함수의 증가와 감소 연습문제

21.OpenStax 1권 · 4.5절 · 38번우리말 번역

다음 연습문제에서

a. $f$ 가 증가하거나 감소하는 구간, b. $f$ 의 극솟값과 극댓값, c. $f$ 가 아래로 볼록인 구간과 위로 볼록인 구간, d. $f$ 의 변곡점

을 구하세요. 곡선을 그린 다음 계산기를 사용하여 답과 비교하세요. 정확한 답을 해석적으로 구할 수 없으면 계산기를 사용하세요.

[계산기 사용] $x=[-1,1]$ 에서 $f(x)=\sin (\pi x)-\cos (\pi x)$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine

a. intervals where $f$ is increasing or decreasing, b. local minima and maxima of $f,$ c. intervals where $f$ is concave up and concave down, and d. the inflection points of $f.$ Sketch the curve, then use a calculator to compare your answer. If you cannot determine the exact answer analytically, use a calculator.

[T] $f(x)=\sin (\pi x)-\cos (\pi x)$ over $x=[-1,1]$

정답·풀이 보기

a. $-\frac{1}{4}<x<\frac{3}{4}$ 에서 증가, $x>\frac{3}{4}$ 와 $x<-\frac{1}{4}$ 에서 감소이다. b. $x=-\frac{1}{4}$ 에서 최솟값, $x=\frac{3}{4}$ 에서 최댓값을 갖는다. c. $-\frac{3}{4}<x<\frac{1}{4}$ 에서 아래로 볼록, $x<-\frac{3}{4}$ 와 $x>\frac{1}{4}$ 에서 위로 볼록이다. d. 변곡점은 $x=-\frac{3}{4},x=\frac{1}{4}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. Increases over $-\frac{1}{4}<x<\frac{3}{4},$ decreases over $x>\frac{3}{4}$ and $x<-\frac{1}{4}$ b. Minimum at $x=-\frac{1}{4},$ maximum at $x=\frac{3}{4}$ c. Concave up for $-\frac{3}{4}<x<\frac{1}{4},$ concave down for $x<-\frac{3}{4}$ and $x>\frac{1}{4}$ d. Inflection points at $x=-\frac{3}{4},x=\frac{1}{4}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 44번

# 함수의 증가와 감소그래프·표 해석자동 분류

22.OpenStax 1권 · 4.5절 · 39번우리말 번역

다음 연습문제에서 구하세요.

a. $f$ 가 증가하거나 감소하는 구간, b. $f$ 의 극솟값과 극댓값, c. $f$ 가 아래로 볼록인 구간과 위로 볼록인 구간, d. $f$ 의 변곡점. 곡선의 그래프를 그린 다음, 계산기를 사용하여 답과 비교하세요. 정확한 답을 해석적으로 구할 수 없으면 계산기를 사용하세요.

[계산기 사용] $x=\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 에서 $f(x)=x+\sin (2x)$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine

a. intervals where $f$ is increasing or decreasing, b. local minima and maxima of $f,$ c. intervals where $f$ is concave up and concave down, and d. the inflection points of $f.$ Sketch the curve, then use a calculator to compare your answer. If you cannot determine the exact answer analytically, use a calculator.

[T] $f(x)=x+\sin (2x)$ over $x=\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.3절 · 2번

# 함수의 증가와 감소그래프·표 해석자동 분류

23.OpenStax 1권 · 4.5절 · 40번우리말 번역

다음 연습문제에서 구하세요.

a. $f$ 가 증가하거나 감소하는 구간, b. $f$ 의 극솟값과 극댓값, c. $f$ 가 아래로 볼록인 구간과 위로 볼록인 구간, d. $f$ 의 변곡점. 곡선의 그래프를 그린 다음, 계산기를 사용하여 답과 비교하세요. 정확한 답을 해석적으로 구할 수 없으면 계산기를 사용하세요.

[계산기 사용] $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 에서 $f(x)=\sin x+\tan x$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine

a. intervals where $f$ is increasing or decreasing, b. local minima and maxima of $f,$ c. intervals where $f$ is concave up and concave down, and d. the inflection points of $f.$ Sketch the curve, then use a calculator to compare your answer. If you cannot determine the exact answer analytically, use a calculator.

