평균변화율과 미분계수 연습문제

21.APEX · 2.2절 · 15번우리말 번역

연습문제 15–18에서 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 의 그래프가 주어져 있다. 두 함수 중 어느 것이 다른 함수의 도함수인지 찾으세요.

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, graphs of functions $f(x)$ and $g(x)$ are given. Identify which function is the derivative of the other.

정답·풀이 보기

$f(x) = g'(x)$

원본 교재 풀이(영어)

$f(x) = g'(x)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 6번

# 평균변화율과 미분계수그래프·표 해석자동 분류

22.APEX · 2.2절 · 16번우리말 번역

연습문제 15–18에서 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 의 그래프가 주어져 있다. 두 함수 중 어느 것이 다른 함수의 도함수인지 찾으세요.

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, graphs of functions $f(x)$ and $g(x)$ are given. Identify which function is the derivative of the other.

정답·풀이 보기

$g(x) = f\,'(x)$

원본 교재 풀이(영어)

$g(x) = f\,'(x)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 14번

# 평균변화율과 미분계수그래프·표 해석자동 분류

23.APEX · 2.2절 · 17번우리말 번역

연습문제 15–18에서 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 의 그래프가 주어져 있다. 두 함수 중 어느 것이 다른 함수의 도함수인지 찾으세요.

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, graphs of functions $f(x)$ and $g(x)$ are given. Identify which function is the derivative of the other.

정답·풀이 보기

$g(x) = f\,'(x)$ 또는 $f(x) = g'(x)$ 중 어느 쪽이든 정답으로 인정된다. 실제 답은 $g(x) = f\,'(x)$ 이지만, 그래프에 주어진 세부 정보의 수준으로는 $f(x)\neq g'(x)$ 임을 보이기가 매우 어렵다.

원본 교재 풀이(영어)

Either $g(x) = f\,'(x)$ or $f(x) = g'(x)$ is acceptable. The actual answer is $g(x) = f\,'(x)$ , but is very hard to show that $f(x)\neq g'(x)$ given the level of detail given in the graph.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 11번

# 평균변화율과 미분계수그래프·표 해석자동 분류

24.APEX · 2.2절 · 18번우리말 번역

연습문제 15–18에서 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 의 그래프가 주어져 있다. 두 함수 중 어느 것이 다른 함수의 도함수인지 찾으세요.

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, graphs of functions $f(x)$ and $g(x)$ are given. Identify which function is the derivative of the other.

정답·풀이 보기

$g(x) = f\,'(x)$

원본 교재 풀이(영어)

$g(x) = f\,'(x)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.3절 · 8번

# 평균변화율과 미분계수그래프·표 해석자동 분류

25.Active Calculus · 1.1절 · 11번우리말 번역

미국 인구 조사에 따르면 미시간주 그랜드래피즈시의 인구는 1980년에 181,843명, 1990년에 189,126명, 2000년에 197,800명이었다.

(a) 1980년부터 2000년까지 그랜드래피즈의 인구는 몇 명 늘었는지 구하세요. (b) 1980년부터 2000년까지 평균적으로 1년 동안 그랜드래피즈의 인구는 몇 명 늘었는지 구하세요. (c) 위치의 변화량을 시간의 변화량으로 나누어 움직이는 물체의 평균 속도를 구할 수 있는 것과 마찬가지로, 임의의 함수 $f$ 의 평균변화율도 구할 수 있다. 구체적으로, 구간 $[a,b]$ 에서 함수 $f$ 의 평균변화율은 다음 몫이다. $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,.$ 구간 $[a,b]$ 에서 $y = f(x)$ 의 그래프 위의 어떤 값을 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 가 나타내는지 설명하세요. (d) $P(t)$ 는 시각 $t$ 에서 그랜드래피즈의 인구를 나타내고, $t$ 는 1980년 1월 1일부터 지난 햇수라고 하자. 구간 $t = 0$ 부터 $t = 20$ 까지에서 $P$ 의 평균변화율을 구하세요. 이 값의 단위는 무엇인지 구하세요. (e) 그랜드래피즈의 인구가 10년마다 약 4%의 비율로 증가한다고 가정하면, 인구 함수를 다음 식으로 나타낼 수 있다. $P(t) = 181843 (1.04)^{t/10}\,.$ 이 식을 이용하여 구간 $[5,10]$ , $[5,9]$ , $[5,8]$ , $[5,7]$ , $[5,6]$ 에서 인구의 평균변화율을 구하세요. (f) 1985년 1월 1일에 그랜드래피즈의 인구는 얼마나 빠르게 변하고 있었다고 생각하나요? 다시 말해, 1985년 1월 1일 현재 그랜드래피즈의 인구에 사람들이 어느 정도의 비율로 더해지고 있었다고 생각하나요? 그다음 1년 동안 이 도시는 몇 명이 더 늘어날 것으로 예상해야 하나요? 그 이유는 무엇인가요?

