적분 기법 전체 연습문제

41.OpenStax 1권 · 5.7절 · 40번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 정적분의 값을 구하세요.

${\int }_{1/4}^{1/2}\frac{\tan ({\cos }^{-1}t)}{\sqrt{1-{t}^{2}}}dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute each definite integral.

${\int }_{1/4}^{1/2}\frac{\tan ({\cos }^{-1}t)}{\sqrt{1-{t}^{2}}}dt$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 23번

# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류

42.OpenStax 1권 · 5.7절 · 41번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 정적분의 값을 구하세요.

${\int }_{0}^{1/2}\frac{\sin ({\tan }^{-1}t)}{1+{t}^{2}}dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute each definite integral.

${\int }_{0}^{1/2}\frac{\sin ({\tan }^{-1}t)}{1+{t}^{2}}dt$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$1-\frac{2}{\sqrt{5}}$

원본 교재 풀이(영어)

$1-\frac{2}{\sqrt{5}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 43번

# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류

43.OpenStax 1권 · 5.7절 · 42번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 정적분의 값을 구하세요.

${\int }_{0}^{1/2}\frac{\cos ({\tan }^{-1}t)}{1+{t}^{2}}dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute each definite integral.

${\int }_{0}^{1/2}\frac{\cos ({\tan }^{-1}t)}{1+{t}^{2}}dt$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 43번

# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류

44.OpenStax 1권 · 5.7절 · 43번대학 수준우리말 번역

$A>0$ 일 때, $I(A)={\int }_{-A}^{A}\frac{dt}{1+{t}^{2}}$ 을 계산하고, $\frac{1}{1+{t}^{2}}$ 의 그래프 아래 $[-\infty ,\infty ]$ 에서의 넓이인 $\lim_{A\to \infty }I(A)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

For $A>0,$ compute $I(A)={\int }_{-A}^{A}\frac{dt}{1+{t}^{2}}$ and evaluate $\lim_{A\to \infty }I(A),$ the area under the graph of $\frac{1}{1+{t}^{2}}$ on $[-\infty ,\infty ].$

정답·풀이 보기

$2{\tan }^{-1}(A)\to \pi$ as $A\to \infty$

원본 교재 풀이(영어)

$2{\tan }^{-1}(A)\to \pi$ as $A\to \infty$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 29번

# 역삼각함수가 나오는 적분그래프·표 해석자동 분류

45.OpenStax 1권 · 5.7절 · 44번대학 수준우리말 번역

$1<B<\infty$ 일 때, $I(B)={\int }_{1}^{B}\frac{dt}{t\sqrt{{t}^{2}-1}}$ 을 계산하고, $\frac{1}{t\sqrt{{t}^{2}-1}}$ 의 그래프 아래 $[1,\infty )$ 에서의 넓이인 $\lim_{B\to \infty }I(B)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

For $1<B<\infty ,$ compute $I(B)={\int }_{1}^{B}\frac{dt}{t\sqrt{{t}^{2}-1}}$ and evaluate $\lim_{B\to \infty }I(B),$ the area under the graph of $\frac{1}{t\sqrt{{t}^{2}-1}}$ over $[1,\infty ).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 17번

# 역삼각함수가 나오는 적분그래프·표 해석자동 분류

46.OpenStax 1권 · 5.7절 · 45번대학 수준우리말 번역

치환 $u=\sqrt{2}\,\cot x$ 와 항등식 $1+{\cot }^{2}x={\csc }^{2}x$ 를 이용하여 $\int \frac{dx}{1+{\cos }^{2}x}$ 의 값을 구하세요. (힌트: 피적분함수의 분자와 분모에 ${\csc }^{2}x.)$ 를 곱하세요.

