

영어 원문 보기

For the following functions,

a. use mtan⁡=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h{m}_{\tan }=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} to find the slope of the tangent line mtan⁡=f′(a),{m}_{\tan }={f}^{'}(a), and b. find an equation of the tangent line to ff at x=a.x=a.

f(x)=x2+x,a=1f(x)={x}^{2}+x,a=1

답 쓰고 채점
(a)
(b)
풀이 보기

미분계수는 정의대로 극한을 구하고, 접선은 점 (a,f(a))(a,f(a)) 와 그 기울기로 직선을 세워요.

  1. 1

    (a) 필요한 값을 준비해요. f(1)=12+1=2f(1)=1^2+1=2 이고 f(1+h)=(1+h)2+(1+h)=2+3h+h2f(1+h)=(1+h)^2+(1+h)=2+3h+h^2 이에요.

  2. 2

    차를 구해서 hh 로 나눠요.

    f(1+h)−f(1)h=3h+h2h=3+h\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{3h+h^2}{h}=3+h

  3. 3

    극한을 취해요. h→0h\to0 이면 3+h→33+h\to3 이므로 f′(1)=3f'(1)=3 이에요.

  4. 4

    (b) 접선을 세워요. 접점은 (1,2)(1,2), 기울기는 33 이므로 y−2=3(x−1)y-2=3(x-1) 이고 정리하면 y=3x−1y=3x-1 이에요.

답

(a) 33 (b) y=3x−1y=3x-1

자주 하는 실수

hh 로 나누기 전에 h→0h\to0 을 먼저 넣어 0/00/0 이 되어 막혀요. 먼저 식을 정리해 hh 를 약분해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

a. 33 b. y=3x−1y=3x-1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 29번
# 평균변화율과 미분계수계산보통
4.OpenStax 1권 · 3.1절 · 17번우리말 풀이

다음 함수에 대해

a. mtan⁡=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hm_{\tan}=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} 를 이용해 접선의 기울기 mtan⁡=f′(a)m_{\tan}=f'(a) 를 구하고, b. x=ax=a 에서 ff 에 접하는 직선의 방정식을 구하세요.

f(x)=2−3x2, a=−2f(x)=2-3x^2,\ a=-2

영어 원문 보기

For the following functions,

a. use mtan⁡=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h{m}_{\tan }=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} to find the slope of the tangent line mtan⁡=f′(a),{m}_{\tan }={f}^{'}(a), and b. find an equation of the tangent line to ff at x=a.x=a.

f(x)=2−3x2,a=−2f(x)=2-3{x}^{2},a=-2

답 쓰고 채점
(a)
(b)
풀이 보기

미분계수의 정의 식에서 분자를 전개하면 hh 가 약분되고, 남은 식에 h→0h\to 0 을 넣어요.

  1. 1

    함숫값을 구해요. f(−2)=2−3⋅4=−10f(-2)=2-3\cdot 4=-10 이에요. 그리고 f(−2+h)=2−3(4−4h+h2)=−10+12h−3h2f(-2+h)=2-3(4-4h+h^2)=-10+12h-3h^2

  2. 2

    a: 정의 식을 계산해요. f(−2+h)−f(−2)h=12h−3h2h=12−3h\frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\frac{12h-3h^2}{h}=12-3h 이제 h→0h\to 0 이면 12−3h→1212-3h\to 12 이므로 f′(−2)=12f'(-2)=12 예요.

  3. 3

    b: 접선의 방정식을 세워요. 접점은 (−2,−10)(-2,-10), 기울기는 1212 이므로 y+10=12(x+2) ⇒ y=12x+14y+10=12(x+2)\ \Rightarrow\ y=12x+14

답

a. 1212 b. y=12x+14y=12x+14

자주 하는 실수

(−2+h)2(-2+h)^2 를 전개할 때 4+h24+h^2 으로 가운데 항을 빠뜨리는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

a. 1212 b. y=12x+14y=12x+14

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.1절 · 3번
# 접선의 방정식계산보통
5.OpenStax 1권 · 3.1절 · 25번우리말 풀이

다음 함수 y=f(x)y=f(x) 에 대해 f′(a)=lim⁡x→af(x)−f(a)x−af'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} 를 써서 f′(a)f'(a) 를 구하세요.

f(x)=x, a=4f(x)=\sqrt{x},\ a=4

영어 원문 보기

For the following functions y=f(x),y=f(x), find f′(a){f}^{'}(a) using f′(a)=lim⁡x→af(x)−f(a)x−a{f}^{'}(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.

f(x)=x,a=4f(x)=\sqrt{x},a=4

답 쓰고 채점
풀이 보기

x−2\sqrt{x}-2 처럼 제곱근이 있는 분자는 켤레식 x+2\sqrt{x}+2 를 곱해서 x−4x-4 를 만들면 약분돼요.