영어 원문 보기

According to the U.S. census, the population of the city of Grand Rapids, MI, was 181,843 in 1980; 189,126 in 1990; and 197,800 in 2000.

(a) Between 1980 and 2000, by how many people did the population of Grand Rapids grow? (b) In an average year between 1980 and 2000, by how many people did the population of Grand Rapids grow? (c) Just like we can find the average velocity of a moving body by computing change in position over change in time, we can compute the average rate of change of any function $f$ . In particular, the average rate of change of a function $f$ over an interval $[a,b]$ is the quotient $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\,.$ What does the quantity $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ measure on the graph of $y = f(x)$ over the interval $[a,b]$ ? (d) Let $P(t)$ represent the population of Grand Rapids at time $t$ , where $t$ is measured in years from January 1, 1980. What is the average rate of change of $P$ on the interval $t = 0$ to $t = 20$ ? What are the units on this quantity? (e) If we assume the population of Grand Rapids is growing at a rate of approximately 4% per decade, we can model the population function with the formula $P(t) = 181843 (1.04)^{t/10}\,.$ Use this formula to compute the average rate of change of the population on the intervals $[5,10]$ , $[5,9]$ , $[5,8]$ , $[5,7]$ , and $[5,6]$ . (f) How fast do you think the population of Grand Rapids was changing on January 1, 1985? Said differently, at what rate do you think people were being added to the population of Grand Rapids as of January 1, 1985? How many additional people should the city have expected in the following year? Why?

정답·풀이 보기

(a) 인구의 변화량은 $P(2000) - P(1980) = 197 800 - 181 843 = 15 957$ 명이다. (b) 1980년부터 2000년까지 20년 동안 그랜드래피즈에 $15 957$ 명이 늘었으므로, 평균적으로 1년 동안 인구는 $\frac{15,957}{20} \approx 798$ 명/년 늘었다. (c) $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{\Delta f}{\Delta x}$ 는 두 점 $(a,f(a))$ 와 $(b,f(b))$ 를 지나는 할선의 기울기를 나타낸다. (d) $AV_{[0,20]}=\frac{P(20)-P(0)}{20-0}=\frac{197 800 - 181 843}{20}=\frac{15 957}{20} \approx 798$ 명/년이다. (e) $\begin{aligned}AV_{[5,10]} &=\frac{P(10) - P(5)}{10-5} = \frac{189 116.72 - 185 444.20}{10-5} \approx 734.50 \\ AV_{[5,9]} &= \frac{188 376.44 - 185 444.20}{9-5} \approx 733.06 \\ AV_{[5,8]} &= \frac{187 639.06 - 185,444.20}{8-5} \approx 731.62 \\ AV_{[5,7]} &= \frac{186 904.57 - 185,444.20}{7-5} \approx 730.19 \\ AV_{[5,6]} &= \frac{186 172.95 - 185,444.20}{6-5} \approx 728.7535\end{aligned}$ 이 값들의 단위는 각각 “명/년”이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The change in population is $P(2000) - P(1980) = 197 800 - 181 843 = 15 957$ people. (b) Since there were $15 957$ people added to Grand Rapids over the 20 years from 1980 to 2000, in an average year the population grew by $\frac{15,957}{20} \approx 798$ people/year. (c) $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{\Delta f}{\Delta x}$ measures the slope of a secant line through the points $(a,f(a))$ and $(b,f(b))$ . (d) $AV_{[0,20]}=\frac{P(20)-P(0)}{20-0}=\frac{197 800 - 181 843}{20}=\frac{15 957}{20} \approx 798$ people per year. (e) $\begin{aligned}AV_{[5,10]} &=\frac{P(10) - P(5)}{10-5} = \frac{189 116.72 - 185 444.20}{10-5} \approx 734.50 \\ AV_{[5,9]} &= \frac{188 376.44 - 185 444.20}{9-5} \approx 733.06 \\ AV_{[5,8]} &= \frac{187 639.06 - 185,444.20}{8-5} \approx 731.62 \\ AV_{[5,7]} &= \frac{186 904.57 - 185,444.20}{7-5} \approx 730.19 \\ AV_{[5,6]} &= \frac{186 172.95 - 185,444.20}{6-5} \approx 728.7535\end{aligned}$ The units on each of these quantities are “people per year”.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 27번