영어 원문 보기

Use the substitution $u=\sqrt{2}\,\cot x$ and the identity $1+{\cot }^{2}x={\csc }^{2}x$ to evaluate $\int \frac{dx}{1+{\cos }^{2}x}.$ (Hint: Multiply the top and bottom of the integrand by ${\csc }^{2}x.)$

정답·풀이 보기

힌트를 이용하면 $\int \frac{{\csc }^{2}x}{{\csc }^{2}x+{\cot }^{2}x}dx=\int \frac{{\csc }^{2}x}{1+2{\cot }^{2}x}dx$ 이다. $u=\sqrt{2}\cot x$ 로 놓으면 $du=-\sqrt{2}{\csc }^{2}x$ 이고, 적분은 $-\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{du}{1+{u}^{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}{\tan }^{-1}u+C=\frac{1}{\sqrt{2}}{\tan }^{-1}\left(\sqrt{2}\cot x\right)+C$ 이다. 항등식 ${\tan }^{-1}s+{\tan }^{-1}\left(\frac{1}{s}\right)=\frac{\pi }{2}$ 를 이용하면, 이는 $\frac{1}{\sqrt{2}}{\tan }^{-1}\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)+C$ 로도 나타낼 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Using the hint, one has $\int \frac{{\csc }^{2}x}{{\csc }^{2}x+{\cot }^{2}x}dx=\int \frac{{\csc }^{2}x}{1+2{\cot }^{2}x}dx.$ Set $u=\sqrt{2}\cot x.$ Then, $du=-\sqrt{2}{\csc }^{2}x$ and the integral is $-\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{du}{1+{u}^{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}{\tan }^{-1}u+C=\frac{1}{\sqrt{2}}{\tan }^{-1}\left(\sqrt{2}\cot x\right)+C.$ If one uses the identity ${\tan }^{-1}s+{\tan }^{-1}\left(\frac{1}{s}\right)=\frac{\pi }{2},$ then this can also be written $\frac{1}{\sqrt{2}}{\tan }^{-1}\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)+C.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 37번

# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류

47.OpenStax 1권 · 5.7절 · 46번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 두 함수 $f(x)=2{x}^{2}-1$ 과 $g(x)={(1+4{x}^{2})}^{-3/2}$ 의 그래프가 만나는 점을 소수 넷째 자리까지 어림하고, 두 그래프 사이의 넓이를 소수 셋째 자리까지 어림하세요.

영어 원문 보기

[T] Approximate the points at which the graphs of $f(x)=2{x}^{2}-1$ and $g(x)={(1+4{x}^{2})}^{-3/2}$ intersect to four decimal places, and approximate the area between their graphs to three decimal places.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 19번

# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류

48.OpenStax 1권 · 5.7절 · 47번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 두 함수 $f(x)={x}^{2}-1$ 과 ${g(x)=({x}^{2}+1)}^{\frac{1}{2}}$ 의 그래프가 만나는 점을 소수 넷째 자리까지 어림하고, 두 그래프 사이의 넓이를 소수 셋째 자리까지 어림하세요.

영어 원문 보기

[T] Approximate the points at which the graphs of $f(x)={x}^{2}-1$ and ${g(x)=({x}^{2}+1)}^{\frac{1}{2}}$ intersect to four decimal places, and approximate the area between their graphs to three decimal places.

정답·풀이 보기

$x\approx \pm 1.7321.$ $N=100$ 일 때 좌단점을 이용한 어림값은 4.781이며, 이 소수 값들은 $N=500$ 일 때도 그대로 유지된다.

원본 교재 풀이(영어)

$x\approx \pm 1.7321.$ The left endpoint estimate with $N=100$ is 4.781 and these decimals persist for $N=500.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 41번

# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류

49.OpenStax 1권 · 5.7절 · 48번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 정적분의 값을 구하세요.

다음 그래프를 이용하여 ${\int }_{0}^{x}\sqrt{1-{t}^{2}}dt=\frac{1}{2}x\sqrt{1-{x}^{2}}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}x$ 임을 증명하세요.

두 도형이 들어 있는 그림이다. 원에서 잘라 낸 부채꼴이 파란색으로 칠해져 위쪽에 있고, 그 아래에 갈색으로 칠해진 삼각형이 있다. 삼각형의 빗변은 부채꼴의 반지름 변 중 하나이며 길이가 1이다. 빨간 점선이 부채꼴의 일부와 삼각형으로 직사각형을 이루고 있으며, 삼각형의 빗변이 그 직사각형의 대각선이다. 원의 곡선은 방정식 sqrt(1-x^2)으로 나타낸다.

