문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

극대와 극소

도함수가 0인 점 주변의 부호 변화로 극댓값·극솟값을 구한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

9문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 4.3절 · 4번우리말 풀이

임계점을 찾을 때 $f'(x)$ 가 정의되지 않는 점도 함께 살펴야 하는 이유를 설명하세요. 그래프를 그려 설명을 뒷받침하세요.

영어 원문 보기

When you are checking for critical points, explain why you also need to determine points where $f'(x)$ is undefined. Draw a graph to support your explanation.

풀이 보기

극값은 접선이 수평인 곳에서만 생기는 것이 아니에요. 그래프가 뾰족하게 꺾여 미분이 안 되는 점에서도 극값이 생길 수 있어요.

1
극값 후보를 정리해요. 미분가능한 함수에서 극값이 생기면 그 점에서 $f'(x)=0$ 이에요. 하지만 이것은 '미분가능할 때'만 성립하는 이야기예요. 미분이 안 되는 점은 이 방법으로 걸러 낼 수 없어요.
2
예를 들어 볼게요. $f(x)=|x|$ 의 그래프는 $x=0$ 에서 뾰족한 V자 모양이에요. $x=0$ 에서 좌미분계수는 $-1$ , 우미분계수는 $1$ 이라 $f'(0)$ 이 존재하지 않아요. 그런데 $f(0)=0$ 은 모든 $x$ 에서의 값 중 가장 작은 값, 즉 극솟값(최솟값)이에요.
3
결론을 말해요. 만약 $f'(x)=0$ 인 점만 조사하면 $y=|x|$ 의 극솟점 $x=0$ 을 놓쳐요(그 점에서 $f'(x)=0$ 이 되는 곳은 없으니까요). 그래서 $f'(x)=0$ 인 점뿐 아니라 $f'(x)$ 가 정의되지 않는 점까지 모두 임계점 후보로 확인해야 해요.

답

예시 답: $f'(x)$ 가 정의되지 않는 점에서도 극값이 생길 수 있다. 예를 들어 $f(x)=|x|$ 는 $x=0$ 에서 미분불가능하지만 극솟값 $0$ 을 갖는다. 그러므로 $f'(x)=0$ 인 점뿐 아니라 $f'$ 가 정의되지 않는 점도 조사해야 한다.

자주 하는 실수

극값은 항상 $f'(x)=0$ 인 점에서만 생긴다고 외우는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 8번

# 극대와 극소개념 확인보통

2.OpenStax 1권 · 4.3절 · 5번우리말 번역

$y=a{x}^{2}+bx+c$ 가 $(-\infty ,\infty )$ 에서 유한한 최댓값을 가질 수 있나요? 그래프를 이용한 논증으로 그 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Can you have a finite absolute maximum for $y=a{x}^{2}+bx+c$ over $(-\infty ,\infty )?$ Explain why or why not using graphical arguments.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 14번

# 극대와 극소개념 확인자동 분류

3.OpenStax 1권 · 4.3절 · 6번우리말 번역

$a$ 가 0이 아니라고 할 때, $y=a{x}^{3}+b{x}^{2}+cx+d$ 가 $(-\infty ,\infty )$ 에서 유한한 최댓값을 가질 수 있나요? 그래프를 이용한 논증으로 그 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Can you have a finite absolute maximum for $y=a{x}^{3}+b{x}^{2}+cx+d$ over $(-\infty ,\infty )$ assuming a is non-zero? Explain why or why not using graphical arguments.

정답·풀이 보기

아니요; 답은 다양할 수 있다

원본 교재 풀이(영어)

No; answers will vary

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 2번

# 극대와 극소개념 확인자동 분류

4.APEX · 3.1절 · 1번우리말 번역

함수의 "극값"이 무엇인지 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

Describe what an “extreme value” of a function is in your own words.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.1절 · 2번

# 극대와 극소개념 확인자동 분류

5.APEX · 3.1절 · 2번우리말 번역

구간 $(-1,1)$ 에서 최댓값과 최솟값을 모두 갖는 함수 $f$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Sketch the graph of a function $f$ on $(-1,1)$ that has both a maximum and minimum value.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.1절 · 3번

# 극대와 극소개념 확인자동 분류

6.APEX · 3.1절 · 3번우리말 번역

절대 최댓값과 극댓값의 차이를 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

Describe the difference between absolute and relative maxima in your own words.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.1절 · 4번

# 극대와 극소개념 확인자동 분류

7.APEX · 3.1절 · 4번우리말 번역

함수 $f$ 의 그래프를 그리세요. 단, $f$ 는 $x=1$ 에서 극댓값을 갖고 $f\,'(1)$ 은 정의되지 않는다.

영어 원문 보기

Sketch the graph of a function $f$ where $f$ has a relative maximum at $x=1$ and $f\,'(1)$ is undefined.

정답·풀이 보기

답은 여러 가지이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.1절 · 5번

# 극대와 극소개념 확인자동 분류

8.APEX · 3.1절 · 5번우리말 번역

참/거짓: $c$ 가 함수 $f$ 의 임계값이면 $f$ 는 $x=c$ 에서 극댓값 또는 극솟값을 갖는다.

영어 원문 보기

T/F: If $c$ is a critical value of a function $f$ , then $f$ has either a relative maximum or relative minimum at $x=c$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

원본 교재 풀이(영어)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 4번

# 극대와 극소개념 확인자동 분류

9.APEX · 3.1절 · 6번우리말 번역

빈칸을 채우세요: 함수 $f$ 의 임계점은 $f\,'(x)$ 가 _____ 와(과) 같거나 $f\,'(x)$ 가 _____ 인 곳에서 찾을 수 있다.

영어 원문 보기

Fill in the blanks: The critical points of a function $f$ are found where $f\,'(x)$ is equal to _____ or where $f\,'(x)$ is _____.

정답·풀이 보기

$f\,'(x)$ 가 0 과 같거나 $f\,'(x)$ 가 정의되지 않는 곳이다.

원본 교재 풀이(영어)

Where $f\,'(x)$ is equal to 0 or where $f\,'(x)$ is undefined.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 24번

# 극대와 극소개념 확인자동 분류