# 평균변화율과 미분계수그래프·표 해석자동 분류

26.Active Calculus · 1.3절 · 13번우리말 번역

이 문제의 목표는 여러 함수에 대해 한 점에서의 미분계수의 값을 구하되, 각 함수마다 세 가지 서로 다른 방법으로 구한 다음, 그 결과를 비교하여 세 방법이 모두 같은 값을 내는지 확인하는 것이다.

다음 각 함수에 대해 도함수의 극한 정의를 사용하여 세 가지 방법으로 $f'(a)$ 의 값을 구하세요. 먼저 대수적 방법을 써서 (극한을 정확히 계산하여) 구하려고 노력하고, 그다음 수치적 근거(작은 $h$ 의 값)로 그 결과를 검증하고, 마지막으로 $(a,f(a))$ 근처에서 $y = f(x)$ 의 그래프를 알맞은 접선과 함께 그려서 $f'(a)$ 의 값을 시각적으로 어림하세요. 세 방법으로 얻은 결과를 서로 비교하세요. 대수적 방법을 끝내지 못하더라도 수치적 방법과 그래프를 이용한 방법은 계속 진행하세요.

(a) $f(x) = x^2 - 3x$ , $a = 2$ (b) $f(x) = \frac{1}{x}$ , $a = 1$ (c) $f(x) = \sqrt{x}$ , $a = 1$ (d) $f(x) = 2 - |x-1|$ , $a = 1$ (e) $f(x) = \sin(x)$ , $a = \frac{\pi}{2}$

영어 원문 보기

The goal of this problem is to compute the value of the derivative at a point for several different functions, where for each one we do so in three different ways, and then to compare the results to see that each produces the same value.

For each of the following functions, use the limit definition of the derivative to compute the value of $f'(a)$ using three different approaches: strive to use the algebraic approach first (to compute the limit exactly), then test your result using numerical evidence (with small values of $h$ ), and finally plot the graph of $y = f(x)$ near $(a,f(a))$ along with the appropriate tangent line to estimate the value of $f'(a)$ visually. Compare your findings among all three approaches; if you are unable to complete the algebraic approach, still work numerically and graphically.

(a) $f(x) = x^2 - 3x$ , $a = 2$ (b) $f(x) = \frac{1}{x}$ , $a = 1$ (c) $f(x) = \sqrt{x}$ , $a = 1$ (d) $f(x) = 2 - |x-1|$ , $a = 1$ (e) $f(x) = \sin(x)$ , $a = \frac{\pi}{2}$

정답·풀이 보기

(a) 아래 표는 $a=2$ 이고 $h$ 가 작은 여러 값일 때 차분몫 $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 의 값을 나타낸 것이다. 이 표는 $f'(2)$ 가 약 $1$ 임을 나타낸다.