  1. 1

    식을 세워요. f(4)=4=2f(4)=\sqrt4=2 이므로

    f′(4)=lim⁡x→4x−2x−4f'(4)=\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}

    대입하면 00\dfrac00 꼴이라 식을 바꿔야 해요.

  2. 2

    분자를 유리화해요. 분자와 분모에 x+2\sqrt{x}+2 를 곱하면 (x−2)(x+2)=x−4(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)=x-4 가 돼요.

    (x−2)(x+2)(x−4)(x+2)=x−4(x−4)(x+2)\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}

  3. 3

    약분하고 극한을 구해요. x≠4x\ne4 이므로 x−4x-4 를 약분하면 1x+2\dfrac{1}{\sqrt{x}+2} 이고, x→4x\to4 이면 12+2=14\dfrac{1}{2+2}=\dfrac14 이에요.

답

14\dfrac14

자주 하는 실수

x−2\sqrt{x}-2 를 x−4\sqrt{x-4} 처럼 합쳐서 계산하거나, 켤레식을 분자에만 곱해요.

원본 교재 풀이(영어)

14\frac{1}{4}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 13번
# 평균변화율과 미분계수계산보통
6.OpenStax 1권 · 3.1절 · 29번우리말 풀이

다음 함수 y=f(x)y=f(x) 에 대해 f′(a)=lim⁡x→af(x)−f(a)x−af'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} 를 이용해 f′(a)f'(a) 를 구하세요.

f(x)=1x3, a=1f(x)=\dfrac{1}{x^3},\ a=1

영어 원문 보기

For the following functions y=f(x),y=f(x), find f′(a){f}^{'}(a) using f′(a)=lim⁡x→af(x)−f(a)x−a{f}^{'}(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.

f(x)=1x3,a=1f(x)=\frac{1}{{x}^{3}},a=1

답 쓰고 채점
풀이 보기

분수식은 먼저 통분하고, 0/00/0 꼴이 되면 인수분해해서 x−1x-1 을 약분해요.

  1. 1

    정의 식에 대입해요. f(1)=1f(1)=1 이므로 f′(1)=lim⁡x→11x3−1x−1f'(1)=\lim_{x\to 1}\frac{\frac{1}{x^3}-1}{x-1}

  2. 2

    분자를 통분해요. 1x3−1=1−x3x3\dfrac{1}{x^3}-1=\dfrac{1-x^3}{x^3} 이므로 1−x3x3(x−1)\frac{1-x^3}{x^3(x-1)} 이 돼요. 그대로 x=1x=1 을 넣으면 00\frac00 꼴이라 더 정리해야 해요.

  3. 3

    인수분해로 약분해요. 1−x3=−(x−1)(x2+x+1)1-x^3=-(x-1)(x^2+x+1) 이므로 −(x−1)(x2+x+1)x3(x−1)=−x2+x+1x3(x≠1)\frac{-(x-1)(x^2+x+1)}{x^3(x-1)}=-\frac{x^2+x+1}{x^3}\quad(x\neq 1)

  4. 4

    극한값을 구해요. x→1x\to 1 이면 −1+1+11=−3-\dfrac{1+1+1}{1}=-3 이에요. 그러므로 f′(1)=−3f'(1)=-3 이에요.

답

−3-3

자주 하는 실수

1−x31-x^3 의 부호를 잘못 처리해 답의 부호가 바뀌는 실수가 많아요. x3−1=(x−1)(x2+x+1)x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) 에서 부호를 확인하세요.

