문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

다항함수의 미분법

xⁿ의 미분, 상수배·합·차·곱의 미분법으로 다항함수의 도함수를 구한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

7문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 3.3절 · 8번우리말 풀이

다음 문제에서 각 함수의 $f'(x)$ 를 구하세요.

$f(x)=x^2\left(\frac{2}{x^2}+\frac{5}{x^3}\right)$

영어 원문 보기

For the following exercises, find ${f}^{'}(x)$ for each function.

$f(x)={x}^{2}\left(\frac{2}{{x}^{2}}+\frac{5}{{x}^{3}}\right)$

풀이 보기

곱의 미분법을 쓰기 전에 식을 먼저 정리하면 훨씬 간단해져요.

1
식부터 정리해요. 곱의 미분법을 바로 써도 되지만, 괄호를 풀면 훨씬 쉬워요. $x^2$ 를 각 항에 곱하면 $f(x)=x^2\cdot\frac{2}{x^2}+x^2\cdot\frac{5}{x^3}=2+\frac{5}{x}\quad(x\neq 0)$
2
미분하기 좋은 꼴로 써요. $\dfrac{5}{x}=5x^{-1}$ 이므로 $f(x)=2+5x^{-1}$ 이에요.
3
항별로 미분해요. 상수 $2$ 의 도함수는 $0$ , $5x^{-1}$ 의 도함수는 $5\cdot(-1)x^{-2}=-5x^{-2}$ 예요. 그러므로 $f'(x)=-\frac{5}{x^2}$

답

$f'(x)=-\dfrac{5}{x^2}$

자주 하는 실수

지수가 음수일 때 $x^{-1}$ 의 도함수를 $-x^{0}$ 으로 잘못 계산해요. 지수에서 1을 빼면 $x^{-2}$ 가 돼요.

원본 교재 풀이(영어)

${f}^{'}(x)=\frac{-5}{{x}^{2}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 38번

# 다항함수의 미분법계산기본

2.OpenStax 1권 · 3.4절 · 12번우리말 풀이

어떤 디지털 시계 라디오의 가격 $p$ (달러)와 수요량 $x$ 사이의 관계가 $p=10-0.001x$ 로 주어져요.

a. 수입 함수 $R(x)$ 를 구하세요. b. 한계수입 함수를 구하세요. c. $x=2000$ 과 $x=5000$ 에서의 한계수입을 구하세요.

영어 원문 보기

The price $p$ (in dollars) and the demand $x$ for a certain digital clock radio is given by the price–demand function $p=10-0.001x.$

a. Find the revenue function $R(x).$ b. Find the marginal revenue function. c. Find the marginal revenue at $x=2000$ and $5000.$

풀이 보기

수입은 (가격)×(판매량)이고, 한계수입은 수입 함수를 미분한 값(한 개 더 팔 때 늘어나는 수입)이에요.

1
(a) 수입은 가격에 판매량을 곱한 값이에요. $R(x)=x\cdot p=x(10-0.001x)=10x-0.001x^2$ 이에요.
2
(b) 한계수입은 수입 함수의 도함수예요. $R'(x)=10-0.002x$ 예요.
3
(c) 값을 대입해요. $R'(2000)=10-0.002\cdot2000=6$ , $R'(5000)=10-0.002\cdot5000=0$ 이에요. 즉 2000개를 판매한 시점에서는 한 개 더 팔면 수입이 약 6달러 늘고, 5000개에서는 더 늘지 않아요.

답

(a) $R(x)=10x-0.001x^2$ (b) $R'(x)=10-0.002x$ (c) $x=2000$ 에서 $6$ , $x=5000$ 에서 $0$ (단위: 달러/개)

자주 하는 실수

수입 $R(x)$ 를 구하지 않고 가격 $p$ 를 그대로 미분해 $-0.001$ 이라고 답하는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

a. $R(x)=10x-0.001{x}^{2}$ b. ${R}^{'}(x)=10-0.002x$ c. $6 per item, $0 per item

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 8번

# 다항함수의 미분법활용기본

3.CLP-1 · 2.4절 · 1번우리말 번역

참 또는 거짓: $f$ 와 $g$ 가 미분가능한 함수일 때, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)+g(x)\}=f'(x)+g'(x)$ 이다.

영어 원문 보기

True or false: $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)+g(x)\}=f'(x)+g'(x)$ when $f$ and $g$ are differentiable functions.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

참이다. 이것은 합의 미분법이 말하는 내용 그대로이다.

원본 교재 풀이(영어)

True: this is exactly what the Sum Rule states.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.4절 · 15번

# 다항함수의 미분법개념 확인기본자동 분류

4.CLP-1 · 2.4절 · 2번우리말 번역

참 또는 거짓: $f$ 와 $g$ 가 미분가능한 함수일 때, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)g(x)\}=f'(x)g'(x)$ 이다.

영어 원문 보기

True or false: $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)g(x)\}=f'(x)g'(x)$ when $f$ and $g$ are differentiable functions.

정답·풀이 보기

일반적으로 거짓이다. 곱의 미분법에 따르면 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)g(x)\}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ 이다. 반대로 할 수 없는 이유를 보여 주는 간단한 예로 $f(x)=g(x)=x$ 를 생각하자. 그러면 이 등식은 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{x^2\}=(1)(1)$ 이 되는데, 이는 거짓이다.