$h$	$-0.0001$	$-0.001$	$-0.01$	$0.01$	$0.001$	$0.0001$
$\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$	$0.9999$	$0.9990$	$0.9900$	$1.0100$	$1.0010$	$1.0001$
다음 그림과 같이 점 $(2,f(2))$ 에서 $f$ 의 접선의 기울기는 약 1로 보인다.

마지막으로 대수적 방법으로 이 어림값을 확인한다. $x=a$ 에서 $f$ 의 미분계수의 정의에 의해
$\begin{aligned}f'(2) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\left[(2+h)^2 - 3(2+h)\right] - (-2)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\left[4+4h+h^2 - 6 - 3h\right] + 2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{h^2 + h}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{h(h+1)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} h+1 \\ &= 1\end{aligned}$
이는 수치적 방법과 기하적 방법으로 얻은 결론을 확인해 준다.
(b) 다음 표는 $a=1$ 이고 $h$ 가 작은 여러 값일 때 차분몫 $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 의 값을 나타낸 것이다. 이 표는 $f'(1)$ 이 약 $-1$ 임을 나타낸다.
$h$	$-0.0001$	$-0.001$	$-0.01$	$0.01$	$0.001$	$0.0001$
---	---	---	---	---	---	---
$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$	$-1.00010$	$-1.001001$	$-1.010101$	$-0.990099$	$-0.999001$	$-0.999900$
다음 그림과 같이 점 $(1,f(1))$ 에서 $f$ 의 접선의 기울기는 약 $-1$ 로 보인다.

마지막으로 대수적 방법으로 이 어림값을 확인한다. $x=a$ 에서 $f$ 의 미분계수의 정의에 의해
$\begin{aligned}f'(1) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1+h} - 1}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1+h} - 1}{h} \left(\frac{1+h}{1+h} \right) \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{1-(1+h)}{h(1+h)} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{-h)}{h(1+h)} \\ &= \lim_{h \to 0} -\frac{1}{1+h} \\ &= -1\end{aligned}\,.$ 이는 수치적 방법과 기하적 방법으로 얻은 결론을 확인해 준다.
(c) 아래 표는 $a=1$ 이고 $h$ 가 작은 여러 값일 때 차분몫 $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 의 값을 나타낸 것이다. 이 표는 $f'(1)$ 이 약 $0.5$ 임을 나타낸다.
$h$	$-0.0001$	$-0.001$	$-0.01$	$0.01$	$0.001$	$0.0001$
---	---	---	---	---	---	---
$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$	$0.50001300$	$0.50012510$	$0.50125629$	$0.49875620$	$0.49987500$	$0.49999000$
아래 그림과 같이 점 $(1,f(1))$ 에서 $f$ 의 접선의 기울기는 약 $0.5$ 로 보인다.