영어 원문 보기

In the following exercises, compute each definite integral.

Use the following graph to prove that ${\int }_{0}^{x}\sqrt{1-{t}^{2}}dt=\frac{1}{2}x\sqrt{1-{x}^{2}}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}x.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 11번

# 역삼각함수가 나오는 적분증명·논술자동 분류

50.OpenStax 2권 · 3.2절 · 5번대학 수준우리말 번역

다음 각 적분을 u-치환을 이용하여 계산하세요.

$\int {\sin }^{3}x\cos x\,dx$

영어 원문 보기

Evaluate each of the following integrals by u-substitution.

$\int {\sin }^{3}x\cos x\,dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$\frac{{\sin }^{4}x}{4}+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{{\sin }^{4}x}{4}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.2절 · 9번

# 삼각함수의 적분계산자동 분류

51.OpenStax 2권 · 3.2절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 각 적분을 u-치환을 이용하여 계산하세요.

$\int \sqrt{\cos x}\sin x\,dx$

영어 원문 보기

Evaluate each of the following integrals by u-substitution.

$\int \sqrt{\cos x}\sin x\,dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.2절 · 29번

# 삼각함수의 적분계산자동 분류

52.OpenStax 2권 · 3.2절 · 7번대학 수준우리말 번역

다음 각 적분을 u-치환을 이용하여 계산하세요.

$\int {\tan }^{5}(2x){\sec }^{2}(2x)dx$

영어 원문 보기

Evaluate each of the following integrals by u-substitution.

$\int {\tan }^{5}(2x){\sec }^{2}(2x)dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$\frac{1}{12}{\tan }^{6}(2x)+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{12}{\tan }^{6}(2x)+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.2절 · 5번

# 삼각함수의 적분계산자동 분류

53.OpenStax 2권 · 3.2절 · 8번대학 수준우리말 번역

다음 각 적분을 u-치환을 이용하여 계산하세요.

$\int {\sin }^{7}(2x)\cos (2x)dx$

영어 원문 보기

Evaluate each of the following integrals by u-substitution.

$\int {\sin }^{7}(2x)\cos (2x)dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.2절 · 47번

# 삼각함수의 적분계산자동 분류

54.OpenStax 2권 · 3.2절 · 9번대학 수준우리말 번역

다음 적분의 값을 각각 u-치환으로 구하세요.

$\int \tan \left(\frac{x}{2}\right){\sec }^{2}\left(\frac{x}{2}\right)dx$

영어 원문 보기

Evaluate each of the following integrals by u-substitution.

$\int \tan \left(\frac{x}{2}\right){\sec }^{2}\left(\frac{x}{2}\right)dx$

정답·풀이 보기

$\left(\frac{x}{2}\right)\left( \frac{x}{2} \right)+{C}_{1} {\text{or sec}}^{2}\left( \frac{x}{2} \right)+{C}_{2}$

원본 교재 풀이(영어)

$\left(\frac{x}{2}\right)\left( \frac{x}{2} \right)+{C}_{1} {\text{or sec}}^{2}\left( \frac{x}{2} \right)+{C}_{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.2절 · 13번

# 삼각함수의 적분계산자동 분류

55.OpenStax 2권 · 3.2절 · 10번대학 수준우리말 번역

다음 적분의 값을 각각 u-치환으로 구하세요.

$\int {\tan }^{2}x{\sec }^{2}x\,dx$

영어 원문 보기

Evaluate each of the following integrals by u-substitution.

$\int {\tan }^{2}x{\sec }^{2}x\,dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.8절 · 28번

# 삼각함수의 적분계산자동 분류

56.OpenStax 2권 · 3.2절 · 11번대학 수준우리말 번역

삼각함수의 거듭제곱을 적분하는 지침을 사용하여 다음 적분을 계산하세요. CAS를 사용하여 풀이를 확인하세요. (참고: 일부 문제는 이전에 배운 적분 기법으로 풀 수도 있습니다.)

