문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

롤의 정리와 평균값 정리

평균변화율과 같은 순간변화율을 갖는 점이 있음을 이용해 값을 구하거나 보인다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

8문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 4.4절 · 11번우리말 번역

다음 연습문제에서, 계산기로 함수의 그래프를 그리고 양 끝점을 잇는 할선을 그리세요. ${f}^{'}(c)(b-a)=f(b)-f(a)$ 를 만족하는 점 $c$ 의 개수를 어림하세요.

[계산기 사용] 구간 $\left[-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right]$ 에서 $y=\tan \left(\frac{\pi }{4}x\right)$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the functions on a calculator and draw the secant line that connects the endpoints. Estimate the number of points $c$ such that ${f}^{'}(c)(b-a)=f(b)-f(a).$

[T] $y=\tan \left(\frac{\pi }{4}x\right)$ over $\left[-\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 2번

# 롤의 정리와 평균값 정리그래프·표 해석자동 분류

2.OpenStax 1권 · 4.4절 · 12번우리말 번역

다음 연습문제에서, 계산기로 함수의 그래프를 그리고 양 끝점을 잇는 할선을 그리세요. ${f}^{'}(c)(b-a)=f(b)-f(a)$ 를 만족하는 점 $c$ 의 개수를 어림하세요.

[계산기 사용] 구간 $[-2,2]$ 에서 $y={x}^{2}\cos (\pi x)$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the functions on a calculator and draw the secant line that connects the endpoints. Estimate the number of points $c$ such that ${f}^{'}(c)(b-a)=f(b)-f(a).$

[T] $y={x}^{2}\cos (\pi x)$ over $[-2,2]$

답 쓰고 채점

점

정답·풀이 보기

점 5개

원본 교재 풀이(영어)

5 points

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 14번

# 롤의 정리와 평균값 정리그래프·표 해석자동 분류

3.OpenStax 1권 · 4.4절 · 13번우리말 번역

다음 연습문제에서, 계산기로 함수의 그래프를 그리고 양 끝점을 잇는 할선을 그리세요. ${f}^{'}(c)(b-a)=f(b)-f(a)$ 를 만족하는 점 $c$ 의 개수를 어림하세요.

[계산기 사용] 구간 $[-1,1]$ 에서 $y={x}^{6}-\frac{3}{4}{x}^{5}-\frac{9}{8}{x}^{4}+\frac{15}{16}{x}^{3}+\frac{3}{32}{x}^{2}+\frac{3}{16}x+\frac{1}{32}$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the functions on a calculator and draw the secant line that connects the endpoints. Estimate the number of points $c$ such that ${f}^{'}(c)(b-a)=f(b)-f(a).$

[T] $y={x}^{6}-\frac{3}{4}{x}^{5}-\frac{9}{8}{x}^{4}+\frac{15}{16}{x}^{3}+\frac{3}{32}{x}^{2}+\frac{3}{16}x+\frac{1}{32}$ over $[-1,1]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 6번

# 롤의 정리와 평균값 정리그래프·표 해석자동 분류

4.OpenStax 1권 · 4.4절 · 38번우리말 번역

다음 연습문제에서, 계산기를 사용하여 구간 $[a,b]$ 에서 함수의 그래프를 그리고 $a$ 에서 $b$ 까지의 할선의 그래프를 그리세요. 계산기를 사용하여 평균값 정리가 보장하는 $c$ 의 값을 모두 어림하세요. 그런 다음 가능하면 $c$ 의 정확한 값을 구하고, 그렇지 않으면 최종 방정식을 쓰고 계산기를 사용하여 네 자리까지 어림하세요.

[계산기 사용] 구간 $\left[-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right]$ 에서 $y=\tan (\pi x)$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph the function over the interval $[a,b]$ and graph the secant line from $a$ to $b.$ Use the calculator to estimate all values of $c$ as guaranteed by the Mean Value Theorem. Then, find the exact value of $c,$ if possible, or write the final equation and use a calculator to estimate to four digits.

[T] $y=\tan (\pi x)$ over $\left[-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right]$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$c=\pm \frac{1}{\pi }{\cos }^{-1}\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}\right),$ $c=\pm 0.1533$

원본 교재 풀이(영어)

$c=\pm \frac{1}{\pi }{\cos }^{-1}\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}\right),$ $c=\pm 0.1533$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 13번

# 롤의 정리와 평균값 정리그래프·표 해석자동 분류

5.OpenStax 1권 · 4.4절 · 39번우리말 번역

다음 연습문제에서는 계산기를 사용하여 구간 $[a,b]$ 에서 함수의 그래프를 그리고, $a$ 에서 $b$ 까지의 할선의 그래프를 그리세요. 계산기를 사용하여 평균값 정리가 보장하는 $c$ 의 값을 모두 어림하세요. 그런 다음 가능하면 $c$ 의 정확한 값을 구하고, 불가능하면 최종 방정식을 쓰고 계산기를 사용하여 네 자리까지 어림하세요.

