평균변화율과 미분계수 연습문제

1.OpenStax 1권 · 3.1절 · 37번우리말 풀이

[계산기 사용] 다음 위치함수 $y=s(t)$ 로 직선 위를 움직이는 물체가 있어요. 여기서 $t$ 는 초, $s$ 는 미터 단위예요. 다음을 구하세요.

a. $t=2$ 에서 $t=2+h$ 까지의 평균속도를 간단히 나타낸 식 b. $t=2$ 와 $t=2+h$ 사이의 평균속도. 단, (i) $h=0.1$ , (ii) $h=0.01$ , (iii) $h=0.001$ , (iv) $h=0.0001$ c. a의 결과를 이용해 $t=2$ 초에서의 순간속도를 어림하기

$s(t)=2t^3+3$

영어 원문 보기

[T] For the following position functions $y=s(t),$ an object is moving along a straight line, where $t$ is in seconds and $s$ is in meters. Find

a. the simplified expression for the average velocity from $t=2$ to $t=2+h;$ b. the average velocity between $t=2$ and $t=2+h,$ where $\text{(i)}\,h=0.1,$ $\text{(ii)}\,h=0.01,$ $\text{(iii)}\,h=0.001,$ and $\text{(iv)}\,h=0.0001;$ and c. use the answer from a. to estimate the instantaneous velocity at $t=2$ second.

$s(t)=2{t}^{3}+3$

풀이 보기

평균속도는 (위치의 변화량)÷(걸린 시간)이고, 시간 간격 $h$ 를 0에 가깝게 하면 순간속도(미분계수)에 가까워져요.

1
평균속도의 식을 세워요. 평균속도는 위치가 얼마나 변했는지를 걸린 시간으로 나눈 값이에요. $t=2$ 에서 $t=2+h$ 까지 걸린 시간은 $h$ 이므로 $\frac{s(2+h)-s(2)}{h}$ 를 계산하면 돼요. 먼저 $s(2)=2\cdot 2^3+3=19$ 예요.
2
$s(2+h)$ 를 전개해요. $(2+h)^3=8+12h+6h^2+h^3$ 이므로 $s(2+h)=2(8+12h+6h^2+h^3)+3=19+24h+12h^2+2h^3$ 예요. 그러면 $s(2+h)-s(2)=24h+12h^2+2h^3$ 이에요.
3
$h$ 로 나누어 간단히 해요. 분자의 모든 항에 $h$ 가 들어 있으니 약분할 수 있어요. $\frac{24h+12h^2+2h^3}{h}=24+12h+2h^2=2(h^2+6h+12)$ 이것이 a의 답이에요.
4
b: $h$ 값을 차례로 넣어요. $2(h^2+6h+12)$ 에 대입하면
- $h=0.1$ : $2(0.01+0.6+12)=25.22$ (m/s)
- $h=0.01$ : $2(0.0001+0.06+12)=24.1202\approx 24.12$ (m/s)
- $h=0.001$ : $24.012\approx 24.01$ (m/s)
- $h=0.0001$ : $24.0012\approx 24.00$ (m/s)
5
c: 값이 어디로 다가가는지 봐요. $h$ 가 작아질수록 평균속도가 $24$ 에 가까워져요. 식으로도 $h\to 0$ 이면 $2(h^2+6h+12)\to 2\cdot 12=24$ 예요. 그러므로 $t=2$ 초의 순간속도는 $24$ m/s 예요.

답

a. $2(h^2+6h+12)$ b. (i) $25.22$ m/s (ii) $24.12$ m/s (iii) $24.01$ m/s (iv) $24$ m/s c. $24$ m/s

자주 하는 실수

$(2+h)^3$ 을 $8+h^3$ 으로 잘못 전개하는 실수가 많아요. $12h+6h^2$ 항을 꼭 챙기세요.

원본 교재 풀이(영어)

a. $2({h}^{2}+6h+12);$ b. $\text{(i)}\,25.22$ m/s, $\text{(ii)}\,24.12$ m/s, $\text{(iii)}\,24.01$ m/s, $\text{(iv)}\,24$ m/s; c. $24$ m/s

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 25번

# 평균변화율과 미분계수활용보통

2.OpenStax 1권 · 3.4절 · 18번우리말 풀이

[계산기 사용]

a. 계산기나 컴퓨터 프로그램으로 인구를 가장 잘 나타내는 일차함수(최적 직선)를 구하세요. b. a에서 구한 식을 미분하고, 그 물리적 의미를 설명하세요. c. 그 식의 이계도함수를 구하고, 그 물리적 의미를 설명하세요.