$\int {\sin }^{3}x\,dx$

영어 원문 보기

Compute the following integrals using the guidelines for integrating powers of trigonometric functions. Use a CAS to check the solutions. (Note: Some of the problems may be done using techniques of integration learned previously.)

$\int {\sin }^{3}x\,dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$-\cos x+\frac{1}{3}{\cos }^{3}x+C$

원본 교재 풀이(영어)

$-\cos x+\frac{1}{3}{\cos }^{3}x+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.2절 · 17번

# 삼각함수의 적분계산자동 분류

57.OpenStax 2권 · 3.2절 · 12번대학 수준우리말 번역

삼각함수의 거듭제곱을 적분하는 지침을 이용하여 다음 적분을 계산하세요. CAS를 사용하여 풀이를 확인하세요. (참고: 일부 문제는 이전에 배운 적분 기법으로 풀 수도 있습니다.)

$\int {\cos }^{3}x\,dx$

영어 원문 보기

Compute the following integrals using the guidelines for integrating powers of trigonometric functions. Use a CAS to check the solutions. (Note: Some of the problems may be done using techniques of integration learned previously.)

$\int {\cos }^{3}x\,dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.2절 · 57번

# 삼각함수의 적분계산자동 분류

58.OpenStax 2권 · 3.2절 · 13번대학 수준우리말 번역

삼각함수의 거듭제곱을 적분하는 지침을 이용하여 다음 적분을 계산하세요. 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 풀이를 확인하세요. (참고: 일부 문제는 앞에서 배운 적분 기법으로 풀 수도 있습니다.)

$\int \sin x\cos x\,dx$

영어 원문 보기

Compute the following integrals using the guidelines for integrating powers of trigonometric functions. Use a CAS to check the solutions. (Note: Some of the problems may be done using techniques of integration learned previously.)

$\int \sin x\cos x\,dx$

정답·풀이 보기

$-\frac{1}{2}{\cos }^{2}x+C$ or $\frac{1}{2}{\sin }^{2}x+C$

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{1}{2}{\cos }^{2}x+C$ or $\frac{1}{2}{\sin }^{2}x+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.2절 · 11번

# 삼각함수의 적분계산자동 분류

59.OpenStax 2권 · 3.2절 · 14번대학 수준우리말 번역

삼각함수의 거듭제곱을 적분하는 지침을 이용하여 다음 적분을 계산하세요. 컴퓨터 대수 시스템으로 답을 확인하세요. (참고: 일부 문제는 앞에서 배운 적분 기법으로 풀 수도 있습니다.)

$\int {\cos }^{5}x\,dx$

영어 원문 보기

Compute the following integrals using the guidelines for integrating powers of trigonometric functions. Use a CAS to check the solutions. (Note: Some of the problems may be done using techniques of integration learned previously.)

$\int {\cos }^{5}x\,dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.2절 · 21번

# 삼각함수의 적분계산자동 분류

60.OpenStax 2권 · 3.2절 · 15번대학 수준우리말 번역

삼각함수의 거듭제곱을 적분하는 지침을 이용하여 다음 적분을 계산하세요. CAS를 사용하여 풀이를 확인하세요. (참고: 일부 문제는 이전에 배운 적분 기법으로 풀 수도 있습니다.)

$\int {\sin }^{5}x{\cos }^{2}x\,dx$

영어 원문 보기

Compute the following integrals using the guidelines for integrating powers of trigonometric functions. Use a CAS to check the solutions. (Note: Some of the problems may be done using techniques of integration learned previously.)

$\int {\sin }^{5}x{\cos }^{2}x\,dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$-\frac{1}{3}{\cos }^{3}x+\frac{2}{5}{\cos }^{5}x-\frac{1}{7}{\cos }^{7}x+C$

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{1}{3}{\cos }^{3}x+\frac{2}{5}{\cos }^{5}x-\frac{1}{7}{\cos }^{7}x+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.2절 · 19번

# 삼각함수의 적분계산자동 분류

적분 기법 전체 문제