[T] $f(x)=\sin x+\tan x$ over $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$

정답·풀이 보기

a. 모든 $x$ 에서 증가 b. 극솟값과 극댓값 없음 c. $x>0$ 에서 아래로 볼록, $x<0$ 에서 위로 볼록 d. $x=0$ 에서 변곡점

원본 교재 풀이(영어)

a. Increasing for all $x$ b. No local minimum or maximum c. Concave up for $x>0,$ concave down for $x<0$ d. Inflection point at $x=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 22번

# 함수의 증가와 감소그래프·표 해석자동 분류

24.OpenStax 1권 · 4.5절 · 41번우리말 번역

다음 연습문제에서 구하세요.

a. $f$ 가 증가하거나 감소하는 구간, b. $f$ 의 극솟값과 극댓값, c. $f$ 가 아래로 볼록인 구간과 위로 볼록인 구간, d. $f$ 의 변곡점. 곡선의 그래프를 그린 다음, 계산기를 사용하여 답과 비교하세요. 정확한 답을 해석적으로 구할 수 없으면 계산기를 사용하세요.

[계산기 사용] $f(x)={(x-2)}^{2}{(x-4)}^{2}$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine

a. intervals where $f$ is increasing or decreasing, b. local minima and maxima of $f,$ c. intervals where $f$ is concave up and concave down, and d. the inflection points of $f.$ Sketch the curve, then use a calculator to compare your answer. If you cannot determine the exact answer analytically, use a calculator.

[T] $f(x)={(x-2)}^{2}{(x-4)}^{2}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.3절 · 2번

# 함수의 증가와 감소그래프·표 해석자동 분류

25.OpenStax 1권 · 4.5절 · 43번우리말 번역

다음 연습문제에서 구하세요.

a. $f$ 가 증가하거나 감소하는 구간, b. $f$ 의 극솟값과 극댓값, c. $f$ 가 아래로 볼록인 구간과 위로 볼록인 구간, d. $f$ 의 변곡점. 곡선의 그래프를 그린 다음, 계산기를 사용하여 답과 비교하세요. 정확한 답을 해석적으로 구할 수 없으면 계산기를 사용하세요.

[계산기 사용] $x=$ $[2\pi ,0)\cup (0,2\pi ]$ 에서 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine

a. intervals where $f$ is increasing or decreasing, b. local minima and maxima of $f,$ c. intervals where $f$ is concave up and concave down, and d. the inflection points of $f.$ Sketch the curve, then use a calculator to compare your answer. If you cannot determine the exact answer analytically, use a calculator.

[T] $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ over $x=$ $[2\pi ,0)\cup (0,2\pi ]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.3절 · 3번

# 함수의 증가와 감소그래프·표 해석자동 분류

26.OpenStax 1권 · 4.5절 · 44번우리말 번역

다음 문제에서 아래를 구하세요.

a. $f$ 가 증가하거나 감소하는 구간, b. $f$ 의 극솟값과 극댓값, c. $f$ 가 아래로 볼록하거나 위로 볼록한 구간, d. $f$ 의 변곡점. 곡선의 그래프를 그린 다음, 계산기를 사용하여 답과 비교하세요. 정확한 답을 해석적으로 구할 수 없으면 계산기를 사용하세요.

$f(x)=\sin (x){e}^{x}$ ( $x=[-\pi ,\pi ]$ 에서)

영어 원문 보기

For the following exercises, determine

a. intervals where $f$ is increasing or decreasing, b. local minima and maxima of $f,$ c. intervals where $f$ is concave up and concave down, and d. the inflection points of $f.$ Sketch the curve, then use a calculator to compare your answer. If you cannot determine the exact answer analytically, use a calculator.

$f(x)=\sin (x){e}^{x}$ over $x=[-\pi ,\pi ]$

정답·풀이 보기

a. $-\frac{\pi }{4}<x<\frac{3\pi }{4}$ 에서 증가, $x>\frac{3\pi }{4},x<-\frac{\pi }{4}$ 에서 감소 b. $x=-\frac{\pi }{4}$ 에서 극소, $x=\frac{3\pi }{4}$ 에서 극대 c. $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}$ 에서 아래로 볼록, $x<-\frac{\pi }{2},x>\frac{\pi }{2}$ 에서 위로 볼록 d. 변곡점은 $x=\pm \frac{\pi }{2}$ 이다