영어 원문 보기

[T]

a. Using a calculator or a computer program, find the best-fit linear function to measure the population. b. Find the derivative of the equation in a. and explain its physical meaning. c. Find the second derivative of the equation and explain its physical meaning.

풀이 보기

일차함수 $P(t)=at+b$ 의 도함수는 기울기 $a$ 하나뿐이고, 이계도함수는 $0$ 이에요.

1
(a) 문제의 자료 표를 계산기에 입력해 일차 회귀(최소제곱 직선)를 구해요. 결과는 $P(t)=0.03983t+0.4280$ 이에요.
2
(b) 일차함수 $at+b$ 를 미분하면 상수 $a$ 예요. $P'(t)=0.03983$ 이고, 이 값은 양수이므로 인구가 시간에 따라 증가하고 있다는 뜻이에요. 증가 속도는 단위 시간당 약 $0.03983$ 이에요.
3
(c) 상수를 미분하면 $0$ 이므로 $P''(t)=0$ 이에요. 인구가 증가하는 속도가 변하지 않고 일정하다는 뜻이에요.

답

(a) $P(t)=0.03983t+0.4280$ (b) $P'(t)=0.03983$ , 인구가 증가하고 있다 (c) $P''(t)=0$ , 증가 속도가 일정하다

자주 하는 실수

$P'(t)$ 가 양수이니 $P''(t)$ 도 양수라고 착각해요. 이계도함수는 증가 속도가 변하는 정도이고, 직선이면 $0$ 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

a. $P(t)=0.03983+0.4280$ b. ${P}^{'}(t)=0.03983.$ The population is increasing. c. ${P}^{''}(t)=0.$ The rate at which the population is increasing is constant.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 1번

# 평균변화율과 미분계수활용보통

3.CLP-1 · 2.3절 · 2번우리말 번역

$p(t)$ 가 위젯 $t$ 개를 판매하여 얻는 이익을 나타내는 함수라고 하자. $p'(t)$ 의 실제적인 의미는 무엇인지 설명하세요.

영어 원문 보기

Suppose $p(t)$ is a function that gives the profit generated by selling $t$ widgets. What is the practical interpretation of $p'(t)$ ?

정답·풀이 보기

$p'(t) = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{p(t+h)-p(t)}{h} \approx \frac{p(t+1)-p(t)}{1} = p(t+1)-p(t)$ 이므로, $(t+1)^{\mathrm{st}}$ 번째 위젯을 판매함으로써 생기는 이익의 차이이다. 따라서 $p'(t)$ 는 $(t+1)^{\mathrm{st}}$ 번째 위젯에서 얻는 이익이다. 즉, $p'(t)$ 는 $t$ 개의 위젯이 판매되고 있을 때 위젯 한 개를 추가로 판매할 때마다 늘어나는 이익이다. 이를 $t$ 개의 위젯이 판매되고 있을 때의 위젯당 한계이익이라고 한다.

원본 교재 풀이(영어)

$p'(t) = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\frac{p(t+h)-p(t)}{h} \approx \frac{p(t+1)-p(t)}{1} = p(t+1)-p(t)$ , or the difference in profit caused by the sale of the $(t+1)^{\mathrm{st}}$ widget. So, $p'(t)$ is the profit from the $(t+1)^{\mathrm{st}}$ widget. That is, $p'(t)$ is the profit per additional widget sold, when $t$ widgets are being sold. This is called the marginal profit per widget, when $t$ widgets are being sold.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.1절 · 3번

# 평균변화율과 미분계수활용보통자동 분류

4.CLP-1 · 2.3절 · 3번우리말 번역

$T(d)$ 는 수면 아래 $d$ 미터의 특정 위치에서 물의 온도를 나타낸다. $T'(d)$ 의 물리적 의미는 무엇인지 설명하세요. $T'(d)$ 의 크기는 $d$ 가 0 에 가까울 때와 $d$ 가 매우 클 때 중 어느 쪽에서 더 클 것으로 예상하는지 설명하세요.

영어 원문 보기

$T(d)$ gives the temperature of water at a particular location $d$ metres below the surface. What is the physical interpretation of $T'(d)$ ? Would you expect the magnitude of $T'(d)$ to be larger when $d$ is near 0, or when $d$ is very large?

정답·풀이 보기

깊이가 단위 길이만큼 변할 때 온도가 얼마나 빠르게 변하는지를 나타내며, 단위는 도/미터이다. 보통의 물에서는 수면( $d=0$ ) 근처의 온도는 햇빛에 따라 꽤 변하지만, 깊은 곳에서는 (열원이 없는 한) 더 안정적이다. 따라서 $|T'(d)|$ 는 $d$ 가 0 에 가까울 때 더 클 것이라고 예상하는 것이 합리적이다.