마지막으로 대수적 방법으로 이 어림값을 확인한다. $x=a$ 에서 $f$ 의 미분계수의 정의에 의해
$\begin{aligned}f'(1) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{1+h}-\sqrt{1}}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{1+h}-1}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{1+h}-1}{h} \left(\frac{\sqrt{1+h}+1}{\sqrt{1+h}+1} \right) \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)-1}{h(\sqrt{1+h}+1)} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{1+h}+1)} \\ &= \frac{1}{\sqrt{1+h}+1} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}\,.$ 이는 수치적 방법과 기하적 방법으로 얻은 결론을 확인해 준다.
(d) 다음 표의 자료는 $\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ 의 값이 $h < 0$ 일 때 $1$ 이고 $h > 0$ 일 때 $-1$ 임을 나타낸다. 이는 $f'(1)$ 이 존재하지 않음을 뜻한다.
$h$	$-0.0001$	$-0.001$	$-0.01$	$0.01$	$0.001$	$0.0001$
---	---	---	---	---	---	---
$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$	$1$	$1$	$1$	$-1$	$-1$	$-1$
아래 그림에서 $f$ 의 그래프는 점 $(1,f(1))$ 에서 뾰족한 모서리를 갖는 것으로 보이며, 이 역시 $(1,f(1))$ 에서 $f$ 의 접선이 없음을 뜻한다.
![구간 0.2 < x < 1.8 에서 함수 f(x) = 2-	x-1	의 그래프와, 그래프 위의 점 (1,2)에 초점을 맞춘 그림이다. 이 함수는 점 (1,2)에서 뾰족한 모서리를 갖는다.](activecalc/1_3_Ez4d_soln.svg)
이제 대수적 방법으로 이 어림값을 확인한다. 먼저
$\begin{aligned}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} &= \frac{[2-\|(1+h)-1\|] - 2}{h} \\ &= \frac{(2-\|h\|)-2}{h} \\ &= \frac{-\|h\|}{h}\end{aligned}$
임에 주목한다. 절댓값 함수의 정의에 의해 $h \ge 0$ 이면 $\|h\| = h$ 이고, $h < 0$ 이면 $\|h\| = -h$ 이다. 따라서 $h > 0$ 일 때
$\frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \frac{-\|h\|}{h} = -\frac{h}{h} = -1$
이고, $h < 0$ 일 때
$\frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \frac{-\|h\|}{h} = -\frac{-h}{h} = 1\,.$ 이로써 $\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ 이 존재하지 않음이 확인된다.
(e) 다음 표의 자료는 $h \to 0$ 일 때 $\frac{f(\frac{\pi}{2}+h)-f(\frac{\pi}{2})}{h}$ 가 $0$ 에 가까워짐을 나타낸다.
$h$	$-0.0001$	$-0.001$	$-0.01$	$0.01$	$0.001$	$0.0001$
---	---	---	---	---	---	---
$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$	$0.00005$	$0.0005$	$0.005$	$-0.005$	$-0.0005$	$-0.00005$
아래 그림에서 $f$ 의 그래프는 점 $(\frac{\pi}{2},f(\frac{\pi}{2}))$ 에서 수평인 접선을 가지며, 이 역시 $f'(\frac{\pi}{2}) = 0$ 임을 시사한다.

마지막으로 대수적 방법으로 이 어림값을 확인해 본다. 먼저
$\begin{aligned}\frac{f(\frac{\pi}{2}+h)-f(\frac{\pi}{2})}{h} &= \frac{\sin(\frac{\pi}{2}+h) - \sin \frac{\pi}{2}}{h} \\ &= \frac{\sin(\frac{\pi}{2}+h) - 1}{h}\end{aligned}$
임에 주목한다. 사인 함수의 덧셈정리를 이용하면
$\sin(\frac{\pi}{2}+h) = \sin \frac{\pi}{2} \cos(h) + \cos \frac{\pi}{2} \sin(h) = 1 \cdot \cos(h) + 0 \cdot \sin(h) = \cos(h)\,.$ 따라서
$\begin{aligned}f'(\frac{\pi}{2}) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(\frac{\pi}{2}+h)-f(\frac{\pi}{2})}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\cos(h) - 1}{h}\end{aligned}$
이 시점에서 대수적 방법으로는 더 이상 계산할 수 없는 극한을 만난다. 앞에서 다룬 극한과 마찬가지로 작은 $h$ 의 값을 이용하여 이 극한을 어림할 수 있다. 그렇게 하면 이 극한도 $0$ 에 가까워짐이 확인되므로, $f'(\frac{\pi}{2}) = 0$ 이라고 결론짓는다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The table below gives values of the difference quotient $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ for $a=2$ and several small values of $h$ . This table indicates that $f'(2)$ is approximately $1$ .

$h$	$-0.0001$	$-0.001$	$-0.01$	$0.01$	$0.001$	$0.0001$
$\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$	$0.9999$	$0.9990$	$0.9900$	$1.0100$	$1.0010$	$1.0001$
The tangent line to $f$ at the point $(2,f(2))$ as shown in the following appears to have a slope that is approximately 1.