원본 교재 풀이(영어)

a. Increasing over $-\frac{\pi }{4}<x<\frac{3\pi }{4},$ decreasing over $x>\frac{3\pi }{4},x<-\frac{\pi }{4}$ b. Minimum at $x=-\frac{\pi }{4},$ maximum at $x=\frac{3\pi }{4}$ c. Concave up for $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2},$ concave down for $x<-\frac{\pi }{2},x>\frac{\pi }{2}$ d. Infection points at $x=\pm \frac{\pi }{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 20번

# 함수의 증가와 감소그래프·표 해석자동 분류

27.OpenStax 1권 · 4.5절 · 45번우리말 번역

다음 문제에서 아래를 구하세요.

a. $f$ 가 증가하거나 감소하는 구간, b. $f$ 의 극솟값과 극댓값, c. $f$ 가 아래로 볼록하거나 위로 볼록한 구간, d. $f$ 의 변곡점. 곡선의 그래프를 그린 다음, 계산기를 사용하여 답과 비교하세요. 정확한 답을 해석적으로 구할 수 없으면 계산기를 사용하세요.

$f(x)=(\ln x)\sqrt{x},x>0$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine

a. intervals where $f$ is increasing or decreasing, b. local minima and maxima of $f,$ c. intervals where $f$ is concave up and concave down, and d. the inflection points of $f.$ Sketch the curve, then use a calculator to compare your answer. If you cannot determine the exact answer analytically, use a calculator.

$f(x)=(\ln x)\sqrt{x},x>0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 4번

# 함수의 증가와 감소그래프·표 해석자동 분류

28.OpenStax 1권 · 4.5절 · 46번우리말 번역

다음 문제에서 아래를 구하세요.

a. $f$ 가 증가하거나 감소하는 구간, b. $f$ 의 극솟값과 극댓값, c. $f$ 가 아래로 볼록하거나 위로 볼록한 구간, d. $f$ 의 변곡점. 곡선의 그래프를 그린 다음, 계산기를 사용하여 답과 비교하세요. 정확한 답을 해석적으로 구할 수 없으면 계산기를 사용하세요.

$f(x)=\frac{1}{4}\sqrt{x}+\frac{1}{x},x>0$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine

a. intervals where $f$ is increasing or decreasing, b. local minima and maxima of $f,$ c. intervals where $f$ is concave up and concave down, and d. the inflection points of $f.$ Sketch the curve, then use a calculator to compare your answer. If you cannot determine the exact answer analytically, use a calculator.

$f(x)=\frac{1}{4}\sqrt{x}+\frac{1}{x},x>0$

정답·풀이 보기

a. $x>4$ 에서 증가, $0<x<4$ 에서 감소 b. $x=4$ 에서 극소 c. $0<x<8\sqrt[3]{2}$ 에서 아래로 볼록, $x>8\sqrt[3]{2}$ 에서 위로 볼록 d. 변곡점은 $x=8\sqrt[3]{2}$ 이다

원본 교재 풀이(영어)

a. Increasing over $x>4,$ decreasing over $0<x<4$ b. Minimum at $x=4$ c. Concave up for $0<x<8\sqrt[3]{2},$ concave down for $x>8\sqrt[3]{2}$ d. Inflection point at $x=8\sqrt[3]{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 26번

# 함수의 증가와 감소그래프·표 해석자동 분류

29.OpenStax 1권 · 4.5절 · 47번우리말 번역

다음 문제에서 아래를 구하세요.

a. $f$ 가 증가하거나 감소하는 구간, b. $f$ 의 극솟값과 극댓값, c. $f$ 가 아래로 볼록하거나 위로 볼록한 구간, d. $f$ 의 변곡점. 곡선의 그래프를 그린 다음, 계산기를 사용하여 답과 비교하세요. 정확한 답을 해석적으로 구할 수 없으면 계산기를 사용하세요.

$f(x)=\frac{{e}^{x}}{x},x\ne 0$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine

a. intervals where $f$ is increasing or decreasing, b. local minima and maxima of $f,$ c. intervals where $f$ is concave up and concave down, and d. the inflection points of $f.$ Sketch the curve, then use a calculator to compare your answer. If you cannot determine the exact answer analytically, use a calculator.