원본 교재 풀이(영어)

−3-3

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 8번
# 평균변화율과 미분계수계산보통
7.OpenStax 1권 · 3.3절 · 8번우리말 풀이

다음 문제에서 각 함수의 f′(x)f'(x) 를 구하세요.

f(x)=x2(2x2+5x3)f(x)=x^2\left(\frac{2}{x^2}+\frac{5}{x^3}\right)

영어 원문 보기

For the following exercises, find f′(x){f}^{'}(x) for each function.

f(x)=x2(2x2+5x3)f(x)={x}^{2}\left(\frac{2}{{x}^{2}}+\frac{5}{{x}^{3}}\right)

풀이 보기

곱의 미분법을 쓰기 전에 식을 먼저 정리하면 훨씬 간단해져요.

  1. 1

    식부터 정리해요. 곱의 미분법을 바로 써도 되지만, 괄호를 풀면 훨씬 쉬워요. x2x^2 를 각 항에 곱하면 f(x)=x2⋅2x2+x2⋅5x3=2+5x(x≠0)f(x)=x^2\cdot\frac{2}{x^2}+x^2\cdot\frac{5}{x^3}=2+\frac{5}{x}\quad(x\neq 0)

  2. 2

    미분하기 좋은 꼴로 써요. 5x=5x−1\dfrac{5}{x}=5x^{-1} 이므로 f(x)=2+5x−1f(x)=2+5x^{-1} 이에요.

  3. 3

    항별로 미분해요. 상수 22 의 도함수는 00, 5x−15x^{-1} 의 도함수는 5⋅(−1)x−2=−5x−25\cdot(-1)x^{-2}=-5x^{-2} 예요. 그러므로 f′(x)=−5x2f'(x)=-\frac{5}{x^2}

답

f′(x)=−5x2f'(x)=-\dfrac{5}{x^2}

자주 하는 실수

지수가 음수일 때 x−1x^{-1} 의 도함수를 −x0-x^{0} 으로 잘못 계산해요. 지수에서 1을 빼면 x−2x^{-2} 가 돼요.

원본 교재 풀이(영어)

f′(x)=−5x2{f}^{'}(x)=\frac{-5}{{x}^{2}}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 38번
# 다항함수의 미분법계산기본
8.OpenStax 1권 · 3.3절 · 32번우리말 풀이

f(x)=2x3+4x2−5x−3f(x)=2x^3+4x^2-5x-3 의 그래프에서 x=−1x=-1 인 점에서의 접선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find an equation of the tangent line to the graph of f(x)=2x3+4x2−5x−3f(x)=2{x}^{3}+4{x}^{2}-5x-3 at x=−1.x=-1.

답 쓰고 채점
풀이 보기

접점의 좌표와 그 점의 미분계수(기울기)만 알면 접선이 정해져요.

  1. 1

    접점의 좌표를 구해요. x=−1x=-1 일 때 f(−1)=2(−1)3+4(−1)2−5(−1)−3=−2+4+5−3=4f(-1)=2(-1)^3+4(-1)^2-5(-1)-3=-2+4+5-3=4 이므로 접점은 (−1, 4)(-1,\,4) 예요.

  2. 2

    기울기를 구해요. 접선의 기울기는 미분계수 f′(−1)f'(-1) 이에요. 먼저 도함수는 f′(x)=6x2+8x−5f'(x)=6x^2+8x-5 이고, x=−1x=-1 을 넣으면 f′(−1)=6−8−5=−7f'(-1)=6-8-5=-7 이에요.

  3. 3

    직선의 방정식을 세워요. 점 (−1,4)(-1,4) 를 지나고 기울기가 −7-7 인 직선은 y−4=−7(x+1) ⇒ y=−7x−3y-4=-7(x+1)\ \Rightarrow\ y=-7x-3

답

y=−7x−3y=-7x-3

자주 하는 실수

접점의 yy 좌표를 구하지 않고 f′(−1)f'(-1) 만으로 직선을 쓰려는 실수가 있어요. 점과 기울기가 둘 다 필요해요.

원본 교재 풀이(영어)

y=−7x−3y=-7x-3

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 17번
# 접선의 방정식계산보통
9.OpenStax 1권 · 3.3절 · 38번우리말 풀이

다음 조건을 만족하는 이차다항식을 구하세요. f(1)=5, f′(1)=3, f′′(1)=−6f(1)=5,\ f'(1)=3,\ f''(1)=-6

영어 원문 보기

For the following exercises,

a. evaluate f′(a),{f}^{'}(a), and b. graph the function f(x)f(x) and the tangent line at x=a.x=a.