Finally, we verify these approximations using an algebraic approach. The definition of the derivative of $f$ at $x=a$ shows that
$\begin{aligned}f'(2) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\left[(2+h)^2 - 3(2+h)\right] - (-2)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\left[4+4h+h^2 - 6 - 3h\right] + 2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{h^2 + h}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{h(h+1)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} h+1 \\ &= 1\end{aligned}$
This confirms our conclusions using the numeric and geometric approaches.
(b) The following table gives values of the difference quotient $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ for $a=1$ and several small values of $h$ . This table indicates that $f'(1)$ is approximately $-1$ .
$h$	$-0.0001$	$-0.001$	$-0.01$	$0.01$	$0.001$	$0.0001$
---	---	---	---	---	---	---
$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$	$-1.00010$	$-1.001001$	$-1.010101$	$-0.990099$	$-0.999001$	$-0.999900$
The tangent line to $f$ at the point $(1,f(1))$ as shown in the following figure appears to have a slope that is approximately $-1$ .
$A plot of f(x) = frac 1 x on the interval 0.2 lt x lt 1.8 with a focus on the point (1,1) on the curve as well as the graph of the tangent line at that point. The tangent line passes through (1,1) wit$
Finally, we verify these approximations using an algebraic approach. The definition of the derivative of $f$ at $x=a$ shows that
$\begin{aligned}f'(1) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1+h} - 1}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1+h} - 1}{h} \left(\frac{1+h}{1+h} \right) \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{1-(1+h)}{h(1+h)} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{-h)}{h(1+h)} \\ &= \lim_{h \to 0} -\frac{1}{1+h} \\ &= -1\end{aligned}\,.$ This confirms our conclusions using the numeric and geometric approaches.
(c) The table below gives values of the difference quotient $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ for $a=1$ and several small values of $h$ . This table indicates that $f'(1)$ is approximately $0.5$ .
$h$	$-0.0001$	$-0.001$	$-0.01$	$0.01$	$0.001$	$0.0001$
---	---	---	---	---	---	---
$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$	$0.50001300$	$0.50012510$	$0.50125629$	$0.49875620$	$0.49987500$	$0.49999000$
The tangent line to $f$ at the point $(1,f(1))$ as shown in the figure below appears to have a slope that is approximately $0.5$ .

