문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

롤의 정리와 평균값 정리

평균변화율과 같은 순간변화율을 갖는 점이 있음을 이용해 값을 구하거나 보인다

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

3문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 4.4절 · 43번우리말 번역

오전 10시 17분에 고속도로에 정차해 있는 경찰차를 55 mph로 지나친다. 오전 10시 53분에 두 번째 경찰차를 55 mph로 지나치는데, 이 경찰차는 첫 번째 경찰차로부터 39 mi 떨어져 있다. 제한 속력이 60 mph라면, 경찰이 과속으로 단속할 수 있는가?

영어 원문 보기

At 10:17 a.m., you pass a police car at 55 mph that is stopped on the freeway. You pass a second police car at 55 mph at 10:53 a.m., which is located 39 mi from the first police car. If the speed limit is 60 mph, can the police cite you for speeding?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 2번

# 롤의 정리와 평균값 정리활용자동 분류

2.CLP-1 · 2.13절 · 1번우리말 번역

어떤 순록의 최고 속력이 시속 70 km이고, 1년 동안 5000 km를 이동한다고 합시다. 이 순록이 이동하는 동안 걸은 시간에 대해 무엇을 알 수 있나요?

영어 원문 보기

Suppose a particular caribou has a top speed of 70 kph, and in one year it migrates 5000 km. What do you know about the amount of time the caribou spent travelling during its migration?

정답·풀이 보기

순록의 최고 속력을 알고 있으므로, 이를 이용하여 순록이 이동하는 데 쓴 시간의 가능한 최솟값을 구할 수 있다. 순록이 시속 70 km로 이동하면 5000킬로미터를 이동하는 데 $(5000 \mathrm{km})\left(\dfrac{1 \mathrm{hr}}{70 \mathrm{km}}\right) \approx 71.4 \mathrm{hrs}$ 가 걸린다. 순록이 내내 전속력으로 달리지는 않았을 것이므로 아마 그보다 더 오래 걸렸겠지만, 순록이 이동하는 데 적어도 약 71.4시간을 썼다는 것만은 확실하게 말할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

We know the top speed of the caribou, so we can use this to give the minimum possible number of hours the caribou spent travelling during its migration. If the caribou travels at 70kph, it will take $(5000 \mathrm{km})\left(\dfrac{1 \mathrm{hr}}{70 \mathrm{km}}\right) \approx 71.4 \mathrm{hrs}$ to travel 5000 kilometres. Probably the caribou wasn't sprinting the whole time, so probably it took it longer than that, but we can only say for sure that the caribou spent at least about 71.4 hours migrating.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 8번

# 롤의 정리와 평균값 정리활용기본자동 분류

3.CLP-1 · 2.13절 · 2번우리말 번역

이동하는 캐나다두루미 한 마리가 하루 동안 240 킬로미터를 날았다고 하자. 평균값 정리는 그날 이 두루미의 속력에 대해 무엇을 말해 주나요?

영어 원문 보기

Suppose a migrating sandhill crane flew 240 kilometres in one day. What does the mean value theorem tell you about its speed during that day?

정답·풀이 보기

$f(x)$ 가 시간 $x$ (단위: 시간)에서의 두루미의 위치라 하면, ( $x=0$ 을 그날의 시작으로 두면) $f(24)-f(0)=240$ 임을 알 수 있다. $f(x)$ 는 새의 위치이므로 $f(x)$ 는 연속이고 미분가능하다. 따라서 평균값 정리에 의해 $(0,24)$ 에 속하는 어떤 $c$ 가 존재하여 $f'(x)=\dfrac{f(24)-f(0)}{24-0}=\dfrac{240}{24}=10$ 이다. 즉, 그날 어느 한 시점 $c$ 에서 두루미의 속력은 정확히 시속 10 킬로미터였다.

원본 교재 풀이(영어)

If $f(x)$ is the position of the crane at time $x$ , measured in hours, then (if we let $x=0$ be the beginning of the day) we know that $f(24)-f(0)=240$ . Since $f(x)$ is the position of the bird, $f(x)$ is continuous and differentiable. So, the MVT says there is a $c$ in $(0,24)$ such that $f'(x)=\dfrac{f(24)-f(0)}{24-0}=\dfrac{240}{24}=10$ . That is, at some point $c$ during the day, the speed of the crane was exactly 10 kph.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 1번

# 롤의 정리와 평균값 정리활용기본자동 분류