원본 교재 풀이(영어)

How quickly the temperature is changing per unit change of depth, measured in degrees per metre. In an ordinary body of water, the temperature near the surface ( $d=0$ ) is pretty variable, depending on the sun, but deep down it is more stable (unless there are heat sources). So, one might reasonably expect that $|T'(d)|$ is larger when $d$ is near 0.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.3절 · 2번

# 평균변화율과 미분계수활용보통자동 분류

5.CLP-1 · 2.3절 · 5번우리말 번역

시각 $t$ 에서 움직이는 물체의 속도가 $v(t)$ 로 주어진다. $v'(t)$ 는 무엇인가요?

영어 원문 보기

The velocity of a moving object at time $t$ is given by $v(t)$ . What is $v'(t)$ ?

정답·풀이 보기

속도의 변화율은 가속도이다. (속도가 증가하면 가속하고 있는 것이고, 속도가 감소하면 음의 가속도를 가진다.)

원본 교재 풀이(영어)

The rate of change of velocity is acceleration. (If your velocity is increasing, you're accelerating; if your velocity is decreasing, you have negative acceleration.)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.3절 · 4번

# 평균변화율과 미분계수활용보통자동 분류

6.CLP-1 · 2.3절 · 6번우리말 번역

함수 $T(j)$ 는 물 한 컵에 $j$ 줄의 열을 가했을 때의 물의 온도를 섭씨 온도(도)로 나타낸다. $T'(j)$ 는 무엇인가요?

영어 원문 보기

The function $T(j)$ gives the temperature in degrees Celsius of a cup of water after $j$ joules of heat have been added. What is $T'(j)$ ?

정답·풀이 보기

이 경우 변화율은 가해 준 열과 온도 변화 사이의 관계가 된다. $\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{T(j+h)-T(j)}{h} \approx \dfrac{T(j+1)-T(j)}{1}=T(j+1)-T(j)$ 이므로, 1줄의 열을 가한 뒤의 온도 변화량이다. (이것은 열용량 및 비열과 밀접하게 관련되어 있으며, 위키백과에 이에 대한 좋은 설명이 있다.)

원본 교재 풀이(영어)

The rate of change in this case will be the relationship between the heat added and the temperature change. $\displaystyle\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{T(j+h)-T(j)}{h} \approx \dfrac{T(j+1)-T(j)}{1}=T(j+1)-T(j)$ , or the change in temperature after the application of one joule. (This is closely related to heat capacity and to specific heat — there's a nice explanation of this on Wikipedia.)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.3절 · 3번

# 평균변화율과 미분계수활용보통자동 분류

7.CLP-1 · 2.3절 · 7번우리말 번역

일정한 시간 동안 온도 $T$ 에 둔 세균 집단이 $P(T)$ 개체로 늘어난다. $P'(T)$ 의 의미를 해석하세요.

영어 원문 보기

A population of bacteria, left for a fixed amount of time at temperature $T$ , grows to $P(T)$ individuals. Interpret $P'(T)$ .

정답·풀이 보기

늘 그렇듯이 도함수의 정의를 생각해 보면 도움이 된다. $P'(T) = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{P(T+h)=P(T)}{h} \approx \dfrac{P(T+1)-P(t)}{1} = P(T+1)-P(T).$ 이것은 온도가 1도 차이 나는 두 가상의 집단 사이의 개체 수 차이이다. 따라서 이는 온도가 더 높은 실험에서 추가로 존재하는 개체의 수이다(세균이 좋아하는 온도보다 더 높은 조건에서는 예상할 수 있듯이 이 수가 음수일 수도 있다). 그러므로 $P'(T)$ 는 온도 1도당 집단에 추가되는 세균의 수이다.

원본 교재 풀이(영어)

As usual, it is instructive to think about the definition of the derivative: $P'(T) = \displaystyle\lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{P(T+h)=P(T)}{h} \approx \dfrac{P(T+1)-P(t)}{1} = P(T+1)-P(T).$ This is the difference in population between two hypothetical populations, raised one degree in temperature apart. So, it is the number of extra individuals that exist in the hotter experiment (with the understanding that this number could be negative, as one would expect in conditions that are hotter than the bacteria prefer). So $P'(T)$ is the number of bacteria added to the colony per degree.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.3절 · 6번

# 평균변화율과 미분계수활용보통자동 분류