Finally, we verify these approximations using an algebraic approach. The definition of the derivative of $f$ at $x=a$ shows that
$\begin{aligned}f'(1) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{1+h}-\sqrt{1}}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{1+h}-1}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{1+h}-1}{h} \left(\frac{\sqrt{1+h}+1}{\sqrt{1+h}+1} \right) \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)-1}{h(\sqrt{1+h}+1)} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{1+h}+1)} \\ &= \frac{1}{\sqrt{1+h}+1} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}\,.$ This confirms our conclusions using the numeric and geometric approaches.
(d) The data in the following table indicates that $\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ has values of $1$ for $h < 0$ and values of $-1$ for $h > 0$ . This implies that $f'(1)$ does not exist.
$h$	$-0.0001$	$-0.001$	$-0.01$	$0.01$	$0.001$	$0.0001$
---	---	---	---	---	---	---
$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$	$1$	$1$	$1$	$-1$	$-1$	$-1$
The graph of $f$ in the figure below appears to show a sharp corner at the point $(1,f(1))$ , also implying that there is no tangent line to $f$ at $(1,f(1))$ .
![A plot of f(x) = 2-	x-1	on the interval 0.2 lt x lt 1.8 with a focus on the point (1,2) on the graph. The function has a sharp corner at the point (1,2).](activecalc/1_3_Ez4d_soln.svg)
Now we verify these approximations using an algebraic approach. Notice first that
$\begin{aligned}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} &= \frac{[2-\|(1+h)-1\|] - 2}{h} \\ &= \frac{(2-\|h\|)-2}{h} \\ &= \frac{-\|h\|}{h}\end{aligned}$
The definition of the absolute value function tells us that $\|h\| = h$ whenever $h \ge 0$ , while $\|h\| = -h$ whenever $h < 0$ . Thus, for $h > 0$ , we have
$\frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \frac{-\|h\|}{h} = -\frac{h}{h} = -1$
and for $h < 0$ , we have
$\frac{f(1+h)-f(1)}{h} = \frac{-\|h\|}{h} = -\frac{-h}{h} = 1\,.$ This confirms that $\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}$ does not exist.
(e) The data in the following table indicate that $\frac{f(\frac{\pi}{2}+h)-f(\frac{\pi}{2})}{h}$ approaches $0$ as $h \to 0$ .
$h$	$-0.0001$	$-0.001$	$-0.01$	$0.01$	$0.001$	$0.0001$
---	---	---	---	---	---	---
$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$	$0.00005$	$0.0005$	$0.005$	$-0.005$	$-0.0005$	$-0.00005$
The graph of $f$ in the figure below shows a horizontal tangent line at the point $(\frac{\pi}{2},f(\frac{\pi}{2}))$ , which also suggests that $f'(\frac{\pi}{2}) = 0$ .
$A plot of f(x) = sin(x) on the interval -1.5 lt x lt 6.5 with a focus on the point ( frac pi 2 ,1) on the curve. The graph has a hump at x = frac pi 2 and thus a horizontal tangent line at that x-valu$
Finally, we attempt to verify these approximations using an algebraic approach. Notice first that
$\begin{aligned}\frac{f(\frac{\pi}{2}+h)-f(\frac{\pi}{2})}{h} &= \frac{\sin(\frac{\pi}{2}+h) - \sin \frac{\pi}{2}}{h} \\ &= \frac{\sin(\frac{\pi}{2}+h) - 1}{h}\end{aligned}$
Using the sum of two angles identity for the sine function, it follows that
$\sin(\frac{\pi}{2}+h) = \sin \frac{\pi}{2} \cos(h) + \cos \frac{\pi}{2} \sin(h) = 1 \cdot \cos(h) + 0 \cdot \sin(h) = \cos(h)\,.$ Hence,
$\begin{aligned}f'(\frac{\pi}{2}) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(\frac{\pi}{2}+h)-f(\frac{\pi}{2})}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\cos(h) - 1}{h}\end{aligned}$
At this point, we encounter a limit that we are unable to evaluate further using algebraic means. Like the earlier limit above, we can estimate the limit using small values of $h$ . Doing so confirms that this limit also approaches $0$ , and we hence conclude that $f'(\frac{\pi}{2}) = 0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 3번

# 평균변화율과 미분계수그래프·표 해석자동 분류

27.Active Calculus · 1.5절 · 6번우리말 번역

커피 한 잔의 시간 $t$ 에서의 온도 $F$ (단위: 화씨 도)가 함수 $F(t) = 75 + 110 e^{-0.05t}$ 로 주어지고, 시간은 분 단위로 잰다.

(a) $h = 0.01$ 인 중심차분을 이용하여 $F'(10)$ 의 값을 어림하세요. (b) (a)에서 계산한 $F'(10)$ 의 값의 단위는 무엇입니까? $F'(10)$ 의 값이 실제로 의미하는 바는 무엇입니까? (c) $F'(10)$ 과 $F'(20)$ 중 어느 것이 더 클 것으로 예상합니까? 그 이유는 무엇입니까? (d) 시간 구간 $0 \le t \le 30$ 에서 함수 $y = F'(t)$ 의 변화 양상을 설명하는 문장을 쓰세요. 그 그래프는 어떤 모양일 것이라고 생각합니까? 그 이유는 무엇입니까?

영어 원문 보기

A cup of coffee has its temperature $F$ (in degrees Fahrenheit) at time $t$ given by the function $F(t) = 75 + 110 e^{-0.05t}$ , where time is measured in minutes.