Find a quadratic polynomial such that f(1)=5,f′(1)=3f(1)=5,{f}^{'}(1)=3 and f′′(1)=−6.{f}^{''}(1)=-6.

답 쓰고 채점
풀이 보기

이차식을 ax2+bx+cax^2+bx+c 로 놓고 f′′f'', f′f', ff 순서로 조건을 대입하면 aa, bb, cc 가 차례로 정해져요.

  1. 1

    구하려는 함수를 f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c 로 놓아요. 미분하면

    f′(x)=2ax+b,f′′(x)=2af'(x)=2ax+b,\qquad f''(x)=2a

  2. 2

    가장 간단한 조건인 f′′(1)=−6f''(1)=-6 부터 써요. f′′f'' 는 상수 2a2a 이므로 2a=−62a=-6, 즉 a=−3a=-3 이에요.

  3. 3

    f′(1)=2a+b=3f'(1)=2a+b=3 이고 a=−3a=-3 이므로 −6+b=3-6+b=3, 즉 b=9b=9 예요.

  4. 4

    f(1)=a+b+c=5f(1)=a+b+c=5 에서 −3+9+c=5-3+9+c=5 이므로 c=−1c=-1 이에요.

    f(x)=−3x2+9x−1f(x)=-3x^2+9x-1

답

f(x)=−3x2+9x−1f(x)=-3x^{2}+9x-1

자주 하는 실수

f′′(1)=−6f''(1)=-6 을 a=−6a=-6 으로 읽어요. f′′=2af''=2a 이므로 a=−3a=-3 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

y=−3x2+9x−1y=-3{x}^{2}+9x-1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3장 복습 · 9번
# 다항함수의 미분법계산보통
10.OpenStax 1권 · 4.3절 · 32번우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 정의역에서 함수의 극값 또는 최댓값·최솟값을 구하세요.

구간 (0,1)(0,1) 에서 y=1x−x2y=\dfrac{1}{x-x^2}

영어 원문 보기

For the following exercises, find the local and/or absolute extrema for the functions over the specified domain.

y=1(x−x2)y=\frac{1}{(x-{x}^{2})} over (0,1)(0,1)

풀이 보기

분모가 가장 클 때 분수는 가장 작아져요. 그래서 분모 x−x2x-x^2 의 최댓값을 찾아도 되고, 도함수가 0인 곳을 찾아도 돼요.

  1. 1

    분모를 살펴요. 0<x<10<x<1 에서 x−x2=x(1−x)>0x-x^2=x(1-x)>0 이라서 y>0y>0 이에요. 분모를 완전제곱 꼴로 바꾸면 x−x2=−(x−12)2+14x-x^2=-\left(x-\tfrac12\right)^2+\tfrac14 이므로 x=12x=\tfrac12 일 때 분모가 최대 14\tfrac14 예요.

  2. 2

    함수의 값을 구해요. 분모가 가장 클 때 yy 가 가장 작으므로 x=12x=\tfrac12 에서 y=11/4=4y=\dfrac{1}{1/4}=4 가 최솟값이에요. (도함수로도 확인해요. y′=−1−2x(x−x2)2y'=-\dfrac{1-2x}{(x-x^2)^2} 이고 x<12x<\tfrac12 에서 음수, x>12x>\tfrac12 에서 양수라서 x=12x=\tfrac12 에서 극소예요.)

  3. 3

    최댓값이 있는지 봐요. x→0+x\to0^+ 또는 x→1−x\to1^- 이면 분모가 00 에 가까워져 y→∞y\to\infty 예요. 값이 한없이 커지므로 최댓값은 없어요.

답

x=12x=\dfrac12 에서 절대(최)솟값 y=4y=4, 최댓값은 없다

자주 하는 실수

열린 구간에서는 끝점을 대입할 수 없어요. 끝으로 갈 때의 극한을 따져 최댓값이 없음을 말해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

Absolute minimum: x=12,x=\frac{1}{2}, y=4y=4

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 25번
# 최댓값·최솟값과 최적화계산보통
11.OpenStax 1권 · 4.4절 · 10번우리말 풀이

다음 문제에서 계산기로 함수의 그래프를 그리고, 양 끝점을 잇는 할선을 그려 보세요. f′(c)(b−a)=f(b)−f(a)f'(c)(b-a)=f(b)-f(a) 를 만족하는 점 cc 의 개수를 어림하세요.