$f(x)=\frac{{e}^{x}}{x},x\ne 0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.3절 · 6번

# 함수의 증가와 감소그래프·표 해석자동 분류

30.CLP-1 · 3.6절 · 1번우리말 번역

아래에 그래프로 주어진 각 함수에 해당하는 도함수를 목록에서 찾아 짝지으세요. (예를 들어, 목록의 어떤 함수가 $A'(x)$ 에 해당하는지 찾으세요.)

곡선의 변화 양상이 잘 드러나도록 $y$ 축의 눈금을 조정했으므로, 그래프마다 세로 눈금이 다릅니다.

$l(x)=(x-2)^4$

$m(x)=(x-2)^4(x+2)$

$n(x)=(x-2)^2(x+2)^2$

$o(x)=(x-2)(x+2)^3$

$p(x)=(x+2)^4$

영어 원문 보기

Match each function graphed below to its derivative from the list. (For example, which function on the list corresponds to $A'(x)$ ?)

The $y$ -axes have been scaled to make the curve's behaviour clear, so the vertical scales differ from graph to graph.

$l(x)=(x-2)^4$

$m(x)=(x-2)^4(x+2)$

$n(x)=(x-2)^2(x+2)^2$

$o(x)=(x-2)(x+2)^3$

$p(x)=(x+2)^4$

정답·풀이 보기

함수 $A(x)$ 와 $B(x)$ 는 다른 함수들과 구별되는 공통점이 있다. 접선이 수평인 점이 한 번뿐이라는 것이다. 특히 $A'(-2) \neq 0$ 이고 $B'(2) \neq 0$ 이다. 목록에서 서로 다른 두 근을 갖지 않는 함수는 $l(x)$ 와 $p(x)$ 뿐이다. $l(-2) \neq 0$ 이고 $p(2) \neq 0$ 이므로 다음을 얻는다. $A'(x)=l(x) \qquad B'(x)=p(x)$

함수 $C(x)$ 는 감소하는 구간이 없다. $x = \pm 2$ 일 때 접선이 수평이지만 곡선은 결코 감소하지 않으므로, 모든 $x$ 에 대해 $C'(x) \geq 0$ 이고 $C'(2)=C'(-2)=0$ 이다. 이에 맞는 함수는 $n(x)=(x-2)^2(x+2)^2$ 뿐이다. 일차식 인수들의 거듭제곱이 짝수이므로 이 함수는 음수가 되지 않으며, 근은 정확히 $x=\pm 2$ 이다. $C'(x)=n(x)$

함수 $D(x)$ 와 $E(x)$ 는 $x=0$ 근처에서의 변화 양상을 살펴본다. $D(x)$ 는 $x=0$ 근처에서 감소하므로 $D'(0)<0$ 이고, 이는 $o(0)<0$ 과 일치한다. 반면 $E(x)$ 는 $0$ 근처에서 증가하므로 $E'(0)>0$ 이고, 이는 $m(0)>0$ 과 일치한다. $D'(x)=o(x)\qquad E'(x)=m(x)$

원본 교재 풀이(영어)

Functions $A(x)$ and $B(x)$ share something in common that sets them apart from the others: they have a horizontal tangent line only once. In particular, $A'(-2) \neq 0$ and $B'(2) \neq 0$ . The only listed functions that do not have two distinct roots are $l(x)$ and $p(x)$ . Since $l(-2) \neq 0$ and $p(2) \neq 0$ , we conclude $A'(x)=l(x) \qquad B'(x)=p(x)$

Function $C(x)$ is never decreasing. Its tangent line is horizontal when $x = \pm 2$ , but the curve never decreases, so $C'(x) \geq 0$ for all $x$ and $C'(2)=C'(-2)=0$ . The only function that matches this is $n(x)=(x-2)^2(x+2)^2$ . Since its linear terms have even powers, it is never negative, and its roots are precisely $x=\pm 2$ . $C'(x)=n(x)$

For the functions $D(x)$ and $E(x)$ we consider their behaviour near $x=0$ . $D(x)$ is decreasing near $x=0$ , so $D'(0)<0$ , which matches with $o(0)<0$ . Contrastingly, $E(x)$ is increasing near zero, so $E'(0)>0$ , which matches with $m(0)>0$ . $D'(x)=o(x)\qquad E'(x)=m(x)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 3번

# 함수의 증가와 감소그래프·표 해석기본자동 분류