[계산기 사용] 구간 $[0,3]$ 에서 $y=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph the function over the interval $[a,b]$ and graph the secant line from $a$ to $b.$ Use the calculator to estimate all values of $c$ as guaranteed by the Mean Value Theorem. Then, find the exact value of $c,$ if possible, or write the final equation and use a calculator to estimate to four digits.

[T] $y=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$ over $[0,3]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 6번

# 롤의 정리와 평균값 정리그래프·표 해석자동 분류

6.OpenStax 1권 · 4.4절 · 41번우리말 번역

다음 연습문제에서, 계산기를 사용하여 구간 $[a,b]$ 에서 함수의 그래프를 그리고 $a$ 에서 $b$ 까지의 할선의 그래프를 그리세요. 계산기를 사용하여 평균값 정리가 보장하는 $c$ 의 모든 값을 어림하세요. 그런 다음, 가능하면 $c$ 의 정확한 값을 구하고, 그렇지 않으면 최종 방정식을 쓰고 계산기를 사용하여 소수 넷째 자리까지 어림하세요.

[계산기 사용] 구간 $\left[\frac{1}{2},4\right]$ 에서 $y=x+\frac{1}{x}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph the function over the interval $[a,b]$ and graph the secant line from $a$ to $b.$ Use the calculator to estimate all values of $c$ as guaranteed by the Mean Value Theorem. Then, find the exact value of $c,$ if possible, or write the final equation and use a calculator to estimate to four digits.

[T] $y=x+\frac{1}{x}$ over $\left[\frac{1}{2},4\right]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 8번

# 롤의 정리와 평균값 정리그래프·표 해석자동 분류

7.OpenStax 1권 · 4.4절 · 42번우리말 번역

다음 연습문제에서, 계산기를 사용하여 구간 $[a,b]$ 에서 함수의 그래프를 그리고 $a$ 에서 $b$ 까지의 할선의 그래프를 그리세요. 계산기를 사용하여 평균값 정리가 보장하는 모든 $c$ 의 값을 어림하세요. 그런 다음, 가능하면 $c$ 의 정확한 값을 구하고, 가능하지 않으면 최종 방정식을 쓰고 계산기를 사용하여 네 자리까지 어림하세요.

[계산기 사용] $[3,8]$ 에서 $y=\sqrt{x+1}+\frac{1}{{x}^{2}}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph the function over the interval $[a,b]$ and graph the secant line from $a$ to $b.$ Use the calculator to estimate all values of $c$ as guaranteed by the Mean Value Theorem. Then, find the exact value of $c,$ if possible, or write the final equation and use a calculator to estimate to four digits.

[T] $y=\sqrt{x+1}+\frac{1}{{x}^{2}}$ over $[3,8]$

정답·풀이 보기

$\frac{1}{2\sqrt{c+1}}-\frac{2}{{c}^{3}}=\frac{521}{2880};$ $c=3.133,5.867$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{2\sqrt{c+1}}-\frac{2}{{c}^{3}}=\frac{521}{2880};$ $c=3.133,5.867$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 12번

# 롤의 정리와 평균값 정리그래프·표 해석자동 분류

8.CLP-1 · 2.13절 · 5번우리말 번역

아래 각 부분에 대해, 모든 실수에서 연속이고 미분가능하며 $f(1)=f(2)=0$ 이고 제시된 성질을 갖는 함수 $f(x)$ (각 부분마다 서로 다른 함수)의 그래프를 그리세요. 그런 함수가 존재하지 않는다면 그 이유를 설명하세요.

(a) $f'(c)=0$ 인 점 $c \in (1,2)$ 가 없다 (b) $f'(c)=0$ 인 점 $c \in (1,2)$ 가 정확히 하나 있다 (c) $f'(c)=0$ 인 점 $c \in (1,2)$ 가 정확히 다섯 개 있다 (d) $f'(c)=0$ 인 점 $c \in (1,2)$ 가 무수히 많이 있다

영어 원문 보기

For each of the parts below, sketch a function $f(x)$ (different in each part) that is continuous and differentiable over all real numbers, with $f(1)=f(2)=0$ , and with the listed property, or explain why no such function exists.

(a) $f'(c)=0$ for no point $c \in (1,2)$ (b) $f'(c)=0$ for exactly one point $c \in (1,2)$ (c) $f'(c)=0$ for exactly five points $c \in (1,2)$ (d) $f'(c)=0$ for infinitely many points $c \in (1,2)$

정답·풀이 보기

(a) 그런 함수는 존재할 수 없다. 롤의 정리에 의해 적어도 한 점 $c \in (1,2)$ 에서 $f'(c)=0$ 이 보장된다.

나머지 함수들의 예는 아래와 같으나, 가능한 답은 많다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) No such function is possible: Rolle's Theorem guarantees $f'(c)=0$ for at least one point $c \in (1,2)$ .

For the other functions, examples are below, but many answers are possible.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.13절 · 2번

# 롤의 정리와 평균값 정리그래프·표 해석기본자동 분류