[계산기 사용] 구간 [−1,1][-1,1] 에서 y=3x3+2x+1y=3x^3+2x+1

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the functions on a calculator and draw the secant line that connects the endpoints. Estimate the number of points cc such that f′(c)(b−a)=f(b)−f(a).{f}^{'}(c)(b-a)=f(b)-f(a).

[T] y=3x3+2x+1y=3{x}^{3}+2x+1 over [−1,1][-1,1]

답 쓰고 채점
점
풀이 보기

평균값 정리는 구간의 평균변화율과 같은 기울기(도함수 값)를 갖는 점 cc 가 있다는 정리예요. 방정식 f′(c)=평균변화율f'(c)=\text{평균변화율} 을 풀면 개수까지 알 수 있어요.

  1. 1

    평균변화율을 구해요. f(1)=3+2+1=6f(1)=3+2+1=6, f(−1)=−3−2+1=−4f(-1)=-3-2+1=-4 이므로 f(1)−f(−1)1−(−1)=6−(−4)2=5\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}=\frac{6-(-4)}{2}=5 즉 양 끝점을 잇는 할선의 기울기는 55 예요.

  2. 2

    도함수가 5가 되는 곳을 찾아요. f′(x)=9x2+2f'(x)=9x^2+2 이므로 f′(c)=5f'(c)=5 를 풀면 9c2+2=5 ⇒ c2=13 ⇒ c=±13≈±0.5779c^2+2=5\ \Rightarrow\ c^2=\tfrac13\ \Rightarrow\ c=\pm\frac{1}{\sqrt3}\approx\pm0.577

  3. 3

    구간 안에 있는지 확인해요. 두 값 모두 −1<c<1-1<c<1 이므로 조건에 맞아요. 따라서 점 cc 는 모두 2개예요. 그래프로 보면 할선과 나란한 접선을 곡선의 왼쪽과 오른쪽에서 각각 한 번씩 그을 수 있다는 뜻이에요.

답

22개 (c=±13c=\pm\dfrac{1}{\sqrt3})

자주 하는 실수

평균값 정리의 cc 는 구간 안의 점이어야 해요. 방정식의 해가 구간 밖이면 버려야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

2 points

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 20번
# 롤의 정리와 평균값 정리계산보통
12.OpenStax 1권 · 4.5절 · 30번우리말 풀이

다음 문제에서 a. ff 가 아래로 볼록 또는 위로 볼록한 구간, b. ff 의 변곡점을 구하세요.

f(x)=x3−4x2+x+2f(x)=x^3-4x^2+x+2

영어 원문 보기

For the following exercises, determine a. intervals where ff is concave up or concave down, and b. the inflection points of f.f.

f(x)=x3−4x2+x+2f(x)={x}^{3}-4{x}^{2}+x+2

풀이 보기

이계도함수 f′′f'' 의 부호가 양수이면 아래로 볼록, 음수이면 위로 볼록이고, 부호가 바뀌는 점이 변곡점이에요.

  1. 1

    이계도함수를 구해요. f′(x)=3x2−8x+1f'(x)=3x^2-8x+1 이고 다시 미분하면 f′′(x)=6x−8f''(x)=6x-8

  2. 2

    f′′=0f''=0 인 점을 찾아요. 6x−8=06x-8=0 에서 x=43x=\dfrac43 이에요.

  3. 3

    a: 부호를 구간별로 살펴요. x>43x>\tfrac43 이면 f′′(x)>0f''(x)>0 이라 아래로 볼록이고, x<43x<\tfrac43 이면 f′′(x)<0f''(x)<0 이라 위로 볼록이에요.

