적분 기법 전체 연습문제

21.OpenStax 1권 · 5.7절 · 25번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 적절한 치환을 이용하여 부정적분을 구하세요.

$\int \frac{{\sec }^{-1}\left(\frac{t}{2}\right)}{|t|\sqrt{{t}^{2}-4}}dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute the antiderivative using appropriate substitutions.

$\int \frac{{\sec }^{-1}\left(\frac{t}{2}\right)}{|t|\sqrt{{t}^{2}-4}}dt$

정답·풀이 보기

$\frac{1}{4}\left({\sec }^{-1}{\left(\frac{t}{2}\right)}^{2}\right)+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{4}\left({\sec }^{-1}{\left(\frac{t}{2}\right)}^{2}\right)+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 15번

# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류

22.OpenStax 1권 · 5.7절 · 26번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 적절한 치환을 이용하여 부정적분을 구하세요.

$\int \frac{t{\sec }^{-1}({t}^{2})}{{t}^{2}\sqrt{{t}^{4}-1}}dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute the antiderivative using appropriate substitutions.

$\int \frac{t{\sec }^{-1}({t}^{2})}{{t}^{2}\sqrt{{t}^{4}-1}}dt$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 11번

# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류

23.OpenStax 1권 · 5.7절 · 33번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 적절한 치환을 이용하여 각 적분을 계산하세요.

$\int \frac{{e}^{t}}{\sqrt{1-{e}^{2t}}}dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute each integral using appropriate substitutions.

$\int \frac{{e}^{t}}{\sqrt{1-{e}^{2t}}}dt$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

${\sin }^{-1}({e}^{t})+C$

원본 교재 풀이(영어)

${\sin }^{-1}({e}^{t})+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 35번

# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류

24.OpenStax 1권 · 5.7절 · 34번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 적절한 치환을 이용하여 각 적분을 계산하세요.

$\int \frac{{e}^{t}}{1+{e}^{2t}}dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute each integral using appropriate substitutions.

$\int \frac{{e}^{t}}{1+{e}^{2t}}dt$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 41번

# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류

25.OpenStax 1권 · 5.7절 · 35번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 알맞은 치환을 사용하여 각 적분을 계산하세요.

$\int \frac{dt}{t\sqrt{1-{\ln }^{2}t}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute each integral using appropriate substitutions.

$\int \frac{dt}{t\sqrt{1-{\ln }^{2}t}}$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

${\sin }^{-1}(\ln t)+C$

원본 교재 풀이(영어)

${\sin }^{-1}(\ln t)+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 45번

# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류

26.OpenStax 1권 · 5.7절 · 36번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 알맞은 치환을 사용하여 각 적분을 계산하세요.

$\int \frac{dt}{t(1+{\ln }^{2}t)}$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute each integral using appropriate substitutions.

$\int \frac{dt}{t(1+{\ln }^{2}t)}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 37번

# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류

27.OpenStax 1권 · 5.7절 · 37번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 알맞은 치환을 사용하여 각 적분을 계산하세요.

$\int \frac{{\cos }^{-1}(2t)}{\sqrt{1-4{t}^{2}}}dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute each integral using appropriate substitutions.

$\int \frac{{\cos }^{-1}(2t)}{\sqrt{1-4{t}^{2}}}dt$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$-\frac{1}{4}{({\cos }^{-1}(2t))}^{2}+C$

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{1}{4}{({\cos }^{-1}(2t))}^{2}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 47번

# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류

28.OpenStax 1권 · 5.7절 · 38번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 알맞은 치환을 사용하여 각 적분을 계산하세요.

$\int \frac{{e}^{t}{\cos }^{-1}({e}^{t})}{\sqrt{1-{e}^{2t}}}dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute each integral using appropriate substitutions.

$\int \frac{{e}^{t}{\cos }^{-1}({e}^{t})}{\sqrt{1-{e}^{2t}}}dt$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 9번

# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류

29.OpenStax 1권 · 5.7절 · 39번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 각 정적분을 계산하세요.

${\int }_{0}^{1/2}\frac{\tan ({\sin }^{-1}t)}{\sqrt{1-{t}^{2}}}dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute each definite integral.

${\int }_{0}^{1/2}\frac{\tan ({\sin }^{-1}t)}{\sqrt{1-{t}^{2}}}dt$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{1}{2}\ln \left(\frac{4}{3}\right)$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{2}\ln \left(\frac{4}{3}\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 31번

# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류

30.OpenStax 1권 · 5.7절 · 40번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 정적분의 값을 구하세요.

${\int }_{1/4}^{1/2}\frac{\tan ({\cos }^{-1}t)}{\sqrt{1-{t}^{2}}}dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute each definite integral.