원본 교재 풀이(영어)

False, in general. The product rule tells us $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)g(x)\}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ . An easy example of why we can't do it the other way is to take $f(x)=g(x)=x$ . Then the equation becomes $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{x^2\}=(1)(1)$ , which is false.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.4절 · 3번

# 다항함수의 미분법개념 확인기본자동 분류

5.CLP-1 · 2.4절 · 3번우리말 번역

참 또는 거짓: $f$ 와 $g$ 가 미분가능한 함수일 때, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}=\dfrac{f'(x)}{g(x)}-\dfrac{f(x)g'(x)}{g^2(x)}$ 이다.

영어 원문 보기

True or false: $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}=\dfrac{f'(x)}{g(x)}-\dfrac{f(x)g'(x)}{g^2(x)}$ when $f$ and $g$ are differentiable functions.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

참이다. 몫의 미분법에 따르면 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}=\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)} = \frac{g(x)f'(x)}{g^2(x)}-\frac{f(x)g'(x)}{g^2(x)} = \frac{f'(x)}{g(x)}-\frac{f(x)g'(x)}{g^2(x)}.$

원본 교재 풀이(영어)

True: the quotient rule tells us $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}=\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)} = \frac{g(x)f'(x)}{g^2(x)}-\frac{f(x)g'(x)}{g^2(x)} = \frac{f'(x)}{g(x)}-\frac{f(x)g'(x)}{g^2(x)}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.4절 · 1번

# 다항함수의 미분법개념 확인기본자동 분류

6.CLP-1 · 2.4절 · 4번우리말 번역

$f$ 를 미분가능한 함수라 하자. 적어도 세 가지 서로 다른 규칙을 사용하여 $g(x)=3f(x)$ 를 미분하고, 모두 같은 답을 주는지 확인하세요.

영어 원문 보기

Let $f$ be a differentiable function. Use at least three different rules to differentiate $g(x)=3f(x)$ , and verify that they all give the same answer.

정답·풀이 보기

창의적으로 생각하면 미분하는 방법을 많이 찾을 수 있다!

상수배: $g'(x)=3f'(x)$ .

곱의 미분법: $g'(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{3\}f(x)+3f'(x)=0f(x)+3f'(x)=3f'(x)$ .

합의 미분법: $g'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)+f(x)+f(x)\}=f'(x)+f'(x)+f'(x)=3f'(x)$ .

몫의 미분법: $g'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{f(x)}{\frac{1}{3}}\right\}= \frac{\frac{1}{3}f'(x)-f(x)(0)}{\frac{1}{9}}=\frac{\frac{1}{3}f'(x)}{\frac{1}{9}}=9\left(\frac{1}{3}\right)f'(x)=3f'(x)$ .

모든 규칙이 $g'(x)=3f'(x)$ 를 준다.

원본 교재 풀이(영어)

If you're creative, you can find lots of ways to differentiate!

Constant multiple: $g'(x)=3f'(x)$ .

Product rule: $g'(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{3\}f(x)+3f'(x)=0f(x)+3f'(x)=3f'(x)$ .

Sum rule: $g'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)+f(x)+f(x)\}=f'(x)+f'(x)+f'(x)=3f'(x)$ .

Quotient rule: $g'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{f(x)}{\frac{1}{3}}\right\}= \frac{\frac{1}{3}f'(x)-f(x)(0)}{\frac{1}{9}}=\frac{\frac{1}{3}f'(x)}{\frac{1}{9}}=9\left(\frac{1}{3}\right)f'(x)=3f'(x)$ .

All rules give $g'(x)=3f'(x)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.4절 · 16번

# 다항함수의 미분법증명·논술기본자동 분류

7.CLP-1 · 2.6절 · 1번우리말 번역

다음 계산에서 틀린 곳을 찾아 바로잡으세요.

$\begin{aligned} f(x)&=\frac{2x}{x+1}\\ f'(x)&=\frac{2(x+1)+2x}{(x+1)^2}\\ &=\frac{2(x+1)}{(x+1)^2}\\ &=\frac{2}{x+1} \end{aligned}$

영어 원문 보기

Spot and correct the error(s) in the following calculation.

$\begin{aligned} f(x)&=\frac{2x}{x+1}\\ f'(x)&=\frac{2(x+1)+2x}{(x+1)^2}\\ &=\frac{2(x+1)}{(x+1)^2}\\ &=\frac{2}{x+1} \end{aligned}$

정답·풀이 보기

몫의 미분법에서는 덧셈이 아니라 뺄셈이 들어간다. 또한 $2(x+1)+2x$ 는 $2(x+1)$ 과 같지 않다.

올바른 계산은 다음과 같다.

$\begin{aligned} f(x)&=\frac{2x}{x+1}\\ f'(x)&=\frac{2(x+1) -2x}{(x+1)^2}\\ &=\frac{2}{(x+1)^2} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

In the quotient rule, there is a minus, not a plus. Also, $2(x+1)+2x$ is not the same as $2(x+1)$ .

The correct version is:

$\begin{aligned} f(x)&=\frac{2x}{x+1}\\ f'(x)&=\frac{2(x+1) -2x}{(x+1)^2}\\ &=\frac{2}{(x+1)^2} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.6절 · 15번

# 다항함수의 미분법계산기본자동 분류