  4. 4

    b: 변곡점이에요. x=43x=\tfrac43 의 앞뒤에서 f′′f'' 의 부호가 바뀌므로 변곡점이에요. yy 좌표는 f ⁣(43)=6427−649+43+2=−3827f\!\left(\tfrac43\right)=\tfrac{64}{27}-\tfrac{64}{9}+\tfrac43+2=-\tfrac{38}{27} 이므로 변곡점은 (43,−3827)\left(\tfrac43,-\tfrac{38}{27}\right) 예요.

답

a. x>43x>\frac43 에서 아래로 볼록, x<43x<\frac43 에서 위로 볼록 b. 변곡점 x=43x=\frac43, 즉 (43,−3827)\left(\frac43,-\frac{38}{27}\right)

자주 하는 실수

f′′(x)=0f''(x)=0 인 점이라고 해서 모두 변곡점은 아니에요. 앞뒤 부호가 바뀌는지 확인하세요.

원본 교재 풀이(영어)

a. Concave up for x>43,x>\frac{4}{3}, concave down for x<43x<\frac{4}{3} b. Inflection point at x=43x=\frac{4}{3}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 6번
# 함수의 그래프 그리기계산보통
13.OpenStax 1권 · 3.1절 · 2번우리말 번역

다음 연습문제에서, Q=f(x)−f(a)x−aQ=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} 를 이용하여 각 함수 y=f(x)y=f(x) 에 대해 xx 의 값 x1{x}_{1} 과 x2{x}_{2} 사이의 할선의 기울기를 구하세요.

f(x)=8x−3;x1=−1,x2=3f(x)=8x-3;{x}_{1}=-1,{x}_{2}=3

영어 원문 보기

For the following exercises, use Q=f(x)−f(a)x−aQ=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} to find the slope of the secant line between the values x1{x}_{1} and x2{x}_{2} for each function y=f(x).y=f(x).

f(x)=8x−3;x1=−1,x2=3f(x)=8x-3;{x}_{1}=-1,{x}_{2}=3

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.1절 · 2번
# 평균변화율과 미분계수계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
14.OpenStax 1권 · 3.1절 · 3번우리말 번역

다음 연습문제에서, Q=f(x)−f(a)x−aQ=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} 를 이용하여 각 함수 y=f(x)y=f(x) 에 대해 xx 의 값 x1{x}_{1} 과 x2{x}_{2} 사이의 할선의 기울기를 구하세요.

f(x)=x2+2x+1;x1=3,x2=3.5f(x)={x}^{2}+2x+1;{x}_{1}=3,{x}_{2}=3.5

영어 원문 보기

For the following exercises, use Q=f(x)−f(a)x−aQ=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} to find the slope of the secant line between the values x1{x}_{1} and x2{x}_{2} for each function y=f(x).y=f(x).

f(x)=x2+2x+1;x1=3,x2=3.5f(x)={x}^{2}+2x+1;{x}_{1}=3,{x}_{2}=3.5

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8.58.5

원본 교재 풀이(영어)

8.58.5

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 7번
# 평균변화율과 미분계수계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
15.OpenStax 1권 · 3.1절 · 4번우리말 번역

다음 연습문제에서, Q=f(x)−f(a)x−aQ=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} 를 이용하여 각 함수 y=f(x)y=f(x) 에 대해 xx 의 값 x1{x}_{1} 과 x2{x}_{2} 사이의 할선의 기울기를 구하세요.

f(x)=−x2+x+2;x1=0.5,x2=1.5f(x)=-{x}^{2}+x+2;{x}_{1}=0.5,{x}_{2}=1.5

영어 원문 보기

For the following exercises, use Q=f(x)−f(a)x−aQ=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} to find the slope of the secant line between the values x1{x}_{1} and x2{x}_{2} for each function y=f(x).y=f(x).

f(x)=−x2+x+2;x1=0.5,x2=1.5f(x)=-{x}^{2}+x+2;{x}_{1}=0.5,{x}_{2}=1.5

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 4번
# 평균변화율과 미분계수계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
16.OpenStax 1권 · 3.1절 · 6번우리말 번역

다음 연습문제에서 Q=f(x)−f(a)x−aQ=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} 를 이용하여, 각 함수 y=f(x)y=f(x) 에 대해 xx 의 값 x1{x}_{1} 과 x2{x}_{2} 사이의 할선의 기울기를 구하세요.