${\int }_{1/4}^{1/2}\frac{\tan ({\cos }^{-1}t)}{\sqrt{1-{t}^{2}}}dt$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 23번

# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류

31.OpenStax 1권 · 5.7절 · 41번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 정적분의 값을 구하세요.

${\int }_{0}^{1/2}\frac{\sin ({\tan }^{-1}t)}{1+{t}^{2}}dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute each definite integral.

${\int }_{0}^{1/2}\frac{\sin ({\tan }^{-1}t)}{1+{t}^{2}}dt$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$1-\frac{2}{\sqrt{5}}$

원본 교재 풀이(영어)

$1-\frac{2}{\sqrt{5}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 43번

# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류

32.OpenStax 1권 · 5.7절 · 42번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 정적분의 값을 구하세요.

${\int }_{0}^{1/2}\frac{\cos ({\tan }^{-1}t)}{1+{t}^{2}}dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute each definite integral.

${\int }_{0}^{1/2}\frac{\cos ({\tan }^{-1}t)}{1+{t}^{2}}dt$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 43번

# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류

33.OpenStax 1권 · 5.7절 · 45번대학 수준우리말 번역

치환 $u=\sqrt{2}\,\cot x$ 와 항등식 $1+{\cot }^{2}x={\csc }^{2}x$ 를 이용하여 $\int \frac{dx}{1+{\cos }^{2}x}$ 의 값을 구하세요. (힌트: 피적분함수의 분자와 분모에 ${\csc }^{2}x.)$ 를 곱하세요.

영어 원문 보기

Use the substitution $u=\sqrt{2}\,\cot x$ and the identity $1+{\cot }^{2}x={\csc }^{2}x$ to evaluate $\int \frac{dx}{1+{\cos }^{2}x}.$ (Hint: Multiply the top and bottom of the integrand by ${\csc }^{2}x.)$

정답·풀이 보기

힌트를 이용하면 $\int \frac{{\csc }^{2}x}{{\csc }^{2}x+{\cot }^{2}x}dx=\int \frac{{\csc }^{2}x}{1+2{\cot }^{2}x}dx$ 이다. $u=\sqrt{2}\cot x$ 로 놓으면 $du=-\sqrt{2}{\csc }^{2}x$ 이고, 적분은 $-\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{du}{1+{u}^{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}{\tan }^{-1}u+C=\frac{1}{\sqrt{2}}{\tan }^{-1}\left(\sqrt{2}\cot x\right)+C$ 이다. 항등식 ${\tan }^{-1}s+{\tan }^{-1}\left(\frac{1}{s}\right)=\frac{\pi }{2}$ 를 이용하면, 이는 $\frac{1}{\sqrt{2}}{\tan }^{-1}\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)+C$ 로도 나타낼 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Using the hint, one has $\int \frac{{\csc }^{2}x}{{\csc }^{2}x+{\cot }^{2}x}dx=\int \frac{{\csc }^{2}x}{1+2{\cot }^{2}x}dx.$ Set $u=\sqrt{2}\cot x.$ Then, $du=-\sqrt{2}{\csc }^{2}x$ and the integral is $-\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{du}{1+{u}^{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}{\tan }^{-1}u+C=\frac{1}{\sqrt{2}}{\tan }^{-1}\left(\sqrt{2}\cot x\right)+C.$ If one uses the identity ${\tan }^{-1}s+{\tan }^{-1}\left(\frac{1}{s}\right)=\frac{\pi }{2},$ then this can also be written $\frac{1}{\sqrt{2}}{\tan }^{-1}\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)+C.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 37번

# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류

34.OpenStax 1권 · 5.7절 · 46번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 두 함수 $f(x)=2{x}^{2}-1$ 과 $g(x)={(1+4{x}^{2})}^{-3/2}$ 의 그래프가 만나는 점을 소수 넷째 자리까지 어림하고, 두 그래프 사이의 넓이를 소수 셋째 자리까지 어림하세요.

영어 원문 보기

[T] Approximate the points at which the graphs of $f(x)=2{x}^{2}-1$ and $g(x)={(1+4{x}^{2})}^{-3/2}$ intersect to four decimal places, and approximate the area between their graphs to three decimal places.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.7절 · 19번

# 역삼각함수가 나오는 적분계산자동 분류

35.OpenStax 1권 · 5.7절 · 47번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 두 함수 $f(x)={x}^{2}-1$ 과 ${g(x)=({x}^{2}+1)}^{\frac{1}{2}}$ 의 그래프가 만나는 점을 소수 넷째 자리까지 어림하고, 두 그래프 사이의 넓이를 소수 셋째 자리까지 어림하세요.

영어 원문 보기

[T] Approximate the points at which the graphs of $f(x)={x}^{2}-1$ and ${g(x)=({x}^{2}+1)}^{\frac{1}{2}}$ intersect to four decimal places, and approximate the area between their graphs to three decimal places.