(a) Use a central difference with $h = 0.01$ to estimate the value of $F'(10)$ . (b) What are the units on the value of $F'(10)$ that you computed in (a)? What is the practical meaning of the value of $F'(10)$ ? (c) Which do you expect to be greater: $F'(10)$ or $F'(20)$ ? Why? (d) Write a sentence that describes the behavior of the function $y = F'(t)$ on the time interval $0 \le t \le 30$ . How do you think its graph will look? Why?

정답·풀이 보기

(a) 중심차분 공식을 이용하면 다음과 같다. $F'(10) \approx \frac{F(10.01) - F(9.99)}{0.02} = \frac{(75 + 110 e^{-0.05\cdot 10.01}) - (75 + 110 e^{-0.05\cdot 9.99})}{0.02} \approx -3.33592\,.$ (b) $F$ 는 화씨 도 단위로, $t$ 는 분 단위로 재므로 $F'(10) \approx -3.33592$ 화씨 도/분이다. 이는 $t=10$ 인 순간에 커피의 온도가 분당 약 $3.33592$ 도의 순간변화율로 감소하고 있음을 뜻한다. 달리 말하면, 다음 1분 동안 커피의 온도가 약 $3.33592$ 도 떨어질 것으로 예상할 수 있다. (c) 커피의 온도와 주변 온도의 차이가 가장 큰 초반에 커피의 온도가 빠르게 감소하고, 시간이 지남에 따라 커피의 온도가 주변 실내 온도에 가까워질 것으로 예상한다. $F$ 가 항상 감소하는 함수이므로 $F'$ 은 항상 음수임을 염두에 두면, $F'(10)$ 이 $F'(20)$ 보다 작다(더 음수이다)는 것을 알 수 있다. 이러한 관찰은 $F$ 의 그래프를 그려서도 확인할 수 있다. (d) $F'$ 은 항상 음수이고, 시간이 지남에 따라 $F'$ 이 $0$ 에 점점 더 가까워질 것(즉, $F'$ 이 증가함)으로 예상된다는 것을 앞에서 살펴보았다. 따라서 $F'$ 의 그래프는 $y = -e^{-x}$ 의 그래프와 비슷한 모양일 것으로 예상된다. $-e^{-x}$ 도 지수함수이고, 항상 음수이며, 항상 증가하고, $x$ 가 커질수록 $0$ 에 가까워지므로 이는 타당하다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Using the central difference formula, we find that $F'(10) \approx \frac{F(10.01) - F(9.99)}{0.02} = \frac{(75 + 110 e^{-0.05\cdot 10.01}) - (75 + 110 e^{-0.05\cdot 9.99})}{0.02} \approx -3.33592\,.$ (b) Since $F$ is measured in degrees Fahrenheit and $t$ in minutes, we have $F'(10) \approx -3.33592$ degrees F per minute. This means that at the instant $t=10$ , the temperature of the coffee is decreasing at an instantaneous rate of about $3.33592$ degrees per minute. Said differently, in the next minute, we'd expect the temperature of the coffee to drop about $3.33592$ degrees. (c) We expect the coffee's temperature to decrease quickly early on when the difference between its temperature and the surroundings is greatest, and as time goes on for the coffee's temperature to approach that of the surrounding room. Keeping in mind that $F$ is an always decreasing function so that $F'$ is always negative, we observe that $F'(10)$ should be less (more negative) than $F'(20)$ . These observations can also be confirmed by plotting a graph of $F$ . (d) We have noted that $F'$ is always negative, and that we expect $F'$ to get closer and closer to $0$ as time goes on (that is, $F'$ is increasing). As such, we expect $F'$ to look something like the graph of $y = -e^{-x}$ . This is reasonable since $-e^{-x}$ is also an exponential function, is always negative, is always increasing, and approaches $0$ as $x$ increases.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 6번

# 평균변화율과 미분계수그래프·표 해석자동 분류