f(x)=x−72x+1;x1=0,x2=2f(x)=\frac{x-7}{2x+1};{x}_{1}=0,{x}_{2}=2

영어 원문 보기

For the following exercises, use Q=f(x)−f(a)x−aQ=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} to find the slope of the secant line between the values x1{x}_{1} and x2{x}_{2} for each function y=f(x).y=f(x).

f(x)=x−72x+1;x1=0,x2=2f(x)=\frac{x-7}{2x+1};{x}_{1}=0,{x}_{2}=2

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 14번
# 평균변화율과 미분계수계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
17.OpenStax 1권 · 3.1절 · 7번우리말 번역

다음 연습문제에서 Q=f(x)−f(a)x−aQ=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} 를 이용하여, 각 함수 y=f(x)y=f(x) 에 대해 xx 의 값 x1{x}_{1} 과 x2{x}_{2} 사이의 할선의 기울기를 구하세요.

f(x)=x;x1=1,x2=16f(x)=\sqrt{x};{x}_{1}=1,{x}_{2}=16

영어 원문 보기

For the following exercises, use Q=f(x)−f(a)x−aQ=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} to find the slope of the secant line between the values x1{x}_{1} and x2{x}_{2} for each function y=f(x).y=f(x).

f(x)=x;x1=1,x2=16f(x)=\sqrt{x};{x}_{1}=1,{x}_{2}=16

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0.20.2

원본 교재 풀이(영어)

0.20.2

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 9번
# 평균변화율과 미분계수계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
18.OpenStax 1권 · 3.1절 · 8번우리말 번역

다음 연습문제에서 Q=f(x)−f(a)x−aQ=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} 를 이용하여, 각 함수 y=f(x)y=f(x) 에 대해 xx 의 값 x1{x}_{1} 과 x2{x}_{2} 사이의 할선의 기울기를 구하세요.

f(x)=x−9;x1=10,x2=13f(x)=\sqrt{x-9};{x}_{1}=10,{x}_{2}=13

영어 원문 보기

For the following exercises, use Q=f(x)−f(a)x−aQ=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} to find the slope of the secant line between the values x1{x}_{1} and x2{x}_{2} for each function y=f(x).y=f(x).

f(x)=x−9;x1=10,x2=13f(x)=\sqrt{x-9};{x}_{1}=10,{x}_{2}=13

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 15번
# 평균변화율과 미분계수계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
19.OpenStax 1권 · 3.1절 · 9번우리말 번역

다음 연습문제에서 Q=f(x)−f(a)x−aQ=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} 를 이용하여, 각 함수 y=f(x)y=f(x) 에 대해 xx 의 값 x1{x}_{1} 과 x2{x}_{2} 사이의 할선의 기울기를 구하세요.

f(x)=x1/3+1;x1=0,x2=8f(x)={x}^{1/3}+1;{x}_{1}=0,{x}_{2}=8

영어 원문 보기

For the following exercises, use Q=f(x)−f(a)x−aQ=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} to find the slope of the secant line between the values x1{x}_{1} and x2{x}_{2} for each function y=f(x).y=f(x).

f(x)=x1/3+1;x1=0,x2=8f(x)={x}^{1/3}+1;{x}_{1}=0,{x}_{2}=8

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0.250.25

원본 교재 풀이(영어)

0.250.25

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 31번
# 평균변화율과 미분계수계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
20.OpenStax 1권 · 3.1절 · 10번우리말 번역

다음 연습문제에서 Q=f(x)−f(a)x−aQ=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} 를 이용하여, 각 함수 y=f(x)y=f(x) 에 대해 xx 의 값 x1{x}_{1} 과 x2{x}_{2} 사이의 할선의 기울기를 구하세요.

f(x)=6x2/3+2x1/3;x1=1,x2=27f(x)=6{x}^{2/3}+2{x}^{1/3};{x}_{1}=1,{x}_{2}=27

영어 원문 보기

For the following exercises, use Q=f(x)−f(a)x−aQ=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} to find the slope of the secant line between the values x1{x}_{1} and x2{x}_{2} for each function y=f(x).y=f(x).

f(x)=6x2/3+2x1/3;x1=1,x2=27f(x)=6{x}^{2/3}+2{x}^{1/3};{x}_{1}=1,{x}_{2}=27

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 3번
# 평균변화율과 미분계수계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)